Fluktuáló terű transzverz Ising-lánc dinamikája

Átírás

1 2016. szeptember 8. Phys. Rev. B 93,

2 Modell H(t) = 1 2 L 1 σi x σi+1 x h(t) 2 i=1 h(t)-fluktuáló mágneses tér. Hogyan terjednek jelek a zajos rendszerben? L σi z, i=1

3 Zajok típusai 1 fehér zaj 2 1/f zaj 3 1/f α zaj 4 dichotóm (két értékű) zaj

4 Modell H(t) = 1 2 L 1 σi x σi+1 x h(t) 2 i=1 L σi z, i=1 h τ időnként érmét dobunk: h = h A = +1; 1 2 valószínűséggel h = h B = 1; 1 2 valószínűséggel t/τ Hogyan terjednek jelek a zajos rendszerben?

5 Clifford - operátorok H(t) = 1 2 L 1 σi x σi+1 x h(t) 2 i=1 ˆd 2i 1 = ( j<i σ z j )σ x i, ˆd 2i = i( j<i σ z j )σ y i, L σi z, i=1 H = 1 4 2L i,j=1 ˆd i H ij ˆd j 0 h h h H =. h h h 0 {ˆd m, ˆd n } = 2( 1) m 1 δ mn

6 Ekvivalens kvantum bolyongás 0 h h h H =. h h h 0 Ising modell Clifford operátorok dinamikája. d ˆd i (t) dt = i 2L j=1 H ij ˆd j (t) Kvantumos bolyongás A hullámfüggvény időfejlődése. dψ i (t) dt = i 2L j=1 H ijψ j (t)

7 Ekvivalens kvantum bolyongás Ising modell Kvantumos bolyongás Clifford operátorok dinamikája. A hullámfüggvény időfejlődése. d ˆd i (t) = i 2L dt j=1 H ˆd dψ ij j (t) i (t) = i 2L dt j=1 H ijψ j (t) A l (t) = 1 2 x ˆd l (t)ˆd L x ψ l A x állapot az x irányban polarizált. ψ l (0) az L és L + 1rácshelyekre lokalizált. σ 2 (t) = 2L l=1 A l (t) 2 = const = 1 L ( ) (l l 0) 2 A 2l 1 (t) 2 + A 2l (t) 2 l=1

8 Vizsgált mennyiségek 1 Átlagos mágnesezettség 2 Átlagos összefonódási entrópia 3 Hullámcsomag

9 Átlagos mágnesezettség m x l (t) = Ψ 0 σ x l (t) Ψ 1 Közvetlen átlagolás (2000 realizáció). ln(-ln(m x (t))) τ=0.25π t 0.47 τ=0.5π t 0.79 τ=0.75π t m x l (t) exp( ctα ) ln(t)

10 Átlagos összefonódási entrópia Egy adott realizáció esetében: ρ = Ψ(t) Ψ(t) ln(s) τ=0.25π t 0.46 τ=0.5π t 0.75 τ=0.75π t ρ A = Tr B ρ 1 S = Tr A ρ A ln ρ A S(t) t β ln(t)

11 Exponensek m x l (t) exp( ctα ) S(t) t β τ = π/2 t 0.75 τ π/2 t 0.5

12 Mester egyenlet A l (t) = 1 2 x ˆd l (t)ˆd L x - hullámfüggvény a kvantumos bolyongásban A ij (t) = A i (t)a j (t) Az első lépés során: A ij (τ) = 2L k,l=1 O ik (n)o jl (n)a kl (t = 0), A ij (t n) = 2L k,l=1 2L k,l=1 O ik (n)o jl (n) A kl (t n 1) = 1 2 {[O1] ik[o 1] jl + [O 2] ik [O 2] jl }A kl (t n 1).

13 Mester egyenlet A ij (t n ) = 2L k,l=1 1 2 {[O 1] ik [O 1 ] jl + [O 2 ] ik [O 2 ] jl }A kl (t n 1 ). A hullámcsomag amplitúdója abuszulut érték négyzetének várhatóértéke közvetlenül számítható! p l (t) A 2l 1 (t) 2 + A 2l (t) 2, l = 1, 2,..., L. σ 2 (t) = L l=1 (l l 0) 2 p l (t), ahol l 0 = L+1 2

14 Hullámcsomag 1/z eff (t n ) τ=0.2 τ=0.4 τ=0.6 τ=0.8 τ=1.0 τ=1.2 τ=1.4 τ=π/2 τ=1.8 τ=2.0 σ(t) t 1/z 1 z eff (t n ) = ln[σ(t n)/σ(t n 1 )] ln(t n /t n 1 ) ln t n τ < π/2 1/z = 1/2 τ = π/2 1/z = 7/8 τ > π/2 1/z = 3/4

15 Hullámcsomag skálázás 0 τ=1 ln[p l (t)t 1/2 ] Gauss t/τ=2 3 t/τ=2 4 t/τ=2 5 t/τ=2 6 t/τ=2 7 t/τ=2 8 t/τ=2 9 t/τ= (l-l 0 )/t 1/2

16 Hullámcsomag skálázás 0 τ=1 ln[p l (t)t 1/2 ] Gauss t/τ=2 3 t/τ=2 4 t/τ=2 5 t/τ=2 6 t/τ=2 7 t/τ=2 8 t/τ=2 9 t/τ= (l-l 0 )/t 1/2 p l (t) t/τ=2 3 t/τ=2 4 t/τ=2 5 t/τ=2 6 t/τ=2 7 t/τ=2 8 t/τ=2 9 t/τ= l-l 0

17 Hullámcsomag skálázás 0 τ=1 ln[p l (t)t 1/2 ] Gauss t/τ=2 3 t/τ=2 4 t/τ=2 5 t/τ=2 6 t/τ=2 7 t/τ=2 8 t/τ=2 9 t/τ= (l-l 0 )/t 1/2 ln[p l (t)t 1/2 ] -2-4 τ=π/2 p l (t) t/τ=2 3 t/τ=2 4 t/τ=2 5 t/τ=2 6 t/τ=2 7 t/τ=2 8 t/τ=2 9 t/τ= (l-l 0 )/t 1/ l-l 0

18 Hullámcsomag skálázás 0 τ=1-2 τ=π/2 ln[p l (t)t 1/2 ] Gauss t/τ=2 3 t/τ=2 4 t/τ=2 5 t/τ=2 6 t/τ=2 7 t/τ=2 8 t/τ=2 9 t/τ= (l-l 0 )/t 1/2 ln[p l (t)t 1/2 ] (l-l 0 )/t 1/2 p l (t) t/τ=2 3 t/τ=2 4 t/τ=2 5 t/τ=2 6 t/τ=2 7 t/τ=2 8 t/τ=2 9 t/τ= l-l 0 ln[p l (t)t 1/2+a ] (l-l 0 -vt)/t 1/2

19 Ballisztikus csúcsok A szórást a kifutó ballisztikus csúcsok járuléka dominálja. W (t) t a σ 2 (t) t 2 a τ < π/2 z = 2 τ π/2 z = 2 2 a Miért jelennek meg a ballisztikusan mozgó csúcsok? Mi határozza meg az a exponenst?

20 0 h A 0 h B h A 0 1 h B h A 1 0 h B H A =. h A 0...H B =. h B ha hb h A 0 h B 0

21 Rezonáns állapotok H A -nak és H B -nek általában nincsenek közös saját állapotai. f ± k (2n 1) = N eiθ k e ikn, f ± k (2n) = ±N e iθ k e ikn, N = 1 2 L 1/2, tan 2Θ k = sin k h+cos k ɛ ± k = ± 1 + h 2 + 2h cos k. f ± k,a = 1 2 (ei k ± e i k )f + k,b (ei k e i k )f k,b, ahol k = Θ A k ΘB k

22 Stroboszkópikus saját állapotok H A -nak és H B -nek általában nincsenek közös saját állapotai. De U A = exp( iτh A )-nak és U B = exp( iτh B )-nek vannak, ha ɛ + k,b τ = m Bπ vagy ɛ + k,a τ = m Aπ teljesül. (m B és m A pozitív egész.)

23 Rezonáns állapotok H A -nak és H B -nek általában nincsenek közös saját állapotai. De U A = exp( iτh A )-nak és U B = exp( iτh B )-nek vannak, ha ɛ + k,b τ = m Bπ vagy ɛ + k,a τ = m Aπ teljesül. (m B és m A pozitív egész.) τ < π/2-re nincsenek közös sajátvektorok τ π/2-re vannak közös sajátvektorok, ezek következményeként jelennek meg a ballisztikus csúcsok.

24 Kiszóródási idő A rezonáns közeli állapotok is lassan szóródnak ki. Mennyire lassan? Két dimenziós altér: f + k,a és fk,a. f (t n ) = F 1 (t n ) f + k,a + F 2(t n ) f k,a Tegyük fel, hogy a kezdeti állapot f + k,a. Annak valószínűsége, hogy n lépés után is ebben az állapotban van a rendszer: P + k (t) f + k,a f (t) 2.

25 Kiszóródási idő U A = [ ] e iɛ+ k,a τ 0 0 e iɛ+ k,a τ, U B = [ ω k γ k Definiáljuk: F (n) ij Fi (t n )F j (t n ), i, j = 1, 2 Mester egyenlet ebben az altérben: F (n) ij = 2 k,l=1 1 2 {[U A ] ik[u A ] jl + [UB ] ik[u B ] jl }F (n 1) kl. Bevezetve a U 1 2 (U A U A + UB U B) jelölést a mester egyenlet: F (n) = UF (n 1). γ k ω k ],

26 Kiszóródási idő U -nak mindig van egy egységinyi sajátértékhez tartozó sajátvektora: Az aszimptotikus állapot. A kiszóródás gyorsaságát a második legnagyobb sajátérték (r k ) adja meg: P + k (t n) P + k ( ) r n k e tn/τ k,

27 Kiszóródási idő 3 τ=0.4 π τ=0.5 π τ=0.6 π A rezonáns móduszok közelében: 1/τ k (k k 0) n k 0 1/τ k π -π/2 0 π/2 π k W k0 (t) k0 + k k 0 k k0 + k k 0 k e t/τ k dk e tc(k k 0) n k 0 dk t 1/n k 0,

28 Összefoglalás τ < π/2 nincs ballisztikus módusz diffuzív 1 z = 1 2

29 Összefoglalás τ < π/2 nincs ballisztikus módusz diffuzív 1 z = 1 2 τ > π/2 van ballisztikus módusz. A szórást a ballisztikus módusz határozza meg. τ = n π 2 W t 1/4 1 a = 1/4 z = 2 2 a = 7 8

30 Összefoglalás τ < π/2 nincs ballisztikus módusz diffuzív 1 z = 1 2 τ > π/2 van ballisztikus módusz. A szórást a ballisztikus módusz határozza meg. τ = n π 2 W t 1/4 a = 1/4 1 z = 2 2 a = 7 8 τ n π 2, τ > π 2 W t 1/2 a = 1/2 1 z = 2 2 a = 3 4

31 O sszefoglala s τ < π/2 nincs ballisztikus mo dusz diffuzı v z1 = 12 τ > π/2 van ballisztikus mo dusz. A szo ra st a ballisztikus mo dusz hata rozza meg. 2 τ = n π2 W t 1/4 a = 1/4 z1 = 2 a = π π 1 2 1/2 τ 6= n 2, τ > 2 W t a = 1/2 z = 2 a = (a) Megjegyze s: A ma gnesezettse gre e s az entro pia ra vonatkozo eredme nyek is visszavezetheto ek a bolyonga sra, un. kva ziklasszikus mo dszerrel. t time space (b) t time space Roo sz Gergo, Juha sz Ro bert, Iglo i Ferenc Fluktua lo teru transzverz Ising-la nc dinamika ja

32 Köszönöm a figyelmet! Jelen kutatást az OTKA K számú projekt, és a TÁMOP-4.2.2B-15/1/KONV projekt támogatta.