A fenti funkcionál variációjakor a jobboldali két állandó eltűnik, tehát
|
|
- Albert Péter
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Vannak olyan esetek, amkor az F alapfüggvény alakjában eszközölt változtatások egyáltalán nem módosítják az Euler-Lagrange egyenletet. 1. Mvel az egyenlet lneárs F -ben, tetszőleges F = c F többszöröse s ugyanahhoz az egyenlethez vezet, azaz F y d dx F y = Fy d dx F y = 0. Ezt nem csak formalag, hanem ntutíven s könnyen beláthatjuk, ha fgyelembe vesszük, hogy az F (x, y, y ) alapfüggvényhez egy I [y] = c I [y] funkconál tartozk, mely szélsőértékét ugyanarra az y(x) függvényre vesz fel, mnt I [y]. Függvények esetében s az f (x) és c f (x) függvények szélsőértékhelye megegyeznek. 2. Az F (x, y, y ) F (x, y, y ) = F (x, y, y ) + d f (x, y) dx alapfüggvények s egyenértékűek a varácós feladat szempontjából hszen I [y] = x1 F (x, y, y )dx = I [y] + f (x 1, y(x 1)) f (, y()). A fent funkconál varácójakor a jobboldal két állandó eltűnk, tehát δi [y] = δi [y]. Ez egyúttal azt s jelent, hogy az alapfüggvényből addtív módon leválasztható teljes dervált kfejezés egyszerűen elhagyható.
2 Példa x1 δ y (x 2 y + 2)dx = δ δ x1 x1 (xy ) 2 + 2y dx = δ x1 (xy ) 2 dx x1 (xy d + y 4x)dx = δ dx (xy 2x 2 )dx = 0
3 3. Ha az F (x, y, y ) alapfüggvényhez hozzáadunk egy G(x, z, z ) másk függvényt, akkor az így képezett I [y, z] = funkconál szélsőértékét az x1 [ F (x, y, y ) + G(x, z, z ) ] dx F y d dx F y = 0, Gz d dx G z = 0 (1) független egyenletek megoldása adják, tehát ugyanazok az y(x) és z(x) függvények, melyek az F lletve G alapfüggvényekkel megadott független varácós feladatok esetén s kapnánk.
4 Az alapfüggvény F (x, y ) alakú Az F (x, y, y ) alapfüggvény gyakran hányos, vagys nem függ explcten x-től, vagy nem tartalmazza y-t vagy y -t. Ilyen esetekben az Euler-Lagrange egyenlet sokkal könnyebben ntegrálható. Ha F = F (x, y ), akkor F y = 0, és az Euler-Lagrange egyenletből csupán marad, ahonnan nylván d dx F y = 0 F y = C 1 következk, amely már csak egy elsőrendű dfferencálegyenlet.
5 Példa Erre az esetre példa az L[y] = x y 2 dx funkconál, amely a P 0(, y 0) és P 1(x 1, y 1) pontok, között y = y(x) egyenletű görbe mentén mért távolságot adja meg. M azt a görbét keressük, amely mentén ez a távolság mnmáls. Az L funkconál szélsőértékének szükséges feltétele F y = y 1 + y 2 = C1 lesz. Vezessük be az y = m állandó jelölést, ahonnan a dfferencálegyenletet nyerjük, és így az dy = mdx y = mx + n egyenletű egyenes lesz a két pontot összekötő legrövdebb útnak megfelelő görbe. Az m és n ntegrácós paraméterek értékét az y 0 = m + n és y 1 = mx 1 + n egyenletekből számíthajuk k. F y y = 1 (1 + y 2 ) 3/2 > 0 matt az egyenes valóban az L funkconál mnmumát adja.
6 Az alapfüggvény F (y, y ) alakú F = F (y, y ) y1 I [x] = F (y, 1x ) x dy y 0 y = 1/x és független változónak az y-t tekntjük. Ha az y-tól és x -től függő új F ( ) y, 1 x x alapfüggvényt F (y, x )-tel jelöljük, a funkconál. I [x] = y1 y 0 F ( y, x ) dy alakú lesz. Mvel F nem függ explcten az x függvénytől, alkalmazhatjuk a 4 pontban tárgyalt eljárást, vagys és smét y = 1/x helyettesítéssel: F x = C1 [ F (y, 1x ) ] x = C x 1 ből F (y, 1x ) 1x F y (y, 1x ) = C 1 F (y, y ) y F y (y, y ) = C 1
7 Kezdetérték és peremérték feladatok egyenértékűsége Sok esetben, különösen a fzkában, az y(x) függvényre krótt két plusz feltételt nem a végpontokra kötjük k y 1 = y(x 1) és y 2 = y(x 2) formában, hanem csupán a kezdet pontban úgy a függvényre mnt annak derváltjára. Azaz y(x 1) = y 1, y (x 1) = y 1. (2) A varácós feladat lényege ezzel nem változk, tehát az Euler-Lagrange egyenlet megoldásaként kapott kétparaméteres y = y(x, C 1, C 2) függvényben az ntegrálás állandók meghatározhatók a kezdet feltételekből. Ha vesszük azon peremfeltételek halmazát, melyekre létezk megfelelő C 1 és C 2 ntegrálás állandó, akkor ezen a peremfeltételek mndegykének egyértelműen megfeleltethetűnk egy egyenértékű (2) típusú kezdet feltételt.
8 A brachsztochron probléma megoldása F (y, y ) = 1 + y 2 2gy, nem függ explcten x től. F y F y = C 1 2gC 2 y = 1 + y 2 Legyen y = cot θ/2 és 1/2gC 2 = 2r, ahol θ paraméter, r pedg egy állandó. Így azonnal kjön, hogy y = 2r sn 2 θ = r(1 cos θ). 2 dy = r sn θdθ és ezáltal y = cot θ/2-ből dx = dy cot θ = 2r sn 2 θ 2 dθ 2 x = r(θ sn θ) + K. A P 0 pontban x = y = 0 P 0-ban θ = 0, és ezért K = 0 lesz. A P 0P 1 görbe paraméteres egyenlete x = r(θ sn θ), y = r(1 cos θ).
9 Ez az úgynevezett cklosz, amelyet egyenes vonal mentén csúszás nélkül gördülő r sugarú kör kerületének egy pontja ír le. Az r állandót abból a feltételből számítjuk k, hogy az anyag pontnak át kell haladna a P 1(x 1y 1) ponton. A cklosznak még az érdekes tulajdonsága van, hogy két azonos magasságban levő pontja között súrlódás nélkül csúszó pont mozgása zochron, azaz a mogás peródusa nem függ a két pont között távolságtól. Ezt a tuljdonságot Chrstan Huygens ( ) alkalmazta pontos ngaóra készítésére.
10 Ha a P 1 pont szntén az O x tengelyen található, tehát y 1 = 0, akkor az y = r(1 cos θ) = 0 egyenletből a végpontra θ 1 = 2π értéket kapunk. Ezt behelyettesítve az x = r(θ sn θ) kfejezésbe, következk, hogy r = x1 2π. Határozzuk meg most az dőtartamot megadó funkconál értékét a P 0(0, 0) és a P 1(x 1, 0) pontok között: θ1 x T cklos = 2 + y 2 r dθ = 2gy g θ1. 0 Behelyettesítve θ 1-t és r-t, a teljes cklosív megtételéhez szükséges dő 2πx1 x1 T cklos = g g. Ha megvzsgáljuk a fent P 0 és P 1 pontok között út megtételéhez szükséges dőt egy x 1/2 sugarú félkör mentén, akkor a körív paraméteres egyenlete x = x1 (1 + cos ϕ), 2 y = x1 2 sn ϕ ϕ [0, π] T félkör = x1 > T cklos
11 Mnmáls forgásfelület Az P 0(, y 0) és P 1(x 1, y 1) (y 0, y 1 > 0) y = y(x) ds = 2πydl = 2πy 1 + y 2 S[y] = 2π y 1 + y 2 y x1 y 1 + y 2 dx F y F y = C 1 yy = y = C1, 1 + y y 2 ( ) 2 y y = ± 1 c 1 dy dx = ( ) 2 ± y c 1 1 láncgörbe. y(x) = C 1 cosh x C2 C 1
12 Lánc alakja homogén gravtácós térben Egyensúly állapotban a lánc (deálsan hajĺıtható huzal) olyan helyzetet foglal el, amelyben helyzet energája mnmáls. du = ρsgydl = ρsgy 1 + y 2 dx U[y] = ρsg F y y = x1 y 1 + y 2 dx y (1 + y 2 ) 3/2 > 0
13 Több egyváltozós függvénytől függő funkconál F = F (x, y 1, y 2,..., y n; y 1, y 2,..., y n), y : [, x 1] R, ( = 1,..., n) Keressük azokat az y (x), ( = 1,..., n) függvényeket, amelyekre az I [y 1, y 2,..., y n] = x1 F (x, y 1, y 2,..., y n; y 1, y 2,..., y n)dx funkconál szélsőértéket vesz fel az y () = y (0) és y (x 1) = y (1) adott peremfeltételek mellett. Az (x, y 1, y 2,..., y n) egy (n + 1) dmenzós térbel pont y 1 = y 1(x), y 2 = y 2(x),..., y n = y n(x) egy görbe egyenlete ebben a térben térbel varácós probléma. y = (y 1, y 2,..., y n) y = (y 1, y 2,..., y n) y() = y (0), y(x 1) = y (1). I [y] = x1 F (x, y, y )dx
14 Az első varácónak kell eltűnne ahhoz, hogy a funkconál staconárus függvényet megtaláljuk: δ 1 I = x1 [(F y1 δy 1 + F y2 δy F yn δy n)+ F y δy δ 1 I = = d dx (F y =1 [ F y δy x (F y 1 δy 1 + F y 2 δy F y n δy n)]dx = ( ) d δy ) dx F y δy, ( = 1,..., n) x1 ( F y d ) ] dx F y δy dx = 0 δy () = δy (x 1) = 0, ( = 1,..., n). A δy varácók egymástól teljesen függetlenek, és tetszőlegesek: x1 ( F y d ) dx F y δy dx = 0, ( = 1,..., n) F y d dx F y = 0, ( = 1,..., n) Euler-Lagrange másodrendű dfferencál-egyenletrendszer. y = y (x, C 1, C 2,..., C 2n), ( = 1,..., n), 2n számú peremfeltétel segítségével megkapjuk az állandókat.
15 A kapott megoldás a funkconál szélsőértéke-e? Az [, x 1] ntervallum mnden pontjában az F y 1 y 1 0 ; F y 1 y 1 F y 2 y 1 F y 1 y 2 F y 2 y 2 0 ;... ; F y 1 y 1 F y 2 y 1. F y n y 1 F y 1 y 2 F y 2 y 2. F y n y 2... F y 1 y n... F y 2 y n F y n y n A maxmum feltétele megegyezk a F alapfüggvényre fennálló fent mnmumfeltételekkel. 0
16 Az Euler-Lagrange dfferencálegyenlet-rendszerek prmntegrálja Ha az alapfüggvény nem tartalmazza valamelyk y függvényt, csak ennek derváltját y függvény cklkus változó F y = 0 d dx F y = 0 F y = C Ha az F alapfüggvény nem függ explcten az x független változótól: df dx = (F y y + F y y =1 ) F y = d (F dx y ) prmntegrál df dx = [ =1 [ d F dx F =1 y =1 d dx F y y F y ] ] + F y y = 0 y F y = C (3)
17 Két pont között mnmáls távolság a térben P 0(, y 0, z 0) és P 1(x 1, y 1, z 1) a tér két tetszőleges pontja. Keressük azon görbét, amely mentén mért távolság a két pont között a lehető legksebb. Eukldesz térben dl = dx 2 + dy 2 + dz 2 = 1 + y 2 + z 2 dx, l[y, z] = x1 1 + y 2 + z 2 dx. y = C1 1 + y 2 + z 2 z = C2 1 + y 2 + z 2 ahonnan y = α 1 (állandó) és z = α 2 (állandó). y = α 1x + β 1 z = α 2x + β 2 Két sík metszete egy egyenes.
18 Geodetkus görbék mnt varácós feladat Két pont között a legrövdebb út az egyenes. Egy adott felület két pontja között mely görbe adja meg a legrövdebb távolságot. Ezeket a görbéket a felület geodetkus vonalanak nevezzük. Egy Σ felületet megadjuk parametrkus x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) egyenletekkel. A felületen elhelyezkedő görbéket u = u(v) vagy általánosabban az u = u(t) és v = v(t) parametrkus egyenletekkel adhatjuk meg Az (u, v) pontból az (u + du, v + dv) pontba mutató vektor d r = r udu + r v dv. A nek megfelelő távolság négyzete pedg dl 2 = (d r) 2 = Edu 2 + 2Fdudv + Gdv 2 alakban írható (ez a felület első alapformája), ahol 2 E = r u = xu 2 + yu 2 + zu 2, F = r u r v = x ux v + y uy v + z uz v, G = r 2 v = x 2 v + y 2 v + z 2 v,
19 Legyen P 0(u 0, v 0) és P 1(u 1, v 1) a felület két adott pontja. Határozzuk meg a felületen azt a P 0 és P 1 pontokat összekötő u = u(t) és v = v(t) egyenletű görbét, amely mentén mért távolság a két pont között a lehető legksebb. Ezt a távolságot az t1 l[u, v] = Eu 2 + 2Fu v + Gv 2 dt t 0 funkconál fejez k, ahol u = du/dt, v = dv/dt és u(t 0) = u 0, v(t 0) = v 0, valamnt u(t 1) = u 1, v(t 1) = v 1. A geodetkus görbe u = u(t) és v = v(t) egyenletet, ennek a funkconálnak megfelelő Euler-Lagrange egyenletrendszer megoldásával számíthatjuk k.
20 Geodetkus vonalak forgásfelületeken Mutassuk be ezeket a számításokat konkréten egy forgásfelület esetében. Itt u = ρ, v = ϕ paraméterekkel az Oz tengelyű forgásfelület egyenlete: x = ρ cos ϕ, y = ρ sn ϕ, z = f (ρ). Innen E = 1 + f 2, F = 0, és G = ρ 2. Keressük a felületen a ρ = ρ(ϕ) egyenletű geodetkus görbét. Ennek szükséges feltétele az, hogy az I [ρ] = funkconál mnmáls legyen. Ábra a következő dán ϕ1 ϕ 0 (1 + f 2 )ρ 2 + ρ 2 dϕ
21
22 Mvel az F alapfüggvény nem függ explcten ϕ-től, az Euler-Lagrange egyenletből F ρ F ρ = állandó prmntegrál következk, avagy ρ 2 (1 + f 2 )ρ 2 + ρ 2 = állandó, vagy pedg fgyelembe véve, hogy rövden írhatjuk, hogy dl = (1 + f 2 )ρ 2 + ρ 2 dϕ ρ 2 dϕ = állandó. dl ρdϕ = sn ω. dl Így az Euler-Lagrange egyenletből kapott összefüggést ρ sn ω = állandó alakban írhatjuk, am Claraut tétele néven smeretes.
23 Henger A merda nok (alkoto k) pa rhuzamos egyenesek, a geodetkus go rbe megfelelo je pedg sznte n egyenes, amely ezeket a llando szo g alatt metsz (tt a ρ=a llando a henger sugara). Teha t a geodetkus go rbe k csavarvonalak. Ku p A ρ sn ω=a llando a ku pnak a sı kra kfejtett pala stja n a geodetkus go rbe nek sznte n egy egyenes felel meg Sı kra kfejtheto felu letek geodetkus go rbe je megkaphato, ha a kfejtett felu leten egyenessel ko tju k o ssze a ke t pontot. Go mb A fo ko ro k (olyan ko r melynek ko ze ppontja egybeesk a go mb ko ze ppontja val) teljesı tk a Claraut-te telt,.
24 Loxodromák Egy forgásfelület olyan görbéje, amely mnden egyes merdángörbét állandó ω szög alatt metsz. Mvel a forgástengelytől mért távolság változó a geodetkus vonalak ρ sn ω =állandó feltétele nem vezet az ω =állandó-val jellemzett loxodromához. Csupán a körhenger esetében egyezk meg a loxodroma a geodetkus vonallal. A hajók és a repülők bzonyos navgácós szempontok matt a loxodroma mentén haladnak. Példa Bukarest és Melbourne között a távolság körülbelül km a geodetkus vonal (főkör) mentén, a loxodroma csak 120 km-rel hosszabb, 0.8% eltérés. Bukarest és Hokkadó szgete (Melbournel azonos hosszúságú körön helyezkedk el), mvel ezek ugyanazon a szélesség körön találhatók, a loxodroma éppen a szélesség kör lesz, a geodetkus vonal vszont tt jóval rövdebb (12%).
25 A térbel egyenes megegyezk a kfeszített fonal alakjával, lletve a szabadon mozgó anyag pont pályájával s, fény terjedés rányával. Egy felület mentén az egyenes szerepét a geodetkus vonal tölt be. A szabadon mozgó pontra mnden pllanatban hat a felületre merőleges, kényszererő, amely egyben a mozgásgörbének geodetkus vonalnak s a főnormálsa rányában hat. Innen adódk a geodetkus vonalaknak az a fontos tulajdonsága, hogy a főnormáls ránya mnden pontban megegyezk az adott pontban a felületre húzott normáls rányával.
26 Geodetkus vonalak a Remann-térben Kterjesszük a kétdmenzós felületek vzsgálatát olyan n-dmenzós, úgynevezett Remann-terekre, amelyben az ívelemnégyzet dl 2 = g k (x 1,..., x n)dx dx k,k=1 g k = g k a Remann-tér metrkus alaptenzora. A tanulmányozott kétdmenzós felület esetén u = x 1, v = x 2, E = g 11, F = g 12 = g 21 és G = g 22. Határozzuk meg e tér geodetkus vonalat. P 0(x (0) 1, x (0) 2,..., x n (0) ) P 1(x (1) 1, x (1) 2,..., x n (1) ) pontokat összekötő x = x (t), ( = 1,..., n) görbe hosszát megadó funkconál P1 t1 l[x 1,..., x n] = g k dx dx k = g k ẋ ẋ k dt, P 0,k=1 t 0,k=1 ahol t egy tetszőleges paraméter. Természetes paraméterrel (l ívhossz): g k ẋ ẋ k = 1.,k=1 d dl F ẋ j F xj = 0, (j = 1,..., n), F = gkẋ ẋ k
27 Fẋj = 1 2F d dl F x j = = (g k ẋ k + g kj ẋ k ) = k=1 g jk ẍ k + k=1 g jk ẍ k k=1 Γ jk = 1 2 elsőfajú Chrstoffel-szmbólumok a,k=1 g jk ẋ ẋ k x,k=1 ( gjk x F xj = 1 g k ẋ ẋ k. 2 x j ( gjk x g jk ẍ k = k=1 g jk ẋ k, k=1 + g j g k x k x j Γ jk ẋ ẋ k,k=1 + g ) j ẋ ẋ k x k )
28 g jk ẍ k = k=1 Γ jk ẋ ẋ k,k=1 A g jk mennységekhez hozzárendelhetjük egyértelműen úgy a g jk mennységeket (nverz), hogy g jk g jl = δ kl Γ l k = j=1 g lj Γ jk, másodfajú Chrstoffel-szmbólum j=1 ẍ l = Γ l kẋ ẋ k, (l = 1,..., n),k=1 A Remann-térben tehetelenség mozgást végző anyag pont pályáját. A fzka tér nem eukldesz, hanem Remann-metrkával rendelkezk. Remann és Clfford sejtését Ensten öntötte olyan elmélet formába, amely a kísérletekkel s egyező eredményeket nyújtott. A remann tér-dő szerkezetét (metrkáját) megadó g k (, k = 1, 2, 3, 4) mennységeket a térben jelenlévő anyageloszlás határozza meg. A gravtácós térben való mozgás a megfelelő remann (görbült) térben létrejövő ( szabad ) tehetetlenség mozgás.
29 Egy rugo bo l e s merev ru dbo l a llo rendszer N = 2 anyag pontra, amelyek ko zu l az egyk a vı zszntes Ox tengely mente n su rlo da s ne lku l mozoghat a tengely mente n elhelyezkedo k rugalmassa g egyu tthato ju rugo ve ge re kapcsolva. A ma sodk m2 to megu teste egy olyan l hosszu sa gu, elhanyagolhato to megu merev ru d egyk ve ge hez kapcsoljuk, amelyeknek ma sk ve ge az elso m1 to megu testhez kapcsolo dk, e s a llando an a fu ggo leges xoy sı kban tala lhato. Jelen van a Fo ld homoge n gravta co s tere.
30 Kötések, szabadság fokok Az m 1 tömegű test x tengely ment mozgása két kötést jelent az m 2 test függőleges síkban való mozgása adja a harmadk kényszerfeltételt, és a kettő között állandó l távolság eredményez a negyedk kötést. A meghatározandó általános koordnáták száma megegyezk a rendszer n = 3N s = = 2 szabadságfokával. Ezeke legyenek q 1 = x és q 2 = θ, ahol x az első pont abszcsszája, θ pedg a rúdnak az y tengellyel bezárt szöge. Koordnátatranszformácó Sebességtranszformácó x 1 = x, x 2 = x + l sn θ, y 1 = 0, y 2 = l cos θ, z 1 = 0, z 2 = 0, ẋ 1 = ẋ, ẋ 2 = ẋ + l θ cos θ, ẏ 1 = 0, ẏ 2 = l θ sn θ, ż 1 = 0, ż 2 = 0.
31 Lagrange függvény A rendszer T mozgás energája az U potencáls energa pedg T = 1 2 m1(ẋ ẏ ż 2 1 ) m2(ẋ ẏ ż 2 2 ) = = 1 2 (m1 + m1)ẋ 2 m 2lẋ θ cos θ m2l 2 θ 2, U = 1 2 kx 2 m 2gl cos θ a rugalmasság és gravtácós energákból tevődk össze. A Lagrange-függvény tehát L = L(x, θ, ẋ, θ) = T U = = 1 2 (m1 + m1)ẋ 2 m 2lẋ θ cos θ m2l 2 θ kx 2 + m 2gl cos θ.
32 (Euler-)Lagrange egyenletek Teljesül a Hamlton-elv: a mozgás olyan x = x(t), θ = θ(t) egyenletekkel írható le, amelyek esetében az S[x, θ] = t 1 t 0 Ldt hatásntegrál staconárus (mnmáls), tehát a δ 1 S = 0 alapján a a d dt L ẋ L x = 0, d dt L θ L θ = 0 (m 1 + m 2)ẍ m 2l θ cos θ + m 2l θ 2 sn θ + kx = 0, l θ ẍ cos θ + ẋ θ sn θ + g sn θ = 0. Egyenletek ntegrálása Ennek a másodrendű dfferencálegyenlet-rendszernek az ntegrálása után négy ntegrácós állandót kapunk, amelyek meghatározása a kezdet feltételek alapján történk: x(t 0) =, θ(t 0) = θ 0, ẋ(t 0) = ẋ 0 és θ(t 0) = θ 0
33 Prmntegrálok: cklkus koordnáták, energamegmaradás Melőtt megoldanánk az egyenleteket ellenőrzzük prmntegrálok meglétét. A Lagrange-függvény nem tartalmazott cklkus koordnátát, azonban nem függ explcten a t dőtől, és ezért a rendszer teljes energája E = ẋlẋ + θl θ L = T + U = állandó a mozgás dfferencálegyenletenek prmntegrálja. E = 1 2 (m1 + m2)ẋ 2 m 2lẋ θ cos θ m2l 2 θ kx 2 m 2gl cos θ Felhasználható a negyedrendű dfferencálegyenlet rendszernek harmadrendűre való redukálására.
v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M
Mképpen függ egy pontrendszer mpulzusa a vonatkoztatás rendszertől? K-ban legyenek a részecskék sebessége v. K -ben mely K-hoz képest V sebességgel halad v = v V. (1) P = m v = m (v V) = m v m V = = P
Részletesebbenr a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.
Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba
RészletesebbenSerret-Frenet képletek
Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenLagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
Részletesebbend(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.
Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Variációszámítás és alkalmazásai Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 1. Függvények széls értéke 7 1.1. Függvények...................................
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenA hordófelület síkmetszeteiről
1 A hordófelület síkmetszeteiről Előző dolgozatunkban melynek címe: Ismét egy érdekes mechanizmusról azon hiányérzetünknek adtunk hangot, hogy a hordószerű test görbe felülete nem kapott nevet. Itt elneveztük
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenBUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK
BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK MÉRNÖKI MATAMATIKA Segédlet a Bessel-függvények témaköréhez a Közlekedésmérnök
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenHely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel
Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenMegjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor
. Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
Részletesebben1 2. Az anyagi pont kinematikája
1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni
RészletesebbenGeometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
RészletesebbenA loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.
1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi
Részletesebben,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,
Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer
RészletesebbenKét körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra
Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most
RészletesebbenTehetetlenségi nyomatékok
Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenA bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról
1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenAz entrópia statisztikus értelmezése
Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenEnergiatételek - Példák
9. Előadás Húzott rúd potenciális energiája: Hooke-modell: σ = Eε Geom. hetséges Geometriai egyenlet: + geom. peremfeltételek: u εx = ε = x u(0) = 0 ul () = 0 du dx Energiatételek Példák = k l 0 pudx l
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
Részletesebbent, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész
A kúpra írt csavarvonalról I. rész Sokféle kúpra írt csavarvonal létezik. Ezek közül először a legegyszerűbbel foglalko - zunk. Ezt azért tesszük mert meglepő az a tény hogy eddig még szinte sehol nem
Részletesebbenu u IR n n = 2 3 t 0 <t T
IR n n =2 3 u() u u u u IR n n = 2 3 ξ A 0 A 0 0 0 < T F IR n F A 0 A 0 A 0 A 0 F :IR n IR n A = F A 0 A 0 A 0 0 0 A F A 0 A F (, y) =0 a = T>0 b A 0 T 1 2 A IR n A A A F A 0 A 0 ξ A 0 = F (ξ) ε>0 δ ε
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
Részletesebben1. Az előző előadás anyaga
. Az előző előadás anyaga Egy fiú áll az A pontban és azt látja, hogy a barátnője fuldoklik a B pontban egy tóban. Milyen plyán kell a fiúnak mozognia, hogy a leggyorsabban a barátnőjéhez érjen, ha a parton
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenMatematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz
Matematka M. zárthely megoldások, 7 tavasz A csoport Pontozás: + 7 + 7 + 7) + 3 + 6 5 pont.. Lehet-e az ux, y) e 3x cos3y) kétváltozós valós függvény egy regulárs komplex függvény valós része? Ha gen,
Részletesebben9. előadás. Térbeli koordinátageometria
9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenSzárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval
Szárítás során kalakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Rajkó Róbert 1 Eszes Ferenc 2 Szabó Gábor 1 1 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszerpar Műveletek és Környezettechnka
RészletesebbenAlapmőveletek koncentrált erıkkel
Alapmőveletek koncentrált erıkkel /a. példa Az.7. ábrán feltüntetett, a,5 [m], b, [m] és c,7 [m] oldalú hasábot a bejelölt erık terhelk. A berajzolt koordnátarendszer fgyelembevételével írjuk fel komponens-alakban
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenGyakorlati útmutató a Tartók statikája I. tárgyhoz. Fekete Ferenc. 5. gyakorlat. Széchenyi István Egyetem, 2015.
Gyakorlati útmutató a tárgyhoz Fekete Ferenc 5. gyakorlat Széchenyi István Egyetem, 015. 1. ásodrendű hatások közelítő számítása A következőkben egy, a statikai vizsgálatoknál másodrendű hatások közelítő
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Részletesebben1. Feladatok a dinamika tárgyköréből
1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenBevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
Részletesebben2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések
. REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenÓravázlatok: Matematika 2.
Óravázlatok: Matematika 2. Bartha Ferenc készültség: March 4, 2003 1. VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLÁSA Legyen a továbbiakban M R n nyílt halmaz és f : M R valós függvény, x (x 1,.., x n ) M Ha
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenKétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
Részletesebben1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből
1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
RészletesebbenPere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
RészletesebbenA keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)
55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
Részletesebben1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.
1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az
RészletesebbenSegédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával
Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem
polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen
RészletesebbenTranszformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól
Ellipsis.tex, February 9, 01 Az ellipszis Az ellipszis leírása Az ellipszis szerkesztése és tulajdonságai Az ellipszis kanonikus egyenlete A kör vetülete ellipszis Az ellipszis polárkoordinátás egyenlete
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenEgy általánosabb súrlódásos alapfeladat
Egy általánosabb súrlódásos alapfeladat Az előző dolgozatunkban címe: Egy súrlódásos alapfeladat, jele: ( E D ) tárgyalt probléma általánosítása az alábbi, melynek forrása [ 1 ]. Tekintsük az 1. ábrát!
RészletesebbenFizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét
Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Az F erő által végzett munka, ha a test adott pályán mozog az r 1 helyvektorú P 1 pontból az r helyvektorú P pontba, az alábbi vonalintegrállal számolható:
RészletesebbenOptika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reexió sík és görbült határfelületen. Fermat-elv
Optika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reexió sík és görbült határfelületen Kivonat Geometriai optika: közelítés, amely a fényterjedést, közeghatáron való áthaladást geometriai alakzatok görbék segítségével
RészletesebbenKÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS
KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebbena térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
RészletesebbenKirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)
3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)
RészletesebbenFIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens
FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenMETROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS
METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.
RészletesebbenRugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I. rész
Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I rész evezetés rugalmas láncgörbe magyar nyelvű szakirodalma nem túl gazdag Egy viszonylag rövid ismertetés található [ 1 ] - ben közönséges ( azaz
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenKoordinátarendszerek
Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli
Részletesebben