Kvantummechanikai alapok I.

Átírás

1 Kvantummechanikai alapok I. Dr. Berta Miklós szeptember / 41

2 Állapotfüggvény. Dinamikai egyenlet. Ψ(r, t) 2 / 41

3 Állapotfüggvény. Dinamikai egyenlet. Ψ(r, t) Ψ(r, t)-csak a hely és idõ komplex függvénye 3 / 41

4 Állapotfüggvény. Dinamikai egyenlet. Ψ(r, t) Ψ(r, t)-csak a hely és idõ komplex függvénye Ψ 2 dv annak a valószínûsége, hogy a vizsgált objektum a t idõpillanatban az r helyvektorral jellemzett dv térfogatban található. 4 / 41

5 Állapotfüggvény. Dinamikai egyenlet. Ψ(r, t) Ψ(r, t)-csak a hely és idõ komplex függvénye Ψ 2 dv annak a valószínûsége, hogy a vizsgált objektum a t idõpillanatban az r helyvektorral jellemzett dv térfogatban található. Az állapotfüggvény idõbeli fejlõdését a Schrödinger-egyenlet írja le. Ψ(r, t) ĤΨ(r, t) = i t Ĥ - a rendszer Hamiltonoperátora i = 1 - az imaginárius egység = h 2π - a módosított Planckállandó (h = 6, Js) 5 / 41

6 Állapotfüggvény. Dinamikai egyenlet. Ψ(r, t) Ψ(r, t)-csak a hely és idõ komplex függvénye Ψ 2 dv annak a valószínûsége, hogy a vizsgált objektum a t idõpillanatban az r helyvektorral jellemzett dv térfogatban található. Az állapotfüggvény idõbeli fejlõdését a Schrödinger-egyenlet írja le. Ψ(r, t) ĤΨ(r, t) = i t Ĥ - a rendszer Hamiltonoperátora i = 1 - az imaginárius egység = h 2π - a módosított Planckállandó (h = 6, Js) Az állapotfüggvény normálási feltétele: Ψ(r, t) 2 dv = 1 (V ) 6 / 41

7 Állapotfüggvény. Dinamikai egyenlet. Ψ(r, t) Ψ(r, t)-csak a hely és idõ komplex függvénye Ψ 2 dv annak a valószínûsége, hogy a vizsgált objektum a t idõpillanatban az r helyvektorral jellemzett dv térfogatban található. Az állapotfüggvény idõbeli fejlõdését a Schrödinger-egyenlet írja le. Ψ(r, t) ĤΨ(r, t) = i t Ĥ - a rendszer Hamiltonoperátora i = 1 - az imaginárius egység = h 2π - a módosított Planckállandó (h = 6, Js) Az állapotfüggvény normálási feltétele: Ψ(r, t) 2 dv = 1 (V ) 7 / 41

8 A zikai mennyiségek,mint operátorok A klasszikus zikában minden zikai mennyiség kifejezhetõ a klasszikus állapotot meghatározó két állapothatározóval, amelyek a koordináta és impulzus. 8 / 41

9 A zikai mennyiségek,mint operátorok A klasszikus zikában minden zikai mennyiség kifejezhetõ a klasszikus állapotot meghatározó két állapothatározóval, amelyek a koordináta és impulzus. A kvantumzikában a zikai mennyiségekhez speciális lineáris operátorokat rendelünk! 9 / 41

10 A zikai mennyiségek,mint operátorok A klasszikus zikában minden zikai mennyiség kifejezhetõ a klasszikus állapotot meghatározó két állapothatározóval, amelyek a koordináta és impulzus. A kvantumzikában a zikai mennyiségekhez speciális lineáris operátorokat rendelünk! Az alapvetõ hozzárendelések: p k ˆp k = i x k x k ˆx k = x k. 10 / 41

11 A zikai mennyiségek,mint operátorok A klasszikus zikában minden zikai mennyiség kifejezhetõ a klasszikus állapotot meghatározó két állapothatározóval, amelyek a koordináta és impulzus. A kvantumzikában a zikai mennyiségekhez speciális lineáris operátorokat rendelünk! Az alapvetõ hozzárendelések: p k ˆp k = i x k x k ˆx k = x k. Lássuk, hogyan képezzük egy tömegpont Hamiltonoperátorát! 11 / 41

12 Potenciáltérben mozgó tömegpont Hamiltonoperátora A tömegpont összenergiája, mint az impulzus és koordináta függvénye nem más, mint a Hamiltonfüggvény. 12 / 41

13 Potenciáltérben mozgó tömegpont Hamiltonoperátora A tömegpont összenergiája, mint az impulzus és koordináta függvénye nem más, mint a Hamiltonfüggvény. H(p, r) = p.p 2m + V (r) = 1 2m (p2 x + p 2 y + p 2 z ) + V (x, y, z) 13 / 41

14 Potenciáltérben mozgó tömegpont Hamiltonoperátora A tömegpont összenergiája, mint az impulzus és koordináta függvénye nem más, mint a Hamiltonfüggvény. H(p, r) = p.p 2m + V (r) = 1 2m (p2 x + p 2 y + p 2 z ) + V (x, y, z) Térjünk át a Hamiltonoperátorra: Ĥ = 1 2m (ˆp x ˆp x + ˆp y ˆp y + ˆp z ˆp z ) + V (x, y, z). Ĥ = i 2 2 2m ( 2 x y + 2 ) + V (x, y, z). 2 z 2 Ĥ = 2 + V (x, y, z). 2m 14 / 41

15 Heisenbergféle határozatlansági reláció ˆx(ˆp x Ψ(x)) = x.( i Ψ(x) ) = i x Ψ(x) x x 15 / 41

16 Heisenbergféle határozatlansági reláció ˆx(ˆp x Ψ(x)) = x.( i Ψ(x) ) = i x Ψ(x) x x ˆp x (ˆxΨ(x)) = i x Ψ(x) (x.ψ(x)) = i (Ψ(x) + x ) x 16 / 41

17 Heisenbergféle határozatlansági reláció ˆx(ˆp x Ψ(x)) = x.( i Ψ(x) ) = i x Ψ(x) x x ˆp x (ˆxΨ(x)) = i x Ψ(x) (x.ψ(x)) = i (Ψ(x) + x ) x ˆx(ˆp x Ψ(x)) ˆp x (ˆxΨ(x)) 17 / 41

18 Heisenbergféle határozatlansági reláció ˆx(ˆp x Ψ(x)) = x.( i Ψ(x) ) = i x Ψ(x) x x ˆp x (ˆxΨ(x)) = i x Ψ(x) (x.ψ(x)) = i (Ψ(x) + x ) x ˆx(ˆp x Ψ(x)) ˆp x (ˆxΨ(x)) ˆx ˆp x ˆp x ˆx = [ˆx, ˆp x ] = i W.Heisenberg 18 / 41

19 Heisenbergféle határozatlansági reláció ˆx(ˆp x Ψ(x)) = x.( i Ψ(x) ) = i x Ψ(x) x x ˆp x (ˆxΨ(x)) = i x Ψ(x) (x.ψ(x)) = i (Ψ(x) + x ) x ˆx(ˆp x Ψ(x)) ˆp x (ˆxΨ(x)) ˆx ˆp x ˆp x ˆx = [ˆx, ˆp x ] = i W.Heisenberg [ˆx, ˆpx ] operátorok kommutátora 19 / 41

20 Heisenbergféle határozatlansági reláció ˆx(ˆp x Ψ(x)) = x.( i Ψ(x) ) = i x Ψ(x) x x ˆp x (ˆxΨ(x)) = i x Ψ(x) (x.ψ(x)) = i (Ψ(x) + x ) x ˆx(ˆp x Ψ(x)) ˆp x (ˆxΨ(x)) ˆx ˆp x ˆp x ˆx = [ˆx, ˆp x ] = i W.Heisenberg [ˆx, ˆpx ] operátorok kommutátora Azokat az operátorokat, amelyek kommutátora 0, kompatibilis operátoroknak nevezzük! 20 / 41

21 Stacionér megoldások A potenciáltérben mozgó tömegpont Schrödinger - egyenlete idõfüggetlen potenciál esetében: 2 y, z, t) Ψ(x, y, z, t) + V (x, y, z).ψ(x, y, z, t) = i Ψ(x, 2m t 21 / 41

22 Stacionér megoldások A potenciáltérben mozgó tömegpont Schrödinger - egyenlete idõfüggetlen potenciál esetében: 2 y, z, t) Ψ(x, y, z, t) + V (x, y, z).ψ(x, y, z, t) = i Ψ(x, 2m t Keressük a megoldást e i E t ψ(x, y, z) alakban. Ezt behelyettesítve, majd egyszerûsítve: 2 2m 2m E ( V (x, y, z))e i t ψ(x, y, z) = e i E t Eψ(x, y, z) 2 ψ(x, y, z) = k 2 ψ(x, y, z) k 2 = 2m(E V (x,y,z)) 2 22 / 41

23 Stacionér megoldások A potenciáltérben mozgó tömegpont Schrödinger - egyenlete idõfüggetlen potenciál esetében: 2 y, z, t) Ψ(x, y, z, t) + V (x, y, z).ψ(x, y, z, t) = i Ψ(x, 2m t Keressük a megoldást e i E t ψ(x, y, z) alakban. Ezt behelyettesítve, majd egyszerûsítve: 2 2m 2m E ( V (x, y, z))e i t ψ(x, y, z) = e i E t Eψ(x, y, z) 2 ψ(x, y, z) = k 2 ψ(x, y, z) k 2 = 2m(E V (x,y,z)) 2 23 / 41

24 Dobozba zárt elektron Elektron egy dimenzióban, ha mozgását egy a hosszúságú szakaszra korlátozzuk. 24 / 41

25 Dobozba zárt elektron Elektron egy dimenzióban, ha mozgását egy a hosszúságú szakaszra korlátozzuk. Az elektron idõben állandósult állapotát leíró állapotfüggvény tértõl függõ ψ(x) része eleget kell tegyen az állóhullám-egyenletnek. 25 / 41

26 Dobozba zárt elektron Elektron egy dimenzióban, ha mozgását egy a hosszúságú szakaszra korlátozzuk. Az elektron idõben állandósult állapotát leíró állapotfüggvény tértõl függõ ψ(x) része eleget kell tegyen az állóhullám-egyenletnek. d 2 ψ(x) dx 2 = k 2 ψ(x) 26 / 41

27 Dobozba zárt elektron Elektron egy dimenzióban, ha mozgását egy a hosszúságú szakaszra korlátozzuk. Az elektron idõben állandósult állapotát leíró állapotfüggvény tértõl függõ ψ(x) része eleget kell tegyen az állóhullám-egyenletnek. d 2 ψ(x) dx 2 = k 2 ψ(x) A megoldás a dobozon kívül azonosan nulla kell legyen, hiszen végtelen nagy taszító potenciált tettünk fel a doboz falainál az elektron nem hagyhatja el a dobozt! 27 / 41

28 Dobozba zárt elektron Elektron egy dimenzióban, ha mozgását egy a hosszúságú szakaszra korlátozzuk. Az elektron idõben állandósult állapotát leíró állapotfüggvény tértõl függõ ψ(x) része eleget kell tegyen az állóhullám-egyenletnek. d 2 ψ(x) dx 2 = k 2 ψ(x) A megoldás a dobozon kívül azonosan nulla kell legyen, hiszen végtelen nagy taszító potenciált tettünk fel a doboz falainál az elektron nem hagyhatja el a dobozt! A dobozon belül az elektron viszont szabadon mozoghat, azaz itt V (x, y, z) = / 41

29 Dobozba zárt elektron Elektron egy dimenzióban, ha mozgását egy a hosszúságú szakaszra korlátozzuk. Az elektron idõben állandósult állapotát leíró állapotfüggvény tértõl függõ ψ(x) része eleget kell tegyen az állóhullám-egyenletnek. d 2 ψ(x) dx 2 = k 2 ψ(x) A megoldás a dobozon kívül azonosan nulla kell legyen, hiszen végtelen nagy taszító potenciált tettünk fel a doboz falainál az elektron nem hagyhatja el a dobozt! A dobozon belül az elektron viszont szabadon mozoghat, azaz itt V (x, y, z) = / 41

30 Az egyenletet két peremfeltétel mellett kell megoldani, amelyek a ψ(0) = 0 és ψ(a) = / 41

31 Az egyenletet két peremfeltétel mellett kell megoldani, amelyek a ψ(0) = 0 és ψ(a) = 0. Az egyenlet megegyezik a harmonikus rezgéseket meghatározó egyenlettel, csak benne az idõváltozó helyett helyváltozó szerepel. Megoldása harmonikus függvény. 31 / 41

32 Az egyenletet két peremfeltétel mellett kell megoldani, amelyek a ψ(0) = 0 és ψ(a) = 0. Az egyenlet megegyezik a harmonikus rezgéseket meghatározó egyenlettel, csak benne az idõváltozó helyett helyváltozó szerepel. Megoldása harmonikus függvény. ψ(x) = A sin (kx + φ) 32 / 41

33 Az egyenletet két peremfeltétel mellett kell megoldani, amelyek a ψ(0) = 0 és ψ(a) = 0. Az egyenlet megegyezik a harmonikus rezgéseket meghatározó egyenlettel, csak benne az idõváltozó helyett helyváltozó szerepel. Megoldása harmonikus függvény. ψ(x) = A sin (kx + φ) Figyelembe véve a peremfeltételeket: φ = 0 és k = nπ a, ahol n = 1, 2, 3, / 41

34 Az egyenletet két peremfeltétel mellett kell megoldani, amelyek a ψ(0) = 0 és ψ(a) = 0. Az egyenlet megegyezik a harmonikus rezgéseket meghatározó egyenlettel, csak benne az idõváltozó helyett helyváltozó szerepel. Megoldása harmonikus függvény. ψ(x) = A sin (kx + φ) Figyelembe véve a peremfeltételeket: φ = 0 és k = nπ a, ahol n = 1, 2, 3,... Mivel: k 2 = 2mE = n2 π 2 2 a, 2 34 / 41

35 Az egyenletet két peremfeltétel mellett kell megoldani, amelyek a ψ(0) = 0 és ψ(a) = 0. Az egyenlet megegyezik a harmonikus rezgéseket meghatározó egyenlettel, csak benne az idõváltozó helyett helyváltozó szerepel. Megoldása harmonikus függvény. ψ(x) = A sin (kx + φ) Figyelembe véve a peremfeltételeket: φ = 0 és k = nπ a, ahol n = 1, 2, 3,... Mivel: k 2 = 2mE = n2 π 2 2 a, 2 Így: E n = 2 π 2 2ma 2 n2 35 / 41

36 Mivel: a 0 ψ(x) 2 dx = / 41

37 Mivel: Ennek alapján A = 2 a. a 0 ψ(x) 2 dx = / 41

38 Mivel: Ennek alapján A = 2 a. a 0 ψ(x) 2 dx = 1. ψ(x) = 2 a sin nπ a x 38 / 41

39 Mivel: Ennek alapján A = 2 a. a 0 ψ(x) 2 dx = 1. ψ(x) = 2 a sin nπ a x Általánosan igaz, ha egy mikroobjektum mozgását térben korlátozzuk, akkor energiája csak diszkrét energiaértékeket vehet fel. Vegyük észre, hogy a rendszer legkisebb energiája nem nulla, hanem valamilyen pozitív érték. Zérusponti energia. 39 / 41

40 40 / 41

41 Köszönöm a gyelmet! 41 / 41