Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban."

Átírás

1 Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból eltér a klasszikus mechanikában megismert viselkedéstől. Ennek következtében a kvantumos részecskékből álló rendszerek statisztikája is új tulajdonságokat mutat. Egyik, már használt tulajdonság az, hogy a rendszer megengedett állapotai nem folytonos, hanem diszkrét halmazt alkothatnak. Számos olyan mennyiség létezik (pl. energia, impulzusnyomaték) amelyre úgy az egy részecskére, mint az egész rendszerre vett érték kvantált lehet. A kvantumos rendszerek ezen tulajdonságait már használtuk az Einstein illetve Debye fajhőelméleteknél és a paramágneses anyagok kvantumos leírásánál. Az azonos részecskékből álló kvantummechanikai rendszereknek azonban van egy olyan tulajdonsága, amit eddig csak megközelítő (fenomenologus módon) vettünk figyelembe. Ez az azonos kvantummechanikai részecskék megkülönböztethetetlensége. Ennek figyelembe vétele nagyon fontos a sok-részecske rendszer statisztikai tulajdonságaihoz, és amint a következőkben meglátjuk a statisztikai tulajdonságokat lényegesen befolyásolhatja. Egy első probálkozásunk a részecskék megkülönböztethetetlenségének a figyelembe vételére a Gibbs paradoxon feloldása során volt. A Gibbs paradoxont úgy oldottuk fel, hogy egy nemkölcsönható N azonos részecskáből álló kanónikus rendszer állapotösszegét a: Z = Z N N! () alakban írtuk, ahol Z jelöli egy részecske állapotösszegét. Ez egy klasszikus megközelítés a részecskék megkülönböztethetetlenségének a figyelembe vételére. Ha az azonos kvantummechanikai részecskék statisztikáját rigurozusan akarjuk tárgyalni, lényeges figyelembe venni a kvantummechanikai részecskék spinjét, és az innen adódó kétféle jelleget. A kvantummechanikai részecskék a spin kvanantumszámuk alapján két nagy csoportra oszthatók. Azon részecskéket amelyeknek a spin-kvantumszámuk egész (s=0,, 2...) bozonoknak nevezzük. Ezen részecskékből álló rendszerre az jellemző, hogy a teljes hullámfüggvény szimmetrikus kell legyen a részecskék felcserélésére. Azon részecskéket amelyeknek a spin-kvantumszámuk félegész (s=/2, 3/2, 5/2...) fermionoknak nevezzük. Azonos fermionokból álló rendszerre az jellemző, hogy a rendszer teljes hullámfüggvénye antiszimetrikus kell legyen két részecske felcserélésére. Az azonos részecskékből álló rendszerek teljes hullámfüggvényének a különböző szimmetriája lényeges következményekkel jár. A fermionokból álló rendszerekre érvényes lesz az úgynevezett Pauli-féle kizárási elv, amelynek értelmében ha egy azonos részecskékből álló nem-kölcsönható rendszerünk van, két részecske nem lehet ugyanabban az egyrészecske kvantumállapotban. Az egyrészecske kvantumállapotok azon állapotok amelyekben egy szabad részecske lehet a megadott térben. A Pauli-féle kizárási elvet úgy is megfogalmazhatjuk, hogy két azonos fermionnak nem lehet ugyanaz az állapotát jellemző összes kvantumszáma. Bozonokra a Pauli féle kizárási elv nem vonatkozik, és egy nemkölcsönható azonos bozonokból álló rendszerre akárhány bozon tartozkodhat egy adott egyrészecske-állapotban. Ezen különböző tulajdonságai a bozon illetve fermion rendszereknek, lényeges különbséget eredményez a rájuk vonatkozó statisztikában. Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban. Tekintsünk a következőkben egy egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantummechanikai rendszert makrókanónikus sokaságban. Rögzített tehát a rendszer hőmérséklete (T), térfogata (V) és a

2 rendszer kémiai potenciálja ( ). Amint az előbbiekben megtanultuk a lényeges termodinamikai potenciál a makrókanonikus potencial ( ), amely meghatározható a makrókanómikus állapotösszeg ( Z ) ismeretében ahol: = kt ln Z, (2) Z = exp[ ]. (3) { A fenti képletben a makrókanónikus rendszer lehetséges mikróállapotait jelőli. Ha nem kölcsönható részecskékből álló rendszerünk van, a részecskék a lehetséges egyrészecske állapotok valamelyikében találhatók. Jelőljük a lehetséges egyrészecske állapotok energiáit -val ( a lehetséges egyrészecske kvantum-állapotokat jelöli). Mivel a részecskék egymással nem hatnak kölcsön, minden részecske valamelyik egyrészecske állapotba lesz. A következőkben arra keressük a választ, hogy termodinamikai egyensúlyban átlagosan hány részecske tartozkodik egy adott állapotban. Jelölje a továbbiakban ezt az átlagos részecskeszámot, és ezt probáljuk a következőkben meghatározni. A klasszikus közelítés. A Boltzmann statisztika A klasszikus közelítés abban áll, hogy az ()-es fenomenologikus képletet használjuk. Ennek értelmében, és a makrókanónikus sokaság általános tárgyalásánál felírt képletek segítségével írhatjuk, hogy: Z = z N Z N, T,V = z Z N N N! = z Z N N! =exp[ z Z ]. (4) Itt z a rendszer fugacitását jelöli ( z=e ), és Z(N,V,T) a kanónikus állapotösszeg mikor N darab részecske van a rendszerben. A Z egyrészecskére felírt állapotösszeg: Z T, V = exp[ ]. (5) A rendszerben levő átlagos részecskeszám kiszámítható mint: N =z z ln[ Z ]. (6) Felhasználva a (4)-es képletet, azonnal adódik: N =z Z = z exp[ ]= exp[ ]. (7) Mivel N =, azonnal adódik, hogy az N átlag felírható úgy is mint: N =. (8) { Összehasonlítva a (7) és (8) kifejezéseket azonnal, következik, hogy:

3 =exp[ ] - (9) ami a keresett összefüggés a klasszikus közelítésünkben. Ezen egyrészecske állapot elfoglalási statisztikát Boltzmann statisztikának nevezzük. Fermionok esete. A Fermi-Dirac statisztika. Fermionok esetén is felírható, hogy: Z = z N Z N,T,V = z N { =N exp[ ]. (0) ahol { = N az egyrészecske állapotok összes lehetséges elfoglalási lehetőségeit jelőli (az összes lehetséges megválasztások, melyekre igaz, hogy: = N ). Itt figyelembe vettük még azt is, hogy a rendszer összenergiája egyenlő az egyrészecske állapotokon levő részecskék egyrészecske energiáinak az összegével. Azonnal írható, hogy: Z = { =N exp[ ]exp[ ]= { =N Az exponenciális függvény tulajdonságait felhasználva ez tovább írható: exp[ ]. () Z = { =N exp[ ]. (2) A fenti képletben levő első szumma és a második feltételes szumma, ekvivalens feltétel nélküli szummákkal az összes lehetséges elfoglalási számokra: { =N {n Ezt felhasználva (2) tovább írható: (3) {n 2 {n i Z = {n exp[ ] {n 2 {n i, Z = {n exp[ ] n exp[ 2 ] n 2...exp[ i ] n i..., {n 2 {n i Z = exp[ ] n exp[ 2 ] n 2... {n {n 2 {n i exp[ i ] n i...= exp[ ] {. (4) Az így kapott makrókanónikus állapotösszeg összefüggés igaz úgy a fermionok mint a bozonok esetén, ugyanis sehol nem használtuk fel, hogy milyen tipusú részecskéink vannak. Rögzítsük most le, hogy fermionok esetét vizsgáljuk. Ezen esetben az egyrészecske kvantum állapotokon a Pauli-féle kizárási

4 elv értelmében maximum részecske tartozkodhat. Így ezen esetben az elfoglalási számok lehetséges értékei 0 vagy ( {0, ). A makrókanónikus állapotösszegre tehát (4) értelmében írhatjuk, hogy: Z = exp[ ] = { exp[ ]= { z e [ ]. (5) =0 A továbbiakban hasonlóan járunk el mint a Boltzmann statisztika esetén: N =z z ln[ Z ]=z z ln[ z e ]= z e. (6) Felhasználva megint, hogy N = {, azonnal következik a fermionokra érvényes = e [ ], (7) képlet. A fenti összefüggés az egyrészecske állapotokon való fermion eloszlást szolgáltatja nemkölcsönható fermion rendszer esetén. A fenti eloszlást Fermi-Dirac eloszlásnak nevezzük. Vizsgáljuk meg az eloszlást néhány határesetben. Tekintsük elöször a T=0 ( ) esetet. A nevezőben levő exponenciális vagy nullához vagy végtelenhez tart, annak függvényében, hogy az exponens előjele pozitív vagy negatív. Ha az exponens negatív, és ezáltal =, ha azonban az exponens pozitív, és így =0. Nulla hőmérsékleten azon egyrészecske állapotok melyeknek energiája kisebb mint a kémiai potenciál teljesen betöltöttek, azok amelyeknek energiája nagyobb mint a kémiai potenciál elfoglalatlanok. A T=0 esetben ezen állapot betöltöttségeket az. ábrán fekete vonallal ábrázoltuk. T 0 hőmérsékleten az állapotok betöltöttségét az. ábrán piros vonallal szemléltetjük. Minnél nagyobb a T hőmérséklet annál laposabb (kevésbé meredek) görbét kapunk.. Ábra A Fermi-Dirac eloszlásfüggvény alakja T=0 és T>0 hőmérsékleteken. Könnyen belátható az is, hogy fermionok esetén a nagy energiájú egyrészecske állapotok átlagos betöltöttségét a T>0 esetben jól leírja a Boltzmann eloszlás ugyanis, ha a (7) összefüggésben az exponenciális tag jóval nagyobb mint, és ezáltal a Fermi-Dirac eloszlás átmegy a Boltzmann eloszlásba.

5 Bozonok esete. A Bose-Einstein statisztika. Az általánosan érvényes (4)-es képletből indulunk ki. A bozonok esetén az egyrészecske állapotok elfoglalási számára semmilyen kitételünk, nincs, így =0,,2,... n,... tetszőleges természetes szám lehet: Z = exp[ ] =0. (8) A fenti képletben levő összeg egy mértani haladvány. Annak, feltétele, hogy ez az összeg véges legyen, (a termodinamika módszerei alkalmazhatók legyenek) az, hogy az exponenciális alatt levő mennyiség negatív legyen. Bozon rendszer esetén, tehát :. (9) Ilyen feltételek mellett a mértani haladvány kiszámítható: n=0 exp[ ] n =. (20) e Az átlagos részecskeszám megint kiszámítható mint: N =z z ln[ Z ]=z z ln { A deriválás elvégzése után azonnal adódik: =z z e z ln z e. (9) N = z e ze = e. (20) Felhasználva megint, hogy N = {, a keresett eloszlás = e, (2) ami megadja nemkölcsönható azonos bozonokból álló rendszer esetén az egyrészecske állapotokban található átlagos bozon számot. Ezt az eloszlást Bose-Eisntein eloszlásnak nevezzük. Akárcsak a Fermi Dirac eloszlás esetén itt is igaz, hogy a nagy energiájú egyrészecske állapotok átlagos betöltöttségét a T>0 esetben a Boltzmann eloszlás jól megközelíti. Ha ugyanis a (2) összefüggésben az exponenciális tag sokkal nagyobb mint, és ezáltal a Bose-Einstein eloszlás jó közelítéssel a Boltzmann eloszlást adja.

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Fermi Dirac statisztika elemei

Fermi Dirac statisztika elemei Fermi Dirac statisztika elemei A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra érvényes klasszikus statisztika

Részletesebben

AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA. H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat.

AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA. H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat. AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA Mágneses dipólmomentum: m H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat. M = m H sinϕ (Elektromos töltés, q: monopólus

Részletesebben

A spin. November 28, 2006

A spin. November 28, 2006 A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,

Részletesebben

Szilárd testek fajhője

Szilárd testek fajhője Szilárd testek fajhője A kristályos szilárd testeket sok vonatkozásukban úgy tekinthető k, mint egy háromdimenziós rács csúcspontjaiban elhelyezked ő molekulák sokasága. Az ideális gázzal ellentétben ezen

Részletesebben

Radiokémia vegyész MSc radiokémia szakirány Kónya József, M. Nagy Noémi: Izotópia I és II. Debreceni Egyetemi Kiadó, 2007, 2008.

Radiokémia vegyész MSc radiokémia szakirány Kónya József, M. Nagy Noémi: Izotópia I és II. Debreceni Egyetemi Kiadó, 2007, 2008. Radiokémia vegyész MSc radiokémia szakirány Kónya József, M. Nagy Noémi: Izotópia I és II. Debreceni Egyetemi Kiadó, 2007, 2008. Kiss István,Vértes Attila: Magkémia (Akadémiai Kiadó) Nagy Lajos György,

Részletesebben

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor Az egydimenziós harmonikus oszcillátor tárgyalása az általános formalizmus keretében November 7, 006 Példaképpen itt megmutatjuk, hogyan lehet a kvantumos egydimenziós harmonikus oszcillátort tárgyalni

Részletesebben

I. posztulátum: A magukra hagyott makroszkopikus rendszerek kellően hosszú idő után a termodinamikai egyensúly állapotába kerülnek.

I. posztulátum: A magukra hagyott makroszkopikus rendszerek kellően hosszú idő után a termodinamikai egyensúly állapotába kerülnek. 1 / 10 A TételWiki wikiből 1 Az egyensúlyi statisztikus fizika feltevései 2 A Gibbs féle sokaságfogalom 3 Az entrópia 4 A mikrokanonikus sokaság 5 A hőmérséklet 6 A nyomás 7 A kémiai potenciál 8 Fundamentális

Részletesebben

A TANTÁRGY ADATLAPJA

A TANTÁRGY ADATLAPJA A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM 1.2 Kar FIZIKA 1.3 Intézet A MAGYAR TAGOZAT FIZIKA INTÉZETE 1.4 Szakterület FIZIKA 1.5 Képzési

Részletesebben

January 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,

January 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r, Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás

Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Démon algoritmus az ideális gázra időátlag fizikai mennyiségek átlagértéke sokaságátlag E, V, N pl. molekuláris dinamika Monte

Részletesebben

Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv

Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Zsigmond Anna Julia Fizika MSc I. Mérés vezet je: Horváth Ákos Mérés dátuma: 2010. október 21. Leadás dátuma: 2010. november 8. 1 1. Bevezetés A mérés

Részletesebben

Szilárdtestek sávelmélete. Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján

Szilárdtestek sávelmélete. Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján Szilárdtestek sávelmélete Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra

Részletesebben

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Termodinamika. Belső energia

Termodinamika. Belső energia Termodinamika Belső energia Egy rendszer belső energiáját az alkotó részecskék mozgási energiájának és a részecskék közötti kölcsönhatásból származó potenciális energiák teljes összegeként határozhatjuk

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

összetevője változatlan marad, a falra merőleges összetevő iránya ellenkezőjére változik, miközben nagysága ugyanakkora marad.

összetevője változatlan marad, a falra merőleges összetevő iránya ellenkezőjére változik, miközben nagysága ugyanakkora marad. A termodinamika 2. főtétele kis rendszerekben Osváth Szabolcs Semmelweis Egyetem Statisztikus sokaságok Nyomás Nyomás: a tartály falával ütköző molekulák, a falra erőt fejtenek ki Az ütközésben a részecske

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Szilárd testek sugárzása

Szilárd testek sugárzása A fény keletkezése Szilárd testek sugárzása A szilárd test melegítés hatására fényt bocsát ki A sugárzás forrása a közelítőleg termikus egyensúlyban lévő kibocsátó test atomi részecskéinek véletlenszerű

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

BŐVÍTETT TEMATIKA a Kondenzált anyagok fizikája c. tárgyhoz

BŐVÍTETT TEMATIKA a Kondenzált anyagok fizikája c. tárgyhoz BŐVÍTETT TEMATIKA a Kondenzált anyagok fizikája c. tárgyhoz Az anyag szerveződési formái Ebben a részben bemutatjuk az anyag elemi építőköveinek sokszerű kapcsolódási formáit, amelyek makroszkopikusan

Részletesebben

Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén

Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert

Részletesebben

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 3. (b) Kereszthatások Utolsó módosítás: 2013. április 1. Vezetési együtthatók fémekben (1) 1 Az elektrongáz hővezetési együtthatója A levezetésben alkalmazott feltételek: 1. Minden elektron ugyanazzal

Részletesebben

dinamikai tulajdonságai

dinamikai tulajdonságai Szilárdtest rácsok statikus és dinamikai tulajdonságai Szilárdtestek osztályozása kötéstípusok szerint Kötések eredete: elektronszerkezet k t ionok (atomtörzsek) tö Coulomb- elektronok kölcsönhatás lokalizáltak

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Wolfgang Ernst Pauli életútja. Gáti József

Wolfgang Ernst Pauli életútja. Gáti József Wolfgang Ernst Pauli életútja Gáti József Wolfgang Ernst Pauli 1900. április 25-én Bécsben született. 2 évesen Apja Wolfgang Joseph Pauli orvos és biokémia professzor, anyja Berta Camilla Schütz volt.

Részletesebben

2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság

2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság 2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság Utolsó módosítás: 2015. március 10. Kezdeti érték nélküli problémák (1) 1 A fél-végtelen közeg a Az x=0 pontban a tartományban helyezkedik el.

Részletesebben

Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje

Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....

Részletesebben

A TételWiki wikiből. Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

A TételWiki wikiből. Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert: 1 / 12 A TételWiki wikiből 1 Ritka gázok állapotegyenlete 2 Viriál sorfejtés 3 Van der Waals gázok 4 Ising-modell 4.1 Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*) 4.2 Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)

Részletesebben

Megjegyzések (észrevételek) a szabad energia és a szabad entalpia fogalmához

Megjegyzések (észrevételek) a szabad energia és a szabad entalpia fogalmához Dr. Pósa Mihály Megjegyzések (észrevételek) a szabad energia és a szabad entalpia fogalmához 1. Bevezetés Shillady Don professzor az Amerikai Kémiai Szövetség egyik tanácskozásán felhívta a figyelmet a

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom, Valós függvények (L Hospital szabály, Taylor-polinom, függvények közelítése) . Tegyük fel, hogy f és g differenciálható az (a, p) (p, b) halmazon, ahol a < b, g-nek és g -nek nincs gyöke ebben a halmazban.

Részletesebben

Kvantummechanika. - dióhéjban - Kasza Gábor július 5. - Berze TÖK

Kvantummechanika. - dióhéjban - Kasza Gábor július 5. - Berze TÖK Kvantummechanika - dióhéjban - Kasza Gábor 2016. július 5. - Berze TÖK 1 / 27 Mire fogunk választ kapni az előadásból? Miért KVANTUMmechanika? Miért részecske? Miért hullám? Mit mond a Schrödinger-egyenlet?

Részletesebben

Termodinamikai bevezető

Termodinamikai bevezető Termodinamikai bevezető Alapfogalmak Termodinamikai rendszer: Az univerzumnak az a részhalmaza, amit egy termodinamikai vizsgálat során vizsgálunk. Termodinamikai környezet: Az univerzumnak a rendszeren

Részletesebben

Magszerkezet modellek. Folyadékcsepp modell

Magszerkezet modellek. Folyadékcsepp modell Magszerkezet modellek Folyadékcsepp modell Az atommag összetevői (emlékeztető) atommag Z proton + (A-Z) neutron (nukleonok) szorosan kötve Állapot leírása: kvantummechanika + kölcsönhatások Nem relativisztikus

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Termodinamika (Hőtan)

Termodinamika (Hőtan) Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi

Részletesebben

Axion sötét anyag. Katz Sándor. ELTE Elméleti Fizikai Tanszék

Axion sötét anyag. Katz Sándor. ELTE Elméleti Fizikai Tanszék Az axion mint sötét anyag ELTE Elméleti Fizikai Tanszék Borsányi Sz., Fodor Z., J. Günther, K-H. Kampert, T. Kawanai, Kovács T., S.W. Mages, Pásztor A., Pittler F., J. Redondo, A. Ringwald, Szabó K. Nature

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

A Relativisztikus kvantummechanika alapjai

A Relativisztikus kvantummechanika alapjai A Relativisztikus kvantummechanika alapjai January 25, 2005 A kvantummechanika Schrödinger egyenletének a felírása után azonnal kiderül, hogy ez az egyenlet nem relativisztikusan kovariáns. (Aránylag könnyen

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A

Részletesebben

Fizikai kémia Részecskék mágneses térben, ESR spektroszkópia. Részecskék mágneses térben. Részecskék mágneses térben

Fizikai kémia Részecskék mágneses térben, ESR spektroszkópia. Részecskék mágneses térben. Részecskék mágneses térben 06.08.. Fizikai kémia. 3. Részecskék mágneses térben, ESR spektroszkópia Dr. Berkesi Ottó SZTE Fizikai Kémiai és Anyagtudományi Tanszéke 05 Részecskék mágneses térben A részecskék mágneses térben ugyanúgy

Részletesebben

A TERMODINAMIKA I. AXIÓMÁJA. Egyszerű rendszerek egyensúlya. Első észrevétel: egyszerű rendszerekről beszélünk.

A TERMODINAMIKA I. AXIÓMÁJA. Egyszerű rendszerek egyensúlya. Első észrevétel: egyszerű rendszerekről beszélünk. A TERMODINAMIKA I. AXIÓMÁJA Egyszerű rendszerek egyensúlya Első észrevétel: egyszerű rendszerekről beszélünk. Második észrevétel: egyensúlyban lévő egyszerű rendszerekről beszélünk. Mi is tehát az egyensúly?

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Stern Gerlach kísérlet. Készítette: Kiss Éva

Stern Gerlach kísérlet. Készítette: Kiss Éva Stern Gerlach kísérlet Készítette: Kiss Éva Történelmi áttekintés 1890. Thomson-féle atommodell ( mazsolás puding ) 1909-1911. Rutherford modell (bolygó hasonlat) Bohr-féle atommodell Frank-Hertz kísérlet

Részletesebben

2014. november Dr. Vincze Szilvia

2014. november Dr. Vincze Szilvia 24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Reakciókinetika és katalízis

Reakciókinetika és katalízis Reakciókinetika és katalízis k 4. előadás: 1/14 Különbségek a gázfázisú és az oldatreakciók között: 1 Reaktáns molekulák által betöltött térfogat az oldatreakciónál jóval nagyobb. Nincs akadálytalan mozgás.

Részletesebben

Hőtan I. főtétele tesztek

Hőtan I. főtétele tesztek Hőtan I. főtétele tesztek. álassza ki a hamis állítást! a) A termodinamika I. főtétele a belső energia változása, a hőmennyiség és a munka között állaít meg összefüggést. b) A termodinamika I. főtétele

Részletesebben

Matematika B4 VIII. gyakorlat megoldása

Matematika B4 VIII. gyakorlat megoldása Matematika B4 VIII. gyakorlat megoldása 5.április 7.. Eloszlás- és sűrűségfüggvény Ha az X egy folytonos valószínűségi változó, akkor X-et jól jellemzi az eloszlás illetve a sűrűségfüggvénye. Az eloszlásfüggvény

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

Szilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t

Szilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t Szilárdtestek elektronszerkezete Kvantummechanikai leírás Ismétlés: Schrödinger egyenlet, hullámfüggvény, hidrogén-atom, spin, Pauli-elv, periódusos rendszer 2 Szilárdtestek egyelektron-modellje a magok

Részletesebben

Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei

Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei Ideális gázok részecske-modellje (kinetikus gázmodell) Az ideális gáz apró pontszerű részecskékből áll, amelyek állandó, rendezetlen mozgásban vannak.

Részletesebben

Egy részecske mozgási energiája: v 2 3 = k T, ahol T a gáz hőmérséklete Kelvinben 2 2 (k = 1, J/K Boltzmann-állandó) Tehát a gáz hőmérséklete

Egy részecske mozgási energiája: v 2 3 = k T, ahol T a gáz hőmérséklete Kelvinben 2 2 (k = 1, J/K Boltzmann-állandó) Tehát a gáz hőmérséklete Hőtan III. Ideális gázok részecske-modellje (kinetikus gázmodell) Az ideális gáz apró pontszerű részecskékből áll, amelyek állandó, rendezetlen mozgásban vannak. Rugalmasan ütköznek egymással és a tartály

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Modern Fizika Labor. 2. Elemi töltés meghatározása

Modern Fizika Labor. 2. Elemi töltés meghatározása Modern Fizika Labor Fizika BSC A mérés dátuma: 2011.09.27. A mérés száma és címe: 2. Elemi töltés meghatározása Értékelés: A beadás dátuma: 2011.10.11. A mérést végezte: Kalas György Benjámin Németh Gergely

Részletesebben

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek 1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

A kémiai és az elektrokémiai potenciál

A kémiai és az elektrokémiai potenciál Dr. Báder Imre A kémiai és az elektrokémiai potenciál Anyagi rendszerben a termodinamikai egyensúly akkor állhat be, ha a rendszerben a megfelelő termodinamikai függvénynek minimuma van, vagyis a megváltozása

Részletesebben

Anyagtudomány: hagyományos szerkezeti anyagok és polimerek

Anyagtudomány: hagyományos szerkezeti anyagok és polimerek Anyagtudomány: hagyományos szerkezeti anyagok és polimerek Anyagok termikus tulajdonságai és egyedi jellegzetességei Fizikai Kémia és Anyagtudományi Tanszék BME Műanyag- és Gumiipari Laboratórium H ép.

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Közös minimum kérdések és Vizsgatételek a Fizika III tárgyhoz

Közös minimum kérdések és Vizsgatételek a Fizika III tárgyhoz Közös minimum kérdések és Vizsgatételek a Fizika III tárgyhoz 2005. Fizika C3 KÖZÖS MINIMUM KÉRDÉSEK Kvantummechanika 1. Rajzolja fel a fekete test sugárzását jellemző kísérleti görbéket T 1 < T 2 hőmérsékletek

Részletesebben

Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal

Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal Tóth Géza Max-Plank-Intitute für Quantenoptik, Garching, Németország Budapest, 2005. október 4. Motiváció Miért érdekes a kvantum-informatika? Alapvető problémák

Részletesebben

Atomok és molekulák elektronszerkezete

Atomok és molekulák elektronszerkezete Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Számelmélet Megoldások

Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,

Részletesebben

A kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről

A kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről A kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről Utolsó módosítás: 2016. május 4. 1 Előzmények Franck-Hertz-kísérlet (1) A Franck-Hertz-kísérlet vázlatos elrendezése: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/frhz.html

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

FIZIKA I. Ez egy gázos előadás lesz! (Ideális gázok hőtana) Dr. Seres István

FIZIKA I. Ez egy gázos előadás lesz! (Ideális gázok hőtana) Dr. Seres István Ez egy gázos előadás lesz! ( hőtana) Dr. Seres István Kinetikus gázelmélet gáztörvények Termodinamikai főtételek fft.szie.hu 2 Seres.Istvan@gek.szie.hu Kinetikus gázelmélet Az ideális gáz állapotjelzői:

Részletesebben

Elektrodinamika. Maxwell egyenletek: Kontinuitási egyenlet: div n v =0. div E =4 div B =0. rot E = rot B=

Elektrodinamika. Maxwell egyenletek: Kontinuitási egyenlet: div n v =0. div E =4 div B =0. rot E = rot B= Elektrodinamika Maxwell egyenletek: div E =4 div B =0 rot E = rot B= 1 B c t 1 E c t 4 c j Kontinuitási egyenlet: n t div n v =0 Vektoranalízis rot rot u=grad divu u rot grad =0 div rotu=0 udv= ud F V

Részletesebben

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31. Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető . Laboratóriumi gyakorlat A EMISZO. A gyakorlat célja A termisztorok működésének bemutatása, valamint főbb paramétereik meghatározása. Az ellenállás-hőmérséklet = f és feszültség-áram U = f ( I ) jelleggörbék

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval

Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval Stirling András stirling@chemres.hu Elméleti Kémiai Osztály Budapest Stirling A. (MTA Kémiai Kutatóközpont) Reakciómechanizmus szimulációból 2007.

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03 Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő

Részletesebben

A Cournot-féle duopólium

A Cournot-féle duopólium A Cournot-féle duopólium. Kínálati duopólium: két termelő állít elő termékeket. Verseny a termékmennyiségekkel 3. A piaci kereslet inverz függvénye: p a. Valamely ár mellett kialakuló keresletet két vállalat

Részletesebben

Evans-Searles fluktuációs tétel

Evans-Searles fluktuációs tétel Az idő folyásának iránya Evans-Searles fluktuációs tétel Osváth Szabolcs Semmelweis Egyetem a folyamatok iránya a termodinamikai második főtétele alapján Nincs olyan folyamat, amelynek egyetlen eredménye,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben