dinamikai tulajdonságai

Átírás

1 Szilárdtest rácsok statikus és dinamikai tulajdonságai

2 Szilárdtestek osztályozása kötéstípusok szerint Kötések eredete: elektronszerkezet k t ionok (atomtörzsek) tö Coulomb- elektronok kölcsönhatás lokalizáltak delokalizáltak Molekuláris kristályok Ionos kristályok Kovalens kristályok Fémek Kohéziós energia: egy atomnak a kristályból történő eltávolításához szükséges energia E koh =(E kristály (N-1)+E atom ) - E kristály (N) Néhány elem kohéziós energiája (ev): Fémek Átmeneti fémek Kovalens kristályok Molekuláris kristályok 2

3 Molekuláris kristályok pl. nemesgázok (Ne, Ar, Kr, Xe) zárthéjú, semleges atomok vagy molekulák nincs elektronkötés ill. közvetlen Coulomb kh. van der Walls kh. (polarizáció, vonzó) Lennard-Jones potenciál Ionos kristályok pl. NaCl, CsCl, CaF 2,ZnS,Al 2 O 3 pozitív ionok (kation, pl. alkáli fémek) és negatív ionok (anion, pl. halogén elemek) erős Coulomb kölcsönhatás Madelung energia két ion/elemi cella C: Madelung konstans a: rácsállandó ionok közötti taszítás (kvantummechanikai eredetű) A kristályrács energiája a rácsállandó függvényében: Egyensúly (stabilitás) feltétele: A kristály teljes energiája az egyensúlyi rácsállandónál 3

4 Kovalens kötésű kristályok félvezetők (Si, Ge, Ga, As), félvezető ötvözetek (GaAs, ZnS, ) és szigetelők (pl. fémoxidok CuO, FeO, MnO ) szomszédos atomtörzsekre kiterjedő elektronállapotok Kovalens kötés két azonos atom között: kötőállapot lazító állapot A kötő és lazítóállapotok energiája: hullámfüggvény elektronsűrűség Számolt elektronsűrűség kontúr Ge kristály egy síkjában: Fémes kötés alkáli fémek, átmeneti fémek az egész kristályra kiterjedő elektronállapotok a törzsionok elektrosztatikus terében (l. az Elektronszerkezet fejezetet) 4

5 Kristályrácsok dinamikája Az atomok (atomtörzsek) mozgását és annak következményeit vizsgáljuk Rácspozíciók: transzlációvektorok i=1,,n cellán belüli atomi pozíciók μ=1,,p egyensúlyi pozíció eltolásvektor A kristályrács energiája A potenciál sorfejtése Az egyensúly feltétele A potenciál második derivált mátrixa: Harmonikus közelítés 5

6 Az i-ik cell μ-ik atomjára ható erő Homogén eltolás esetén az erőhatás zérus: Newton II. törvénye az i-ik cell μ-ik atomjára: Az eltolásvektor Fourier-sorfejtése: Behelyettesítve a Newton II. egyenletbe: Dinamikus mátrix Sajátérték egyenlet: 6

7 A rezgések frekvenciáját meghatározó szekuláris egyenlet: A sajátfrekvenciákhoz tartozó polarizációvektorok: Célszerű kifejteni az eltolásvektorokat a polarizációvektorok szerint: normálkoordináták Behelyettesítve a Newton II. egyenletbe: Normálmódus (λ,q) amplitúdó fázis A kristályrács harmonikus rezgései 3Np számú ω λ (q) frekvenciájú normálmódusra oszthatók. A normálmódusok amplitúdóit és fázisait az eltolásvektorok és a sebességek kezdeti értékei rögzítik. A módusok frekvenciái 3p diszperziós ágat alkotnak, melyek a rács szimmetriái miatt lehetnek elfajultak. 7

8 Akusztikus és optikai rezgések Létezik tehát három diszperziós ág, melyek q =0 határesetben (nagy hullámhossz közelítés) zérus frekvenciával rendelkeznek. Ezek az akusztikus módusok. Többatomos cella, p>1, esetén 3p-3 diszperziós ág frekvenciája q =0 határesetben véges értékhez tart. Ezek az optikai ágak. Kétatomos elemi cellájú Si rezgési spektruma Hz) Frekvencia (1 Hullámszám (2π/a) 8

9 Hanghullámok terjedése szilárdtestekben nagy hullámhosszú akusztikus rezgések A dinamikus mátrix kis hullámszám (nagy hullámhossz) közelítésben már láttuk, hogy ez a tag eltűnik ez a tag is zérus ahol és Három normálmódus A hang frekvenciája lineárisan függ a hullámszámtól Hangsebesség: függ a terjedési iránytól Longitudinális hullám: a terjedés iránya párhuzamos a polarizációvektorral Transzverzális hullám: a terjedés iránya merőleges a polarizációvektorra (ezek a hanghullámok igen speciális esetei) 9

10 Szilárdtestek fajhője Klasszikus közelítés Normálkoordinátához konjugált impulzuskoordináta: Egy normálmódus energiája Az energia átlaga T hőmérsékleten: Equipartíciótétel A rácsrezgések által tárolt energia: Hőkapacitás Moláris fajhő Dulong-Petit szabály Néhány fém fajhőjének hőmérsékletfüggése: 10

11 Szilárdtestek fajhője Kvantumos közelítés Einstein model: azonos frekvenciájú oszcillátorok egy oszcillátor energiája T hőmérsékleten: Az összes oszcillátor energiája: Hőkapacitás Alacsony és magas hőmérsékleti határesetek: Túl gyors (exponenciális) csökkenés Visszaadja a klasszikus elmélet eredményét Különböző frekvenciájú kvantumoszcillátorok normálmódusonként: Minden módusban tetszőleges számú elemi gerjesztés (rácsrezgés kvantum) kelthető. Ezeket nevezzük fononoknak. (túl bonyolult modell) 11

12 Debye modell Szobahőmérséklet 300 K 10 mev akusztikus rezgések (fononok) Diszperziós reláció Longitudinális és transzverzális hangsebesség köbös kristályokban: kb Energia Az integrálás felső határa: q D Debye hullámszám A Debye hullámszám meghatározása q D : a BZ térfogatával megegyező térfogatú gömb sugara E(0): zérusponti energia Alacsony hőmérsékleti közelítés 12

13 Debye modell (folyt.) Átlagos hangsebesség Debye hőmérséklet, T D Fémekre: T D K Fajhő: 13

14 Néhány további megjegyzés: Olvadás A kitérések átlagosan összemérhetőek a rácsállandóval Lindemann kritérium az olvadási hőmérsékletre Hőtágulás Harmonikus közelítésben nem értelmezhető a hőtágulás A potenciál magasabb rendű sorfejtése (anharmonikus tagok) szükségesek Szilárdtestek rácsrezgéseinek közvetlen mérése Fényszórás: Brillouin- (akusztikus fononok) ill. Raman- (optikai fononok) szórás Rugalmatlan neutronszórás 14