Molekuláris dinamika I. 10. előadás

Átírás

1 Molekuláris dinamika I. 10. előadás

2 Miről is szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten minden részecske mozgását szimuláljuk? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok, gázok, szilárd testek makroszkópikus viselkedését? MOLEKULÁRIS DINAMIKA a részecskék mozgásegyenleteit integráljuk numerikusan ha a rendszer egyensúlyban van, a hőmérséklet, nyomás és más makroszkopikus mennyiség meghatározható az időbeli átlagokból ALAPOK: A. Rahman, Phys. Rev. 136, A405 (1964) L. Verlet, Phys. Rev. 159, 98 (1967) RECEPT: végy N pontszerű részecskét; használj klasszikus mechanikát; a pontoknak adj tömeget, pozíciót és sebességet; a pontok kölcsönhatását modellezd potenciálokkal, ezekből számolj erőket; a rendszer időbeli fejlődését megkapod a Newton egyenletek integrálásával.

3 Történeti áttekintés biofizikai rendszerek, törések, deformációk MD szimulációja rutin feladat a szimulációs technikák száma robbanásszerűen megnőtt: sajátos problémák sajátos módszerekkel, vegyes kvantummechanikai/klasszikus mechanikai szimulációk enzimreakciók és törések szimulációjára : L. da Vinci, Galileo Galilei : Euler, Bernoulli merev testek, rudak (parciális differenciálegyenletek, kontinuum elméletek) Kontinuum mechanikai elmélet 1930: törések, diszlokációk elméletének kifejlesztése : végeselem módszer 1990: végeselem módszerek és molekuláris dinamikai módszerek egyesítése kontinuum atomi szint XX. század: atomok felfedezése 1950-es évek vége: Alder és Wainwright, molekuláris dinamika, egyszerű folyadékok viselkedése 1964: Rahman, folyékony argon szimulációja valószerű potenciálokkal : Kohn-Sham, numerikus módszerek, pl. DFT 1974: Stillinger és Rahman, valós rendszer (folyékony víz) első MD szimulációja 1980: Yip 1990: Abraham és társai első repedés- és törésszimuláció

4 Példák MD szimulációkra

5 Az intermolekuláris potenciál az argon szimulációja: klasszikus dinamika gömb alakú atomok kémiai kölcsönhatás nincs a belső struktúrától eltekintünk U r =u r 12 u r u r 23...= N 1 = i=1 N j =i 1 párkölcsönhatás: magok taszítása + van der Waals vonzás u r ij Lennard-Jones potenciál u r = [ 12 2 r r 6] Lennard-Jones erő du r F r = =12 [ dr r 13 r 7]

6 Mennyiségek általában úgy választjuk, hogy ne kelljen túl nagy/kicsi számokkal dolgozni egységnek választjuk: =1 ; =1;m=1. átalakítás: mennyiség egység érték az Argon esetében távolság energia tömeg idő sebesség erő nyomás hőmérséklet m m/ 1/2 /m 1/2 / / 2 /k B 3.4x10 10 m 1.65x10 21 J 6.69x10 26 kg 2.17x10 12 s 1.57x10 2 m/s 4.85x10 12 N 1.43x10 2 Nm 1 120K pl időlépés, Δt = 0.01 t = 20 = 4.34x10-11 s tipikus szimulálási idők: s s

7 Inicializálás használt változók: a kezdeti konfiguráció közel kell legyen az egyensúlyi konfigurációhoz!!! sűrű rendszer: kezdeti helyzetek lapcentrált köbös rács rácspontjaiban az adott hőmérsékletnek megefelelő véletlenszerű sebességek első verzióban egyszerű köbös rácsra inicializáljuk az atomokat:

8 Newtoni mozgásegyenletek erők számítása: [ F i j = F j i =12 r i r 1 j r 14 1 r 8] N F = i j=1 j i F i j az i. atom mozgásegyenlete: a i t d v i t dt = d 2 r i t dt 2 = F i m i=1,..., N EZT A RENDSZERT KELL INTEGRÁLNI!!!

9 Newtoni mozgásegyenletek

10 Verlet integrálási algoritmusok sebesség Verlet algoritmus: r i t dt = r i t v i t dt 1 2 a i t dt 2 v i t dt = v i t 1 2 [ a i t dt a i t ] dt a feladattól függően más integrálási algoritmusok is alkalmazhatók (lásd 3. és 9. előadás)

11 Egyszerű makroszkopikus mennyiségek mérése általános szabály: N T A = 1 N T k=1 A k dt potenciális energia mozgási energia teljes energia V r 1, r 2,..., r N = V = K 1 2 i m i v i 2 E = K V =E=állandó HŐMÉRSÉKLET: Boltzmann ekvipartíciós tétele alapján a pillanatnyi hőmérséklet 3 N k BT = m 2 i =1 N v 2 2

12 A szimuláció HIÁNYOSSÁGOK: a térfogat nem állandó határfeltételek alkalmazása a kezdeti pozíciókat és sebességeket jobban meg kell választani LCK rács használata + Maxwell-Boltzmann eloszlás a sebességekre a rendszert kell hagyni, hogy termális egyensúlyba kerüljön az adott hőmérsékleten makroszkopikus mennyiségek átlagának mérése

13 2-es verzió kezdeti pozíciók és sebességek inicializálása periodikus határfeltételek alkalmazása minimum kép elve paraméterek: inicializálás:

14 Kezdeti pozíciók lapcentrált köbös rácsra helyezzük az atomokat (0,0,0), (0.5,0.5,0), (0.5,0,0.5), (0,0.5,0.5)

15 Kezdeti sebességek Maxwell-Boltzmann eloszlás Box-Müller algoritmus

16 Mozgásegyenletek integrálása periodikus határfeltételek minimális kép konvenció HA x ij > L/2 : HA x ij < 0 : x ij =x ij +L KÜLÖNBEN: x ij =x ij -L...

17 Mozgásegyenletek integrálása

18 Sebesség Verlet algoritmus

19 A szimuláció

20 A nyomás meghatározása tekintünk egy képzeletbeli egységnyi felületet a rendszerben: a nyomás a felületre ható normális irányú erő nagyságához köthető a felületen egységnyi idő alatt áthaladó impulzushoz köthető viriál egyenlet alapján: p t = N k T t B 1 N V DV i=1 j i r ij F ij a részecskék mozgásából származó járulék az ideális gáztól jól ismert összefüggés a felület különböző oldalán lévő részecskék között ható erők járuléka

21 MD kód optimalizálása a legidőigényesebb rész az erők (gyorsulások) kiszámítása L. Verlet, Phys. Rev. 159, 98 (1967) két optimalizálást javasolt: 1. a potenciál farkának levágása r vág = 2.5 -nél 2. szomszédlisták tárolása: legyen r max > r vág (pl. r max = 3.2) rögzítünk minden (ij) párt, melyre r ij <r max a párok listáját csak minden lépés után frissítjük Másik lehetőség: csatolt cellák módszere