A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája"

Átírás

1 A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb ugyanis számos esetben nehézkes lerögzített energia mellett a mikróállapotok számát meghatározni. Ezenfelül meg általában egy termodinamikai rendszernek nem az energiáját, hanem a hőmérsékletét szoktuk állandónak tartani. A leghasznosabb sokaság az amelyben a (T, V, N) értékét rögzítjük. Ezt kanonikus sokaságnak nevezzük. Kanonikus sokaságban a releváns termodinamikai potenciál a szabadenergia, F. Ahogy a mikrókanónikus sokaságban létezik egy összefüggés, amely a mikró- és makróvilág mennyiségei között teremt kapcsolatot (Boltzmann képlet), a kanonikus sokaság esetén is keresünk egy összefüggés, amely segítségével a rendszer mikroszkopikus tulajdonságai alapján meghatározható lesz a szabadenergia. Célunk itt ennek az összefüggésnek a meghatározása. A feladatot egy mikrokanonikus sokaság problémára vezetjük vissza. Tekintsünk egy zárt Termodinamikai Rendszert (TR), amely kanonikus sokaságban van, vagyis kapcsolatban van egy hőtartállyal, amely állandó T értéken tartja a rendszer hőmérsékletét. A hőtartály jóval nagyobb mint a vizsgált termodinamikai rendszer, vagyis hőcsere során a hőtartály hőmérséklete nem változik. A hőtartályt és a termodinamikai rendszert elszigeteljük a környezettől (nem engedünk meg az energia és részecske cserét a környezettel), így a hőtartályból és a vizsgált termodinamikai rendszerből álló, elszigetelt rendszer mikrokanonikus sokaságba kerül. Bevezetjük az alábbi jelőléseket: V 0 :a hőtartály térfogata E 0 :a hőtartály és atermodinamikai rendszer együttes energiája T :a hőtartály hőmérséklete V :a rendszer térfogata N :a termodinamikai rendszerben lévő részecskék száma E : a termodinamikai rendszer energiája E h :a hőtartály energiája Hőtartály: T de Termodinamikai rendszer A részecskeszám és a térfogat mind a termodinamikai rendszerben, mind a hőtartályban állandó, ezek nem fluktuálnak. Ami fluktuálhat, az a T.R. energiája. A termodinamikai rendszer és a hőtartály között hőcsere miatt, a T.R. és a hőtartály belsőenergiája külön-külön nem állandó, azonban ezek energiák összege állandó: E h = E 0 E () Mivel a hőtartály sokkal nagyobb mint a termodinamikai rendszer:

2 E E h (2) A T.R+hőtartály rendszer mikrókanónikus sokaságban van. Ugyanakkor a hőtartályból álló rendszer is közel mikrokanonikus, mivel a hőtartály relatív energiafluktuációja nagyon kicsi. Egy mikróállapot elöfordulási valószínűsége Tekintsük az egyszerűség kedvéért azt, hogy az energiák csak egy diszkrét halmazból vehetnek fel értékeket. Első lépésben számítsuk ki, hogy mi annak a valószínűsége, hogy a termodinamikai rendszer energiája egy adott E érték legyen. Jelőljük ezt a valószínűséget P(E)-vel. Annak a valószínűsége, hogy a termodinamikai rendszer energiája E legyen, ugyanakkora, mint annak a valószínűsége, hogy a hőtartály energiája E E 0 legyen: P E =P h E, (3) mivel a két véletlenszerű esemény egy és ugyanaz. Mivel a hőtartály+t.r.-ből álló rendszer mikrókanónikus ez a valószínűség arányos az ennek az esetnek megfelelő mikroállapotok számával: P E =P h E E,E 0 E = T.R E h E, (4) ahol (x)-vel jelőltük a hőtartály + T.R. rendszer mikróállapotainak a számát ha az energiája a rendszernek x, T.R (x) a T.R. mikróállapotainak a száma ha az energiája x, és h (x) a hőtartály mikróállapotainak a száma mikor az energiája x. Mivel a hőtartály közel mikrokanonikus alkalmazhatjuk a Boltzmann képletet és következik, hogy: ln [ h E ]= S h E k, (5) vagy: h E =exp S E E h 0 (6) k Mivel E E 0, az entrópia sorba fejthető az E 0 pont körül : Felhasználva, hogy: S h E S h S h E E 2 S h E 2 E 0 E2... S U V, N= T (7) és az elsőrendűnél magasabb rendű tagokat elhanyagolva: S h E S h E T (8)

3 Behelyettesítve ezt (6)-ba a mikroállapotok számára az alábbi összefüggés adódik: h E =exp S E h 0 E k kt (9) Annak a valószínűságe tehát, hogy a T.R. egy E energiával rendelkezzen egy adott pillanatban: Mivel P E T.R E exp S E h 0 exp E k kt (0) a feladat szempontjából, következik, hogy: exp S E h 0 =konst. () k P E T.R E exp E kt (2) A fenti egyenletben szereplő minden mennyiség már a termodinamikai rendszerre vonatkozik. P(E) tehát annak a valószínűsége, hogy a termodinamikai rendszer valamelyik olyan mikroállapotban legyen, amelyben a rendszer energiája E. Ilyen mikroállapotból több is létezhet, így ez a valószínűség arányos kell legyen ezen mikroállapotok számával, amelyekben a rendszer energiája E. Ezen mikroállapotok száma T.R. E. Felhasználva most, azt a tényt, hogy a mikrókanónikus sokaságban, ahol minden mikorállapotnak azonos az energiája, azt posztuláltuk, hogy minden mikróállapot azonos valószínűségű, itt is el kell fogadjuk, hogy az azonos energiájú mikroállapotok azonos valószínűségüek. Azonnal megadhatjuk annak a P i valószínűségét, hogy a T.R. egy konkrét, i. mikroállapotban legyen. Tételezzük fel, hogy az i mikróállapotban az energiája a rendszernek E i. Felírhatjuk akkor: P E i T.R E i exp E i kt (3) P E i = P i P i P i... = T.R. P i = T.R E i exp E i kt (4) mikroállapotok számaszor A (4) képlet értelmében, annak a valószínűsége tehát, hogy a rendszer egy adott i mikroállapotban legyen, amelyben az energiája E i : P i exp E i kt (5) A rendszer tehát különböző energiájú mikroállapotokban különböző valószínűséggel található: a karakterisztikus pont ott tartózkodik gyakrabban, ahol az energia kicsi. Azon esemény, hogy a T.R. valamelyik lehetséges mikroállapotban van, az biztos esemény. Ennek a valószínűsége kell tehát legyen:

4 P i E i = (6) i= Mivel az említett (5) valószínűséget csak egy C arányossági tényező erejéig kaptuk meg, fel kell használnunk a fenti normálási feltételt: ahonnan: C exp E i =, (7) i= kt C= exp E i i= kt, (8) Felírhatjuk most akkor egyenlőség formában P i kifejezését: P i E i = A (8) normálásnál kiszámított j= exp E j kt exp E i kt (9) exp E i Z (20) i= kt összeget partíciófüggvénynek vagy állapotösszegnek fogjuk nevezzük. Ennek hasonló szerepe lesz, mint a, mikróállapotok számának a mikrókanónikus sokaságban. A partíciófüggvény segítségével felírva az i mikróállapot valószínűsége: Bevezetve az univerzálisan elfogadott jelölést: P i E i = Z exp E i kt (2) kt (22) P i E i = Z exp E i (23) illetve:

5 Z = exp E i (24) i= A partíciófüggvény kiszámítható úgy is, hogy a lehetséges energiaértékekre összegzünk, nem pedig a mikroállapotokra. Minden energiaértéknek több mikroállapot is megfelelhet. Egy adott energiaértéknek megfelő mikróállapotok azonos valószínűségüek. Mivel egy adott energiaérték valószínűsége a hozzá tartozó mikroállapotok valószínűségeinek összege, a partíciófüggvény felírható mint: Z = T.R. E i exp E i {E i } kt (25) A fenti összefüggések akkor alkalmazhatók ha az állapottér diszkrét pontok halmazából áll. Ilyen állapottérben van értelme annak a kérdésnek, hogy mi annak a valószínűsége, hogy a karakterisztikus pont az állapottér egy adott pontjában legyen, vagy hogy a rendszer energiája egy adott érték legyen. Folytonos állapottérben azonban nincs értelme ennek a valószínűségnek, ilyenkor valószínűségsűrűséggel írjuk le a rendszert. Nem azt keressük például, hogy mi a valószínűsége annak, hogy az energia E legyen, hanem azt, hogy mi a valószínűségsűrűsége annak, hogy az energia E legyen. Ez nem más, mint annak a valószínűsége, hogy az energia egy (E, E+dE) intervallumba essen, egy egységnyi de intervallumra vonatkoztatva: P E, E de E = de Ebben az esetbena (3) összefüggés általánosítható mint: (26) E =C. n E exp E. (27) A fenti képletben n(e) az energiállapotok sűrűsége: n E = E, E de de, (28) ami megmutatja, hogy hány mikroállapot lehetséges, úgy, hogy a rendszer energiája az (E, E+dE) intervallumba legyen, egy egységnyi de intervallumra vonatkoztatva. A (27) valószínűségsűrűség normálási feltétele: E de=, (29) {E } ahol az integrált az E összes lehetséges értékeire kell elvégeznünk. A (27) egyenletben megjelenő C normálási konstans: C= {E } n E exp E de (30) Látható, hogy itt is tulajdonképpen az összes lehetséges energiaértékre összegeztünk, és mivel nincs megkötésünk az energiára (kanonikus sokaságban vagyunk), ez az érték bármi lehet. A diszkrét állapottér estével analóg módon értelmezzük a folytonos állapottér esetén is a partíciófüggvényt:

6 Z = n E exp E de (3) {E } Annak a valószínűségsűrűsége pedig, hogy az energia E legyen: n E exp E E = Z (32) Az állapotösszeg és a szabadenergia kapcsolata Vizsgáljuk meg a továbbiakban, hogy hogyan jutunk el a fejezet elején előrevetített, Boltzmannképlethez hasonló képlethez, amely kapcsolatot teremt a szabadenergia és a termodinamikai rendszer mikroszkopikus tulajdonságai között. Tekintsük az egyszerűség kedvéért a diszkrét mikroállapotok esetét, a folytonos állapottér esete innen általánosítható. Az entrópia csak a mikroállapotok számától függött, mivel minden mikroállapot egyforma valószínűséggel valósult meg. Ebben az esetben azonban a különböző energiaértékekhez tartozó mikroállapotok valószínűsége nem ugyanaz, ezért ebben az esetben nem elegendő, ha tudjuk a mikroállapotok számát, ennél többre lesz szükségünk. Előrebocsájtható, hogy a Z partíciófüggvény tartalmazza mind a mikroállapotok számát, mind a mikroállapotok valószínűségeit, ezért nem lepődnénk meg, ha a szabadenergia esetén ugyanazt a szerepet játszaná, mint a mikroállapotok száma () az entrópia esetén, mikrokanonikus sokaságban. Ennek alapján a keresett függvényi kapcsolat az F(Z) volna. Nézzük, lehetséges-e egy ilyen összefüggés felírása. A szabadenergia kiszámításához szükséges a belső energia, és az entrópia: F =U TS = E TS (33) A belső energia azonban nem nem más mint a rendszer energiájának időbeli átlaga, amely kiszámítható mint: E = i= Behelyettesítve az állapotösszeg kifejezését: P i E i = i= Z E exp E, (34) i i E = i= exp E i E j exp E j j =. (35) Az entrópia kiszámítására felhasználjuk most a Rényi-féle entrópia-képletet: S= k P i ln P i (36) i= Behelyettesítve a P i valószínűségek (23) alakját:

7 S= k i= Z exp E ln exp E i i, (37) Z majd alkalmazva a logaritmusfüggvény tulajdonságait: Tudjuk azonban, hogy: illetve: S= k E Z i exp E i k exp E Z i ln Z (38) i= i= E Z i exp E i = E, (39) i= Z = exp E i (40) i= Behelyettesítve ezeket az entrópia (38) kifejezésébe: S= T E k ln Z (4) Most, hogy megvan az entrópia is, könnyen kiszámítható a szabadenergia a (33) alapján: F =U TS= E T T E k ln Z (42) F = k T ln Z. (43) A fenti képlet az amit kerestünk, egy összefüggés a rendszer makrószkopikus tulajdonságait jellemző termodinamikai potenciál, és a mikrószkópikus tulajdonságokból kiszámított állapotösszeg között. Az állapotösszeg ismeretében kiszámítható tehát a szabadenergia, amely kanonikus sokaság esetén a releváns termodinamikai potenciál.

8 Megjegyzések: A következőkben néhány fontos megjegyzést teszünk, amelyek nagyon hasznosak lesznek a kanónikus sokaság alkalmazásához I. Kétféle valószínűséget értelmezhetünk:. P r = e E r az r-edik mikroállapot valószínűsége (44) Z 2. P E r annak a valószínűsége, hogy az energia értéke E r legyen (45) Általában P E r P r. Az egyenlőség akkor áll fenn, ha az E r energia nem elfajult (egyetlen egy olyan mikróállapot van, amelyben az energia értéke E r. Ha az E r energiaérték elfajult akkor P E r =g E r P r, ahol g E r az E r energia értékkel rendelkező mikróállapotok száma. P E r = g E r e E r Z, (46) ahol: Z = g E r e E r {E r } (47) II. Folytonos energiaspektrum esete. Ha E-nek folytonos spektruma van, ilyenkor annak az f E valószínűségsűrűségét keressük, hogy az energia E legyen. A g E r elfajulási fok helyett meg az energiaállapotok g E sűrűségének van értelme: g E = E, E de de, (48) ahol E, E de megadja azon mikróállapotok számát, amelyeknek az energiája E és E+dE között van. Az f E valószínűség-sűrűségvmegadja annak a valószínűségét, hogy az energiaérték E és E+dE között legyen egy egységnyi energia-intervallumban: f E = P E, E de = g E e E de Z (49) A Z particiófüggvény (állapotösszeg) kiszámolható az f E normálásából: {E} f E de= Z= g E e E de (50) {E } Az f E valószínűség-sűrűség segítségével az energia átlagát, valamint az energianégyzet átlagát a következőképpen kapjuk meg:

9 E = E f E de= E g E e E de {E} Z {E} E 2 = E 2 f E de= E 2 g E e E de {E} Z {E} (5) Ha meg egy energiától függő tetszőleges B=B(E) mennyiség átlagát akarjuk kiszámítani: B = B E f E de (52) {E} III.Az állapotösszeg alternatív kiszámítása Legyen A egy tetszőleges mennyiség, amely a mikroállapotok energiájának függvénye. Létezik tehát E és A között egy megfeleltetés az E(A) függvény formájában. Legyen g A i azon mikróállapotok száma amelyek az A= A i érték esetén létezik. Ha az A lehetséges értékei egy diszkrét halmaznak az elemei, akkor: Z = g A e E A (53) {A} Ha az A lehetséges értékei egy folytonos halmaznak az elemei, értelmezhető az állapotsűrűség az A térben g A = A, A da da (54) ahol A, A da azon mikróállapotok számát jelöli, amelyeknél az A mennyiség értéke A és A+dA között van. Folytonos esetben az állapotösszeg kiszámítható mint: Z = g A e E A (55) {A} Az A mennyiség mérésének a valószínűség-sűrűsége: f A = g A Z e E A (56) Az A mennyiség átlagát, valamint az A négyzetének az átlagát a következő képletekkel számolhatjuk ki: A = A f A da (57) {A}

10 A 2 = A 2 f A da (58) {A} Ha B=B(A) egy A-tól függő mennyiség, akkor az átlagát a B = B A f A da (59) {A} képlettel számíthatjuk ki. IV. A belsőenergia kiszámítása Az U belsőenergia direkt módon kiszámolható a Z állapotösszeg ismeretében: U= E = ln Z (60) A fenti képlet azonban csak abban az esetben igaz, ha a mikróállapotok energiája nem függ a -tól (vagyis a T hőmérséklettől). Bizonyítás. Diszkrét mikróállapot halmaz esetén dolgozunk, folytonos esetben hasonló a bizonyítás. z= g E i e E i ln Z =ln g E i e E i {E i } {E i } ln Z = Z {e i } E i g E i e E i = E i g E i e E i = U {E i } U = ln Z V. A molhő kiszámítása A molhőt direkt módon ki tudjuk számítani a Z állapotösszeg ismeretében: C v = 2 ln Z kt 2 2 (6) Bizonyítás: Induljunk ki a mólhő értelmezéséből és használjuk a már bizonyított (60) képletet: = C U v = d U = T v dt v kt C v = kt 2 2 U v ln Z = 2 ln Z kt 2 2 (62)

11 VI. A fluktuáció-disszipáció tétele A molhő értéke a rendszerben levő energia-fluktuácioktól függ. Ezt fejezi ki kvantitatív formában a C v = kt 2 E 2, (63) egynlet, ahol E az energia fluktuáció varianciája: E 2 = E 2 E 2 = E E 2 (64) Bizonyítás: Az egyszerűség kedvéért tekintsünk = anyagmennyisséget. A (6) képletből kiindulva azonnaliak az alábbi számítások: 2 ln Z 2 Z = i C v = 2 ln Z kt 2 2 e E i ln Z =ln i ln Z = Z i E i e E i = Z 2 i E i e E i i E i e E i Z i e E i C v = kt E 2 E 2 = 2 E 2 2 kt VII. Nemkölcsönható rendszer állapotősszege E i 2 e E i = E 2 E 2 Tekintsünk egy termodinamikai rendszert, amely N egymástól független azonos részecskéből áll. Ilyenkor, ha a részecskék megkülönböztethetők (van individulitásuk a termodinamikai rendszerben), a termodinamikai rendszer állapotösszege Z =Z Z 2... Z N, (65) ahol Z i az i-edik részecskére számított állapotösszeg: Z i = j i exp E ji. (66) A (66) kifejezésben j i az i-edik részecske j-edik mikróállapotát jelőli, E ji meg a részecske energiája ebben a mikróállapotban. Bizonyítás:

12 Induljuk ki az egész rendszer állapotösszegéből. Ha részecskék mikróállapotai egymástól függetlenek, a termodinamikai rendszer összes mikróállapotaira való összegzés ekvivalens a részecskék mikróállapotaira való független összegzéssel: Z= i e E i = e E i i, i 2,...,i N (67) Itt i, i 2,..., i N jellemzi az,2,..., N-dik részecske lehetséges mikróállapotait. Mivel a részecskék nem hatnak kölcsön, felírható, hogy: E i =E i E i E i N N N k = E i k k= (68) A (67) egyenlőségbe behelyetesítve, és figyelembe véve a részecskék függetlenségét Z= e E i E 2 N i2... E = in e Ei e 2 E i2... e N E in i, i 2,...,i N i i 2 i N, (69) azonnal adódik: ahol: Z =Z Z 2... Z N (70) Z k = i k k e E ik a k-adik részecske állapotösszege. Ha részecskék megkülönböztethetők de azonosak (egyformák): Z =Z 2 =...=Z N és: Z = Z N (7) Később a Gibbs-paradoxon tárgyalásakor látni fogjuk, hogy ha azonos és megkülönböztethető részecskéből álló rendszerünk van akkor klasszikus (nem kvantummechanikai) tárgyalás esetén a (7) helyett a következő képletet használjuk: Z = Z N N! (72) VIII. Nemkölcsönható rendszer egy részecskéjének egy adott mikróállapotba való tartozkodásának a valószínűsége Tekintsünk azonos és egymástól független részecskéből álló termodinamikai rendszert (nemkölcsönható azonos részecskék sokasága). Ilyen esetben feltehetjük azt a kérdést, hogy mi annak a valószínűsége, hogy egy adott részecske az i-edik mikróállapotban legyen.. Ha részecskék egymástól függetlenek akkor, az, hogy az -es részecske az i -edik mikróállapotban van, nem befolyásolja a

13 többi részecske állapotát. Annak a valószínűsége tehát, hogy az -es részecske az i -edik lehetséges mikróállapotában van megadható mint: P i = exp E i i 2 i 3...i N exp [ E i2 E i3... E in ] Z Z 2 Z 3... Z N (73) A fenti kifejezés tovább módosítható, figyelembe véve azt, hogy a részecskék mikróállapotai egymástól függetlenek: P i = exp E i i 2 Innen azonnal adódik, hogy: P i = exp E i Z 2 Z 3... Z N Z Z 2 Z 3... Z N exp E i2 i 3 exp E i 3... exp E i N i N (74) Z Z 2 Z 3...Z N = exp E i Z (75)

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban. Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Fermi Dirac statisztika elemei

Fermi Dirac statisztika elemei Fermi Dirac statisztika elemei A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra érvényes klasszikus statisztika

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

Hőtan I. főtétele tesztek

Hőtan I. főtétele tesztek Hőtan I. főtétele tesztek. álassza ki a hamis állítást! a) A termodinamika I. főtétele a belső energia változása, a hőmennyiség és a munka között állaít meg összefüggést. b) A termodinamika I. főtétele

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor Az egydimenziós harmonikus oszcillátor tárgyalása az általános formalizmus keretében November 7, 006 Példaképpen itt megmutatjuk, hogyan lehet a kvantumos egydimenziós harmonikus oszcillátort tárgyalni

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Termodinamika (Hőtan)

Termodinamika (Hőtan) Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

A Klasszikus Statisztikus Fizika Alapjai. Néda Zoltán, Tyukodi Botond és Kacsó Ágota - Enikő

A Klasszikus Statisztikus Fizika Alapjai. Néda Zoltán, Tyukodi Botond és Kacsó Ágota - Enikő A Klasszikus Statisztikus Fizika Alapjai Néda Zoltán, Tyukodi Botond és Kacsó Ágota - Enikő Szakreferens: Dr. Sárközi Zsuzsa Rajzok: Tyukodi Botond Borítóterv: XXX Néda Zoltán és Tyukodi Botond publikációt

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás

Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Démon algoritmus az ideális gázra időátlag fizikai mennyiségek átlagértéke sokaságátlag E, V, N pl. molekuláris dinamika Monte

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Termodinamika. Belső energia

Termodinamika. Belső energia Termodinamika Belső energia Egy rendszer belső energiáját az alkotó részecskék mozgási energiájának és a részecskék közötti kölcsönhatásból származó potenciális energiák teljes összegeként határozhatjuk

Részletesebben

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 Kérdések. 1. Mit mond ki a termodinamika nulladik főtétele? Azt mondja ki, hogy mindenegyes termodinamikai kölcsönhatáshoz tartozik a TDR-nek egyegy

Részletesebben

Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv

Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Zsigmond Anna Julia Fizika MSc I. Mérés vezet je: Horváth Ákos Mérés dátuma: 2010. október 21. Leadás dátuma: 2010. november 8. 1 1. Bevezetés A mérés

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Termodinamikai bevezető

Termodinamikai bevezető Termodinamikai bevezető Alapfogalmak Termodinamikai rendszer: Az univerzumnak az a részhalmaza, amit egy termodinamikai vizsgálat során vizsgálunk. Termodinamikai környezet: Az univerzumnak a rendszeren

Részletesebben

1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali).

1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali). 1.1. Alapfeladatok 1.1.1. Megoldás. Jelöljük F n -el az n-ed rendű nagyapák számát. Az ábra alapján látható, hogy F 1 = 1, F = 1 és általában F n+ = F n+1 + F n mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei

Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei Ideális gázok részecske-modellje (kinetikus gázmodell) Az ideális gáz apró pontszerű részecskékből áll, amelyek állandó, rendezetlen mozgásban vannak.

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval

Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval Stirling András stirling@chemres.hu Elméleti Kémiai Osztály Budapest Stirling A. (MTA Kémiai Kutatóközpont) Reakciómechanizmus szimulációból 2007.

Részletesebben

V.9. NÉGYZET, VÁGOD? A feladatsor jellemzői

V.9. NÉGYZET, VÁGOD? A feladatsor jellemzői V.9. NÉGYZET, VÁGOD? Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Geometriai megközelítésen keresztül a mértani sorozat tulajdonságaival, első n tagjának összegképletével való ismerkedés. Előzmények Téglalap területe,

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÁSA: MATEMATIKA, KÖZÉP SZINT. 3, ahonnan 2 x = 3, tehát. x =. 2

PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÁSA: MATEMATIKA, KÖZÉP SZINT. 3, ahonnan 2 x = 3, tehát. x =. 2 FELADATSOR MEGOLDÁSA I. rész 1.1.) a) igaz b) hamis. 1..) A helyes megoldás: b) R = r 1..) x = 7 = ahonnan x = tehát x =. 1.4.) Az oszlopdiagramból kiolvasható hogy a két üzem termelése között a legnagyobb

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél

Részletesebben

Populációbecslések és monitoring 1. gyakorlat. Elvonásos módszerek az adatokat pl. a vadászok is gyűjthetik, olcsóbb

Populációbecslések és monitoring 1. gyakorlat. Elvonásos módszerek az adatokat pl. a vadászok is gyűjthetik, olcsóbb Populációbecslések és monitoring 1. gyakorlat Nem minden állat látható fogásos módszerek Elvonásos módszerek az adatokat pl. a vadászok is gyűjthetik, olcsóbb 1. Egyszerű arányváltozás - zárt populáció,

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

A REAKCIÓKINETIKA ALAPJAI

A REAKCIÓKINETIKA ALAPJAI A REAKCIÓKINETIKA ALAPJAI Egy kémiai reakció sztöchiometriai egyenletének általános alakja a következő formában adható meg k i=1 ν i A i = 0, (1) ahol A i a reakcióban résztvevő i-edik részecske, ν i pedig

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

1. előadás. Gáztörvények. Fizika Biofizika I. 2015/2016. Kapcsolódó irodalom:

1. előadás. Gáztörvények. Fizika Biofizika I. 2015/2016. Kapcsolódó irodalom: 1. előadás Gáztörvények Kapcsolódó irodalom: Fizikai-kémia I: Kémiai Termodinamika(24-26 old) Chemical principles: The quest for insight (Atkins-Jones) 6. fejezet Kapcsolódó multimédiás anyag: Youtube:

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 3. (b) Kereszthatások Utolsó módosítás: 2013. április 1. Vezetési együtthatók fémekben (1) 1 Az elektrongáz hővezetési együtthatója A levezetésben alkalmazott feltételek: 1. Minden elektron ugyanazzal

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 2. (b) Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25. A változók szétválasztásának módszere (5) 1 Az Y(t)-re vonakozó megoldás: Így: A probléma megoldása n-re összegzés után: A peremfeltételeknek

Részletesebben

Hajdú Angéla

Hajdú Angéla 2012.02.22 Varga Zsófia zsofiavarga81@gmail.com Hajdú Angéla angela.hajdu@net.sote.hu 2012.02.22 Mai kérdés: Azt tapasztaljuk, hogy egy bizonyos fajta molekulának elkészített oldata áteső napfényben színes.

Részletesebben

Kinetika. Általános Kémia, kinetika Dia: 1 /53

Kinetika. Általános Kémia, kinetika Dia: 1 /53 Kinetika 15-1 A reakciók sebessége 15-2 Reakciósebesség mérése 15-3 A koncentráció hatása: a sebességtörvény 15-4 Nulladrendű reakció 15-5 Elsőrendű reakció 15-6 Másodrendű reakció 15-7 A reakció kinetika

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben