A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája
|
|
- Antal Fehér
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb ugyanis számos esetben nehézkes lerögzített energia mellett a mikróállapotok számát meghatározni. Ezenfelül meg általában egy termodinamikai rendszernek nem az energiáját, hanem a hőmérsékletét szoktuk állandónak tartani. A leghasznosabb sokaság az amelyben a (T, V, N) értékét rögzítjük. Ezt kanonikus sokaságnak nevezzük. Kanonikus sokaságban a releváns termodinamikai potenciál a szabadenergia, F. Ahogy a mikrókanónikus sokaságban létezik egy összefüggés, amely a mikró- és makróvilág mennyiségei között teremt kapcsolatot (Boltzmann képlet), a kanonikus sokaság esetén is keresünk egy összefüggés, amely segítségével a rendszer mikroszkopikus tulajdonságai alapján meghatározható lesz a szabadenergia. Célunk itt ennek az összefüggésnek a meghatározása. A feladatot egy mikrokanonikus sokaság problémára vezetjük vissza. Tekintsünk egy zárt Termodinamikai Rendszert (TR), amely kanonikus sokaságban van, vagyis kapcsolatban van egy hőtartállyal, amely állandó T értéken tartja a rendszer hőmérsékletét. A hőtartály jóval nagyobb mint a vizsgált termodinamikai rendszer, vagyis hőcsere során a hőtartály hőmérséklete nem változik. A hőtartályt és a termodinamikai rendszert elszigeteljük a környezettől (nem engedünk meg az energia és részecske cserét a környezettel), így a hőtartályból és a vizsgált termodinamikai rendszerből álló, elszigetelt rendszer mikrokanonikus sokaságba kerül. Bevezetjük az alábbi jelőléseket: V 0 :a hőtartály térfogata E 0 :a hőtartály és atermodinamikai rendszer együttes energiája T :a hőtartály hőmérséklete V :a rendszer térfogata N :a termodinamikai rendszerben lévő részecskék száma E : a termodinamikai rendszer energiája E h :a hőtartály energiája Hőtartály: T de Termodinamikai rendszer A részecskeszám és a térfogat mind a termodinamikai rendszerben, mind a hőtartályban állandó, ezek nem fluktuálnak. Ami fluktuálhat, az a T.R. energiája. A termodinamikai rendszer és a hőtartály között hőcsere miatt, a T.R. és a hőtartály belsőenergiája külön-külön nem állandó, azonban ezek energiák összege állandó: E h = E 0 E () Mivel a hőtartály sokkal nagyobb mint a termodinamikai rendszer:
2 E E h (2) A T.R+hőtartály rendszer mikrókanónikus sokaságban van. Ugyanakkor a hőtartályból álló rendszer is közel mikrokanonikus, mivel a hőtartály relatív energiafluktuációja nagyon kicsi. Egy mikróállapot elöfordulási valószínűsége Tekintsük az egyszerűség kedvéért azt, hogy az energiák csak egy diszkrét halmazból vehetnek fel értékeket. Első lépésben számítsuk ki, hogy mi annak a valószínűsége, hogy a termodinamikai rendszer energiája egy adott E érték legyen. Jelőljük ezt a valószínűséget P(E)-vel. Annak a valószínűsége, hogy a termodinamikai rendszer energiája E legyen, ugyanakkora, mint annak a valószínűsége, hogy a hőtartály energiája E E 0 legyen: P E =P h E, (3) mivel a két véletlenszerű esemény egy és ugyanaz. Mivel a hőtartály+t.r.-ből álló rendszer mikrókanónikus ez a valószínűség arányos az ennek az esetnek megfelelő mikroállapotok számával: P E =P h E E,E 0 E = T.R E h E, (4) ahol (x)-vel jelőltük a hőtartály + T.R. rendszer mikróállapotainak a számát ha az energiája a rendszernek x, T.R (x) a T.R. mikróállapotainak a száma ha az energiája x, és h (x) a hőtartály mikróállapotainak a száma mikor az energiája x. Mivel a hőtartály közel mikrokanonikus alkalmazhatjuk a Boltzmann képletet és következik, hogy: ln [ h E ]= S h E k, (5) vagy: h E =exp S E E h 0 (6) k Mivel E E 0, az entrópia sorba fejthető az E 0 pont körül : Felhasználva, hogy: S h E S h S h E E 2 S h E 2 E 0 E2... S U V, N= T (7) és az elsőrendűnél magasabb rendű tagokat elhanyagolva: S h E S h E T (8)
3 Behelyettesítve ezt (6)-ba a mikroállapotok számára az alábbi összefüggés adódik: h E =exp S E h 0 E k kt (9) Annak a valószínűságe tehát, hogy a T.R. egy E energiával rendelkezzen egy adott pillanatban: Mivel P E T.R E exp S E h 0 exp E k kt (0) a feladat szempontjából, következik, hogy: exp S E h 0 =konst. () k P E T.R E exp E kt (2) A fenti egyenletben szereplő minden mennyiség már a termodinamikai rendszerre vonatkozik. P(E) tehát annak a valószínűsége, hogy a termodinamikai rendszer valamelyik olyan mikroállapotban legyen, amelyben a rendszer energiája E. Ilyen mikroállapotból több is létezhet, így ez a valószínűség arányos kell legyen ezen mikroállapotok számával, amelyekben a rendszer energiája E. Ezen mikroállapotok száma T.R. E. Felhasználva most, azt a tényt, hogy a mikrókanónikus sokaságban, ahol minden mikorállapotnak azonos az energiája, azt posztuláltuk, hogy minden mikróállapot azonos valószínűségű, itt is el kell fogadjuk, hogy az azonos energiájú mikroállapotok azonos valószínűségüek. Azonnal megadhatjuk annak a P i valószínűségét, hogy a T.R. egy konkrét, i. mikroállapotban legyen. Tételezzük fel, hogy az i mikróállapotban az energiája a rendszernek E i. Felírhatjuk akkor: P E i T.R E i exp E i kt (3) P E i = P i P i P i... = T.R. P i = T.R E i exp E i kt (4) mikroállapotok számaszor A (4) képlet értelmében, annak a valószínűsége tehát, hogy a rendszer egy adott i mikroállapotban legyen, amelyben az energiája E i : P i exp E i kt (5) A rendszer tehát különböző energiájú mikroállapotokban különböző valószínűséggel található: a karakterisztikus pont ott tartózkodik gyakrabban, ahol az energia kicsi. Azon esemény, hogy a T.R. valamelyik lehetséges mikroállapotban van, az biztos esemény. Ennek a valószínűsége kell tehát legyen:
4 P i E i = (6) i= Mivel az említett (5) valószínűséget csak egy C arányossági tényező erejéig kaptuk meg, fel kell használnunk a fenti normálási feltételt: ahonnan: C exp E i =, (7) i= kt C= exp E i i= kt, (8) Felírhatjuk most akkor egyenlőség formában P i kifejezését: P i E i = A (8) normálásnál kiszámított j= exp E j kt exp E i kt (9) exp E i Z (20) i= kt összeget partíciófüggvénynek vagy állapotösszegnek fogjuk nevezzük. Ennek hasonló szerepe lesz, mint a, mikróállapotok számának a mikrókanónikus sokaságban. A partíciófüggvény segítségével felírva az i mikróállapot valószínűsége: Bevezetve az univerzálisan elfogadott jelölést: P i E i = Z exp E i kt (2) kt (22) P i E i = Z exp E i (23) illetve:
5 Z = exp E i (24) i= A partíciófüggvény kiszámítható úgy is, hogy a lehetséges energiaértékekre összegzünk, nem pedig a mikroállapotokra. Minden energiaértéknek több mikroállapot is megfelelhet. Egy adott energiaértéknek megfelő mikróállapotok azonos valószínűségüek. Mivel egy adott energiaérték valószínűsége a hozzá tartozó mikroállapotok valószínűségeinek összege, a partíciófüggvény felírható mint: Z = T.R. E i exp E i {E i } kt (25) A fenti összefüggések akkor alkalmazhatók ha az állapottér diszkrét pontok halmazából áll. Ilyen állapottérben van értelme annak a kérdésnek, hogy mi annak a valószínűsége, hogy a karakterisztikus pont az állapottér egy adott pontjában legyen, vagy hogy a rendszer energiája egy adott érték legyen. Folytonos állapottérben azonban nincs értelme ennek a valószínűségnek, ilyenkor valószínűségsűrűséggel írjuk le a rendszert. Nem azt keressük például, hogy mi a valószínűsége annak, hogy az energia E legyen, hanem azt, hogy mi a valószínűségsűrűsége annak, hogy az energia E legyen. Ez nem más, mint annak a valószínűsége, hogy az energia egy (E, E+dE) intervallumba essen, egy egységnyi de intervallumra vonatkoztatva: P E, E de E = de Ebben az esetbena (3) összefüggés általánosítható mint: (26) E =C. n E exp E. (27) A fenti képletben n(e) az energiállapotok sűrűsége: n E = E, E de de, (28) ami megmutatja, hogy hány mikroállapot lehetséges, úgy, hogy a rendszer energiája az (E, E+dE) intervallumba legyen, egy egységnyi de intervallumra vonatkoztatva. A (27) valószínűségsűrűség normálási feltétele: E de=, (29) {E } ahol az integrált az E összes lehetséges értékeire kell elvégeznünk. A (27) egyenletben megjelenő C normálási konstans: C= {E } n E exp E de (30) Látható, hogy itt is tulajdonképpen az összes lehetséges energiaértékre összegeztünk, és mivel nincs megkötésünk az energiára (kanonikus sokaságban vagyunk), ez az érték bármi lehet. A diszkrét állapottér estével analóg módon értelmezzük a folytonos állapottér esetén is a partíciófüggvényt:
6 Z = n E exp E de (3) {E } Annak a valószínűségsűrűsége pedig, hogy az energia E legyen: n E exp E E = Z (32) Az állapotösszeg és a szabadenergia kapcsolata Vizsgáljuk meg a továbbiakban, hogy hogyan jutunk el a fejezet elején előrevetített, Boltzmannképlethez hasonló képlethez, amely kapcsolatot teremt a szabadenergia és a termodinamikai rendszer mikroszkopikus tulajdonságai között. Tekintsük az egyszerűség kedvéért a diszkrét mikroállapotok esetét, a folytonos állapottér esete innen általánosítható. Az entrópia csak a mikroállapotok számától függött, mivel minden mikroállapot egyforma valószínűséggel valósult meg. Ebben az esetben azonban a különböző energiaértékekhez tartozó mikroállapotok valószínűsége nem ugyanaz, ezért ebben az esetben nem elegendő, ha tudjuk a mikroállapotok számát, ennél többre lesz szükségünk. Előrebocsájtható, hogy a Z partíciófüggvény tartalmazza mind a mikroállapotok számát, mind a mikroállapotok valószínűségeit, ezért nem lepődnénk meg, ha a szabadenergia esetén ugyanazt a szerepet játszaná, mint a mikroállapotok száma () az entrópia esetén, mikrokanonikus sokaságban. Ennek alapján a keresett függvényi kapcsolat az F(Z) volna. Nézzük, lehetséges-e egy ilyen összefüggés felírása. A szabadenergia kiszámításához szükséges a belső energia, és az entrópia: F =U TS = E TS (33) A belső energia azonban nem nem más mint a rendszer energiájának időbeli átlaga, amely kiszámítható mint: E = i= Behelyettesítve az állapotösszeg kifejezését: P i E i = i= Z E exp E, (34) i i E = i= exp E i E j exp E j j =. (35) Az entrópia kiszámítására felhasználjuk most a Rényi-féle entrópia-képletet: S= k P i ln P i (36) i= Behelyettesítve a P i valószínűségek (23) alakját:
7 S= k i= Z exp E ln exp E i i, (37) Z majd alkalmazva a logaritmusfüggvény tulajdonságait: Tudjuk azonban, hogy: illetve: S= k E Z i exp E i k exp E Z i ln Z (38) i= i= E Z i exp E i = E, (39) i= Z = exp E i (40) i= Behelyettesítve ezeket az entrópia (38) kifejezésébe: S= T E k ln Z (4) Most, hogy megvan az entrópia is, könnyen kiszámítható a szabadenergia a (33) alapján: F =U TS= E T T E k ln Z (42) F = k T ln Z. (43) A fenti képlet az amit kerestünk, egy összefüggés a rendszer makrószkopikus tulajdonságait jellemző termodinamikai potenciál, és a mikrószkópikus tulajdonságokból kiszámított állapotösszeg között. Az állapotösszeg ismeretében kiszámítható tehát a szabadenergia, amely kanonikus sokaság esetén a releváns termodinamikai potenciál.
8 Megjegyzések: A következőkben néhány fontos megjegyzést teszünk, amelyek nagyon hasznosak lesznek a kanónikus sokaság alkalmazásához I. Kétféle valószínűséget értelmezhetünk:. P r = e E r az r-edik mikroállapot valószínűsége (44) Z 2. P E r annak a valószínűsége, hogy az energia értéke E r legyen (45) Általában P E r P r. Az egyenlőség akkor áll fenn, ha az E r energia nem elfajult (egyetlen egy olyan mikróállapot van, amelyben az energia értéke E r. Ha az E r energiaérték elfajult akkor P E r =g E r P r, ahol g E r az E r energia értékkel rendelkező mikróállapotok száma. P E r = g E r e E r Z, (46) ahol: Z = g E r e E r {E r } (47) II. Folytonos energiaspektrum esete. Ha E-nek folytonos spektruma van, ilyenkor annak az f E valószínűségsűrűségét keressük, hogy az energia E legyen. A g E r elfajulási fok helyett meg az energiaállapotok g E sűrűségének van értelme: g E = E, E de de, (48) ahol E, E de megadja azon mikróállapotok számát, amelyeknek az energiája E és E+dE között van. Az f E valószínűség-sűrűségvmegadja annak a valószínűségét, hogy az energiaérték E és E+dE között legyen egy egységnyi energia-intervallumban: f E = P E, E de = g E e E de Z (49) A Z particiófüggvény (állapotösszeg) kiszámolható az f E normálásából: {E} f E de= Z= g E e E de (50) {E } Az f E valószínűség-sűrűség segítségével az energia átlagát, valamint az energianégyzet átlagát a következőképpen kapjuk meg:
9 E = E f E de= E g E e E de {E} Z {E} E 2 = E 2 f E de= E 2 g E e E de {E} Z {E} (5) Ha meg egy energiától függő tetszőleges B=B(E) mennyiség átlagát akarjuk kiszámítani: B = B E f E de (52) {E} III.Az állapotösszeg alternatív kiszámítása Legyen A egy tetszőleges mennyiség, amely a mikroállapotok energiájának függvénye. Létezik tehát E és A között egy megfeleltetés az E(A) függvény formájában. Legyen g A i azon mikróállapotok száma amelyek az A= A i érték esetén létezik. Ha az A lehetséges értékei egy diszkrét halmaznak az elemei, akkor: Z = g A e E A (53) {A} Ha az A lehetséges értékei egy folytonos halmaznak az elemei, értelmezhető az állapotsűrűség az A térben g A = A, A da da (54) ahol A, A da azon mikróállapotok számát jelöli, amelyeknél az A mennyiség értéke A és A+dA között van. Folytonos esetben az állapotösszeg kiszámítható mint: Z = g A e E A (55) {A} Az A mennyiség mérésének a valószínűség-sűrűsége: f A = g A Z e E A (56) Az A mennyiség átlagát, valamint az A négyzetének az átlagát a következő képletekkel számolhatjuk ki: A = A f A da (57) {A}
10 A 2 = A 2 f A da (58) {A} Ha B=B(A) egy A-tól függő mennyiség, akkor az átlagát a B = B A f A da (59) {A} képlettel számíthatjuk ki. IV. A belsőenergia kiszámítása Az U belsőenergia direkt módon kiszámolható a Z állapotösszeg ismeretében: U= E = ln Z (60) A fenti képlet azonban csak abban az esetben igaz, ha a mikróállapotok energiája nem függ a -tól (vagyis a T hőmérséklettől). Bizonyítás. Diszkrét mikróállapot halmaz esetén dolgozunk, folytonos esetben hasonló a bizonyítás. z= g E i e E i ln Z =ln g E i e E i {E i } {E i } ln Z = Z {e i } E i g E i e E i = E i g E i e E i = U {E i } U = ln Z V. A molhő kiszámítása A molhőt direkt módon ki tudjuk számítani a Z állapotösszeg ismeretében: C v = 2 ln Z kt 2 2 (6) Bizonyítás: Induljunk ki a mólhő értelmezéséből és használjuk a már bizonyított (60) képletet: = C U v = d U = T v dt v kt C v = kt 2 2 U v ln Z = 2 ln Z kt 2 2 (62)
11 VI. A fluktuáció-disszipáció tétele A molhő értéke a rendszerben levő energia-fluktuácioktól függ. Ezt fejezi ki kvantitatív formában a C v = kt 2 E 2, (63) egynlet, ahol E az energia fluktuáció varianciája: E 2 = E 2 E 2 = E E 2 (64) Bizonyítás: Az egyszerűség kedvéért tekintsünk = anyagmennyisséget. A (6) képletből kiindulva azonnaliak az alábbi számítások: 2 ln Z 2 Z = i C v = 2 ln Z kt 2 2 e E i ln Z =ln i ln Z = Z i E i e E i = Z 2 i E i e E i i E i e E i Z i e E i C v = kt E 2 E 2 = 2 E 2 2 kt VII. Nemkölcsönható rendszer állapotősszege E i 2 e E i = E 2 E 2 Tekintsünk egy termodinamikai rendszert, amely N egymástól független azonos részecskéből áll. Ilyenkor, ha a részecskék megkülönböztethetők (van individulitásuk a termodinamikai rendszerben), a termodinamikai rendszer állapotösszege Z =Z Z 2... Z N, (65) ahol Z i az i-edik részecskére számított állapotösszeg: Z i = j i exp E ji. (66) A (66) kifejezésben j i az i-edik részecske j-edik mikróállapotát jelőli, E ji meg a részecske energiája ebben a mikróállapotban. Bizonyítás:
12 Induljuk ki az egész rendszer állapotösszegéből. Ha részecskék mikróállapotai egymástól függetlenek, a termodinamikai rendszer összes mikróállapotaira való összegzés ekvivalens a részecskék mikróállapotaira való független összegzéssel: Z= i e E i = e E i i, i 2,...,i N (67) Itt i, i 2,..., i N jellemzi az,2,..., N-dik részecske lehetséges mikróállapotait. Mivel a részecskék nem hatnak kölcsön, felírható, hogy: E i =E i E i E i N N N k = E i k k= (68) A (67) egyenlőségbe behelyetesítve, és figyelembe véve a részecskék függetlenségét Z= e E i E 2 N i2... E = in e Ei e 2 E i2... e N E in i, i 2,...,i N i i 2 i N, (69) azonnal adódik: ahol: Z =Z Z 2... Z N (70) Z k = i k k e E ik a k-adik részecske állapotösszege. Ha részecskék megkülönböztethetők de azonosak (egyformák): Z =Z 2 =...=Z N és: Z = Z N (7) Később a Gibbs-paradoxon tárgyalásakor látni fogjuk, hogy ha azonos és megkülönböztethető részecskéből álló rendszerünk van akkor klasszikus (nem kvantummechanikai) tárgyalás esetén a (7) helyett a következő képletet használjuk: Z = Z N N! (72) VIII. Nemkölcsönható rendszer egy részecskéjének egy adott mikróállapotba való tartozkodásának a valószínűsége Tekintsünk azonos és egymástól független részecskéből álló termodinamikai rendszert (nemkölcsönható azonos részecskék sokasága). Ilyen esetben feltehetjük azt a kérdést, hogy mi annak a valószínűsége, hogy egy adott részecske az i-edik mikróállapotban legyen.. Ha részecskék egymástól függetlenek akkor, az, hogy az -es részecske az i -edik mikróállapotban van, nem befolyásolja a
13 többi részecske állapotát. Annak a valószínűsége tehát, hogy az -es részecske az i -edik lehetséges mikróállapotában van megadható mint: P i = exp E i i 2 i 3...i N exp [ E i2 E i3... E in ] Z Z 2 Z 3... Z N (73) A fenti kifejezés tovább módosítható, figyelembe véve azt, hogy a részecskék mikróállapotai egymástól függetlenek: P i = exp E i i 2 Innen azonnal adódik, hogy: P i = exp E i Z 2 Z 3... Z N Z Z 2 Z 3... Z N exp E i2 i 3 exp E i 3... exp E i N i N (74) Z Z 2 Z 3...Z N = exp E i Z (75)
Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.
Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból
RészletesebbenAlkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz
Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,
RészletesebbenSzilárd testek fajhője
Szilárd testek fajhője A kristályos szilárd testeket sok vonatkozásukban úgy tekinthető k, mint egy háromdimenziós rács csúcspontjaiban elhelyezked ő molekulák sokasága. Az ideális gázzal ellentétben ezen
RészletesebbenFermi Dirac statisztika elemei
Fermi Dirac statisztika elemei A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra érvényes klasszikus statisztika
Részletesebbenösszeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
Részletesebben2. Energodinamika értelmezése, főtételei, leírási módok
Energetika 7 2. Energodinamika értelmezése, főtételei, leírási módok Az energia fogalmának kialakulása történetileg a munkavégzés definícióához kapcsolódik. Kezdetben az energiát a munkavégző képességgel
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenJanuary 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,
Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenHőtan I. főtétele tesztek
Hőtan I. főtétele tesztek. álassza ki a hamis állítást! a) A termodinamika I. főtétele a belső energia változása, a hőmennyiség és a munka között állaít meg összefüggést. b) A termodinamika I. főtétele
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenAz entrópia statisztikus értelmezése
Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,
Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek X.
Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenAz egydimenziós harmonikus oszcillátor
Az egydimenziós harmonikus oszcillátor tárgyalása az általános formalizmus keretében November 7, 006 Példaképpen itt megmutatjuk, hogyan lehet a kvantumos egydimenziós harmonikus oszcillátort tárgyalni
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenI. posztulátum: A magukra hagyott makroszkopikus rendszerek kellően hosszú idő után a termodinamikai egyensúly állapotába kerülnek.
1 / 10 A TételWiki wikiből 1 Az egyensúlyi statisztikus fizika feltevései 2 A Gibbs féle sokaságfogalom 3 Az entrópia 4 A mikrokanonikus sokaság 5 A hőmérséklet 6 A nyomás 7 A kémiai potenciál 8 Fundamentális
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenMATEK-INFO UBB verseny április 6.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós
Részletesebben6. Differenciálegyenletek
312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
RészletesebbenTermodinamika (Hőtan)
Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenFIZIKA I. Ez egy gázos előadás lesz! (Ideális gázok hőtana) Dr. Seres István
Ez egy gázos előadás lesz! ( hőtana) Dr. Seres István Kinetikus gázelmélet gáztörvények Termodinamikai főtételek fft.szie.hu 2 Seres.Istvan@gek.szie.hu Kinetikus gázelmélet Az ideális gáz állapotjelzői:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
Részletesebben(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak
(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak osztályozása) March 21, 2019 Markov-láncok A Markov-láncok anaĺızise főként a folyamat lehetséges realizációi valószínűségeinek kiszámolásával foglalkozik. Ezekben
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebbenösszetevője változatlan marad, a falra merőleges összetevő iránya ellenkezőjére változik, miközben nagysága ugyanakkora marad.
A termodinamika 2. főtétele kis rendszerekben Osváth Szabolcs Semmelweis Egyetem Statisztikus sokaságok Nyomás Nyomás: a tartály falával ütköző molekulák, a falra erőt fejtenek ki Az ütközésben a részecske
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenFIZIKA I. Ez egy gázos előadás lesz! (Ideális gázok hőtana) Dr. Seres István
Ez egy gázos előadás lesz! ( hőtana) Dr. Seres István Kinetikus gázelmélet gáztörvények Termodinamikai főtételek fft.szie.hu 2 Seres.Istvan@gek.szie.hu Kinetikus gázelmélet Az ideális gáz állapotjelzői:
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenA Klasszikus Statisztikus Fizika Alapjai. Néda Zoltán, Tyukodi Botond és Kacsó Ágota - Enikő
A Klasszikus Statisztikus Fizika Alapjai Néda Zoltán, Tyukodi Botond és Kacsó Ágota - Enikő Szakreferens: Dr. Sárközi Zsuzsa Rajzok: Tyukodi Botond Borítóterv: XXX Néda Zoltán és Tyukodi Botond publikációt
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenMonte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás
Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Démon algoritmus az ideális gázra időátlag fizikai mennyiségek átlagértéke sokaságátlag E, V, N pl. molekuláris dinamika Monte
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
RészletesebbenTananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenPontműveletek. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar február 20.
Pontműveletek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2012. február 20. Sergyán (OE NIK) Pontműveletek 2012. február 20. 1 / 40 Felhasznált irodalom
RészletesebbenM/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24
OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5
RészletesebbenMegjegyzések (észrevételek) a szabad energia és a szabad entalpia fogalmához
Dr. Pósa Mihály Megjegyzések (észrevételek) a szabad energia és a szabad entalpia fogalmához 1. Bevezetés Shillady Don professzor az Amerikai Kémiai Szövetség egyik tanácskozásán felhívta a figyelmet a
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
RészletesebbenFüggvények növekedési korlátainak jellemzése
17 Függvények növekedési korlátainak jellemzése A jellemzés jól bevált eszközei az Ω, O, Θ, o és ω jelölések. Mivel az igények általában nemnegatívak, ezért az alábbi meghatározásokban mindenütt feltesszük,
RészletesebbenMátrixjátékok tiszta nyeregponttal
1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják
RészletesebbenMÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK
MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUmERIKUS módszerek 9 FÜGGVÉNYKÖZELÍTÉSEK IX. SPLINE INTERPOLÁCIÓ 1. SPLINE FÜGGVÉNYEK A Lagrange interpolációnál említettük, hogy az ún. globális interpoláció helyett gyakran célszerű
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenXXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.
XXIV NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, 05 április 8- XII évfolyam A szabályos hatoldalú csonka gúla alapélei és ( a b ) A csonka gúla oldalfelülete megegyezik az alaplapok területének összegével
Részletesebben1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1
1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 Kérdések. 1. Mit mond ki a termodinamika nulladik főtétele? Azt mondja ki, hogy mindenegyes termodinamikai kölcsönhatáshoz tartozik a TDR-nek egyegy
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenFolyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv
Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Zsigmond Anna Julia Fizika MSc I. Mérés vezet je: Horváth Ákos Mérés dátuma: 2010. október 21. Leadás dátuma: 2010. november 8. 1 1. Bevezetés A mérés
RészletesebbenAz impulzusnyomatékok általános elmélete
Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában
RészletesebbenTermodinamika. Belső energia
Termodinamika Belső energia Egy rendszer belső energiáját az alkotó részecskék mozgási energiájának és a részecskék közötti kölcsönhatásból származó potenciális energiák teljes összegeként határozhatjuk
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a
A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még
RészletesebbenMinden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenA mérési eredmény megadása
A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű
RészletesebbenTermodinamikai bevezető
Termodinamikai bevezető Alapfogalmak Termodinamikai rendszer: Az univerzumnak az a részhalmaza, amit egy termodinamikai vizsgálat során vizsgálunk. Termodinamikai környezet: Az univerzumnak a rendszeren
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenHajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. május. EMELT SZINT I. ) Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű számjegy
RészletesebbenDifferenciál és integrálszámítás diszkréten
Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenMatematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
RészletesebbenBelső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei
Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei Ideális gázok részecske-modellje (kinetikus gázmodell) Az ideális gáz apró pontszerű részecskékből áll, amelyek állandó, rendezetlen mozgásban vannak.
RészletesebbenFüggvényegyenletek 1. feladat megoldása
Függvényegyenletek 1. feladat megoldása Először is vegyük észre, hogy f(x) = x megoldás, hiszen x y = (x y)(x + y). (Triviális megoldás.) Másodszor vegyük észre, hogy f(x) = cx is megoldás, hiszen c(x
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
Részletesebben1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali).
1.1. Alapfeladatok 1.1.1. Megoldás. Jelöljük F n -el az n-ed rendű nagyapák számát. Az ábra alapján látható, hogy F 1 = 1, F = 1 és általában F n+ = F n+1 + F n mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb
RészletesebbenMÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI
MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk
Részletesebben