1. Relativisztikus kvantummechanika
|
|
- Ödön Székely
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 . Relativisztikus kvantummechanika.. Minkowski-tér A négydimenziós Minkowski-tér bázisvektorai e µ µ = 0,,, 3, a téridő-vektorok x = x µ e µ, ahol a kontravariáns koordináták, x = x 0, x, x, x 3 = ct, x. A bázisvektorok skaláris szorzata, e µ e ν = g µν 3 ahol g = {g µν } a metrikus tenzor fundamentális mátrix: g =. 4 A pszeudo-euklidészi Minkowski-téren a skaláris szorzat Minkowski-szorzat kifejezhető a kontravariáns vektorkomponensekkel: x y = x µ y ν e µ e ν = x µ g µν y ν = x g y. 5 Egy téridő-vektor normája: x x = c t x, 6 ami lehet pozitív időszerű vektor, negatív térszerű vektor vagy zérus fényszerű vektor. A Minkowski-tér duális terét az l lineáris formák alkotják, l x = l x µ e µ = x µ l e µ. 7 A skaláris szorzaton keresztül az l lineáris forma egyértelműen azonosítható a Minkowski-tér következő vektorával, l = l µ e µ, 8 úgy, hogy azaz l x = l e µ x µ l x = l ν g νµ x ν, 9 l e µ = g µν l ν. 0 Vezessük be a metrikus tenzor inverzét: g = {g µν },
2 melyre ahol és a Minkowski-szorzat esetében nyilvánvalóan fennáll, hogy g µν g νλ = δ µ λ, g µν g νλ = δ λ µ, 3 { δ µ ha µ = λ λ = δ µ λ = 0 ha µ λ, 4 g µν = g µν. 5 A lineáris formához rendelt Minkowski-vektor kontravariáns komponensei, l µ = g µν l e ν. 6 Egy x téridő-vektor kovariáns vektorkomponenseinek nevezzük a hozzárendelt lineáris leképezés duális komponenseit: x µ x e µ = g µν x ν, 7 és x µ = δ µ ν x ν = g µλ g λν x ν = g µλ x λ. 8 A kovariáns koordinátákat kiírva: x µ = ct, x. 9.. Lorentz-transzformációk A Minkowski-távolság négyzete, ds = c dt d x = dx µ dx µ 0 független az inerciarendszer választásától. Homogén Lorentz-transzformációnak nevezzük a Minkowski-tér mértéktartó, valós értékű lineáris transzformációit. A bázisvektorok transzformációja, e ν = e µ Λ µ ν implikálja a kontravariáns koordináták transzformációját, x = x µ e µ = x µ e ν Λ ν µ = x ν e ν = x ν = Λ ν µ x µ vagy rövidebben, Λ = {Λ µ ν} = x = Λ x. 3 A Lorentz-transzformáció mértéktartó: x µ y µ = x µ g µτ y τ = Λ µ ν x ν g µτ Λ τ λ y λ = x ν Λ µ ν g µτ Λ τ λ y λ = x ν y ν, 4
3 amiből g µτ Λ µ ν Λ τ λ = g νλ 5 következik. A Λ mátrix transzponáltjával: Λ T µ ν Λ µ ν 6 a fenti azonosság átírható: azaz Λ T µ ν g µτ Λ τ λ = g νλ 7 Λ T g Λ = g. 8 Fennállnak a következő tulajdonságok: Λ µ ν = δ µ ν megoldás: δ τ µ g τσ δ σ ν = g µν det Λ T gλ = det Λ det g = det g = det Λ = ± 3 Ha Λ megoldás, akkor Λ is megoldás: g = Λ T gλ = Λ T gλ 4 Ha Λ és Λ megoldás, akkor Λ Λ is megoldás: Λ Λ T gλ Λ = Λ T Λ T gλ Λ = Λ T gλ = g, melyekből következik, hogy a Lorentz transzformációk csoportot alkotnak Lorentz csoport. Infinitezimális Lorentz-transzformáció, ω: Λ = I + ω = I + ω T g I + ω = g = elsőrendben ωt g = gω 9 ω T τ µ g τν = ω τ µ g τν = g ντ ω τ µ = ω νµ és g µτ ω τ ν = ω µν 30 Hogyan transzformálódnak a kovariáns koordináták? ω µν = ω νµ 3 x µ = g µν x ν = g µν Λ ν τ x τ = g µν Λ ν τg τσ x σ = Λ σ µ x σ 3 ahol vagy Λ σ µ = g µν Λ ν τg τσ 33 Λ = g Λ g. 34 Fennáll a következő reláció: Λ T τ µ Λ ν τ = Λ τ µ g τσ Λ σ ρ g ρν = g µρ g ρν = δµ ν 35 vagy Λ T Λ = Λ T gλg = gg = I = Λ = Λ T. 36 3
4 Négyes-derivált: µ = x = µx ν = δ ν µ µ 37 µ = c t, 38 µ kovariáns vektor: µ = xν = x µ x µ x = Λ ν Λ ν µ ν = ] T ν ν = Λ ν µ ν 39 µ Következésképpen µ =, kontravariáns vektor és a d Alembert operátor, c t Lorentz-invariáns. µ µ = c t Relativisztikus kinematika A négyes-sebesség definíciója u µ = dxµ dτ = c, v 4 v c ahol τ a sajátidő és d r t v =, 4 dt amiből következik, hogy a négyes-sebesség normája Lorentz-invariáns: u µ g µν u ν = u µ u µ = c v v c = c. 43 Az energia-impulzus négyesvektor, p µ = mu µ = E c, p, 44 ahol m a részecske nyugalmi tömege és E = a részecske energiája. Nyilván a p µ normája is Lorentz-invariáns: ami expliciten kiírva az ún. energia-impulzus összefüggés: mc v c 45 p µ g µν p ν = p µ p µ = m c 46 E c p = mc. 47 4
5 .4. Elektrodinamika Négyes-potenciál: A µ = φ c, A, A µ = melyből a térerősség tenzor az alábbi módon definiálható: φ c, A, 48 F µν = µ A ν ν A µ 49 Négyes áramsűrűség: F i0 = E i c j µ = F ij = ɛ ijk B k. 50 cρ, j, 5 melyre fennáll a kontinuitási egyenlet, illetve A Maxwell-egyenletek: µ j µ = 0, 5 ρ t + j = µ F µν = µ 0 j ν 54 ɛ λτµν τ F µν = 0, 55 ahol ɛ λτµν a négy-dimenziós teljesen szimmetrikus tenzor ɛ 03 = normálással. A relativisztikus energia-impulzus összefüggés a Lagrange- és Hamilton-formalizmus rövid összefoglalója a Kvantummechanika szemelvények függelékében található Négyes kinetikus impulzus: E qφ K µ = p µ qa µ =, p q A c E qφ K µ = p µ qa µ =, p + q A c azaz K µ K µ = E = E qφ c p q A = m c 58 m c 4 + c p q A + qφ. 59 A relativisztikus kvantummechanika feladata az, hogy a 58 összefüggésnek megfelelő, Lorentzinvariáns állapotegyenletet vezessen be úgy, hogy a hullámfüggvényre és operátorokra kirótt kvantummechanikai axiómák pl. valószínűségi értelmezés, felcserélési relációk érvényben maradjanak. 5
6 .5. Felcserélési relációk és operátorok koordináta reprezentációban A nem-relativisztikus kvantumelméletben a koordináta és a kanonikus impulzus operátorok felcserélési relációja: Figyelembevéve, hogy p i, x j] = { i ha i = j 0 ha i j a fenti felcserélési relációkat az alábbi módon írhatjuk, p i, x j] = i δ ij, i, j =,, δ µν = δ τ µ g τν = g µν, 6 δ µν = δ µ τg τν = g µν, 6 és terjesztjük ki a négyesvektorokra, p µ, x ν ] = i δ µν = i g µν. 63 A p µ négyes-impulzus operátorok kontravariáns vektorként transzformálódnak, ami biztosítja a felcserélési relációk Lorentz-kovarianciáját: azaz C µν p µ, x ν ] C = ig 64 C µν = p µ, x ν ] = Λ µ τλ ν λ p τ, x λ] = Λ µ τ p τ, x λ] Λ T ν λ Λµ τc τλ Λ T ν λ 65 C = ΛCΛ T = iλg Λ T = ig gλg Λ T = ig ΛΛ T = ig. 66 Koordináta reprezentációban ezért a négyesimpulzus operátort a következőképpen definiáljuk, p µ = p 0,. 67 i ahol p 0, ct ] = i p 0 = i c t. 68 Mivel p 0 = E, a fenti definícióból következik, hogy az energia operátora: c Összefoglalva tehát: E = i t. 69 i p µ = c t, = i i c t, = i µ 70 i p µ = c t, = i i c t, = i µ 7 A kinetikus impulzus operátora: K µ = p µ qa µ = i µ qa µ = c i t qφ, i q A, 7 K µ = p µ qa µ = i µ qa µ = c i t qφ, i + q A. 73 6
7 .6. A Klein-Gordon egyenlet A 7 és 73 operátorokat behelyettesítve a Lorentz-kovariáns 58 egyenletbe és hattatva a hullámfüggvényre, kapjuk a Klein-Gordon egyenletet, c i t qφ i + q ] A ψ r, t = m c ψ r, t. 74 Az A r, t = 0, φ r, t = 0 esetben szabad részecske a fenti egyenlet a + κ ] ψ r, t = 0 75 alakra redukálódik, ahol κ = mc a Compton hullámszám és = c t. Időtől független vektor- és skalárpotenciálra a hullámfüggvényt a szokott ψ r, t = ψ r e i Et 76 alakban keresve kapjuk a stacionárius Klein-Gordon egyenletet: ] i + q E qφ A + m c ψ r = c Szabad részecskére a ] E c + m c ψ r = 0 78 egyenlet megoldása a síkhullám, és a 59 egyenletnek megfelelően adódik. Ebből következik, hogy a szabad részecske energiája ψ r = A e i p r 79 c p + m c 4 E = 0 80 E = ± m c 4 + c p 8 tehát E mc vagy E mc. A negatív energiás megoldások megjelenése újdonság a klasszikus relativisztikus mechanikához képest. Belátható, hogy a pozitív és negatív energiás megoldások együtt alkotnak teljes rendszert az állapotok Hilbert terén. A A staconárius Klein-Gordon egyenlet a H-atomra r = 0, φ r = Ze /r megoldható és a pozitív energia sajátértékeket /c szerint sorfejtve kapjuk, hogy E nl mc m Ze + m Ze 4 3 n 4 4 n 4 c 4n +... l +, 8 ahol n és l a nem-relativisztikus tárgyalásban megismert fő- és mellékkvantumszámok. Látható, hogy a H-atom energiaszintjeinek durvaszerkezetét Balmer-tag jól kaptuk vissza, a finomszerkezetre viszont a Klein-Gordon egyenlet a kísérleteknek ellentmondó predikciót ad. 7
8 Még komolyabb problémába ütközünk, ha a hullámfüggvény valószínűségi értelmezésén alapuló koontinuitási egyenletet próbáljuk levezetni. A 75 egyenletet konjugálva, + κ ] ψ r, t = 0, 83 majd ψ r, t-vel balról beszorozva, ugyanakkor a 75 egyenletet ψ r, t -vel balról beszorozva és az így nyert két egyenletet egymásból kivonva nyerjük, hogy amit tovább átalakíthatunk a ψ r, t ψ r, t ψ r, t ψ r, t = 0, 84 ψ c t ψ ψ t ψ ψ ψ ψ ψ = c t ψ t ψ ψ t ψ ψ ψ ψ ψ = 0 85 formában. Az egyenletet i -mel beszorozva, majd a megtalálási valószínűségsűrűséget m és az áramsűrűséget ρ r, t = i mc ψ r, t t ψ r, t ψ r, t t ψ r, t = Re ψ r, t i t mc ψ r, t j r, t = ψ r, t ψ r, t ψ r, t ψ r, t im = Re ψ p r, t m ψ r, t módon definíálva, valóban adódik, hogy t ρ r, t + j r, t = Míg az áramsűrűség definíciója megegyezik a Schrödinger egyenlet alapján nyert kifejezéssel, a valószínűségsűrűségé különbözik attól. A problémát az jelenti, hogy ρ r, t nem pozitív definit. Ugyanis az időben másodrendű Klein-Gordon egyenletben a t ψ r, t-re, aminek nincs fizikai jelentése, ψ r, t-től független kezdeti feltétel róható ki. A szabad részecske valószínúségsűrűsége: ρ r, t = E mc ψ r, t, 89 ami negatív energiás megoldásokra, E = m c 4 + p c, negatív valószínűségsűrűséghez vezet. Ezenkívül a hullámfüggvény skalár volta miatt nincsen lehetőség spin értelmezésére sem, így a Klein-Gordon egyenlet - amint azt a kvantumtérelmélet megmutatta - a nulla spinű részecskék pl. π-mezonok téregyenlete. 8
9 .7. A Dirac egyenlet Láttuk tehát, hogy a Klein-Gordon egyenlet valószínűségi értelmezését az akadályozta meg, hogy benne az időderivált négyzete szerepelt. Ezért Paul Dirac 98 nyomán a hullámfüggvény mozgásegyenletében p µ lineáris formáját engedjük meg az elektromágneses térrel kölcsönható részecske mozgásegyenletét később tárgyaljuk γ µ p µ mc ψ = 0, 90 ahol a γ µ operátorok felcserélhetők a p µ operátorokkal. Ezt úgy interpretálhatjuk, hogy a ψ hullámfüggvény a négyzetesen integrálható függvények Hilbert-terének ahol a p µ operátorok hatnak és egy új szabadsági fokokat reprezentáló Hilbert-tér ahol a γ µ operátorok hatnak tenzorszorzatának eleme. Hattassuk a γ ν p ν + mc operátort a fenti egyenletre: γ ν p ν + mc γ µ p µ mc ψ = γ ν p ν γ µ p µ m c ψ = 0, 9 A p µ operátorok felcserélhetőségét is figyelembe véve: γ ν γ µ p µ p ν = γν γ µ p µ p ν + γ ν γ µ p ν p µ 9 = γν γ µ + γ µ γ ν p µ p ν. 93 Szeretnénk ugyanakkor, ha érvényben maradna a relativisztikus energia-impulzus összefüggés. Ehhez megköveteljük, hogy a fenti kifejezés p µ p µ -vel legyen egyenlő, azaz teljesülnie kell a következő antikommutációs relációknak: γ µ γ ν + γ ν γ µ = {γ µ, γ ν } = g µν. 94 Ebből egyúttal az is következik, hogy γ 0 = és γ i = i =,, 3 95 A fenti csererelációkat teljesítő operátorok ún. Clifford algebrát alkotnak. Mivel p µ = i µ, Dirac egyenlete szabad részecskére: ahol mint a Klein-Gordon egyenletben κ = mc iγ µ µ κ ψ = 0, 96 a Compton hullámszám..8. A Dirac mátrixok.8.. A γ µ mátrixok dimenziója Állítás: A γ µ operátorok véges, n dimenziós ábrázolásaira fennáll, hogy n páros. 9
10 Bizonyítás: i Belátható, hogy bármely γ µ operátor nyoma zérus. Ugyanis: Trγ 0 = Trγ 0 γ j = Trγ j γ 0 γ i = Tr γ j γ 0 = Trγ 0, 97 Trγ j = Trγ j γ 0 = Trγ 0 γ j γ 0 = Tr γ 0 γ j = Trγ j, 98 ahol felhasználtuk a nyomképzés ciklikus tulajdonságát. ii Mivel γ 0 =, γ 0 lehetséges sajátértékei vagy, illetve γ j = miatt γ j lehetséges sajátétékei ±i. Tételezzük fel, hogy m sajátérték vagy i és n m sajátérték vagy i. Ekkor, Trγ 0 = m n m = m n = 0, 99 Trγ j = m n m] i = m n i = 0, 00 tehát n páros..8.. Standard ábrázolás Belátható, hogy a négydimenziós Dirac csoport irreducibilis ábrázolásai egy vagy négydimenziósak. Ezek közül csak az utóbbi felel meg a Clifford algebrának, így a γ µ operátorokat a továbbiakban 4 4-es mátrixokkal reprezentáljuk. Az alábbi, ún. standard ábrázolás, γ σ = γ i i = 0 σ i 0 eleget tesz a megkövetelt antikommutációs relációknak: 0 { γ i, γ k} { σ = i, σ k} { 0 0 σ i, σ k} = δ ik 4 = g ik 4 0 { γ 0, γ i} 0 σ i 0 σ i = σ i + 0 σ i = A továbbiakban szükségünk lesz még a mátrixok adjungáltjaira vonatkozó összefüggésekre: γ 0 = γ 0 γ i = γ i 04 γ 0 γ i = γ i γ 0 = γ i = γ 0 γ i γ 0 05 A Dirac egyenletben szereplő hullámfüggvények következésképpen négykomponensűek: ψ r, t ψ r, t = ψ r, t ψ 3 r, t ψ r, t 0
11 Megjegyezzük, hogy a γ 5 = iγ 0 γ γ γ 3 Dirac mátrix: γ σ 0 σ 0 σ3 0 I = i = 0 σ 0 σ 0 σ 3 0 I 0 }{{}}{{} 0 σ iσ 0 σ 0 0 iσ is a Clifford algebra szerint antikommutál a γ µ mátrixokkal Az elektromágneses térrel kölcsönható részecske mozgásegyenlete Elektromágneses tér jelenléte esetén a Dirac egyenletbe a p µ kanonikus impulzusok helyett a K µ kinetikus impulzusokat írjuk, γ µ K µ mc ψ = 0 08 ahol K µ = p µ qa µ = i µ qa µ 09 γ µ i µ qa µ mc ψ = 0 0 vagy iγ µ µ + iq A µ κ ψ = 0. A nem-relativisztikus elmélethez hasonlóan vizsgáljuk meg a Dirac egyenlet invarianciáját a A = A + φ Λ, φ = φ t Λ A t Λ µ =, A Λ = A µ µ Λ c mértéktranszformációval szemben: iγ µ µ + iq A µ κ ψ = 0 3 iγ µ µ + iq A µ iq µλ alakban írható. Nyilvánvaló, hogy a hullámfüggvény ] κ ψ = 0 4 ψ = ψe iq Λ 5 transzformációja kielégíti a 4 egyenletet. Ugyanis µ iq µλ ψe iq Λ = e iq Λ µ ψ, 6 és utána e iq Λ -val egyszerűsítve a 0 Dirac egyenlethez jutunk. A 5 transzformáció teljes mértékben ekvivalens a nem-relativisztikus esetben levezetett mértéktranszformációval!
12 A 0 egyenletben kiírva µ és A µ idő- és térszerű komponenseit, K µ = c i t qφ, p q A, 7 kapjuk, hogy c γ0 i t qφ γ melyet cγ 0 lal balról szorozva, i t + qφ + cγ 0 γ p q A ] mc ψ = 0, 8 p q A + γ 0 mc ] ψ = 0, 9 majd az idő szerinti deriváltat külön kezelve nyerjük a következő egyenletet, i t ψ = cγ 0 γ p ] q A + qφ + γ 0 mc ψ. 0 Vezessük be az α γ 0 γ és β γ 0 mátrixokat. Az α i mátrixok alakja, I 0 0 σi 0 σi α i = =, 0 I σ i 0 σ i 0 míg a β mátrix nyilvánvalóan Az új mátrixokkal a Dirac egyenlet az i t ψ = c α I 0 β =. 0 I p q A + qφ + βmc ] ψ, 3 alakot ölti, melyből az i t ψ = Hψ 4 analógia alapján leolvashatjuk a relativisztikus Hamilton operátort: H = c α p q A + qφ + βmc, 5 mely az α és β mátrixok ismeretében nyilvánvalóan hermitikus. Időfüggetlen vektor- és skalárpotenciál esetén a hullámfüggvényt ψ r, t = ψ r e i Et alakban keresve a Hamilton operátor sajátérték problémájához, azaz a stacionárius Dirac egyenlethez jutunk Hψ r = c α p q A r + qφ ] r + βmc ψ r = E ψ r A kontinuitási egyenlet Induljunk ki a Dirac egyenlet i t ψ = c α p ] q A + qφ + βmc ψ 7
13 alakjából, melyet a hullámfüggvény komponensei szerint kiírunk: Konjugáljuk az egyenletek mindkét oldalát: ahol felhasználtuk, hogy p ψ r = i t ψ r = c α rs p ψ s q A ψ s + qφψ r + mc β rs ψ s. 8 i t ψ r = c α rs p ψ s q A ψ s + qφψ r + mc β rsψ s 9 = c p ψ s α sr q A ψ s α sr + qφψ r + mc ψ sβ sr, 30 i ψr = i ψ r = p ψ r, valamint, hogy az α és β mátrixok hermitikusak. A fenti egyenletek összefoglalhatjuk a következő módon: i t ψ = c p q A ψ α + qφψ + mc ψ β, 3 c ahol ψ = ψ, ψ, ψ 3, ψ 4 3 a hullámfüggvény adjungáltja. Az 7 egyenletet ψ + -szal balról, a 3 egyenletet ψ-vel jobbról beszorozva, majd az így nyert két egyenletet egymásból kivonva kapjuk, hogy i ψ t ψ + t ψ ψ ] = c ψ α p ψ + p ψ ] α ψ 33 t ψ ψ + cψ α ψ = 0, 34 amiből a megtalálási valószínűségsűrűség és áramsűrűség megfelelő definíciójával, ρ = ψ ψ és j = cψ α ψ, 35 a t ρ + j = 0 36 kontinuitási egyenlet kapható. Nyilvánvaló, hogy ρ pozitív definit, tehát a Dirac egyenlet által leírt részecskére alkalmazható a kvantummechanika valószínűségi értelmezése. A későbbiekben belátjuk, hogy a j µ = cρ, j = cψ γ 0 γ µ ψ 37 négyes áramsűrűségvektor kontravariáns négyesvektor és így a kontinuitási egyenlet a kovariáns alakban írható, azaz tetszőleges inerciarendszerben érvényes. µ j µ =
14 .. A konjugált spinor, konjugált Dirac egyenlet A fenti eredményhez eljuthatunk a Dirac egyenlet kovariáns alakjából is, γ µ µ ψ + iq γµ A µ ψ + iκψ = 0 39 amit ismételten a hullámfüggvény komponensei szerint írunk fel, γ rs µ µ ψ s + iq γµ rsa µ ψ s + iκψ r = 0 40 majd konjugálunk, γ µ rs µ ψ s iq γµ rs A µ ψ s iκψ r = µ ψ s γ µ sr iq A µψ s γ µ sr iκψ r = A hullámfüggvény adjungáltjával, ψ = ψ ψ ψ 3 ψ 4 44 a fenti egyenlet a µ ψ γ µ iq A µψ γ µ iκψ = 0 45 alakban foglalható össze. A γ µ mátrixok adjungáltjára vonatkozó azonosságot felhasználva, µ ψ γ 0 γ µ γ 0 iq A µψ γ 0 γ µ γ 0 iκψ = 0, 46 melyet jobbról γ 0 -lal beszorozva és bevezetve a ψ = ψ γ 0 47 konjugált spinort, nyerjük a konjugált Dirac egyenletet: µ ψ γ µ iq A µψγ µ iκψ = A 39 egyenletet balról ψ-sal, a 48 egyenletet jobbról ψ-vel beszorozva, majd a két egyenletet összeadva kapjuk, hogy ψγ µ µ ψ + µ ψ γ µ ψ = 0, 49 azaz illetve ahol µ ψγ µ ψ = µ j µ = 0, 5 j µ = cψγ µ ψ = cψ γ 0 γ µ ψ. 5 4
15 .. A szabad elektron spektruma Zérus vektor- és skalárpotenciál esetén a 6 egyenlet, mc I c σ p c σ p mc ψ r = Eψ r, 53 I megoldását kereshetjük a ψ r = Ue i p r = u u u 3 u 4 e i p r 54 alakban, ahol p most az impulzusoperátor sajátértékét jelöli. Behelyettesítés után a H p U = E U 55 mátrix sajátértékegyenletet kapjuk, ahol H mc p = I c σ p c σ p mc I. 56 Nemtriviális U 0 megoldás csak akkor létezik, ha a szekuláris mátrix determinánsa, det E H p, eltűnik. Kihasználva a σ p = p I azonosságot, E mc E + mc c p = Innen a szabad részecske energiája E = ± m c 4 + c p 58 értékeket vehet fel, csakúgy mint a Klein-Gordon egyenlet esetében. A megoldásokat részletesen a gyakorlaton vizsgáljuk: itt csak annyit jegyzünk meg, hogy p = 0 esetén álló részecske mindkét pozitív és mindkét negatív energiás megoldásokból a koordinátarendszer bármely tengelyére vonatkoztatva határozott, ±/ spinű állapotok keverhetők ki, mivel a Hamilton operátor mátrixa felcserélhető a Pauli mátrixokkal: ] mc I 0 σi 0 0 mc, = 0 I 0 σ i i = x, y, z Nem-relativisztikus közelítés: kinetikus energia korrekció, spinpálya kölcsönhatás és a Darwin-tag Ebben a fejezetben /c -tel arányos korrekciókat találunk a Pauli-Schrödinger egyenlethez. A c α p ] q A + qφ + βmc ψ = Eψ 60 stacionárius Dirac egyenlet megoldását bontsuk fel két egyenként két-komponensű részre, χ ψ =, 6 ϕ 5
16 ahol χ és ϕ az ún. nagy- és kiskomponens. Írjuk ki részletesen a 60 egyenletet: E mc qφ c σ K χ 0 c σ = K E + mc qφ ϕ 0 E mc qφ χ c σ Kϕ = 0, 6 E + mc qφ ϕ c σ Kχ = A ϕ kiskomponens kifejezhető a 63 egyenletből, ϕ = E + mc qφ c σ Kχ. 64 Pozitív energiás megoldásokra szorítkozva, először éljünk az E + mc qφ mc közelítéssel: ϕ = σ Kχ. 65 mc Ezt visszahelyettesítve a 6 egyenletbe és bevezetve az E = E mc jelölést, valamint alkalmazva a σ a σ b = a b + i a b σ és K K = q i B összefüggéseket, E qφ m = E qφ σ K σ K ] χ = E qφ K m i K ] K σ χ 66 m ] K m + q B σ χ = 0, 67 m a χ nagykomponensre a szokásos Pauli-Schrödinger egyenletet kapjuk a spin-paramágneses járulékot is beleértve, ahol bevezettük a Pauli-Schrödinger Hamilton operátort, E χ = H P χ, 68 H P = σ K σ K + qφ = m K m q + qφ B σ. 69 m Lépjünk túl ezen a közelítésen! A ϕ = mc mc + E qφ c σ Kχ mc E qφ mc c σ Kχ, 70 kifejezést imételten visszahelyettesítve a 6 egyenletbe kapjuk, hogy E qφ χ = σ K E qφ σ Kχ, 7 m mc 6
17 ill. a fenti egyenlete átrendezve és kihasználva H P definícióját, E χ = H P χ 4m c σ K E qφ σ K χ = H P χ 4m c σ K σ K E qφ χ 4m c σ K E qφ, σ K = H P χ mc H P qφ E qφ χ 4m c σ K σ K, qφ ] A 7 egyenlet második tagja /c rendig közelíthető mint ] χ. 7 H M mc H P qφ χ 8m 3 c K4 χ, 73 ahol a mágneses teret tartalmazó járulékokat figyelmen kívűl hagytuk. Ez a járulék a relativisztikus tömegnövekedést kinetikus energia korrekciót írja le, hiszen E qφ = m c 4 + K c mc K m 8m 3 c K Nézzük meg, hogy ez a korrekció mennyiben befolyásolja a hidrogén atom energiaszintjeit az időfüggetlen perturbációszámítás elsőrendjében: H 0 = p m Ze r ahol α = e /c = /mca 0 a finomszerkezeti állandó,, E 0 n = m Ze n = mc Zα n, 75 H = p4 8m 3 c = mc = H Ze mc 0 + H 0 r H 0 + Ze r + Ze r. 76 Innen δe nlm = nlm H nlm = E 0 mc n + E 0 Ze n + Z e 4 r nlm r }{{} nlm }{{} E 0 n Z /a 0 n3 l+/] = 34 mc m c 4 α 4 Z4 n + 4 α4 m c 4 Z 4 = n 3 l + / = mc Zα Zα n n n l + / 3 4 }{{} E n 0, 77 7
18 azaz a korrekció α nagyságrendű és a főhéjak mellékkvantumszám l szerinti felhasadását eredményezi. Ez az eredmény egyébként megegyezik a Klein-Gordon egyenletből kapott sajátenergia /c rendű közelítésével. Foglalkozzunk most a 7 egyenlet harmadik tagjával: σ K σ K, ] qφ = K, ] K qφ i K K, ] σ qφ 4m c 4m c 4m c A jobboldalon álló első kifejezés az ún. 78 Darwin taghoz ad járulékot, mellyel a későbbiekben foglalkozunk. A 78 kifejezés második tagját tovább alakítjuk, K K, ] qφ = ε ijk K j K k, qφ] = ε ijk K j K k, qφ] ε i }{{} ijk K j, qφ] K k q ic B i } {{ } =0 K, ] = qφ K i }{{} = p,qφ] i σ p, qφ] K = ] σ qφ 4m c 4m c Stacionárius elektromágneses térre szorítkozva, ezt a korrekciót H sp = σ q E K 4m c K alakban írhatjuk, amit a spin-pálya kölcsönhatással azonosítunk. Centrális potenciálra és zérus mágneses tér esetén, H sp = q 4m c r E = φ r = dφ r dr dφ r dr σ r p = m c r. 79 r 80 r d qφ r dr L S, 8 adódik, amit az M L = e m L pálya-mágneses momentum és M S = e m S spin-mágneses momentum operátorok segítségével q = e, V r = qφ r átírhatunk a H sp = c e r dv r dr M L M S 8 formába. Ennek elsősorban nagyobb rendszámú elemek esetén ill. szilárdtestekben a kötött atommaghoz közeli pályák spin-pálya j = l ± felhasadásában van szerepe. Mágneses anyagokban ugyancsak elsősorban a spin-pálya kölcsönhatás felelős az ún. magnetokristályos anizotrópia jelenségéért. Vizsgáljuk meg a H-atom energiaszintjeinek korrekcióját spin-pálya kölcsönhatás következtében a perturbációszámítás elsőrendjében. Ehhez a H = Ze L S 83 m c r 3 8
19 perturbáló operátort átírjuk a H = Ze J L S 84 4m c r 3 alakra és a perturbálatlan hullámfüggvényeket a J, J z, L, és S vesszük föl, n, l, j, m j = m s=± C j, m j ; l, m l m s n; l, m l, m s, m s ahol C j, m j ; l, m l m s a Clebsh-Gordan együtthatók és j = l ± δe n,l,j,m j = Z e 4m c r 3 nl. Ekkor, j j + l l közös sajátfüggvényeiként, 85, 86 valamint 3 Z = 87 r 3 nl na 0 l + l l + felhasználásával, Némi algebrai átalakítás után, δe n,l,j,m j = Z e m c n j j + l l l + l l + j j + l l l + l l + Z 3 na }{{ 0 } E 0 n = j=l+ = j=l Zα n l + = l + l n j j + l l l + l l + l + 3 l l l + l l + l + = l + = j + l + l l l + l l l + l +, 89 = l + l = l + l = l + j +, 90 δe Zα n n,l,j,m j = E n 0 n l + n j +. 9 Ezt az eredményt összevonva az energiaszintek relativisztikus kinetikus energiakorrekciójával, adódik, hogy δe n,l,j,m j = E n 0 Zα n n j + / 3 4, 9 ami megegyezik a H-atom Dirac egyenletből számolt sajátenergiájának /c -rendű korrekciójával. A fenti levezetés azonban l = 0 esetén nem érvényes, mivel akkor r nl divergál. Véges 3 l méretű atommagot feltételezve r nl véges, de az L S operátor mátrixeleme zérus, így a spinpálya kölcsönhatás az s-pályák energiáját nem változtatja meg a perturbációszámítás első 3 rendjében. 9
20 .3.. A normálás szerepe A továbbiakban szorítkozzunk a zérus mágneses tér esetére. A Pauli-Schrödinger egyenlet relativisztikus korrekcióira tett fenti meggondolások akkor lennének maradéktalanul érvényesek, ha a χ nagykomponenst tekinthetnénk az elektron állapotát meghatározó normált hullámfüggvénynek. Nem szabad azonban elfelednünk, hogy a teljes négykomponensű hullámfüggvényt kell normálnunk, azaz d 3 r ψ + ψ = d 3 r χ + χ + ϕ + ϕ =. 93 A kiskomponens normája ezért = d 3 r ϕ + ϕ 4m c 4m c d 3 r χ + + p χ = 4m c d 3 r χ + σ p σ p χ d 3 r χ + p χ, 94 d 3 r χ + S χ S, 95 ahol a normált nagykomponenst χ S -sel jelöltük. /c rendben: χ S = + p χ = χ = p χ 8m c 8m c S. 96 Ez azt jelenti, hogy egy normált kétkomponensű hullámfüggvénnyel dolgozva a hiányzó kiskomponens ϕ normáját az p 8m c operátor hatásával vehetjük figyelembe /c rendig. Vegyük észre, hogy ezzel az eljárással valójában egy -rendű unitér transzformációt hajtottunk végre a c χs négykomponensű ψ és függvények között. 0 Az előző fejezetben levezetett /c -rendű Hamilton operátort H-val jelölve, következik, hogy amiből ugyancsak /c rendig az E χ = Hχ, 97 E χ S = + p H p χ 8m c 8m c S, 98 E χ S ] p H + 8m c, H χ S 99 egyenletet kapjuk. Látható, hogy az egyetlen újabb /c -rendű korrekcióhoz akkor jutunk, ha a kommutátorba H helyett a qφ operátort helyettesítjük, mivel a többi járulék vagy kiesik vagy /c -ben magasabb rendű korrekciót szolgáltat. Kezeljük ezt a tagot együtt a 78 jobboldalának első tagjával K-t p -vel helyettesítve: H D = 4m c p p, qφ] + 8m c p, qφ ] = 8m c p, qφ] p p p, qφ] 00 = 8m c p, p, qφ]] =,, ]] qφ = qφ, 0 8m c 8m c 0
21 amit Darwin-tagnak nevezünk, melynek nincsen klasszikus magyarázata. Eredete arra vezethető vissza, hogy az elektron nem tekinthető pontszerű részecskének, hanem egy h/mc Compton hullámhossz lineáris méretű tértartományban rezeg Zitterbewegung. A Zitterbewegung a pozitív és negatív energiás állapotok közötti interferencia következménye: a klasszikus elmélet erről valóban nem ad számot. Mivel a qφ = Ze /r Coulomb potenciálra, δe nlm = ami csak az s-pályák esetén zérustól különböző: H D r = Ze π m c δ r, 0 d 3 r ψ nlm r H D r ψ nlm r = Ze π m c ψ nlm 0, 03 amiből ψ n00 0 = Z 4π na 0 3/ ψ n00 0 = π Z na 0 3, δe n00 = Ze 3 Z Z n e m = m c na 0 ma 0n mc a 0 = E n 0 n mc. 04 Összefoglalva tehát, a Dirac egyenlet /c -rendű sorfejtésével a H P + H M + H D + H sp χ = E mc χ 05 sajátértékegyenlethez jutottunk, ahol χ a normált kétkomponensű hullámfüggvény, a Pauli-Schrödinger Hamilton operátor, H P = K q B σ + qφ, 06 m m H M = 8m 3 c K4, 07 a kinetikus energia relativisztikus tömegnövekedés következtében fellépő korrekciója, H D = qφ, 08 8m c a Darwin tag, mely a potenciális energia klasszikus analógiával nem rendelkező korrekciója és H sp = q E σ K 09 4m c a spin-pálya kölcsönhatás..3.. A nemrelativisztikus áramsűrűség származtatása Nézzük meg, hogy mi a kapcsolat a relativisztikusan származtatott áramsűrűség és annak korábban megismert nemrelativisztikus formája között. Most csak a vezető rendű tagokat vizsgáljuk, ezért elegendő használnunk a ϕ σ K mc χ 0
22 közelítést. Ezért j = cψ α ψ = c χ, ϕ 0 σ = χ σ m σ K χ + σ χ = c χ σ ϕ + ϕ σ χ 0 ϕ Kχ ] σ σ χ. σ σ K i K = σ i σ j K j = δ ij + iε ijk σ k K j = K i + i σ i Kχ Kχ ] σ σi = K j χ σ j σ i = K i χ i σ i j = χ Kχ Kχ + χ + i m m χ K σ χ Kχ σ χ. Az első tag: j nr χ m Re Kχ = ] im χ χ q m χ Aχ, 3 megegyezik a nemrelativisztikus eredménnyel. A második tag: χ K σ χ = i χ σ χ qχ A σ χ Kχ σ χ = χ A σ χ qχ σ χ i j m i K χ Kχ σ χ σ χ m = χ σ χ + χ σ χ m = m új járulékot jelent, mely a spin-mágnesezettséghez kapcsolódik töltésáram χ σ χ = χ M S χ 4 e M S = e m σ. A megfelelő e j m r, t = rot M S r, t, 5 ahol M S r, t = χ r, t M S χ r, t 6 az elektron spinje miatt fellépő mágnesezettség sűrűség.
23 .4. A Dirac egyenlet Lorentz invarianciája Írjuk fel a Dirac egyenletet a γ µ i µ qa µ x mc ψ x = 0 7 Λ = e ω, ω T g = gω, ω µν = ω νµ, 8 homogén Lorentz transzformáció x µ = Λ µ ν x ν, µ = x ν x µ ν = νλ ν µ = Λ T ν µ ν µ = Λ ν µ ν 9 A µ x = Λ ν µ A ν x, 0 alkalmazásával: γ µ i µ qa µ x mc ψ x = 0 γ µ Λ ] ν i µ ν qa ν x mc ψ x = 0. ahol ψ x a transzformált hullámfüggvény. Bevezetve a hullámfüggvény S Λ transzformációját, melyet a γ µ -hez hasonlóan 4 4-es mátrixszal reprezentálunk, ψ x = S Λ ψ x, 3 a egyenletet a ] γ µ Λ ν µ i ν qa ν x mc S Λ ψ x = 0 4 alakban írhatjuk. A 7 egyenlet segítségével eliminálva az mc S Λ ψ x tagot a γ µ Λ ν µ S Λ S Λ γ ν i ν qa ν x ψ x = 0 5 összefüggést nyerjük. Tetszőleges hullámfüggvény és négyespotenciál esetén ez csak úgy teljesülhet, ha megköveteljük a egyenlőséget, illetve γ µ Λ ν µ S Λ S Λ γ ν = 0 6 S Λ γ µ S Λ Λ ν µ = γ ν. 7 Kihasználva, hogy Λ T = Λ, a fenti összefüggés a következőképpen alakítható: Állítás: A 8 egyenlet megoldása S Λ γ µ S Λ Λ ν µ Λ T µ ν = S Λ γ µ S Λ δ µ µ = S Λ γ µ S Λ = γ ν Λ T µ ν = Λ µ νγ ν. 8 S Λ = e 4 ωµνγµ γ ν 9 3
24 Bizonyítás: Vezessük be az infinitezimális τ mátrixot, Az ismert Hausdorff kifejtés szerint, S Λ = e τ. 30 e τ γ µ e τ = γ µ + τ, γ µ ] +! τ, τ, γµ ]] + 3! τ, τ, τ, γµ ]]] Ugyanakkor Λ µ νγ ν = e ω µ ν γ ν = γ µ + ω µ νγ ν + ω µ! ν γν + ω 3 µ 3! ν γν Könnyen belátható, hogy a két fenti sorfejtés azonosságát a második, azaz elsőrendben infinitezimális tagok egyenlősége, biztosítja. Ugyanis ekkor teljes indukcióval bizonyítható, hogy τ, γ µ ] = ω µ νγ ν, 33 τ, τ,... τ, γ µ ]]] = ω n µ }{{} ν γν, 34 n ahol n az egymásba ágyazott kommutátorok számát jelöli. Mivel feltételezésünk szerint n = -re a fenti állítás teljesül, csak azt kell belátnunk, hogy τ, τ, τ,... τ, γ µ ]]]] = τ, ω n µ }{{} γν] = ω n µ τ, ν ν γν ] n = ω n µ ν ων λγ λ = ω n µ λ γλ. 35 Ezek után bizonyítjuk, hogy a 33 egyenlet megoldása τ = 4 ω µνγ µ γ ν. A γ µ mátrixok antikommutációs relációja alapján ugyanis: τγ µ = 4 ω λδγ λ γ δ γ µ = 4 ω λδγ λ γ µ γ δ ω λδγ λ g µδ = 4 ω λδγ µ γ λ γ δ + ω λδγ δ g λµ ω λδγ λ g µδ = γ µ τ + ω λδγ δ g λµ + gµδ ω δλ γ λ = γ µ τ + ω µ λ γλ, 36 ahol felhasználtuk, hogy ω λδ = ω δλ és g λµ = g µλ. Ezzel az állítást bizonyítottuk. Mivel 4 ω µνγ µ γ ν = 8 ω µνγ µ γ ν 8 ω νµγ µ γ ν 37 = 8 ω µν γ µ γ ν γ ν γ µ = 8 ω µν γ µ, γ ν ] 38 a S Λ spinor transzformáció a S Λ = e i ωµνσµν 39 formában is írható, ahol σ µν = i 8 γµ, γ ν ], 40 a hullámfüggvény Lorentz transzformációjának a Lorentz transzformáció spinor ábrázolásának infinitezimális generátora. 4
25 .5. Fizikai mennyiségek Lorentz transzformáltja Az O hermitikus operátorral megadott fizikai mennyiségnek egy adott ψ állapotban a Minkowski téren értelmezett sűrűsége, O x = ψ x Oψ x. 4 melyet a konjugált Dirac-spinor, ψ x = ψ x γ 0, segítségével az O x = ψ x O ψ x, 4 alakban is írhatunk, ahol O = γ 0 O. 43 Példa a valószínűségsűrűség és valószínűségi áramsűrűségre, ill. a négyes áramsűrűségre, ϱ x = ψ x γ 0 ψ x, j k x = cψ x γ k ψ x k =,, 3, 44 j µ x = cϱ x, j x = ψ x cγ µ ψ x. 45 Segédtétel: Bármely Lorentz transzformációra S Λ = γ 0 S Λ γ Bizonyítás: Felhasználva, hogy γ 0 S Λ γ 0 = γ 0 e τ γ 0 = n=0 n! γ0 τ n γ 0 47 γ µ = γ 0 γ µ γ 0, 48 γ 0 τ γ 0 = 4 ω µνγ 0 γ ν γ µ γ 0 = 4 ω µνγ 0 γ ν γ 0 γ 0 γ µ γ 0 49 = 4 ω µνγ ν γ µ = 4 ω µνγ µ γ ν = τ 50 γ 0 τ γ 0 = γ 0 τ γ 0 = τ... γ 0 τ n γ 0 = τ n 5 γ 0 S Λ γ 0 = n=0 τ n n! = eτ = S Λ. 5 5
26 Következésképpen az O x sűrűség transzformáltja, O x = ψ x O ψ x = S Λ ψ x] O S Λ ψ x = ψ x S Λ O S Λ ψ x = ψ x γ 0 S Λ γ 0 γ 0 O S Λ ψ x = ψ x S Λ γ 0 OS Λ ψ x = ψ x S Λ OS Λ ψ x, 53 amit úgy fogalmazhatunk meg, hogy a hullámfüggvény helyett az O operátor transzformálódik: O = S Λ OS Λ 54 és ezzel O x = ψ x O ψ x A négyes áramsűrűségvektor A 8 és 53 egyenletek alapján, j µ x = c ψ x S Λ γ µ S Λ ψ x = c ψ x Λ µ νγ ν ψ x = Λ µ ν c ψ x γ ν ψ x ] = Λ µ ν j ν x, 56 tehát a négyes áramsűrűség vektorként transzformálódik. Ebből azonnal következik, hogy a ϱ x = c j0 x megtalálási valószínűségsűrűség nem invariáns a Lorentz transzformációra nézve. Belátható továbbá, hogy a ψψ és ψγ 5 ψ skalár, ψγ 5 γ µ ψ vektor, valamint, hogy ψγ µ γ ν ψ kétindexes tenzor..6. Térbeli forgatások és a spin Az n tengely körüli, óramutató járásával ellentétes irányú, ϕ szögű infinitezimális térbeli forgatás: r = r + ϕ n r, 57 azaz x i = x i + ε ikj n k x j ϕ. Az infinitezimális Lorentz transzformáció mátrixa tehát, ω i j = ε ikj n k ϕ i, j =,, 3, 58 ω µ 0 = ω 0 µ = 0 µ = 0,,,
27 Ezért a spinor-téren értelmezett infinitezimális transzformáció, ahol 4 ω µνγ µ γ ν = 4 ω ijγ i γ j = 4 ε ijkγ i γ j n k ϕ = i n S ϕ, S k = i 4 ε kijγ i γ j, 60 vagy illetve komponensenként kiírva, i S = γ γ, 6 4 Vizsgáljuk meg az S i mátrixok felcserélési relációit: S = iγ γ 3, S = iγ3 γ, S 3 = iγ γ. 6 és ugyanígy, azaz S, S ] i = γ γ 3, γ 3 γ ] i = γ γ 3 γ 3 γ γ 3 γ γ γ 3 63 i = γ γ + γ γ = i i γ γ = is 3, 64 S, S 3] = is, S 3, S ] = is 65 S i, S j] = iε ijk S k. 66 A térbeli forgatás S i infinitezimális generátorai a spinor-téren teljesítik a Lee-algebrát, ezért ezeket spin-operátoroknak nevezzük. Továbbá: S = 4 γ γ 3 γ γ 3 = 4 I 67 és ugyanígy S = S 3 = 4 I, 68 tehát S = 3 4 I = s s + I = s =. 69 A Dirac egyenlet által leírt hullámfüggvény komponenseit a térbeli forgatásokkal hatására egy -es impulzusmomentum spin operátor transzformálja. Ezt úgy értelmezzük, hogy az elektron s = spinnel rendelkezik. Érthető, hogy a Klein-Gordon egyenletnél, ahol a hullámfüggvény skalár egykomponensű volt, nem beszélhettünk spinről. A γ µ mátrixok standard ábrázolásait használva, i S = γ i 0 σ 0 σ γ = 4 4 σ 0 70 σ 0 = i σ σ σ = σ 0 σ 0 = Σ, 7 σ 7
28 ahol σ 0 Σ = 0 σ. 7 Ez megnyugtató abból szempontból, hogy a Pauli egyenletben a σ -t vezettük be a spin operátoraként..7. A teljes impulzusmomentum A hullámfüggvény transzformációja térbeli forgatásra tehát, ψ R ϕ, n r, t = exp i n S ϕ ψ r, t 73 illetve ψ r, t = exp i n S ϕ ψ R ϕ, n r, t. 74 Számítsuk ki ψ R ϕ, n r, t-t egy infinitezimális forgatásra: ψ R ϕ, n r, t ψ r, t ϕ n r ψ r, t = ψ r, t ϕ n r ψ r, t 75 = ψ r, t i ϕ n r p ψ r, t = I i ϕ n ] L ψ r, t, 76 ill. véges forgatásra ψ R ϕ, n r, t = exp i n L ϕ ψ r, t. 77 Következésképpen a négykomponensű hullámfüggvény teljes transzformációja a térbeli forgatásokkal szemben, ψ r, t = exp i n J ϕ ψ r, t, 78 azaz a relativisztikus kvantumelméletben a térbeli forgatások infinitezimális generátora a J = L + S 79 teljes impulzusmomentum operátor. A Dirac egyenlet i t ψ = Hψ 80 alakja különös jelentőségű, mert a nem-relativisztikus tárgyalással teljesen analóg módon lehetőséget ad valamely O operátor kvantummechanikai időderiváltjának kiszámítására, do dt = i H, O], 8 8
29 és ezáltal annak megállapítására, hogy az adott operátorhoz rendelt fizikai mennyiség mozgásállandó vagy sem. Gömbszimmetrikus potenciál esetén a nem-relativisztikus esetben láttuk, hogy az impulzusmomentum L = r p 8 mozgásállandó volt. Nézzük meg, hogy fennáll-e ez a relativisztikus esetben is! Zérus vektorpotenciált véve a Hamilton operátor H = c α p + βmc + qφ 83 alakú. Ekkor H, L i ] = c α p + qφ, ε ijk x j p k ], 84 hiszen L i kommutál βmc -tel. Az L i operátor a spinorok terén egységoperátorként hat, ezért valójában L i I-t kellene írnunk. A fenti kommutátort két részre bontva, cα l p l, ε ijk x j p k ] = cε ijk α l p l, x j p k ] = cε ijk α l p l, x j ] p }{{} k + x j p l, p k ] }{{} i δ 0 lj = c i α p i 85 kapjuk, hogy qφ, ε ijk x j p k ] = qε ijk φ, x j p k ] = qε ijk φ, x j ] p }{{} k + x j φ, p k ] }{{} 0 i kφ = q r φ, 86 i i H, ] L = c α p q r ] φ i, 87 melyből centrális potenciálra csak a második tag tűnik el. Relativisztikus esetben centrális potenciálra a impulzusmomentum nem mozgásállandó! Bizonyítjuk, hogy centrális potenciál esetén a teljes impulzusmomentum J = L + S 88 mozgásállandó, ahol σ 0 S = Σ = 0 σ, 89 9
30 a spin-operátor. Ugyanis H, S i ] = c α lp l, Σ i ] = c p l α l, Σ i ] = = c 0 p σl l σ l 0 σi 0 0 σ i σi 0 0 σ i 0 σl σ l 0 ] = c p l 0 σ l, σ i ] σ l, σ i ] 0 = icε lik p l 0 σk σ k 0 így tehát = c i α p i. 90 d J dt = q r φ = r F, 9 ahol F = qφ az erő. A fenti összefüggés szerint a Dirac egyenlet által leírt részecskére ható forgatónyomaték a teljes impulzusmomentum időderiváltjával egyezik meg, ami centrális potenciál esetén valóban zérus..7.. Térbeli tükrözés A Minkowski térben a koordináta tengelyek tükrözését az x 0 = x 0 x i = x i i =,, 3, 9 transzformáció írja le, tehát Λ = = Λ. 93 A transzformált Dirac egyenlet: γ 0 K 0 γ i K i mc ψ x = 0, 94 amit tovább átalakítva kapjuk K0 γ 0 γ i K i mcγ 0 ψ = K 0 + γ i γ 0 K i mcγ 0 ψ = 0 95 γ 0 K 0 + γ i K i mc γ 0 ψ = 0, 96 azaz a hullámfüggvény ψ = γ 0 ψ 97 30
31 transzformációja mellett a Dirac egyenlet invariáns marad a tükrözésre. Vizsgáljuk meg a korábban bevezetett mennyiségek viselkedését a térbeli tükrözésre: ψ ψ = ψ γ 0 γ 0 ψ = ψ ψ 98 ψ ψ = γ 0 ψ γ 0 γ 0 ψ = ψ γ 0 ψ = ψψ. 99 Ezek valódi skalárok. Továbbá, ψ γ 5 ψ = ψ γ 5 γ 0 ψ = ψ γ 0 γ 5 ψ = ψγ 5 ψ, 300 amit pszeudóskalárnak nevezünk. Ugyanígy: ψ γ i ψ = ψγ i ψ és ψ γ 0 ψ = ψγ 0 ψ, 30 tehát j µ = icψγ µ ψ poláris vagy normál vektor, valamint ψ γ i γ 5 ψ = ψγ i γ 5 ψ és ψ γ 0 γ 5 ψ = ψγ 0 γ 5 ψ, 30 azaz ψγ µ γ 5 ψ ún. axiálvektor. 3
A spin. November 28, 2006
A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,
RészletesebbenA Relativisztikus kvantummechanika alapjai
A Relativisztikus kvantummechanika alapjai January 25, 2005 A kvantummechanika Schrödinger egyenletének a felírása után azonnal kiderül, hogy ez az egyenlet nem relativisztikusan kovariáns. (Aránylag könnyen
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenAz impulzusnyomatékok általános elmélete
Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában
RészletesebbenJanuary 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,
Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,
RészletesebbenElektromágneses hullámok
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses
RészletesebbenRelativisztikus Kvantummechanika alapok,
Relativisztikus Kvantummechanika alapok, 2. rész January 25, 25 A folytonossági egyenlet Akárcsak a Schrödinger és Klein-Gordon egyenlet esetén, azt reméljük, hogy a Dirac egyenletben szereplő bispinor
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (e) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: december 3. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (e) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2014. december 3. 1 A Klein-Gordon-egyenlet (1) A relativisztikus dinamikából a tömegnövekedésre és impulzusra vonatkozó
RészletesebbenKvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje
Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....
Részletesebben1 Relativisztikus kvantummechanika
Relatvsztkus kvantummechanka. Lorentz transzformácó A négydmenzós tér-dő vektorok x = {x μ } =(x,x,x 3,x 4 )=(r,ct) () halmazán (Mnkowsk tér) a skalárszorzatot a következőképpen értelmezzük: (x, y) =r
RészletesebbenAZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA. H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat.
AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA Mágneses dipólmomentum: m H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat. M = m H sinϕ (Elektromos töltés, q: monopólus
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenKét 1/2-es spinből álló rendszer teljes spinje (spinek összeadása)
Két /-es spinből álló rendszer teljes spinje spinek összeadása Két darab / spinű részecskéből álló rendszert írunk le. Ezek lehetnek elektronok, vagy protonok, vagy akármilyen elemi vagy nem elemi részecskék.
RészletesebbenAz egydimenziós harmonikus oszcillátor
Az egydimenziós harmonikus oszcillátor tárgyalása az általános formalizmus keretében November 7, 006 Példaképpen itt megmutatjuk, hogyan lehet a kvantumos egydimenziós harmonikus oszcillátort tárgyalni
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenTárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A
Részletesebben2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH
2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH 2015. december 10. Információk 0. A ZH ideje minimum 90 perc, maximum 180 perc. 1. Az összesen elérhet pontszám 270 pont. 2. A jeles érdemjegy eléréséhez nem szükséges
RészletesebbenAtomok és molekulák elektronszerkezete
Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenLagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
Részletesebben1 A kvantummechanika posztulátumai
A kvantummechanika posztulátumai October 29, 2006 A kvantummechanika posztulátumai Célunk felépíteni a kvantummechanikát posztulátumok segítségével úgy ahogy az elemi hullámmechanika során eljártunk. Arra
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenMSC ELMÉLETI FIZIKA SZIGORLAT TÉTELEK. A-01. Tétel A KLASSZIKUS FIZIKA ÉS A NEMRELATIVISZTIKUS KVANTUMMECHANIKA ALAPEGYENLETEI.
MSC ELMÉLETI FIZIKA SZIGORLAT TÉTELEK A-01. Tétel A KLASSZIKUS FIZIKA ÉS A NEMRELATIVISZTIKUS KVANTUMMECHANIKA ALAPEGYENLETEI. A klasszikus mechanika elvei. A Newton axiómák. A Lagrange és a Hamilton formalizmus
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenKézirat a Bevezetés a modern fizika fejezeteibe c. tárgyhoz írta: Márkus Ferenc (BME Fizika Tanszék) (utolsó módosítás: november 9.) 4.
Kézirat a Bevezetés a modern fizika fejezeteibe c. tárgyhoz írta: Márkus Ferenc (BME Fizika Tanszék) (utolsó módosítás: 2013. november 9.) 4. szakasz Kísérleti előzmények: Az atomok színképe Kvantummechanika
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenFizika II minimumkérdések. A zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek.
izika II minimumkérdések zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek. 1. Coulomb erőtörvény: = kq r 2 e r (k = 9 10 9 m2 C 2 ) 2. Coulomb állandó és vákuum permittivitás
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenA kémiai kötés eredete; viriál tétel 1
A kémiai kötés ereete; viriál tétel 1 Probléma felvetés Ha egy molekula atommagjai közötti távolság csökken, akkor a közöttük fellép elektrosztatikus taszításhoz tartozó energia n. Ugyanez igaz az elektronokra
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenKevert állapoti anholonómiák vizsgálata
Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Bucz Gábor Témavezet : Dr. Fehér László Dr. Lévay Péter Szeged, 2015.04.23. Bucz Gábor Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Szeged, 2015.04.23. 1 / 27 Tartalom
RészletesebbenFizikai mennyiségek, állapotok
Fizikai mennyiségek, állapotok Atomok és molekulák zikai mennyiségeihez rendelt operátorok A kvantummechanika mint matematikai modell alapvet épít elemei a rendszer leírására szolgáló zikai mennyiségekhez
RészletesebbenSzilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t
Szilárdtestek elektronszerkezete Kvantummechanikai leírás Ismétlés: Schrödinger egyenlet, hullámfüggvény, hidrogén-atom, spin, Pauli-elv, periódusos rendszer 2 Szilárdtestek egyelektron-modellje a magok
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenAz Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
RészletesebbenAlkalmazott spektroszkópia
Alkalmazott spektroszkópia 009 Bányai István MR és a fémionok: koordinációs kémiai alkalmazások Bányai István Debreceni Egyetem TEK Kolloid- és Környezetkémiai Tanszék A mágnesség A mágneses erő: F pp
Részletesebben= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
RészletesebbenII. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés
II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak
RészletesebbenDiszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (
FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenAzonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.
Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból
Részletesebbenhttp://www.nature.com 1) Magerő-sugár: a magközéppontból mért távolság, ameddig a magerők hatótávolsága terjed. Rutherford-szórásból határozható meg. R=1,4 x 10-13 A 1/3 cm Az atommag terének potenciálja
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
RészletesebbenKvantummechanika. - dióhéjban - Kasza Gábor július 5. - Berze TÖK
Kvantummechanika - dióhéjban - Kasza Gábor 2016. július 5. - Berze TÖK 1 / 27 Mire fogunk választ kapni az előadásból? Miért KVANTUMmechanika? Miért részecske? Miért hullám? Mit mond a Schrödinger-egyenlet?
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában)
MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) Tasnádi Tamás 1 2015. április 17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk
RészletesebbenLendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.
Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenVan-e a vákuumnak energiája? A Casimir effektus és azon túl
Van-e a vákuumnak energiája? és azon túl MTA-ELTE Elméleti Fizikai Kutatócsoport Bolyai Kollégium, 2007. október 3. Van-e a vákuumnak energiája? és azon túl Vázlat 1 2 3 4 5 Van-e a vákuumnak energiája?
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenTartalomjegyzék. A mechanika elvei. A virtuális munka elve. A TételWiki wikiből 1 / 6
1 / 6 A TételWiki wikiből Tartalomjegyzék 1 A mechanika elvei 2 A virtuális munka elve 3 d'alembert elv és a Lagrange-féle elsőfajú egyenletek 4 A Gauss-féle legkisebb kényszer 5 Általános koordináták
RészletesebbenAtomfizika. A hidrogén lámpa színképei. Elektronok H atom. Fényképlemez. emisszió H 2. gáz
Atomfizika A hidrogén lámpa színképei - Elektronok H atom emisszió Fényképlemez V + H 2 gáz Az atom és kvantumfizika fejlődésének fontos szakasza volt a hidrogén lámpa színképeinek leírása, és a vonalas
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben2, = 5221 K (7.2)
7. Gyakorlat 4A-7 Az emberi szem kb. 555 nm hullámhossznál a Iegnagyobb érzékenységű. Adjuk meg annak a fekete testnek a hőmérsékletét, amely sugárzásának a spektrális teljesitménye ezen a hullámhosszon
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenBevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
Részletesebben-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el.
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Energetikai mérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. május 15. Neptun kód:... g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus
RészletesebbenWigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról
Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet és MTA-DE "Lendület" Funkcionálanalízis Kutatócsoport, Debreceni Egyetem 2014. Október 30. Elméleti Fizika Szeminárium A tétel története Wigner tétele Tétel Legyen
Részletesebbenazonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i
A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenLássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben
Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma
RészletesebbenKvantummechanikai alapok I.
Kvantummechanikai alapok I. Dr. Berta Miklós bertam@sze.hu 2017. szeptember 21. 1 / 41 Állapotfüggvény. Dinamikai egyenlet. Ψ(r, t) 2 / 41 Állapotfüggvény. Dinamikai egyenlet. Ψ(r, t) Ψ(r, t)-csak a hely
Részletesebben2012. október 23. Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 1 / 18
Az erős és az elektrogyenge kölcsönhatás elmélet Csanád Máté ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 2012. október 23. Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai
RészletesebbenSCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET
SCHRÖDINGER-EGYENLET A Scrödinger-egyenlet a kvantummecanika mozgásegyenlet, Newton II. törvényével analóg. Nem vezetető le korábbi elvekből, de intuitívan bevezetető. Egy atározott energiával és impulzussal
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
Részletesebben1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből
1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló
Részletesebben