2, = 5221 K (7.2)

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2, = 5221 K (7.2)"

Kristóf Hegedűs
4 évvel ezelőtt
Látták:

1 7. Gyakorlat 4A-7 Az emberi szem kb. 555 nm hullámhossznál a Iegnagyobb érzékenységű. Adjuk meg annak a fekete testnek a hőmérsékletét, amely sugárzásának a spektrális teljesitménye ezen a hullámhosszon a maximális! ahonnan λ max T =, K m Wien törvénye (7.) T =, = 5 K (7.) 4A-5 A nátrium kilépési munkája,75 ev. Adjuk meg a fotoelektromos hatás küszöbhullámhosszát Na esetére! Az instein képlet szerint h ν = W + kin = W + m v (7.3) A küszöbhullámhossz esetén a kilépő elektronok kinetikus energiája nulla h ν = h λ = W (7.4) λ = h W = 6, J s, m/s = 4, J s m/ s, 75, J J (7.5) λ = 4, m (7.6)

2 4B- gy gamma foton, melynek energiája az elektron nyugalmi energiájával (5 kev) egyenlő, összeütközik egy elektronnal, ami kezdetben nyugalomban volt. Számitsuk ki, mekkora mozgási energiát nyer az elektron az ütközésben, ha a foton az eredeti pályaegyeneséhez képest 30 o -os szögben szóródik! A feladatban leírt folyamat a Compton effektus, amelynek képlete λ = λ λ = λ Compton ( os θ) ahol (7.7) λ Compton = h m e =, 43 0 m az elektron Compton hullámhossza (7.8) Behelyettesítve Tudjuk, hogy a foton kezdeti energiája λ λ =, 43 0 m ( os30 o ) = 3 =, 43 0 ( ) = = 3, m λ = λ + 3, m (7.9) foton = h ν = h λ = 5 03 ev = 5 0 3, = 8, J, ahonnan λ =, 46 0 m. Mivel a kimenő foton hullámhossza nagyobb, energiája kisebb lesz és ez az energiasökkenés lesz egyenlő az elektron kinetikus energiájának növekedésével. Mivel kezdetben az elektron nyugalomban volt ez egyúttal a teljes mozgási energiája is lesz 43A- foton = h, = λ, 75 0 = 7, J = 450, 6 kev kin = ( foton foton ) = 9, J = 60, 38 kev (7.0) gy mozgó neutron de Broglie-bullámhossza 0, nm. Adjuk meg (a) a sebességét, és (b) a mozgási energiáját ev egységekben!

3 A de Broglie képlet szerint 43B-3 λ = h p = v = h m v h m n λ = 6, = 98 m s kin = m n v = J =, ev (7.) A T áteresztési tényező azt adja meg, mekkora a valószinűsége annak, hogy egy m tömegű részeske a 43-3 ábrán bemutatott derékszögű poteniálfalhoz közeledve átalagútozik a poteniálfalon. 8 T = e k D π m e (U ), ahol k = (7.) h Vizsgáljunk olyan poteniálfalat, melyre U = 5 ev és D = 950 pm (pikométer). Tegyük 7.. ábra fel, hogy egy = 4,5 ev energiája elektron közeledik a poteniálfalhoz. Klasszikusan az elektron nem képes áthaladni a poteniálfalon, mert < U. A kvantummehaníka szerint azonban véges valószinűsége van az átalagútozásnak. Számitsuk ki ezt a valószínűséget! k = 8 π 9, (5 4, 5), ( ) (7.3) = m (7.4) T = e = (7.5) 3

4 43B-8 gy atomot az,8 ev energiával az alapállapot fölötti szintre gerjesztve, az atom ott átlagosan 0 6 s időt tölt el, mielött alapállapotba kerülne víssza. (a) Adjuk meg a kibosátott foton frekveníáját! (b) Adjuk meg a foton hullámhosszát! () Adjuk meg a foton energiájának bizonytalanságát! Az alapállapotba visszatérés során kibosátott foton frekveniája és hullámhossza: ν = h =, 8, J = Hz (7.6) J s λ = ν = m (7.7) gy adott állapot energiabizonytalansága és az adott állapotban tartozkodás t időtartama között is fennáll egy határozatlansági összefüggés: t t = J = ev 43C-33 Amikor egy atom fotont bosát ki, az energia valamilyen hányada az atom visszalökődésére fordítódik. Mutassuk meg, hogy ez a hányad közelítőleg, ahol az átmenet m energiája és m az atom tömege. A feladat szerint a keletkező fotonok foton energiája kisebb lesz, mint az átmenet energiája. Jelöljük a kettő különbségét δ! Igazolnunk kell, hogy δ foton m ahol, mivel m, a feladat állítása szerint és foton sak kisit különbözhet egymástól δ δ azaz Használjuk az energia és impulzusmegmaradás feltételeit! A energiájú átmenet során az energia és az impulzus megmarad, vagyis p atom + p foton = p atom + p foton (7.8) atom + foton = atom + foton (7.9) (7.0) 4

5 Maradjunk az emisszió előtt nyugalomban levő atom vonatkoztatási rendszerében. kkor az impulzusokra p atom = p foton = 0 p atom = p foton, és mivel p foton = foton p atom = 0 p foton = foton Innentől mind klasszikus, mind relativisztikus módon megoldhatjuk a feladatot. Figyelembe véve, hogy a visszalökődő atom sebessége sokkal kisebb, mint a fénysebesség ezen a szinten elegendő a klasszikus fizikai megoldás. Válasszuk az atom alapállapotbeli energiáját nullának! A kibosátott foton foton energiája a visszalökődés miatti energiaveszteség következtében nem azonos az energiaszintek távolságával. (7.8) és (7.9) -be a foton p foton = és az atom impulzusának klasszikus fizikai p = m v formuláit behelyettesítve 0 = m v + foton = m v + foton, és mivel foton = m v (7.) m v = m (m v) = m ( ) foton = foton m + foton (7.) Az egyenlet jobboldalán az foton = ( δ ) ismeretlen fotonenergia szerepel. Vagyis δ = foton = foton ( δ ) = m m (7.3) = m δ + δ m m (7.4) m (7.5) z az az energia rész, ami az atom visszalökődésére fordítódik, vagyis a foton energiája ennyivel kisebb lesz. zért foton m (7.6) 5

6 zzel az állítást igazoltuk A sillagközi térben az atomos hidrogén éles spektrumvonala, az ún. m-es sugárzás keletkezik; a sillagászok ezt tartják legalkalmasabbnak a sillagok közötti hidrogenfelhök detektálására. A sillagközi por elmosódottá teszi a látható tartományba eső hullámhosszakat, ezért az elöbb emlitett sugárzás, amely a rádióhullámok tartományába esik, nagyon hasznos. Az elektronállapotok közötti energiaátmenetet, melytől ez a sugárzás ered, nem lehet egy meghatározott n-nel jellemezni. Az a helyzet, hogy az n = alapállapotban az elektron és a proton spinje paralel vagy antiparalel lehet; a két állapot energiája kissé különböző. a) Mi a feltétele a magasabb energiájú állapotnak? b) A pontos hullámhosszérték, m. Mi a két állapot energiakülönbsége? ) A gerjesztett állapot átlagos élettartama 0 7 év. Számitsuk ki a gerjesztett állapot energiájának bizonytalanságát. a) Az elemi részeskék (példánkban a proton és az elektron) spinjéhez mágneses momentum is kapsolódik a µ = Q g m S (7.7) képlet szerint, ahol S a spin, µ a mágneses momentum nagysága, Q a részeske töltése és g az ún. g faktor. Mivel a proton töltése pozitív az elektron töltése negatív a proton mágneses momentuma spinjével egyirányú, az elektroné azzal ellentétes. A proton mágneses momentumához tartozó mágneses térben az elektron akkor lesz magasabb energiájú, ha a mágneses momentumok egyirányúak, vagyis a spin momentumok ellentétes irányúak. b) A két állapot energiakülönbsége felel meg a kibosátott foton energiájának. Mivel λ = 0, m, az energiakülönbség = h ν = h λ = J s m/s = J 0. m = ev (7.8) Szilárd testekben a képletbe helyettesítendő tömeg az atomok kölsönhatása miatt nem feltétlen azonos a szabad atom tömegével, lehet annál nagyobb, kisebb, sőt akár végtelen is. zt a tömeget az atom effektív tömegének nevezzük. zt a Mössbauer-effektust használjuk ki pl. a meteorok és holdkőzetek analízisére a Mössbauer-spektroszkópiában. 6

7 ) Az energiabizonytalanság T T = J s s = J = ev (7.9) Mi a valószinűsége annak, hogy az ls-állapotú hidrogén elektronját a magtól,50 -nál nagyobb távolságra találjuk meg? Az s állapotbeli gömbszimmetrikus hullámfüggvény szorzat alakban írható (szeparálható): ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r) y(ϑ, ϕ), ennek radiális és szögfüggő része ( ) 3/ R(r) = e r/ao Y (ϑ, ϕ) = A teljes hullámfüggvény az s állapotban sak a távolságtól függ: ψ(r) = e r/a (7.30) Annak a valószínűsége, hogy az elektront a magtól r -nél nagyobb távolságra találjuk P(r, ) = = 4 a 3 o π πa 3 o Integráltáblázatból kinézve az integrál értékét P(r ) P(r, ) = r ψ(r) 4 π r dr = ( r r e r/ao dr (7.3) ( r ) ) + r + e r ao z az integrál integráltáblázat nélkül két egymás utáni pariális integrálás alkalmazásával könnyen kiszámolható: hhez egy kis segítség: Vezessünk be egy új változót (7.3)-be! Legyen x = r, ekkor r = a 0 x és a 0 7

8 Behelyettesítve az r =, 50 értéket 3 : r = 5.00 P(r ) = ( ) e 5.00 = 0.5 dr = a 0 dx, az integrálás határai pedig r a 0 és : 4 a 3 o r r e r/ao dr = 4 a 3 o r /a 0 a o 4 x e x dx = r /a 0 x e x dx A pariális integrálás képlete szerint b a b u (x) v(x) dx = [u(x) v(x)] b a u(x) v (x) dx lőször legyen u e x,és v x, ekkor u = e x és v = x r /a 0 x e x dx = a [ ] x e x x ( e x ) dx r /a 0 r /a 0 A jobboldali integrál ugyansak pariálisan integrálható. Most u e x,és v x, ahonnan u = e x és v =. r /a 0 x ( e x ) dx = [ x e x] r /a 0 r /a 0 e x dx = [ x e x] r /a 0 [ e x] r /a 0 A végeredmény: r /a 0 x e x dx = ( ( r ) ) + r + e r ao 3 = 0, 059 nm 8

Hasonló dokumentumok

http://www.flickr.com Az atommag állapotait kvantummechanikai állapotfüggvénnyel írjuk le. A mag paritását ezen fv. paritása adja meg. Paritás: egy állapot tértükrözéssel szemben mutatott viselkedését