2012. október 23. Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 1 / 18

Átírás

1 Az erős és az elektrogyenge kölcsönhatás elmélet Csanád Máté ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium október 23. Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 1 / 18

2 Klasszikus mechanika: pontrészecskék elmélete Téridő: M (relativisztikus), I időpillanatok Részecske: r : I M, egyszerűbben r : R R 4 Lagrange-függvény: L = L (id I, r, ṙ), egyszerűbben L(t, r(t), ṙ(t)) Hatás: S = I L, azaz S = L(t, r(t), ṙ(t))dt Legkisebb hatás elv: r megvalósuló részecske S r = S min Megoldások: Euler-Langrange egyenletből: L r d L dt ṙ = 0 Általánosított impulzus: p = L ṙ, szebben 2L Hamilton-függvény: H = ṙ L ṙ L Fizikailag L = E kin E pot, H = E kin + E pot Egyszerű példa: L = 1 2 mṙ 2 V m r = V. Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 2 / 18

3 Klasszikus mezőelmélet:,,terek elmélete Fizikai állapotok: φ : M C vagy R, esetleg V metrikus tér Lagrange függvény: L = L (id M, φ, φ), egyszerűbben L(x, φ, µ φ) Hatás: S = M L, azaz S = L(x, φ(x), µ φ(x))d 4 x Legkisebb hatás elv: φ megvalósuló állapot S φ = S min Megoldások: Euler-Langrange egyenletből, L φ µ L ( = 0 µφ) Az energia-impulzus-tenzor: T ν µ = L ( µφ) νφ g ν µ L 0, 0 komponens a Hamilton-függvény, 0, i a térre integrálva az impulzus Példa: klasszikus skalármezőre L = 1 2 ( µ φ)( µ φ) 1 2 m2 φ 2. Innen az Euler-Lagrange: ( + m 2 )φ = 0 (Klein-Gordon egyenlet). Ennek megoldása φ = d 3 k (2π) 3 2E (eikx a (k) + e ikx a(k)) Az energia-impulzus tenzor itt µ φ ν φ g ν µ L Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 3 / 18

4 Kvantálás Hamilton formalizmus: q = r, p = L ṙ H = qp L, Hamilton-egyenletek: ṗ = H q ill. q = φ és π = L φ H és q = p Állapotok metrikus (Hilbert) tér elemei, mennyiségek az operátorai Álljanak fenn kommutációs relációk: [p, q] = i δ, [p, p] = [q, q] = 0. a(k) /a + (k): keltő/eltüntető operátorok, a(k) 0 = 0, a + (k) 0 = k. Kommutációs reláció: [a, a + ] δ, többi 0. Hamilton-operátor ezekkel 1 d 3 k 2 (2π) 3 2E(k) E(k)(a+ (k)a(k) + a(k)a + (k)) A vákuumra a(k) 0 = 0, és itt akkor H = 1 2 δ(0) E(k)d 3 k =! Normálrendezés bevezetése: a + (k)a(k) sorrendre hozás, így nem divergál Ez éppen a részecskeszám-operátor, ezzel H = d 3 k (2π) 3 2E(k) E(k)N(k) N-részecske állapot: k 1, k 2,..., k N Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 4 / 18

5 Klasszikus globális szimmetriák φ legyen M V Globális szimmetriacsoport: g G esetén L invariáns φ g(φ)-re. Valójában itt a csoport Lin(V )-n vett ábrázolásáról van szó persze. Ez másképp: L g szerinti deriváltja nulla (Lie-algebrára áttérve) L Innen µ j µ = 0, ahol j µ = i ( T φ µφ) Ez a megmaradó Noether-áram, ahol T a Lie-algebra bázisának ábrázolása. Nulladik komponens integrálva a térre: megmaradó töltés Például L = 1 2 ( µ φ) ( µ φ) 1 2 m2 φ 2 invariáns az U(1)-re A forgatások C-ben vett képe e iα : φ e iα φ cserére L invariáns. Itt a Noether-áram j µ = ie(φ µ φ φ µ φ ) Ez kvantummechanika esetén tényleg a töltések árama Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 5 / 18

6 Klasszikus mértékelmélet (gauge-elméletek) Legyen L globálisan szimmetrikus Például L = ( µ φ) ( µ φ) m φ 2, itt φ e iα φ szimmetria Lokálissá tehető-e ez, azaz α : M R esetén is fennállhat-e? Probléma: a deriváltak miatt extra tagok jelennek meg, ezeket kompenzálni kell,,kovariáns deriválás: µ µ iga µ, ahol g konstants A µ a kompenzáló mértékmező, g a,,csatolási állandó. Invariancia: A-nak Lagrange: L A = F µν F µν ; F µν = µ A ν ν A µ Tehát ha a deriválás helyett a fenti operátort vesszük, és hozzáadjuk L A -t, lokális szimmetriát kapunk Skalár elektrodinamika: D µ = µ iea µ, L = Dφ 2 m 2 φ F 2. C 4 eldin: L = ψ(iγ µ D µ m)ψ 1 4 F µνf µν, j µ = eψγ µ ψ. Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 6 / 18

7 Szórásjelenségek leírása ψ bejövő, ψ + kimenő állapot, a kettő kapcsolata a szórásmátrix Erre S ψ = ψ +, ennek mátrixelemei S ab = ψ a ψ b Hamilton: H = H 0 + H 1, a kölcsönható rész H 1 = jψ perturbáció ψ a szabad, míg φ a teljes Hamilton sajátálapota Ekkor e iht φ e ih0t ψ, azaz ψ = e iht e ih0t φ = Ω(t)φ, ha t ± Innen S = Ω( t)ω(t) t, és a klaszter elvvel megkapható, hogy S = T exp( i H 1 (t)dt), ahol H 1 (t) = e ih0t H 1 e ih0t, T : időrendezés. Wick-tétel: időrendezett = normálrendezett vákuum-várható érték Ha S ab = I 2πδ ab im ab, akkor dσ(a b) = (2π)4 u a M ba 2 δba 4 konkrét nem nulla járulékok: Feynman-diagrammok elemei. Kimenő/bejövő részecske/antirészecske: Dirac spinorok, u(p, σ),... Kölcsönhatási vertex: csatolási állandó és Dirac-delta Belső részecskevonal: propagátor, (q 2 + m 2 iɛ) 1 d 4 q Pl Klein-Nishina kiszámolható így Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 7 / 18

8 Renormálás és regularizáció Adott szórásban rengeteg belső folyamat (Feynman gráfban hurkok) Hatáskeresztmetszet ezek perturbatív összege (g kicsi) Egyes tagok integrálja divergálhat (UV-ban, Landau pólus) Adott hossz alatt (energia felett) az elmélet eleve nem érvényes! Végezzünk el egy levágást: regularizáció Renormálás: másik probléma, R 0 töltött gömb energiája végtelen Itteni alkalmazása: nyers mennyiségek renormáltra cserélése Ellentagokkal való kompenzálás, végtelenek eltűnnek Skálától: futó csatolás (σ(s) = α 2 (s) σ 0 (s), σ 0 az LO hkm) QED fundamentális problémája: kis méretekre divergáló csatolás QCD belső konzisztenciája: aszimptotikus szabadság Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 8 / 18

9 Spontán szimmetriasértés és Higgs Adott H Hamilton, U(g) szimmetria, ha UHU + = H Ha H a = b, akkor E A = a H a = b H b = E B, degeneráció Legyen L = µ ψ µ ψ V (ψ), ahol V (ψ) = λ 2 (2ψ ψ a 2 ) 2. Ez invariáns U(1)-re, a minimumhalmaz is: a vákuum is degenerált! Írjuk ezt át ψ(x) = (a + η(x))e iθ(x)/a ( formára, ekkor az új Lagrange: ( ) L = 1 2 ( µη) 2 2a 2 λη ( µθ) 2 + η a + η2 ( µ θ) 2 λη 2 aη + η2. 2a 2 ) Itt η valós skalármező, θ tömegtelen Goldstone bozon, ilyen nem lehet! Mértékelmélet: µ ψ µ ψ D µ ψd µ ψ 1 4 F µνf µν. e iθ(x)/a kitranszformálása: ψ (a + η), A µ A µ µ θ/ea = B µ L = 1 4 F B µνf B,µν µη µ η + e2 2 B µb µ (a + η) 2 λ 2 η2 (2a + η) 2. 2 skalár + 1 vektorbozon 1-1 tömeges skalár és vektorbozon. A tömeges skalár a Higgs, a másik a mértékbozon SU(2) elméletben: 1 db skalár Higgs, 3 tömeges vektorbozon lesz Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 9 / 18 2

10 Az elektrogyenge elmélet Salam-Weinberg modell: SU(2) U(1) spontán sértett mértékelmélet L em = ej µ A µ, ahol j µ = eγ µ e L gy = g(j µ W +µ + J µ W µ ), ahol J µ = ν e γ µ (1 + γ 5 )e 3 vektorbozon, A, W + és W. 3 megmaradó áram és töltés, Ez az SU(2) U(1) elmélet, ahol U(1) a gyenge hipertöltést adja Ez lesérül egy U(1) em szimmetriára: a tömeges vektorbozonok A modell eredménye: egy tömeges skalár (Higgs), két töltött és egy semleges vektorbozon (W ±, Z), egy tömegtelen vektorbozon (γ) Fermion-szektor: ψ L,R = (1 ± γ 5 )ψ Balkezes dublet: (ν, e L ) és (u L, d L ). Jobbkezes szinglet: u R, d R, e R D µ ψ R = µ ψ R + ig B µ ψ R, D µ ψ L = µ ψ L igτa µ ψ L + ig B µ ψ L Tömeg: µψ L ψ R jellegű tagokból; csak balkezes neutrínó: m ν = 0 Fermion-skalár csatolás: f ψ L ψ R φ, ezekből tömegek és Higgs Paraméterek egy család esetén: g, g, µ 2, λ, f e, f d, f u Fizikai paraméterek: e, M W, θ W, m η, m e, m u, m d Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 10 / 18

11 Az erős kölcsönhatás SU(3) elmélet: L = ψ (iγ µ D µ m) ψ 1 4 F a µνf µν a F a µν = µ A a ν ν A a µ gf abc A b µa c ν, D µ = µ iga a µλ a /2 λ a : 8 Gell-Mann mátrix (Lie-algebra gen.), f abc a struktúraállandók A kvantáláskor bejönnek furcsa Fadeev-Popov szellemterek Futó csatolás: aszimtotikus szabadság és kvarkbezárás Gráfok: propagátorok (g, q, χ), ggg, gggg, qg és χg vertexek A QCD kizárólag a színekre vonatkozik, más jellegű tagok nincsenek Kvarkok QCD fundamentális ábrázolásában (antikvarkok cc) Gluonok az adjungált ábrázolásban, oktettet alkotva A nyolc gluon tömegtelen, de van színtöltése, azaz önkölcsönható Természetben megfigyelhető állapotok: szín-szingletek Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 11 / 18

12 A részecskék standard modellje Részecskék: kvarkok és leptonok Kölcsöhatást közvetítők: bozonok És a Higgs részecskék kölcsönhatások közvetítő bozonok Kvarkok Leptonok u c t Erős kh. El-mágn. kh. Gyenge kh. g (erős) d s b γ (e-m) e µ τ Z (gyenge) ν e ν µ ν τ W (gyenge) Higgs Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 12 / 18

13 Hadronok A három könnyű kvark nagy energiáról nézve szimmetrikus: íz SU(3) Kvark-antikvark párok: 3 3 = 1 8, szinglet és oktet Három kvarkból: = 10 S 8 M 8 M 1 A Dekuplet szimmetrikus, szinglet antiszimmetrikus, oktetek kevertek. Egy barion-hullámfüggvény elemei: ψ flavor χ spin ξ color η space Proton hullámfüggvényének íz és spin része: 1 18 (2u u d u u d u u d + 2u d u u d u u d u + 2d u u d u u d u u ) Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 13 / 18

14 Alapvető részecskék tulajdonságai Bozonok γ, g (m = 0), W (80.39±0.02 MeV), Z ( ±0.002 MeV), Higgs? Leptonok töltött leptonok: e (511 kev), µ (105.7 MeV), τ (1.777 GeV) neutrínók: ν e (<2.2 ev), ν µ (<170keV), ν τ (<15.5MeV) Kvarkok +2/3 töltésűek: u ( MeV), c ( GeV), t (171±2 GeV) 1/3 töltésűek: d (4-8 MeV), s ( MeV), b (4.25±0.15 GeV) Mezonok (két kvark kötött állapotok) Pszeudoskalár mezonok: π (±, 0), K (±, 0, 0), η, η Vektormezonok: K (0, 0, +, ), ρ (±, 0), ω, φ Mezonok c, d kvarkokkal: D, B, J/Ψ, Υ, etc. Barionok u, d, s kvarkokból: p, n,, Σ, Λ, Ξ, Ω egyebek Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 14 / 18

15 A pszeudoskalár mezonok Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 15 / 18

16 A vektormezonok Csanád Máté, ELTE Atomfizikai Tanszék Részecske- és magfizikai szeminárium 16 / 18