Friedmann egyenlet. A Friedmann egyenlet. September 27, 2011

Átírás

1 A September 27, 2011 A

2 A

3 A

4 Robertson-Walker metrika Konvenció: idő komponenseket 4. helyre írom. R-W metrika: R(t) kr 2 g = 0 R(t) R(t) 2 r 2 sin 2 (Θ) Ugyanez más paraméterezéssel (r 2 x 2 + y 2 + z 2 ): R(t) ( kr 2 ) 2 R(t) g = ( kr 2 ) 2 R(t) ( kr 2 ) A

5 Használt fogalmak Konnexió: X Y = (X (Y k ) + X i Y j Γ k ij) k A g metrikus tenzor kijelöl egy konnexiót: Ekkor Torziómentes: X Y Y X [X, Y ] = 0 Zg(X, Y ) g( z X, Y ) g(x, Z Y ) = 0 Riemann tenzor: Γ k ij = 1 2 g ks ( i g js + j g is s g ij ) R.jkl i... = k Γ i...lj lγ i...kj + Γi...km Γm...lj Γ i...lj Γm...kj Ricci tenzor: R jl = R i....jil Skalárgörbület: Scal = R = R j..j A

6 Ricci tenzor, görbület A Ricci tenzor: Itt R µν = A skalárgörbület: f (R)R2 ( kr 2 ) f (R)R2 ( kr 2 ) f (R)R2 ( kr 2 ) R R f (R) = R R + 2Ṙ2 R 2 + 2k R 2 Scal = 6 k + Ṙ2 + R R R 2 A

7 A

8 A származtatása Einstein egyenlet Egyszerűsítések: R µν 1 2 Scal g µν = 8πGT µν + Λg µν Λ = 0 T µ..ν diagonális Izotrópia: T µ..ν térbeli részen identitás Folyadék modell A

9 A származtatása Einstein egyenlet Egyszerűsítések: R µν 1 2 Scal g µν = 8πGT µν + Λg µν Λ = 0 T µ..ν diagonális Izotrópia: T µ..ν térbeli részen identitás Folyadék modell A

10 A származtatása Einstein egyenlet Egyszerűsítések: R µν 1 2 Scal g µν = 8πGT µν Λ = 0 T µ..ν diagonális Izotrópia: T µ..ν térbeli részen identitás Folyadék modell A

11 A származtatása Einstein egyenlet Egyszerűsítések: R µν 1 2 Scal g µν = 8πGT µν Λ = 0 T µ..ν diagonális Izotrópia: T µ..ν térbeli részen identitás Folyadék modell A

12 Az energia-impulzus tenzor Folyadék esetén: Nyugvó folyadék: u = (0, 0, 0, 1) T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν R(t) p(t) ( kr 2 ) 2 R(t) 0 p(t) T µν = ( kr 2 ) 2 R(t) 0 0 p(t) 2 0 ( kr 2 ) ρ(t) A

13 Az energia-impulzus tenzor Folyadék esetén: Nyugvó folyadék: u = (0, 0, 0, 1) T.ν µ. = g µα T αν = T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν p(t) p(t) p(t) ρ(t) A

14 Energia megmaradás A Bianchi azonosságokból (energia megmaradás): Nem eltűnő rész: T µν..;ν = 0 3Ṙ(ρ + p) + R ρ = 0 Átalakítva: d dt (R3 ρ) = p d dt (R3 ) Ez gyakorlatilag a TD 1. törvénye. A

15 Állapotegyenlet Állapotegyenlet: w időfüggetlen p(t) = w ρ(t) Ezzel a TD 1. tv-e: (1 + w)ρ d dt R3 = ρr 3 Innen ρ R 3(1+w), 3 aleset van: Sugárzás : w = 1/3 = ρ R 4 Anyag : w = 0 = ρ R 3 Vákuum : w = 1 = ρ const A

16 Az Einstein egyenlet: R µν 1 2 g µνscal = 8πGT µν Felhasználjuk T alakját és az állapotegyenletet. Az idő komponens: A térbeli rész: Ṙ 2 R 2 + k R 2 = 8πG 3 ρ 2 R R + Ṙ2 R 2 + k R 2 = 8πGp A T..;ν µν = 0 energia-megmaradás nem független ezektől (Bianchi) A

17 A

18 Nagy Bumm A térbeli és időbeli rész: Ṙ 2 R 2 + k R 2 = 8πG 3 A térbeli és időbeli rész különbsége: ρ, 2 R R + Ṙ2 R 2 + k R 2 = 8πGp R R = 4πG (ρ + 3p) 3 Most Ṙ > 0, így ha ρ(t) + 3p(t) 0, akkor R < 0 t. Végig konkáv t : R(t) = 0, Nagy Bumm. A

19 Hubble paraméter Hubble paraméter: H = Ṙ R : Átírva: Ṙ 2 R 2 + k R 2 = 8πG 3 ρ k H 2 R 2 = 8πG 3H 2 ρ 1 = Ω(t) 1 Legyen ρ c (t) = 3H2 8πG, ekkor Ω = ρ/ρ c Nyilván Ω és a geometria összefügg: k = 1, zárt Ω > 1 k = 0, lapos Ω = 1 k < 0, nyílt Ω < 1 A

20 Hubble paraméter R függése Korai univerzum: k elhanyagolható. : 8πG 3 ρ = Ṙ2 R 2 + k R 2 = H2 + k R 2 Így ha k elhanyagolható: ρ H 2 Anyag: ρ R 3 H 2 R 3 Sugárzás: ρ R 4 H 2 R 4 A

21 Vöröseltolódás Ω és a vöröseltolódás kapcsolata (t < t 0 ) Anyag dominancia: Ω 1 R/R 0 = 1 (1+z) Sugárzás dominancia: Ω 1 R EQ/R 0 (R/R EQ ) (1+z) 2 Az Univerzum először sugárzás- majd anyag dominált. R EQ 10 4 : átmenet sugárzás- és anyag dominancia közt A

22 Görbületi sugár A térbeli rész görbülete: Görbületi sugár: Scal 3 = R curv = R(t) k = 6k R(t) 2 = 6H2 (Ω 1) 1 6 H Ω 1 = Scal 3 R curv : görbületi sugár (gömb), k: kiskálázott. Korai univerzum: Ω 1 << 1, görbület elhanyagolható. A

23 Lassulási paraméter Lassulási paraméter: q 0 = R(t 0 ) 1 R(t 0 ) Friedmann és a térbeli komponensek: H 2 0 Ṙ 2 R 2 = H2 = 8πG 3 ρ k R 2, R R = 4πG 3 Kettő hányadosából (állapotegyenlet: p = w ρ): q 0 = Ω 0 (1 + 3w)/2 Anyag: w = 0 q 0 = Ω 0 /2 Sugárzás: w = 1/3 q 0 = Ω 0 Vákuum: w = 1 q 0 = Ω 0 (ρ + 3p) A

24 A

25 Energia megmaradás: Einstein egyenlet: T µν..;ν = 0 d(ρr 3 ) = pd(r 3 ) R µν 1 2 Scal g µν = 8πGT µν (+Λg µν ) Idő komponens = illetve térbeli komponensek: Ṙ 2 R 2 + k R 2 = 8πG 3 ρ, R R = 4πG 3 (ρ + 3p) Nagy bumm: ρ + 3p > 0 Állapotegyenlet: p = ρw, mennyiségek: Ω, R curv, H, q 0 A

26 Irodalom Kolb, Turner, The early universe (1989) Péter Hraskó, Relativitáselmélet (TYPOTEX, 2002) Griffiths, Podolský, Exact space-times in Einstein s relativity (Cambridge University Press, 2009) Szolcsányi, Differenciálgeometria I. (Tankönyvkiadó, Budapest, 1991) A