EGY KIS KLASSZIKUS DIFFERENCIÁLGEOMETRIA, A GAUSSBONNET-TÉTEL BIZONYÍTÁSA. 1. Bevezetés

Átírás

1 Alkalmazott Matematikai Lapok 26 (2009), EGY KIS KLASSZIKUS DIFFERENCIÁLGEOMETRIA, A GAUSSBONNET-TÉTEL BIZONYÍTÁSA SZEMLÉLETES BIZONYÍTÁST ADUNK A FELÜLETELMÉLET FONTOS TÉTELÉRE FARKAS MIKLÓS 1. Bevezetés 1956 nyarán a Bolyai János Matematikai Társulat kollokviumot tartott Balatonviláoson. Ezen adtam el akkor talált új bizonyításomat a GaussBonnettételre. Sokái nem publikáltam, majd három éves niériai vendétanársáom idején kérésre leközöltem a Nierian Journal of Science-ben [1]. A folyóirat ma már nem nayon érhet el, de úy ondolom, hoy kár lenne a bizonyítást veszni hayni, annyira szépek és szemléletesek a benne felhasznált klasszikus felületelméleti eszközök. Az a yanúm, hoy a modern dierenciáleometria mai kiváló m vel i körében ezek ey része talán feledésbe is merült. A több mint 150 éves GaussBonnet-tétel (Bonnet, 1848) a felületdarab teljes örbülete és a felületdarabot határoló felületi örbe eodetikus örbülete között állapít me összefüést. Általános érvény tétel, amely n-dimeziós Riemann-tér felületeire is kimondható, mi azonban itt az eyszer, szemléletes esetre korlátozódunk, felületre a háromdimenziós euklideszi térben. A tételnek számos eyszer következménye és speciális esete van a sík- és a szférikus eometriában. Ismertnek tételezzük fel ey korszer Dierenciáleometria kurzus anyaát, de a következ pontban ismertetjük azokat a szüksées foalmakat és tételeket, amelyek feltehet le már kiestek a mai kurrikulumokból. A 3. pontban mondjuk ki a tételt és véezzük el a bizonyítást. 2. El zmények El ször is a Levi-Civita-féle párhuzamos eltolás foalmára és tulajdonsáaira lesz szükséünk (lásd pl. [2,3]). A foalmat a 20. század elején vezette be Tullio Levi-Civita azzal a céllal, hoy analízist m velhessünk felületi vektormez kön. Nyilvánvaló uyanis, hoy ha ey felületi vektort a beáyazó euklideszi térben, a közönsées értelemben párhuzamosan eltolunk a örbült felület ey másik pontjába, az ott már általában nem lesz felületi vektor.

2 10 FARKAS MIKLÓS Leyen F eyszer, sima felületdarab, sima felületi örbe, P és Q e örbe két pontja és v felületi vektor a P pontban. Tekintsük a felületnek a örbe pontjaihoz tartozó érint síkjait. E síksere burkolófelülete síkba fejthet vonalfelület [4]. Fejtsük ezt a vonalfelületet síkba, a P-nek mefelel pontbeli v síkvektort toljuk el párhuzamosan a sík Q-nak mefel pontjába, majd fejtsük vissza a burkolófelületet a örbére. Ily módon a Q pontban kapunk ey felületi vektort. Azt mondjuk, hoy ez a vektor a P ponbeli v vektorból a örbe mentén történt Levi-Civita-féle párhuzamos eltolással keletkezett. Az el bbi eometriai konstrukcióval ekvivalens a következ mehatározás. Leyen D R 2 eyszeresen összefü, korlátos, mérhet síktartomány, r : D R 3 dieomorzmus (C 3 osztálybeli), amely D-t az F felületbe képezi le: (u 1, u 2 ) D r (u 1, u 2 ) F R 3, leyen továbbá m(u 1, u 2 ) a felület eysé normálvektora és : (u 1 (t), u 2 (t)) sima felületi örbe, t [a, b] Deníció. Azt mondjuk, hoy a örbe pontjaiban értelmezett v(u 1 (t), u 2 (t)) felületi vektormez a örbe mentén Levi-Civita-féle értelemben párhuzamos, ha kieléíti a következ eyenletrenzert: m dv dt = 0, mv = 0, (1) ahol az els eyenletben vektoriális, a másodikban skalár szorzat szerepel. (1) els eyenlete azt fejezi ki, hoy ha a vektor a örbe mentén Levi-Civitaértelemben párhuzamos, akkor két közeli (szomszédos) pontbeli értékének különbsée els rendben mer lees a felület érint síkjára, dierenciálja párhuzamos a felületi normálissal. A második eyenlet biztosítja, hoy a vektormez értéke minden pontban felületi vektor. Ha az (u 1 (a), u 2 (a)) pontban meadjuk a v 0 felületi vektort, akkor, amint ez könnyen belátható, az (1) renzer eyértelm en mehatározza azt a v(t) felületi vektormez t, amely kieléíti a v(a) = v 0 kezdeti feltételt. Azt mondjuk ekkor, hoy v(t) a v 0 vektorból a örbe mentén történ Levi-Civita értelemben vett párhuzamos eltolással keletkezett. Könnyen belátható, hoy a Levi-Civita párhuzamos eltolás rendelkezik a következ tulajdonsáokkal. Két uyanazon örbe mentén eltolt felületi vektor skaláris szorzata állandó. Ebb l következik, hoy párhuzamosan eltolt felületi vektor hossza állandó, továbbá két uyanazon örbe mentén párhuzamosan eltolt felületi vektor által bezárt szö is állandó. Ha az (u 1 (a), u 2 (a)) pontbeli v 0 vektort ey másik örbe mentén toljuk el párhuzamosan az (u 1 (b), u 2 (b)) pontba, akkor általában más vektort kapunk: a párhuzamos eltolás fü az úttól. Másképpen kifejezve uyanezt, ha a örbe zárt, vayis (u 1 (a), u 2 (a)) =(u 1 (b), u 2 (b)) és a v 0 vektort párhuzamosan körbetoljuk a örbe mentén, renzerint nem kapjuk vissza a kiindulási pontban az eredeti vektort. Azokat a felületeket, amelyeken a párhuzamos eltolás füetlen az úttól, abszolút párhuzamossáal rendelkez felületeknek nevezzük. Ey felület akkor és csak akkor rendelkezik abszolút párhuzamossáal, ha Gauss-féle szorzatörbülete zérus.

3 GAUSSBONNET-TÉTEL BIZONYÍTÁSA 11 Leyen most a felületi örbe ívhossz paraméterezéssel adott: r(s), ahol s az ívhossz (valamely pontjából mérve). Jelöljük κ(s)-sel a örbe örbületét és n(s)- sel f normális eysévektorát. Az els Frenet-formula szerint d2 r = κn. Az utóbbi vektort bontsuk fel ey érint síkbeli és ey felületi normális irányú 2 komponensre: κn = γm dr + ηm, (2) ahol vektoriális szorzat áll. Az ily módon deniált γ(s) mennyiséet a örbe eodetikus örbületének nevezzük. A eodetikus örbület azt adja me, mennyire örbül a örbe az érint síkban. Azokat a felületi örbéket, amelyeknek eodetikus örbülete azonosan zérus, eodetikus vonalaknak nevezzük. Ezek eyben a két felületi pontot összeköt örbék közül az ívhosszra nézve a stacionáriusak: eleend en rövid szakaszaik a két vépontjukat összeköt felületi örbék közül a lerövidebbek Tétel. Leyen a v(s) felületi vektor párhuzamosan eltolt az ívhossz paraméterezésben adottr(s) eyenlet felületi örbe mentén, jelöljük γ(s)-sel a örbe eodetikus örbületét és θ(s)-sel a v(s) és a örbe dr(s) eysé érint vektora közötti irányított szöet, ekkor érvényes a következ : dθ = γ(s). (3) Bizonyítás. Az általánossá meszorítása nélkül teyük fel, hoy v(s) = 1. Dierenciáljuk a v dr = cos θ eyenletet: dv dr + v d2 r dθ = sin θ 2. dv Az els ta a bal oldalon zérus, mivel (1) szerint párhuzamos a felület normálvektorával. Frenet els formulája szerint v κn = sin θ dθ. Behelyettesítve (2)-b l γv m dr dθ + ηv m = sin θ. (1) szerint a második ta a bal oldalon zérus, vayis γ cos(π/2 θ) = sin θ dθ, tehát γ sin θ = sin θ dθ. Innen az állítás következik. (Ha diszkrét pontokban sin θ zérus, akkor a folytonossából, ha ey eész szakaszon zérus, akkor ez a szakasz eodetikus és a szö deriváltja is zérus). A (3) formula mutatja, hoy a eodetikus örbület a örbe érint vektora iránya meváltozásának sebessée az ívhosszra vonatkoztatva ey párhuzamosan eltolt

4 12 FARKAS MIKLÓS vektor irányához (vayis az állandónak tekinthet irányhoz) képest. Ebb l az is következik, hoy eodetikus vonal érint vektora a eodetikus vonal mentén párhuzamosan eltolt vektor. (Mejeyezzük, hoy Euklidesz mé deniálta az eyenest, mint olyan örbét, mely mindenütt uyanabba az irányba halad. A eodetikus vonal ebben az értelemben is az eyenesnek felel me örbült felületen). Leyen most szakaszonként sima, eyszer, zárt örbe vées sok törésponttal: (u 1 (a), u 2 (a)) = (u 1 (b), u 2 (b)). A töréspontokban az érint vektor törésszöét jelöljük α i -vel, (i = 1, 2,..., n). Osszuk fel a örbét kis részekre úy, hoy a töréspontok is osztópontok leyenek, és kössük össze az osztópontokat eodetikus ívekkel. Ily módon ey a örbébe írt zárt p eodetikus poliont kapunk. Jelöljük p töréspontjaiban érint vektorának törésszöeit ψ k val, (k = 1, 2,..., N). Leyen P a örbe ey töréspontja és v 0 ey felületi vektor P -ben. Toljuk el v 0 -at párhuzamosan, ill. p mentén körbe, mí visszajutunk P-be. Az ilyen módon P -ben kapott vektorokat jelöljük v -vel, ill. v p -vel. Leyen v és v 0, illetve v p és v 0 szöe ψ, ill. ψ p. A (3) formulából azonnal következik, hoy ψ = γ(s) + ψ p = α i, (4) N ψ k, (5) mivel p eodetikus örbülete zérus. Finomítsuk a örbe felosztását minden határon túl. Ekkor p, v p v, ψ p ψ, ahonnan N lim ψ k = γ(s) + α i (6) következik. Azok számára, akik dierenciáleometria Ricci-kalkuluson alapuló táryalásához szoktak, mejeyezzük, hoy a párhuzamos eltolásra adott deníciónkból levezethet az (u 1 (t), u 2 (t)) örbe mentén párhuzamosan eltolt v(t) vektor dierenciáleyenlete: dv i dt + Γi jk(u 1 (t), u 2 (t)) duj (t) v k = 0, dt ahol Γ a Christoel-szimbólum, v i a v vektor kontravariáns koordinátája, és az Einstein-konvenciót használtuk (vayis összezés fent és lent lév eyforma indexekre 1-t l 2-i). Áttérünk a felület ömbi leképezésének néhány tulajdonsáára. Az F felületet párhuzamos normálisok mózerével leképezzük az S eyséömb felületre. Ezen azt értjük, hoy a P F pontnak, amelyben a felületi eysé normálvektor m, mefeleltetjük a ömbfelület m helyvektorú P pontját. A leképezésnél, nyilván, eymásnak mefelel pontokban a felület, illetve a ömb érint síkja párhuzamos.

5 GAUSSBONNET-TÉTEL BIZONYÍTÁSA 13 Az r(u 1 (t), u 2 (t)) eyenlet felületi örbe képe a ömbfelületen a m(u 1 (t), u 2 (t)) eyenlet ömbfelületi örbe. Toljuk el az (u 1 (a), u 2 (a)) pontbeli v 0 felületi vektort Levi-Civita értelemben párhuzamosan a örbe mentén. Az érint síkok párhuzamossáa miatt az íy kapott v(t) vektormez meeyezik a v 0 vektornak a ömbfelületi örbe mentén történt párhuzamos eltolása útján nyert ṽ(t) vektormez vel: v(t) = ṽ(t), t [a, b]. Jelöljük ik -val az F felület metrikus tenzorának koordinátáit (i = 1, 2, k = 1, 2), és leyen = ( ) 2 1/2. Ekkor F felszíne: mesf = (u 1, u 2 )du 1 du 2. D Jelöljük F Gauss-féle szorzatörbületét K(u 1, u 2 )-vel és F ömbi képének felszínét Σ-val. Ismeretes, hoy ha F a ömbfelületbe ey-eyértelm en képz dik le és K el jele állandó, akkor K felszín szerinti interálja eyenl a ömbi kép el jeles felszínével: K(u 1, u 2 )(u 1, u 2 )du 1 du 2 = ±Σ, (7) D ahol a jobb oldalon a pozitív, ill. a neatív el jelet kell yelembe venni aszerint, amint K >, ill. < 0. A formula az általános esetben is érvényes, ha F -et felbontjuk olyan részekre, amelyek ey-eyértelm en képz dnek le, illetve amelyeken a szorzatörbület el jele állandó. A formula szemléletes jelentése az, hoy minél nayobb a felület örbülete, annál kisebb a felszíne a ömbi kép felszínéhez viszonyítva. 3. A GaussBonnet-tétel 3.1. Tétel. Leyen D R 2 eyszeresen összefü, mérhet, korlátos síktartomány, r : D R 3 háromszor folytonosan dierenciálható dieomorzmus, F := {r(u 1, u 2 ) R 3 : (u 1, u 2 ) D} eyszeresen összefü, sima felületdarab, amelyet az eyszer, szakaszonként sima, zárt örbe határol, és használjuk az el z pontban bevezetett jelöléseket, ekkor érvényes a következ : (i = 1, 2,..., n)az érint vektor (el jeles) törésszöei a örbe töréspontja- ahol α i iban. D K(u 1, u 2 )(u 1, u 2 )du 1 du 2 = 2π γ(s) α i, (8) Ez a tétel tehát azt mondja ki, hoy a felületdarabot határoló zárt örbe eodetikus örbülete mehatározza a felületdarab teljes örbületét (a Gauss-féle szorzatörbület felszín szerinti interálját). Alkalmazzuk a tételt az R suarú ömb ey eodetikus (f körívek által határolt) H háromszöére. Ekkor K(u 1, u 2 ) = 1/R 2, γ = 0 és ha a ömbi háromszö

6 14 FARKAS MIKLÓS bels szöeit λ, µ, ν-vel jelöljük, 1 mesh = 2π (π λ) (π µ) (π ν), R2 vayis mesh = ((λ + µ + ν) π))r 2. Visszakaptuk a ömbháromszötan ismert formuláját ömbi háromszö felszínére. Próbáljuk me alkalmazni a tételt az euklideszi sík háromszöére, bár, mint látni fojuk, a bizonyítás az euklideszi síkra nem m ködik. Ekkor K = 0, γ = 0, és ha a háromszö szöeit λ, µ, ν-vel jelöljük, 0 = 2π (π λ) (π µ) (π ν), vayis λ + µ + ν = π. Nem kaptuk me a területet, de visszakaptuk, hoy a háromszö szöeinek összee π. Bizonyítás. Az F felületet leképezzük a párhuzamos normálisok mózerével az S eyséömb felületre. A örbe ömbi képét jelöljük -mal. A örbe uyancsak szakaszonként sima, jelöljük töréspontjaiban érint vektorának törésszöeit β i vel (i = 1, 2,..., n). Írjunk be -be ey zárt, szférikus poliont és jelöljük e polion felszínét mes P -mal. Az ismert szférikus eometriai formula szerint mes P = r ω k (r 2)π, ahol ω k a polion k-adik szöe. Bevezetve e polion érint vektorának ψ k törésszöeit mes P r = 2π ψ k. (9) Ha az osztópontok számát -on minden határon túl növeljük, a szférikus polion -hoz tart és mes P az F felület ömbi képének Σ felszínéhez. Alkalmazzuk most (6)-ot a ömbi képre: lim r ψ k = γ( s)d s + β i, ahol γ és s a örbe eodetikus örbülete, ill. ívhossza. Eyenl vé téve (9) két oldalának határértékét Σ = 2π γ( s)d s +. (10) Veyünk most ey v 0 felületi vektort ey Q pontjában és jelöljük ṽ 0 -mal a v 0 -lal eyenl ömbfelületi vektort a ömb Q-nak mefelel Q pontjában. Toljuk el -n körbe Levi-Civita értelemben párhuzamosan v 0 -at és -on körbe ṽ 0 - at. Jelöljük az ily módon Q-ban, ill. Q-ban nyert vektorokat v1 -yel, ill ṽ 1 mal. A β i

7 GAUSSBONNET-TÉTEL BIZONYÍTÁSA pontban mondottakból azonban következik, hoy v 1 = ṽ 1. Ezek szerint v 1 és v 0 szöe meeyezik ṽ1 és ṽ 0 szöével. A (4) formulát és annak -ra felírt analoonját eyenl vé téve γ( s)d s + β i = γ(s) + α i. Az utóbbi eyenletb l (10)-be helyettesítve és (7)-et yelembe véve kapjuk a (8) formulát. Hivatkozások [1] Farkas, M.: A proof of Gauss-Bonnet's theorem, Nierian Journal of Science I. (1967) No. 2, [2] Klinenber, W.: A Course in Dierential Geometry (Spriner-Verla, New York, 1978) [3] Norden, A.P.: Teoria poverchnosztyej (Gosz. Izd. Tech-Teor. Lit., Moszkva, 1956) [4] Sz kefalvi-nay Gyula: Dierenciáleometria (M szaki K., Budapest, 1979) (Beérkezett: február 10.) FARKAS MIKLÓS Budapesti M szaki és Gazdasátudományi Eyetem Matematikai Intézet 1521 Budapest LITTLE CLASSICAL DIFFERENTIAL GEOMETRY, A PROOF OF GAUSS-BONNET THEOREM Miklós Farkas A simple proof is iven to this classical theorem The proof is based on properties of parallel displacement in the sense of Levi Civita.