Modern differenciálgeometria Sokaságok és a Riemann-geometria elemei Szilasi József
|
|
- Renáta Gulyás
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Modern differenciálgeometria Sokaságok és a Riemann-geometria elemei Szilasi József DE, Matematikai Intézet félév Tartalomjegyzék Panoráma 0 Jelölések, megállapodások, előismeretek 1 Sima sokaságok 1 2 Sima leképezések 13 3 Érintővektorok, derivált, görbék 23 4 Részsokaságok 39 5 Sokaság érintőnyalábja. Vektormezők és elsőfokú differenciálformák 47 6 Tenzorok 65 7 Tenzorderivációk 80 8 Kovariáns deriválás 87 9 Párhuzamos eltolás Geodetikusok Pszeudo-Riemann sokaságok, Riemann-izometriák, ívhossz A Levi-Civita deriválás Riemann-geodetikusok A Riemann-féle görbületi tenzor. Ricci-görbület, skalárgörbület Vektornyalábok Riemann-sokaságok görbületi operátora és metszetgörbülete Irányított sokaságok 261 Feladatok Megoldások
2 Panoráma Algebrai és differenciáltopológia Közönséges differenciálegyenletek Parciális differenciálegyenletek Liecsoportok Sokaságok elmélete Differenciálgeometria Homologikus algebra Klasszikus analízis Integrálelmélet Kommutatív algebra Az elmélet megalapozói és legfontosabb továbbfejlesztői: (1) Sokaság-fogalom (3) Konnexióelmélet C. F. Gauss ( ) É. Cartan ( ) B. Riemann ( ) T. Levi-Civita ( ) H. Weyl ( ) S.-S. Chern ( ) (2) Vektormezők (4) Riemann-sokaságok H. Poincaré ( ) B. Riemann H. Hopf ( ) É. Cartan J. F. Adams, M. Atiyah J. Nash
3 0. Jelölések, megállapodások, előismeretek 0.1. (1) Ha A és B halmazok, A B azt jelöli, hogy az A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme, így az A B reláció megengedi az A = B lehetőséget is. (2) Egy S halmaz identikus transzformációját 1 S jelöli, tehát Ha ϕ: S T egy leképezés és H S, akkor 1 S (s) := s, minden s S esetén. ϕ H : h H (ϕ H)(h) := ϕ(h) T a ϕ leképezés H-ra való leszűkítése. A H részhalmaz S-be való (kanonikus) inklúziója j H := 1 S H. (3) A természetes számok {0, 1, 2,... } halmazát N jelöli; Z, Q és R a szokásos módon rendre az egész, a racionális és a valós számok halmazának jelölésére szolgál. Ha A R, A := A \ {0}, A + := {a A a 0}. Így A + = {a A a > 0}; speciálisan N := N \ {0} a pozitív egészek halmaza. (4) A valós értékű leképezéseket rendszerint függvényekként említjük. (5) Legyenek I és A halmazok. Egy f : I A, i f(i) =: a i leképezésre időnként az A-beli elemcsalád elnevezést és az (a i ) i I jelölést használjuk. Ilyenkor az I értelmezési tartományt indexhalmaznak hívjuk. Ha nem áll fenn félreértés veszélye, (a i ) i I helyett egyszerűen azt is írjuk, hogy (a i ). Amennyiben I N, elemcsalád helyett (A-beli) sorozatról beszélünk. I := J n := {1,..., n} (n N ) esetén az (a i ) i I sorozatra az (a i ) n i=1 vagy az (a 1,..., a n ) jelölést is használjuk. (6) Legyen S egy halmaz, és jelölje P(S) az S halmaz hatványhalmazát (azaz összes részhalmazainak halmazát). Egy (A i ) i I P(S)-beli elemcsaládot S-beli halmazcsaládnak nevezünk. Egy ilyen halmazcsalád A i metszete i I A i uniója és i I értelemszerűen definiálható. Megállapodás szerint A i = és A i = S, ha I =. i I Az (A i ) i I halmazcsalád Descartes-szorzata A i := {(a i ) i I a i A i }, ha I. i I I = J n = {1,..., n} esetén i I A i helyett azt is írjuk, hogy A 1 A n. i I (7) Egy S halmaz egy B részhalmazának lefedésén olyan (A i ) i I S-beli halmazcsaládot értünk, amelyre B i I A i teljesül (1) Gyűrűn asszociatív, egységelemes gyűrűt értünk; egy gyűrű egységelemét, ill. zéruselemét rendszerint az 1, ill. a 0 szimbólummal jelöljük. i
4 (2) Legyen K kommutatív gyűrű és n N. A K elemeiből képzett n n-es mátrixok halmazát M n (K)-val jelöljük. Pontosan szólva, M n (K) elemei A: J n J n K, (i, j) A(i, j) =: a i j alakú kétindexes S-beli elemcsaládok. A szokásos írásmódot használva, a 1 1 a a 1 n A = (a i j) = a 2 1 a a 2 n......, a n 1 a n 2... a n n ahol a felső index sorindex alsó index oszlopindex megállapodással élünk. A mátrixok szokásos összeadásával és szorzásával M n (K) egységelemes gyűrű, amely nem kommutatív, ha n > 1. Az M n (K) gyűrű egységeleme az { 1 n = (δj), i δj i 1, ha i = j := 0, ha i j egységmátrix. (Itt δ i j a Kronecker-szimbólum.) (3) Egy (additív módon írt) V kommutatív csoport egy K kommutatív gyűrű fölötti modulus (röviden K-modulus), ha adva van egy skalárral való szorzásnak mondott leképezés, eleget téve a következő feltételeknek: (i) λ(u + v) = λu + λv; (ii) (λ + µ)v = λv + µv; (iii) (λµ)v = λ(µv); (iv) 1v = v. K V V, (λ, v) λv Ezekben a feltételekben u és v V -nek, λ és µ K-nak tetszőleges elemei. Ha speciálisan a K gyűrű test, a test fölötti vektortér jól ismert fogalmához jutunk. (4) Legyen V és W K-modulus. Egy ϕ: V W leképezés K-lineáris (vagy egyszerűen lineáris), ha ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v), ϕ(λv) = λϕ(v) tetszőleges u V, v V és λ K esetén. A V -ből W -be való összes K-lineáris leképezések halmazát L K (V, W )-vel (vagy egyszerűen L(V, W )-vel) jelöljük. Ha ϕ, ψ L K (V, W ), λ K és tetszőleges v V esetén (ϕ + ψ)(v) := ϕ(v) + ψ(v), (λϕ)(v) := λϕ(v), akkor az így definiált összeadással és skalárral való szorzással L K (V, W ) szintén K-modulus. Speciálisan End K (V ) := L K (V, V ) a bevezetett összeadással és a leképezés-kompozícióval mint szorzással egységelemes, de nem kommutatív gyűrű, a V modulus endomorfizmus-gyűrű je. (Az egységelem az 1 V identikus transzformáció.) 0.3. (1) Egy S halmazon adott topológián S részhalmazainak egy olyan T halmazát (azaz egy olyan T P(S) halmazt) értünk, amelyre teljesülnek a következők: (i) T, S T ; ii
5 (ii) ha A T és B T, akkor A B T ; (iii) ha (A i ) i I tetszőleges T -beli elemcsalád, akkor i I A i T. Ebben az esetben az (S, T ) párt (vagy egyszerűen S-et) topologikus tér nek, a T halmaz elemeit pedig nyílt halmaz oknak nevezzük. Topologikus tér egy részhalmaza zárt, ha a komplementere nyílt. Egy B T halmaz bázisa a topológiának (vagy a topologikus térnek), ha minden nyílt halmaz előállítható B-beli halmazok uniójaként. (2) Legyen (S, T ) topologikus tér és A S. Ha T A := {U A A U T }, akkor T A topológia az A halmazon, amelyet az A-n T által indukált topológiának vagy altér-topológiának hívunk. Azt is mondjuk ekkor, hogy (A, T A ) (vagy egyszerűen A) altere az (S, T ) topologikus térnek. A (3) Tegyük fel, hogy (S i, T i ) i Jn topologikus terek egy véges családja, és legyen S := S 1 S n. B = {U 1 U n S U 1 T 1,..., U n T n } halmaz bázisául szolgál egy T topológiának S-en, amelyet szorzattopológiának hívunk. Az (S, T ) topologikus teret az (S i, T i ) i Jn család szorzatterének mondjuk; ha nem áll fenn félreértés veszélye, egyszerűen S 1 S n szorzattérről beszélünk. (4) Egy topologikus tér egy pontjának (ill. részhalmazának) környezetén a pontot (ill. a részhalmazt) tartalmazó nyílt halmazt értünk. Egy topologikus tér Hausdorff-tér, ha bármely két (értsd: két különböző) pontja rendelkezik diszjunkt környezetekkel. Hausdorff-tér alterei is Hausdorff-terek. (5) Legyen H részhalmaza egy S topologikus térnek. Ekkor int(h) := H belseje := a H által tartalmazott nyílt halmazok uniója; cl(h) := H lezártja := a H halmazt tartalmazó összes zárt halmaz metszete; bd(h) := cl(h) cl(s \ H) H határa. Egy p S pont torlódási pontja (vagy limeszpontja) H-nak, ha p minden környezete tartalmaz tőle különböző H-beli pontot; egy q H pont izolált pontja H-nak, ha {q} nyílt halmaz. Egy topologikus tér egy részhalmaza akkor és csak akkor zárt, ha tartalmazza valamennyi torlódási pontját. (6) Legyen S és T topologikus tér, f : S T pedig egy leképezés. Azt mondjuk, hogy f folytonos egy p S pontban, ha az f(p) pont minden V környezetéhez van olyan U környezete a p pontnak, hogy f(u) V. Az f leképezés folytonos S-en, ha annak minden pontjában folytonos. A következő megállapítások ekvivalensek: (i) Az f : S T leképezés folytonos S-en. (ii) Bármely A T nyílt halmaz esetén f 1 (A) nyílt részhalmaza S-nek. (iii) Bármely B T zárt halmaz esetén f 1 (B) zárt részhalmaza S-nek. (iv) Tetszőleges H S részhalmaz esetén f(cl(h)) cl(f(h)). (7) Legyen S és T topologikus tér, H S, és legyen adva egy f : H T leképezés. Tegyük föl, hogy a S torlódási pontja H-nak, és legyen b T. Azt mondjuk, hogy f határértéke az a pontban b, ha a b pont minden V környezetéhez van olyan U környezete a-nak, hogy Ilyenkor azt írjuk, hogy f(p) V, ha p U H és p a. lim f(x) = b vagy lim x a,x H f(x) = b vagy f(x) b, ha x a (x H). x a iii
6 Megjegyzendő, hogy itt az a pont nem köteles az f leképezés H értelmezési tartományába tartozni, és hogy a H esetén nem föltétlenül kell annak teljesülnie, hogy f(a) = b. A folytonosság és a határérték közötti kapcsolatot a következő észrevétel adja: Egy f : S T leképezés akkor és csak akkor folytonos egy p S pontban, ha p izolált pontja S-nek, vagy p torlódási pontja S-nek és lim x p f(x) = f(p). A fenti általánosságban bevezetett határérték nem feltétlenül egyértelmű, ha azonban a T topologikus tér Hausdorff-tér, akkor ( ) lim f(x) = b 1 és lim f(x) = b 2 = b1 = b 2. x a x a (8) Egy topologikus terek közötti leképezést homeomorfizmusnak nevezünk, ha folytonos, bijektív és az inverze is folytonos. Két topologikus tér homeomorf, ha létezik közöttük homeomorfizmus. (9) Egy (S, T ) Hausdorff-tér kompakt, ha S minden nyílt lefedésének van véges részlefedése, azaz ha egy (U i ) i I T -beli elemcsalád lefedése S-nek, akkor van olyan J I véges halmaz, hogy (U i ) i J is lefedés. Egy A S halmazt akkor mondunk kompaktnak, ha az (A, T A ) altér kompakt topologikus tér. Mivel V T A pontosan akkor teljesül, ha V = A U valamely U T -re, A S akkor és csak akkor kompakt, ha minden T -beli elemcsaláddal való nyílt lefedésének van véges részlefedése. (10) Egy topologikus tér összefüggő, ha nem állítható elő két nemüres, diszjunkt nyílt halmaz uniójaként. Topologikus tér egy részhalmazát akkor mondjuk összefüggőnek, ha mint altér összefüggő. (11) Egy M halmazon adott távolságfüggvényen (röviden távolságon) olyan d: M M R függvényt értünk, amely rendelkezik a következő tulajdonságokkal: (i) d(a, b) = 0 a = b (definitség); (ii) bármely a M és b M esetén d(a, b) = d(b, a) (szimmetria); (iii) bármely a M, b M és c M esetén d(a, c) d(a, b) + d(b, c) (háromszög-egyenlőtlenség). Ekkor az is teljesül, hogy (iv) bármely a M, b M esetén d(a, b) 0 (nemnegativitás), ugyanis 0 (i) = d(a, a) (iii) d(a, b) + d(b, a) (ii) = 2d(a, b). Egy távolságfüggvénnyel ellátott halmazt metrikus térnek nevezünk. a (12) Legyen (M, d) egy metrikus tér. Megadva egy a M pontot és egy r nemnegatív valós számot, B r (a) := {p M d(a, p) < r}, ill. a B r (a) := {p M d(a, p) r} halmazt a középpontú, r sugarú nyílt gömbnek, ill. zárt gömbnek nevezzük. Definiáljunk egy T d P(M) halmazt a következő előírással: U T d def. minden p U ponthoz van olyan ε R +, hogy B ε (p) U Ekkor T d topológia M-en, amelyet a d távolság által indukált metrikus topológiának nevezünk. Az (M, T d ) topologikus tér Hausdorff-tér, amelynek a nyílt gömbök nyílt halmazai, a zárt gömbök zárt halmazai. Metrikus térben dolgozva rendszerint hallgatólagosan föltesszük, hogy a tér el van látva a távolságfüggvény által indukált topológiával. (13) Egy V valós vektortéren adott norma olyan : V R, v v függvény, amely rendelkezik a következő tulajdonságokkal: (i) v = 0 v = 0 (definitség); iv
7 (ii) bármely v V és λ R esetén λv = λ v (abszolút homogenitás); (iii) bármely u V és v V esetén u + v u + v (Minkowski-egyenlőtlenség). Ekkor az is teljesül, hogy (iv) bármely v V esetén v 0 (nem-negativitás). Valóban, 0 (i) = 0 = v + ( v) (iii) v + v (ii) = 2 v. Egy normával ellátott valós vektorteret normált térnek, egy véges dimenziójú normált teret Minkowskitérnek nevezünk. Ha a v V v R függvény norma a V vektortéren, akkor a d: V V R, (a, b) d(a, b) := a b függvény távolság V -n, amelyet a norma által indukált távolságnak mondunk. Minden normált teret metrikus térnek tekintünk az indukált távolsággal, és topologikus térnek az ebből származó metrikus topológiával. (14) Egy valós vektortéren adott két normát ekvivalensnek mondunk, ha ugyanazt a (metrikus) topológiát származtatják. Véges dimenziójú valós vektortéren bármely két norma ekvivalens. Az R n valós vektortéren normát ad meg a ( n v := (ν i ) 2) 1 2, ha v = (ν 1,..., ν n ) előírás. Ez az euklideszi norma, amely a d E : (a, b) R n R n d E (a, b) = ha a = (α 1,..., α n ), b = (β 1,..., β n ) i=1 ( n ) 1 i=1 (αi β i ) 2 2, euklideszi távolságot származtatja. Tárgyalásunk során föltesszük, hogy R n el van látva az euklideszi normával és az ebből származó struktúrákkal (távolság, metrikus topológia) Tekintsük (az imént mondottak szellemében) az R n valós vektorteret. Jelölje (e i ) n i=1 Rn kanonikus bázisát, vagyis azt a vektorsorozatot, ahol i e i = (0,..., 1,..., 0); i Jn. Legyen (e i ) n i=1 a kanonikus bázis duálisa, amelyet az e i (e j ) = δ i j; i J n, j J n (0.1) feltétellel jellemezhető e i : R n R lineáris függvények alkotnak. Ekkor tetszőleges a = (α 1,..., α n ) R n -beli pont esetén e i (a) = e i( n ) α j e j = j=1 n j=1 α j e i (e j ) (0.1) = n α j δj i = α i. Azt is mondjuk, hogy az (e i ) n i=1 függvénysorozat Rn kanonikus koordinátarendszere. (1) Legyen U R n nyílt halmaz, p egy pontja U-nak, és tekintsünk egy f : U R m leképezést. Azt mondjuk, hogy f-nek létezik egy v R n vektor szerinti iránymenti deriváltja a p pontban, ha létezik a j=1 f(p + tv) f(p) D v f(p) := lim R m t 0 t v
8 határérték. Speciálisan az R n tér kanonikus bázisának tagjai szerint képzett D i f(p) := D ei f(p) = lim t 0 f(p + te i ) f(p) t iránymenti deriváltakat ha léteznek f p-beli parciális deriváltjainak hívjuk. Amennyiben D i f(p) minden p U pontban létezik, úgy képezhető a leképezés, f U fölötti i-edik parciális deriváltja. D i f : U R m, p D i f(p) (2) Legyen U továbbra is (nemüres) nyílt részhalmaza R n -nek. Azt mondjuk, hogy egy f : U R m leképezés differenciálható egy p U pontban, ha van olyan L: R n R m lineáris leképezés, hogy lim v 0 Ekkor tetszőleges v R n esetén Valóban, ez nyilvánvaló, ha v = 0. v 0 esetén 1 ( ) f(p + tv) f(p) L(v) = 0 R m. (0.2) v f(p + tv) f(p) L(v) = lim = D v f(p). t 0 t f(p + tv) f(p) ( f(p + tv) f(p) L(tv) ) lim = lim + L(v) t 0 t t 0 t f(p + tv) f(p) L(tv) (0.2) = L(v) + v lim = L(v), t 0 t v és ezt állítottuk. Következik a mondottakból, hogy ha f differenciálható a p pontban, akkor a (0.2) feltételben szereplő L lineáris leképezés egyértelműen meghatározott. Ezt a lineáris leképezést f p-beli deriváltjának nevezzük és f (p)-vel jelöljük. Tehát: Ha U R n nyílt halmaz és f : U R m differenciálható egy p U pontban, akkor a p-beli deriváltja az az egyértelműen meghatározott f (p): R n R m lineáris leképezés, amelyre teljesül, minden v R n esetén. f (p)(v) = D v f(p) = lim t 0 f(p+tv) f(p) t (0.3) Az f (p) deriváltnak az R n, ill. az R m vektortér kanonikus bázisára vonatkozó mátrixát az f leképezés p-beli Jacobi-mátrixának nevezzük, és rá a J f (p) jelölést használjuk. Legyen (ẽ i ) m i=1 az Rm tér kanonikus koordinátarendszere. Az f i := ẽ i f : U R m R, i {1,..., m} függvényeket az f leképezés euklideszi koordinátafüggvényeinek hívjuk; ezek segítségével az f leképezés az f = f 1. f m alakban állítható elő. Ekkor, tetszőleges v R n esetén, (f 1 ) (p)(v) f (p)(v) =. (f m ) (p)(v) vi
9 írható. Speciálisan j {1,..., n}. Ily módon J f (p) = f (p)(e j ) = (f 1 ) (p)(e j ). (f m ) (p)(e j ) = D 1 f 1 (p) D 2 f 1 (p)... D n f 1 (p) D 1 f 2 (p) D 2 f 2 (p)... D n f 2 (p)... D 1 f m (p) D 2 f m (p)... D n f m (p) D j f 1 (p). D j f m (p), = (D jf i (p)) m n. (3) Legyen U R n nyílt halmaz. Egy f : U R függvényt folytonosan differenciálhatónak vagy C 1 -osztályúnak nevezünk, ha a D i f : U R, i {1,..., n} parciális deriváltak mindegyike létezik és folytonos. Teljes indukcióval folytatva, legyen k N, k 2. Az f függvény C k -osztályú, ha C 1 -osztályú és D 1 f,..., D n f parciális deriváltjai C k 1 -osztályúak. Az f függvény C -osztályú, vagy sima U fölött, ha minden k N esetén C k -osztályú. Akkor mondjuk, hogy egy F : U R m leképezés C k -osztályú (k N { }), ha az euklideszi koordinátafüggvényei ilyen tulajdonságúak. (4) Tegyük fel, hogy H egy részhalmaza R n -nek, és legyen adva egy F : H R m leképezés. Ha p belső pontja H-nak (azaz p int(h)), a D j F i := D j (ẽ i F ); i {1,..., m}, j {1,..., n} parciális deriváltak mindegyike létezik p egy környezetében és folytonos p-ben, akkor az F leképezés differenciálható a p pontban. (5) Legyen V és W véges dimenziójú valós vektortér, ellátva azzal a természetes topológiával, amelyet egy-egy normájuk indukál. Legyen U V nyílt halmaz. (0.3) által motiválva, azt mondjuk, hogy egy ϕ: U W leképezés differenciálható egy p U pontban, ha van olyan ϕ (p): V W lineáris leképezés, hogy ϕ (p)(v) = lim t 0 ϕ(p+tv) ϕ(p) t, v V (0.4) Ekkor ϕ (p) a ϕ leképezés p-beli deriváltja. Ha ez minden p U pontban létezik, tekinthetjük a ϕ : U L(V, W ), p ϕ (p) leképezést, amelyet ϕ deriváltjának mondunk. Mivel L(V, W ) is véges dimenziójú vektortér, szólhatunk ϕ differenciálhatóságáról. Ennek deriváltja (ha létezik) ϕ : U L(V, L(V, W )) = L 2 (V, W ) alakú leképezés, ahol L 2 (V, W ) jelöli a V V W bilineáris leképezések vektorterét. Általánosan, ϕ k-adik (k N ) deriváltja olyan ϕ (k) -val jelölt leképezés (ha létezik), amely a p U pontokhoz ϕ (k) (p): V k W k-lineáris leképezéseket rendel. vii
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenDISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebben= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenRiemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések
A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések Az R m euklideszi tér természetes bázisának az e 1 = (1, 0,..., 0),..., e m = (0,..., 0, 1) vektorokból álló bázist mondjuk. Legyen M egy összefügg nyílt
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?
1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenSzilasi József. Bevezetés a. differenciálgeometriába
Szilasi József Bevezetés a differenciálgeometriába Kossuth Egyetemi Kiadó Debrecen, 1998 c Szilasi József, 1998 Lektorok: Ábrák: Szedés: Tördelés: Dr. Kovács Zoltán Dr. Kozma László Vincze Csaba Dr. Kovács
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenAnalízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenDifferenciálgeometria
Differenciálgeometria Előadás jegyzetek BME 3. félév Dr. Szabó Szilárd Kivonat. Ezek a jegyzetek a 2007. I. félévben, a Budapesti Műszaki Egyetemen tartott Differenciálgeometria kurzusomhoz készültek.
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Részletesebben1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
RészletesebbenDirekt limesz, inverz limesz, végtelen Galois-bővítések
Direkt esz, inverz esz, végtelen Galois-bővítések Az alábbi jegyzetben a direkt eszt, az inverz eszt, testek algebrai lezártjának létezését, ill. a végtelen Galois-csoportokat tekintjük át. Nem minden
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenMatematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA
LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA 20160515 Tartalomjegyzék 1 Algebrai struktúrák 5 2 Lineáris tér (vektortér) 13 21 A vektortér fogalma 14 22 Vektorok lineáris függetlensége és függősége 18 23 Generátorrendszer,
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben3. előadás. Programozás-elmélet. A változó fogalma Kiterjesztések A feladat kiterjesztése A program kiterjesztése Kiterjesztési tételek Példa
A változó fogalma Definíció Legyen A = A 1 A 2... A n állapottér. A pr Ai projekciós függvényeket változóknak nevezzük: : A A i pr Ai (a) = a i ( a = (a 1, a 2,..., a n ) A). A változók jelölése: v i =
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenVizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat
8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Részletesebbenharmadik, javított kiadás
Lajkó Károly Analízis I. harmadik, javított kiadás Debreceni Egyetem Matematikai és Informatikai Intézet 00 1 c Lajkó Károly lajko @ math.klte.hu Amennyiben hibát talál a jegyzetben, kérjük jelezze a szerzőnek!
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenA gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenA matematikai analízis elemei VI.
A matematikai analízis elemei VI. Differenciálható sokaságok, Tenzormezők. Integrálás differenciálható sokaságon. Pszeudo-Riemann-sokaságok. Lie-csoportok és Lie-algebrák. Lie-csoportok differenciálható
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenLineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenMérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
Részletesebben2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
RészletesebbenMatematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA
LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA 20160515 Tartalomjegyzék 1 Algebrai struktúrák 5 2 Lineáris tér (vektortér) 13 21 A vektortér fogalma 14 22 Vektorok lineáris függetlensége és függősége 18 23 Generátorrendszer,
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenCayley oktoniók és a G 2 Lie csoport
Cayley oktoniók és a G 2 Lie csoport Gyenge Ádám1 1 Magyar Tudományos Akadémia Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet 2015. október 15. Gyenge Ádám (Rényi Intézet) Októniók és G 2 SZTE 2015.10.15. 1 /
Részletesebben