A hullámsebesség számítása különféle esetekben. Hullám, fázissebesség, csoportsebesség. Egy H 0 amplitúdójú, haladó hullám leírható a

Átírás

1 A hullámsebessé számítása különéle esetekben Hullám, ázissebessé, csoportsebessé y H 0 amplitúdójú, haladó hullám leírható a H ( x, t ) H 0 cos ( kx ωt ) üvénnyel. Itt k jelöli a hullámszámot, ω a körrekvenciát. zek kiejezhetők a λ hullámhosszal π és a ν rekvenciával: k ; ω π ν. A enti képlet kétszeri deriválásával látható, hoy λ H ω H valóban H ( x, t ) kieléíti a 0 hullámeyenletet. Az ω a hányadost p k k ázis(phase) sebessének hívjuk, ezzel a sebesséel mozo a H ( x, t ) hullám. Nyilván a p νλ is teljesül. Ha az ω körrekvencia nem állandó, hanem a k hullámszám ω(k) üvénye, akkor a több elemi hullám szuperpozíciójaként kialakuló hullámcsoma sebessée eltér az eyes komponensek ázissebesséétől. A hullámcsoma sebesséét csoport(roup) sebessének hívjuk és a -vel jelöljük. dω( k ) a. dk alóban, két enyhén perturbált hullám összee, cos (( k Δk ) x ( ω Δω ) t ) + cos (( k + Δk ) x ( ω + Δω ) t ) cos ( Δkx Δωt ) cos ( kx ωt ), aminek amplitúdója már nem állandó, hanem maa is harmonikus üvény. Az amplitúdó Δ ω d ω ázissebessée, ennek határértéke, éppen ezt hívjuk csoportsebessének. Δk dk Hullámsebessé ben áramló olyadékban áltozó keresztmetszetű ben áramló enyhén összenyomható olyadék 1D mozáseyenlete ( ρa ) ( ρav ) ( ρa ) ( ρa ) v + + v + ρa 0. Ha a (ρa) szorzat csak a nyomás, mint állapotjellemző üvénye, akkor az első két taban a derivált átalakítható: d ( ρa ) p p v + v + ρa 0 ( ρa ) d dρ da ρ da A + ρ A + ρ. ékonyalú, kör keresztmetszetű nyomásváltozás hatására létrejövő keresztmetszet változását írjuk el! A jól ismert kazánormulából, D δ dσ és a Hook törvényből dk d σ induljunk ki. Itt a alvastasáa δ, belső átmérője D, a ali húzóeszültsé σ, a K kerülete K és a al rualmassái modulusza. A keresztmetszete D π D π K da K Dπ D A A. zekből, innen rendezés után 4 4π 4π dk 4π 4π D K

2 dk 1 da da. Helyettesítsük ezt be a Hook törvénybe: d σ, íy K A A da da D D δ dσ δ. Azt kaptuk, hoy A. zzel véül a kontinuitási A δ eyenlet alakja ρ D p p A + ρa + v + ρa 0. Az A keresztmetszettel eyszerűsíthetünk és δ bevezetjük az r redukált rualmassái moduluszt: 1 D p p ρ p p ρ + + v + ρ + v + ρ 0. δ r A hullámsebessé a leeyszerűbb esetben, vékonyalú, kör keresztmetszetű esetén r 1 1 D a, +, (1) ρ r δ ha a ben kis mértékben összenyomható olyadék áramlik. hhez az alapeyenlethez képest eltérést okozhat a hosszirányú koncentrált meoása, vay olytonos beáyazása pl. talajba. A µ Poisson-szám a tenelyirányú és a kerületi irányú menyúlások hányadosa, értéke 0< µ <0,5. A meoásának hatását ey n tényezővel vehetjük iyelembe. A Poisson tényező értéke acélra és üveszál erősítésű polimerre 0,7 0,30 öntöttvasra 0,1 0,8, betonre 0,0, azbesztcement re 0,30. 1 D 1 + n δ, () r tenelyirányban eyik véén meoott vékonyalú esetén n vékony 1-µ/, tenely irányban véi meoott nél n vékony 1-µ, szabad véeknél természetesen n vékony 1. Az átmérőhöz képesti vasta al esetén az n tényező értékét az imént meadott n vékony értékéből számíthatjuk ki: δ D n ( 1+ µ ) + nvékony. (3) D D + δ Ha a (3) képlet második tajában δ-val vételenhez tartunk és az íy kapott n ( 1+ μ ) határértéket behelyettesítjük a () összeüésbe, akkor adódik, hoy 1 1 δ D 1 1+ μ + ( 1+ μ ) + D δ r ( ) ez a sziklába úrt, bélelt alaútra érvényes redukált rualmassái modulusz. δ D, (3 )

3 Nyílt elszínű csatorna áramlásban dy 1 helyett volt a meelelő eyüttható az anya-memaradási eyenlet dρ da B y y B + v + A 0 levezetése során. zt az eyenletet ρ/a-val szorozva (itt ρ áll!) és a zárójelbeli taokat -vel bővítve B ( ρy) ( ρy) + v + ρ 0 A és ez már dimenziójában teljesen azonos a másik két kontinuitási eyenlettel, innen látszik, hoy a elszíni hullám terjedési sebessée B 1 A, azaz a. (4) A a B Az (4) összeüésből teljesen metelő esetén vételen hullámsebessé adódnék, hiszen a keresztmetszet vées, B pedi zérushoz tart. Szokásos meoldás ilyen esetre, hoy a első alkotója mentén ey keskeny, párhuzamos alú hasítékot helyezünk, melynek B S szélessée éppen akkora, hoy a telt keresztmetszet (1) képlet szerinti hullámsebessée adódjék. B S B hasíték y y Hullámsebessé áz áramlása esetén a, dρ ahol ideális áz eltételezésével κrt dρ, íy p a κrt κ, (5) ρ ami valóban a hanhullám jól ismert izentropikus terjedési sebessée. p Mivel a κ, nyilván ázok esetén áz κp. ρ dρ ρ

4 Hullám-, illetve csoportsebessé rualmas alú néyszö keresztmetszetű csatornában A létechnikában yakran használnak télalap keresztmetszetű, lemezből hajlított csatornákat, 1- m-es csatorna darabokat építenek össze. Állóhullámokkal vézett kísérleti eredmények iazolták, hoy ilyen esetben az a ázissebessé erősen ü a hullám ω körrekvenciájától, a a(ω). z a tény a számítást nay mértékben menehezíti és a hullámok diszperziójához vezet. A hullámsebessé ilyen esetben: c a( ω ), (6) 1+ ρc ω c az izentropikus hansebessé leveőben és a csatorna méreteitől, anyaától és az ω körrekvenciától üő (ω) üvény L oldalhosszúsáú, néyzet keresztmetszetű, δ vastasáú lemezből készített csatorna esetén: 3 4 ( ) L ω Ω + Ω Ω 3ρL ω, és Ω δ Ω ct cth al 4 al δ ( ) Az (ω) üvénynek bizonyos rekvenciákon szakadása ( üőlees aszimptotája ) van, ezt a mérések is iazolták. Jelentősen változik a hansebessé a olyadékból kiváló áz hatására is. Gázos olyadékban a hullámsebessé néhányszor 10 m/s-ra is lecsökkenhet annak ellenére, hoy tiszta ázban például normál állapotú leveőben a hullámsebessé 340 m/s. A áz-olyadék eley ρ sűrűséű kivált áz és ρ sűrűséű olyadék α téroati ázkoncentrációjú eleye (nyilván1 α ). Az eley tömee ρ + ρ ρ. zt -vel véiosztva és bevezetve az α jelölést: ρ αρ + (1-α)ρ az eley átlaos sűrűsée. Ilyen esetben az átlaos sűrűséből és az eredő rualmassái moduluszból kell a hullámsebesséet kiszámítani, utóbbi ebben az esetben a áz kompresszibilitásától is ü. Az elaszticitási modulusz deiníciója miatt d, illetve d. A téroat teljes meváltozása tehát ( 1 α ) ( ) α α + d d d α és innen az eley e modulusza e. d ( ) α 1 α + éül a hullámsebessé néyzete (iyelembe véve, hoy a táulása elhanyaolható a áz összenyomhatósáa mellett): e 1 1, (7) ρ α ( α ) α ( ( ) ) ( α ) 1 αρ α ρ ( αρ + ( 1 α ) ρ ) κp mert a áz kompresszibilitási tényezője az izentropikus hansebessé néyzetének és a sűrűsének a szorzata, κp.

5 A áz-olyadék eleyben a hullámsebessé tovább eyszerűsíthető, mert a nevező első tényezőjében a ázra vonatkozó ta, a második tényezőben pedi a olyadékra vonatkozó ta dominál. Íy véül: a e κp ρ α ( 1 α ) ρ. (8) Hullámsebessé áztartalmú vízben 3 bar nyomáson 1600 a m/s α 1 Példa a relatív áztartalom hullámsebesséet jelentősen változtató hatására A (8) közelítő képlet deriválásával belátható, hoy a minimuma α 0,5-nél van.