Matematika a fizikában

Átírás

1 DIMENZIÓK 53 Matematikai Közlemények III kötet, 015 doi:10031/dim01508 Matematika a fizikában Nay Zsolt Roth Gyula Erdészeti, Faipari Szakközépiskola és Kolléium nayzs@emknymehu ÖSSZEFOGLALÓ A cikkben az optikai, mechanikai és elektromossátani példákon keresztül mutatom be az elemi, illetve maasabb matematikai módszereket, amelyeket használhatunk a fizikai problémák meoldásában ABSTRACT In this paper, I present elementary and hiher mathematical methods throuh optical, mechanical and electricity exercises that can be efficiently used for solvin physical problems Néhány problémán keresztül szeretném bemutatni, hoy milyen matematikai eszközöket használhatunk a fizika oktatása során Természetesen a váloatás önkényes, vannak kimaradó módszerek (elsősorban itt a vektor műveletekre ondolok), és vannak olyanok is, amelyekhez maasabb matematikai ismeretekre van szüksé Ez utóbbiakat természetesen csak az emelt szintű matematikát tanuló diákoknak lehet memutatni 1 probléma: Fényterjedés Felhasználva a lekisebb idő Fermat elvét: A fény a lerövidebb idejű pályán mozo Ennek három következményét vizsálhatjuk, amelyek közül az első kettő triviális, ezért csak a harmadikat vizsáljuk me részletesebben: s 11 következmény: A fény a homoén közeben eyenes vonalban terjed, azaz t = c minimális, ha s is minimális (c=állandó) 1 ábra 1 következmény: A fényvisszaverődés törvénye: beesési szö = visszaverődési szö ( ábra)

2 54 Nay Zsolt visszavert suár beeső suár beesési merőlees 1 köze Terjedési sebessé: v 1 α α = β köze β Terjedési sebessé: v ábra 3 ábra sinα v1 13 következmény: Snellius-Descartes törvény, fénytörés: = = n sin β v,1 (3 ábra) Helyezzük el az ábrát ey koordináta rendszerbe (4 ábra) 1 ábra A fény a határfelületen levő E pontban törik me A pontok koordinátái leyenek a következők: A( a; b) B( c; d) E( x ;0) AE EB Mivel a terjedés ideje: t = v + v A pontok koordinátáit felhasználva: t ( x) 1 x a + b c x + d = + v1 v A terjedési idő szélsőértékét az x szerinti első deriváltból tudjuk mehatározni: ( x a) ( c x) t ( x) = + = 0 v x a + b v c x + d Az ábra alapján: 1 x a c x sinα = és sin β = x a + b c x + d Íy az idő derivált füvénye a következőképpen alakul:

3 Matematika a fizikában 55 sinα sin β t ( x) = = 0 v1 v Ezt átrendezve kapjuk a keresett összefüést: sinα v1 = = n,1 sin β v probléma: Váltakozó feszültsé effektív értéke Iazoljuk, hoy a szinuszosan váltakozó feszültsé esetén: eff =! Mejeyzés: A váltakozófeszültsé annak az eyenfeszültsének az értéke, amely uyanazon az ellenálláson adott idő alatt uyanannyi munkát véez, mint az adott váltakozó feszültsé t = sin ω t A váltakozó feszültsé a következő füvénnyel adható me: A váltakozó feszültsé t időtartam alatt vézett munkája: W = t R A teljes periódus idő alatt vézett munka ezen elemi munkák 0-tól T-i vett összee, azaz interálja: T 1 T sin T W = dt = t dt = sin ( t) dt (1) R R ω R ω cos x Felhasználva, hoy: sin x = Kapjuk a következőt: T T 1 cos ( ω t ) sin t ( ω t ) W = dt () R = R 4 0 ω 0 Rendezve: π sin T sin T ( ω T ) T T T W = = = R 4ω R 4ω R Mivel az eyenfeszültsé munkája T idő alatt: eff W = R T (4) A két munka eyenlősééből adódik, hoy: eff = (5) Azaz: eff = (6) Természetesen a módszer nem csak a szinuszosan váltakozó feszültsére alkalmazható, hanem bármilyen időben periódikusan váltakozó feszültsé esetén is Hasonlóan járhatunk el az áramerőssé esetén is (3)

4 56 Nay Zsolt 3 probléma: A harmonikus rezőmozás Minden harmonikus rezőmozáshoz tartozik ey úynevezett referencia körmozás A harmonikus rezőmozás rezésszáma (frekvenciája) és a körmozás fordulatszáma is eyenlő, tehát a rezés szösebessée a körmozás szösebesséével eyenlő A rezőmozás amplitúdója és a körmozás pályájának suara is meeyezik f ω rezés rezés = f π = ω körmozás körmozás ábra Az előbbiek felhasználásával és az ábrából adódik, hoy a harmonikus rezőmozás kitérése: x = A sin ω t 1 Vizsáljuk me, hoyan fü a harmonikus rezőmozást véző test sebessée az időtől! 3 ábra 7 ábra A rező test sebessée (az ábrából): v cos α = vk v = vk cos α Eyenletes körmozás miatt: α = ω t v = v cos ( ω t) A kerületi sebessé és a szösebessé közötti összefüés: vk v = r ω cos ω t 3 k = r ω Mivel r = A, ezért a harmonikus rezőmozást véző test sebessée: v = A ω cos ω t 4

5 Matematika a fizikában 57 Mivel a rezőmozás változó sebesséű mozás, ezért a rező test yorsulása sem nulla! Vizsáljuk me, hoyan fü a harmonikus rezőmozást véző test yorsulása az időtől! 4 ábra acp a körpályán mozó test centripetális yorsulása a a rező test yorsulása (az acp x irányú komponense) A rező test yorsulása (ábráról): a sinα =, a Eyenletes körmozás miatt: Centripetális yorsulás: acp cp a = acp sinα α = ω t = r ω a = r ω sin ω t ( 4) Mivel: r = A, a harmonikus rezőmozást véző test yorsulása: a = A ω sin ω t 5 A harmonikus rezőmozást véző test yorsulása arányos a kitéréssel, de azzal ellentétes irányú, ezt fejezi ki a neatív előjel Közös koordináta-rendszerben ábrázolva a füvényeket (9 ábra) Természetesen az elemi levezetést kiválthatjuk maasabb matematikai ismeretekkel Mivel a sebessé a kitérés idő szerinti első deriváltja, a yorsulás pedi a második, íy kapjuk, hoy: x = A sin ω t 6 ɺ ( 7) v t = x t = A sin ω t = A ω cos ω t ( 8) ɺɺ a t = x t = A sin ω t = A ω sin ω t

6 58 Nay Zsolt 5 ábra 4 probléma: A súlylökés optimális szöe Milyen szö alatt kell elhajítanunk h maassából, adott v0 kezdősebesséel a súlyolyót, hoy vízszintesen a lehető lenayobb távolsáot érjük el? [1] 6 ábra Az 10 ábra alapján a ferde hajítás füőlees és vízszintes összetevője: 1 h = v0 t sin α t ( 1) x = v t cos α Fejezzük ki az időt a () eyenletből és helyettesítsük be (1)-be: x x tan α h = 0 3 v0 cos α Oldjuk me az eyenletet: v v v cos α h x = sin α cos α + sin α cos α + ( 4)

7 Matematika a fizikában 59 Bevezetve a: k h = jelölést: v 0 v x = 0 sin α cos α + cos α sin α + k 5 Ezt deriválva α szerint: dx v 0 sinα cos α = sin α + cos α sinα sin α + k + sin α + k dα sin α + k dx Szélsőértéket keresünk, tehát: = 0 dα Meoldva, kapjuk a következőt: cos α sin α + k = k sinα sin α cos α 7 Ezt néyzetre emelve, majd rendezve kapjuk, hoy: cos α sin α = k sin α cot Felhasználva a következő két azonossáot: ( 8) α = 1+ k 9 1 cot α + = α = α cot 1 ill cos 10 sin α 1+ cot α 1 1+ k sinα = ill cos α = ( 11) + k + k eredményre jutunk Ezeket a (5) eyenletbe behelyettesítve kapjuk a imális távolsáot: v0 x = 1+ k ( 1) Visszaírva k v0 értékét: x = v0 + h ( 13) Láthatjuk, hoy az elérhető lenayobb távolsá fü az indítás maassáától és a súlyolyó indítási sebesséétől Eredményeinket táblázatba folalva kiszámítottuk az optimális szöet, az elérhető lenayobb távolsáot, valamint összehasonlításképpen 43, 45, 47 -os szöek esetén az elérhető távolsáot Jól látható, hoy valóban a lehető lenayobb távolsáot érhetjük el Bár a 43 -os és az optimális szöek esetében (több mint 13 m/s kezdősebessénél) az eredmények yakorlatila meeyeznek füetlenül az indítás maassáától ( 6)

8 60 Nay Zsolt v 0 (m/s) optimális szö h (m) h (m) h (m) 1,8, x x 43 x 45 x 47 optimális szö x x 43 x 45 x 47 optimális szö x x 43 x 45 x ,68 11,86 11,83 11,75 11,64 40,8 1,03 11,99 11,91 11,78 39,89 1,0 1,14 1,05 11, ,34 14,0 14,00 13,93 13,80 40,99 14,19 14,17 14,09 13,95 40,65 14,37 14,33 14,4 14, ,86 16,38 16,37 16,30 16,16 41,56 16,56 16,54 16,46 16,3 41,6 16,73 16,71 16,6 16, ,9 18,94 18,94 18,87 18,73 4,01 19,1 19,11 19,04 18,88 41,75 19,30 19,9 19,0 19, ,63 1,71 1,70 1,64 1,49 4,39 1,89 1,88 1,81 1,65 4,15,07,06 1,98 1, ,91 4,67 4,67 4,61 4,45 4,70 4,86 4,85 4,79 4,61 4,49 5,04 5,04 4,96 4,77 1 táblázat Irodalomjeyzék [1] Horváth G, Juhász A, Tasnádi P, Mindennapok fizikája, ELTE TTK Továbbképzési Csoport, Budapest (1989)