Analízis Dierenciálgeometria, vektoranalízis, mérték és integrálelmélet

Átírás

1 Analízis Dierenciálgeometria, vektoranalízis, mérték és integrálelmélet Bese Antal december 26.

2 1 El szó Az alábbi nem hivatalos jegyzet az ELTE-IK programtervez matematikus szakán, Szili László tanár úr Analízis VI. (2005/2006. tavaszi félév), és Analízis VII. (2006/2007. szi félév) el adásai alapján készült. A jegyzet támogatás nélkül érkezik, tehát akadhatnak benne elírások hibák. Felel sséget érte nem vállalok, de bárminem észrevételt szívesen veszek az alábbi címek valamelyikén. Bese Antal toni@elte.hu

3 Tartalomjegyzék 1. Dierenciálgeometria - görbék Bevezetés, síkbeli görbék megadása Felületek R 3 -ban Görbék R n -ben, illetve R 3 -ban (térgörbék) Görbület Simulósík, simulókör, görbületi sugár, görbületi középpont Kísér triéder, torzió, Frenet formulák Dierenciálgeometria - felületek Felületek megadásának módjai, példák A felület értelmezése Különböz paraméterezések Paramétervonalak, felületi görbék Érint sík, felületi normális Felületi görbék ívhossza, a felület els alapformája Felület felszíne Második alapmennyiségek Felületi görbék görbülete Egy általános széls érték feladat Felületi pontok osztályozása Vektoranalízis Jelölések, elnevezések Nabla szimbolika Reguláris tartományok Skalármez k térfogati integrálja, vektormez k vonal és felületi integrálja Térfogati integrál Vektormez k vonalintegrálja Vektormez k felületi integrálja Integrálátalakító tételek Mérték és integrálelmélet Emlékeztet, motiváció A Riemann-integrál A Riemann-integrál kritikája A probléma megoldásai A Lebesgue-integrál különböz felépítései Mértékelmélet Halmazok mértéke R p -ben A mérték Lebesgue-Carathèodory-féle kiterjesztése Mértékterek alapvet deníciók

4 TARTALOMJEGYZÉK Mértékterek Lebesgue-Carathèodory-féle konstrukciója (kiterjesztési eljárással) R p -beli intervallumok I p rendszere, mértéke Absztrakció: félgy r, gy r, el mérték, kvázimérték Az els kiterjesztési tétel A második kiterjesztési tétel Kérdések a kiterjesztéssel kapcsolatban A Lebesgue-mérték R p -n, speciálisan a Borel-mérték A Lebesgue-mérték alapvet tulajdonságai Mérhet függvények Mérhet függvények tulajdonságai Lebesgue integrál mértéktereken Az L(, Ω, µ) függvénytér alaptulajdonságai, struktúrája A határérték és az integrál felcserélhet ségére vonatkozó alaptételek... 49

5 1. fejezet Dierenciálgeometria - görbék 1.1. Bevezetés, síkbeli görbék megadása (1.) explicit módon f : [a, b] R, f C; ekkor Γ = R f (2.) implicit módon F (x, y) = 0, F R 2 R 2 (3.) paraméteres alakban x = ϕ 1 (t), y = ϕ 2 (t); t [α, β] Γ := {(x, y) t [α, β]} ϕ := (ϕ 2, ϕ 2 ) R R 2 Példa. ϕ 1 (t) := cos(t) ϕ 2 (t) := sin(t) t [0, 2π]; Γ = R ϕ (4.) polárkoordinátákkal 1.2. Felületek R 3 -ban Adott P 0 ; n esetén: P S r r 0 n r r 0, n = 0 A(x x 0 )+B(y y 0 )+C(z z 0 ) = 0 a sík egyenlete (azon síkbeli pontok összesége, mely 0-t vesz fel). Általánosan: (i.) F (x, y, z) = 0 (implicit megadása) (ii.) z = f(x, y) (explicit megadása) P 0 ; a, b S lineárisan független vektorok. r = r 0 +ua+vb ((u, v) R 2 ) 4

6 1. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - GÖRBÉK 5 A sík paraméteres egyenletrendszere F := (F 1, F 2, F 3 ) R 2 R 3 : F 1 (u, v) = x = x 0 +u a 1 +v b 1 F 2 (u, v) = y = y 0 +u a 2 +v b 2 F 3 (u, v) = z = z 0 +u a 3 +v b 3 Ahol R f a sík paraméteres alakban megadott alakja Görbék R n -ben, illetve R 3 -ban (térgörbék) Megjegyzés. Jelölés: I := [α, β], r = 0, 1, 2,... C r = (I, R n ) := {f : I R n f r-szer folytonosan dierenciálható} C 0 := C Megjegyzés. A görbe fogalmát általában nem deniáljuk, görbén egy ϕ R R n típusú függvény értékkészletét fogjuk érteni Megjegyzés. Fontos a görbék zikai jelentése ϕ R R 2 ; ϕ : [α, β] R 2. ϕ(t): a tömegpont helyvektora, ϕ (t): a tömegpont adott pillanatbeli sebessége, ϕ (t): a tömegpont adott pillanatbeli gyorsulása, R ϕ : a mozgás pályája Deníció. A Γ R n halmazt egyszer sima görbének (e.s.g.) nevezzük, ha ϕ C 1 ([α, β], R n ): (i.) ϕ [α, β] Γ bijekció, és (ii.) ϕ (t) 0, ( t [α, β]-ra) R ϕ = Γ; ϕ a Γ görbe egy paraméterezése Deníció. ϕ : I Γ, Γ R n egyszer sima görbe egy paraméterezése; legyen t 0 I és r 0 = ϕ(t 0 ) Γ. Ekkor: Γ r0 = {ϕ(t 0 )+ϕ (t 0 ) t R n t R} (r o -on átmen ϕ (t 0 ) irányú érint egyenes) egyenes a Γ érint egyenese (érint je) az r o -ban Tétel. Az érint független a paraméterezést l Deníció. Akkor mondjuk, hogy a Γ görbe rektikálható, ha a Γ-ba írt poligonok hosszának halmaza korlátos. Az L := L Γ := sup τ l τ számot a Γ görbe ívhosszának nevezzük Tétel. (Egyszer sima görbe rektikálhatóságára és paraméterezésére vonatkozó tétel): (1.) Γ R n egyszer sima görbe, ϕ C 1 ([α, β], R n ) paraméterezése. Ekkor a Γ görbe rektikálható (azaz van ívhossza) és L Γ = β ϕ (t) dt = β ϕ ϕ n 2 α α

7 1. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - GÖRBÉK 6 (2.) L Γ független a paraméterezést l Deníció. Γ R n egyszer sima görbe, a Γ ívhossza L. A Φ : [0, L] Γ függvényt a Γ görbe ívhossz szerinti (természetes) paraméterezésének nevezzük Megjegyzés. Világos, hogy Φ C 1, Φ bijekció, Φ (s) 0 (rögtön) = Φ valóban egy paraméterezés Tétel. (Kapcsolat egyszer sima görbe tetsz leges ϕ, és természetes Φ paraméterezése között): Legyen Γ R n egyszer sima görbe, ϕ : [α, β] Γ egy tetsz leges paraméterezése, de tegyük fel, hogy: ϕ C 2, S(t) = L Γt és T := S 1. Ekkor: (1.) Φ(s) = ϕ(t (s)) = ϕ(t) (s [0, L], t [α, β]) azaz: Φ = ϕ T (2.) Φ (s) 1, ( s [0, L]) (3.) azaz: Φ (s) Φ (s) 1.4. Görbület Φ (s), Φ (s) = 0 ( s [0, L]) Deníció. Legyen Γ R n egy egyszer sima görbe. Tegyük fel, hogy Φ : [0, L] Γ ennek az ívhossz szerinti kétszer folytonosan deriválható paraméterezése ( L a Γ ívhossza). Az s [0, L]-ben (azaz a Φ(s) pontban) a Γ görbe görbületén a számot értjük. κ(s) := Φ (s) Tétel. (Görbület tetsz leges paraméterezéssel): Legyen Γ R n egyszer sima görbe, ϕ:[α, β] Γ egy tetsz leges, de C 2 -beli paraméterezése. Ekkor a görbe t 0 [α, β] paraméter ϕ(t 0 ) pontjában a görbület: κ(s) = Φ (s) = ϕ (t) ϕ (t) ϕ (t) 3 Példa. (A csavarvonal görbülete): Legyen a cos(t) ϕ(t) := a sin(t) (t R) m t tetsz leges paraméterezés, ekkor a csavarvonal görbülete: κ(s) = ϕ (t) ϕ (t) a =... = ( s R) ϕ (t) 3 a 2 +m Megjegyzés. Felírható és kiszámolható a csavarvonal természetes paraméterezésével is.

8 1. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - GÖRBÉK Simulósík, simulókör, görbületi sugár, görbületi középpont Deníció. Γ R 3 egyszer sima görbe; Φ C 2 a természetes paraméterezése, és tegyük fel, hogy Φ (s) 0. A Γ görbe Φ(s) pontbeli simulósíkja az a Φ(s) ponton átmen sík, amelyiket a Φ (s) és Φ (s) vektorok feszítenek ki Megjegyzés. Ha Γ síkgörbe = a síkja a simulósík Megjegyzés. A simulósík normálvektora Φ (s) Φ (s) Tétel. (Görbe simulósíkjára vonatkozó tétel): (1.) Legyen Γ R 3 egyszer sima görbe, ϕ : [α, β] R 3 ; ϕ C 2 tetsz leges paraméterezése. Ha t 0 [α, β], ϕ (t 0 ) ϕ (t 0 ), akkor: (a.) ϕ(t 0 )-ban van simulósík, (b.) ennek normálvektora: ϕ (t 0 ) ϕ (t 0 ) (2.) a simulósík egyenlete P 0 -ban: (3.) P 0 = ϕ(t 0 ) = Φ(s 0 ), ekkor r ϕ(t 0 ), ϕ (t 0 ) ϕ (t 0 ) = 0 Ugyanazt a síkot feszítik ki. ϕ (t 0 ), ϕ (t 0 ) és Φ (s 0 ), Φ (s 0 ) Deníció. Legyen Γ R 3 egyszer sima görbe; Φ : [0, L] R 3, Φ C 2 természetes paraméterezése, és tegyük fel, hogy Φ (s) 0. A görbének a Φ(s) (s [0, L]) pontban a (i.) görbülete : κ(s) := Φ (s) (ii.) görbületi sugara : ϱ := 1 κ(s) (iii.) görbületi középpontja : ψ(s) := Φ(s)+ Φ (s) Φ (s) 2, (s [0, L]) 1.6. Kísér triéder, torzió, Frenet formulák Megjegyzés. Cél: a görbe geometriai jellemzése koordinátarendszert l függetlenül Deníció. Legyen Γ R 3 egy egyszer sima görbe, Φ : [0, L] R 3, Φ C 2 a természetes paraméterezése, és tegyük fel, hogy Φ (s) 0 (L a Γ ívhossza). Legyen s [0, L] esetén e(s) := Φ (s) (egységvektor), n(s) := Φ (s) Φ (s) (egységvektor), b(s) := e(s) n(s) (binomiális egységvektor). Ekkor a páronként egymásra mer leges e(s), n(s), b(s) egységvektorokból álló rendszert a görbe kísér triéderének nevezzük.

9 1. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - GÖRBÉK Megjegyzés. (e, n és b által kifeszített síkokról): e, n síkja: simulósík, b, n síkja: normálsík, e, b síkja: rektikáló sík Deníció. Legyen Γ R 3 egy egyszer sima görbe, Φ : [0, L] R 3, Φ C 3 a természetes paraméterezése, és tegyük fel, hogy Φ (s) 0 (L a Γ ívhossza). A Γ görbe Φ(s) (s [0, L]) pontbeli torzióját így értelmezzük: τ(s) := n (s), b(s) Megjegyzés. Ha Γ adott a Φ(s) természetes paraméterezéssel, akkor τ(s) számolható Megjegyzés. Sejthet, hogy a κ(s) görbület, és τ(s) torzió, koordináta rendszert l függetlenek (azaz meghatározzák a görbét) Deníció. (Serret Frenet formulák /1847/): Legyen Γ R 3 egy egyszer sima görbe, L az ívhossza, κ(s) a görbülete és τ(s) a torziója (s [0, L]). Tegyük fel, hogy Γ-nak van háromszor folytonosan deriválható paraméterezése. Ekkor a kísér triédert megadó e, n, b : [0, L] R 3 folytonosan deriválható függvények az alábbi lineáris dierenciálegyenlet-rendszernek tesznek eleget: e (s) = κ(s) n(s) n (s) = κ(s) e(s)+τ(s) b(s) b (s) = τ(s) n(s) Megjegyzés. Az együtthatómátrix használatával: e 0 κ 0 e n = κ 0 τ n b 0 τ 0 b

10 2. fejezet Dierenciálgeometria - felületek 2.1. Felületek megadásának módjai, példák (1.) Explicit (vagy Euler-Monge-féle) megadási mód Láttuk: egy jó g R 2 R 1 függvény képe a térben egy felület. F = {(x, y, g(x, y)) R 3 (x, y) D g } R 3 jó függvény esetén ez egy felület. Szokás szerint a z = g(x, y) egyenlettel adott felületr l beszélünk. Példa. Felületekre: (i.) sík (ii.) félgömb (iii.) kúp 9

11 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK 10 (2.) G(x, y, z) = 0, implicit megadási mód Példa. Gömbfelület: g(x, y) := x 2 +y 2, (x, y) R 2 x 2 +y 2 +z 2 = R 2 F = { (x, y, z) R 3 x 2 +y 2 +z 2 = 1 } G(x, y, z) := x 2 +y 2 +z 2 1 = 0 (3.) Kétparaméteres (vagy Gauss-féle) megadási mód Példa. Gömbfelület (F): x = R sin v cos u y = R sin v sin u z = R cos v Tehát: F R 2 R 3 és 0 u 2π; 0 v π R sin v cos u F (u, v) = R sin v sin u R cos v F = R F (felület). (u, v) [0,2π] [0, π] (függvény),

12 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK 11 Példa. Hengerfelület: x = a cos u y = a sin u z = v a cos u F (u, v) = a sin u 0 u 2π, v R F R 2 R 3 v 2.2. A felület értelmezése (u, v) [0,2π] R Megjegyzés. Az el bb megadott három megadási módot fogjuk a kés bbiekben használni. Bevezetünk néhány jelölést. (a.) I 1, I 2 R intervallum (nyílt, zárt,... ) (b.) I 1 I 2 = I 2 R 2 síkbeli intervallum. (c.) F : I 2 R 3, F = (F 1, F 2, F 3 ), F i : I 2 R (d.) F C r (I 2, R 3 ) : (i.) F : I 2 R 3 függvény, (ii.) F r-szer folytonosan deriválható (r = 0, 1, 2,...), és C 0 a folytonosságot jelöli. (e.) W := (u, v) I 2 = I 1 I 2

13 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK 12 (f.) F (u, v) = F (w) = F 1 u (w) F 1 v (w) F 2 u (w) F 2 v (w) F 3 u (w) F 3 v (w) = [ u F (w) v F (w) ] = [ 1 F (w) 2 F (w) ] Deníció. Az F R 3 halmaz egyszer sima felületdarab (ESF), ha F C 1 (I 2, R 3 ), amelyre: (i.) F : I 2 F bijekció, és (ii.) rangf (w) = 2 ( w I 2 ) Ekkor: Az F függvény az F egy paraméterezése Megjegyzés. rangf (w) = 2 u F (w) és v F (w) lineárisan függetlenek Megjegyzés. A deriválhatóságot annyiszor teszem fel, amennyiszer csak akarom. C 1, C 2, Megjegyzés. Nekünk a felület ilyen egyszer felületdarabokból összerakható felületet jelent Megjegyzés. (Explicit alakból kétparaméteres alak): Ha g : I 2 R folytonosan deriválható, és F = {(x, y, g(x, y)) R 3 (x, y) D g }, akkor: F : I 2 R 3 F (u, v) := u v g(u, v) (u, v) I 2 Amib l: F (u, v) = u g v g oszlopai lineárisan függetlenek Különböz paraméterezések F R 3 ESF, F : I 2 R 3 egy paraméterezése. Legyen J R 2 intervallum, S : J I 2 C 1 -beli bijekció, ekkor a az F felület egy másik paraméterezése. G := F S : J F 2.4. Paramétervonalak, felületi görbék F R 3 ESF, F : I 2 R 3 egy paraméterezése.

14 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK Deníció. (Felületi görbe): Az I 2 paramétertartományban fekv egyszer sima síkgörbe F által létesített képét nevezzük felületi görbének. Formálisan: γ :[α, β] Γ I 2 egyszer sima görbe; ϕ:f γ :[α, β] F függvény értékkészlete egy felületi görbe Megjegyzés. Új jelölés: R R n (skalár-vektor) függvény deriválása: Ha ϕ : [α, β] R n, vagy ϕ(t) := (ϕ 1 (t),..., ϕ n (t)) ahol t [α, β] ϕ(t 0 ) := dϕ dt (t 0) = lim t t0 ϕ(t) ϕ(t 0 ) t t 0 t 0 (α, β) Magasabbrend deriváltaknál: ϕ, Érint sík, felületi normális Adott F R 3 egyszer sima felület (ESF), F :I 2 R 3 egy folytonosan deriválható paraméterezése (azaz: F C 1 (I 2, R 3 )). Legyen Γ F egy felületi görbe, ϕ = F γ C 1 ([α, β], R 3 ) pedig egy paraméterezése; γ C 1 ([α, β], I 2 ) egyszer sima görbe egy paraméterezése.

15 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK 14 A Γ görbe P 0 -beli érint vektora: γ(t 0 ) = (u 0, v 0 ) = w 0 P 0 = F (u 0, v 0 ) = (x 0, y 0, z 0 ) ϕ(t 0 ) = (F γ)(t 0 ) = F (γ(t 0 )) γ(t 0 ) = F 1 (w u 0) = F 2 u (w 0) F 3 u (w 0) F 1 v (w 0) F 2 v (w 0) F 3 [ ] γ1 (t 0 ) = γ 2 (t 0 ) (w v 0) = γ 1 (t 0 ) u F (u 0, v 0 )+ γ 2 (t 0 ) v F (u 0, v 0 ) (2.1) Megjegyzés. Észrevétel: ezek a vektorok minden P 0 ponton átmen reguláris görbére ugyanazok = minden sima felületi görbe P 0 -beli érint i ugyanabban a síkban vannak, ezt nevezzük érint síknak Tétel. Legyen F R 3 egyszer sima felület, F :I 2 R 3 egy paraméterezése; (u 0, v 0 ) I 2 rögzített, és P 0 := F (u 0, v 0 ) = (x 0, y 0, z 0 ) F a megfelel felületi pont. Ekkor: (1.) Minden P 0 ponton átmen reguláris (egyszer sima) felületi görbe érint i valamennyien egy síkban vannak. Ezt a síkot a felület P 0 pontbeli érint síkjának nevezzük. (2.) A felület P 0 -beli érint síkjának: (a.) egy bázisa : u F (u 0, v 0 ), v F (u 0, v 0 ) R 3 lineárisan független (3 dimenziós) vektorok (ugyanis Rang F (w) = 2). (b.) egy normálvektora : (c.) egyenlete : m(u 0, v 0 ) := uf (u 0, v 0 ) v F (u 0, v 0 ) u F (u 0, v 0 ) v F (u 0, v 0 ) =(x 0,y 0,z 0 ) {}}{ 0 =< x F (x 0, y 0 ), m(u 0, v 0 ) >= = (x F (u 0, v 0 )) u F (u 0, v 0 ) v F (u 0, v 0 ) = Bizonyítás. Trivi = det x x 0 y y 0 z z 0 F 1 u (u 0, v 0 ) F 1 v (u 0, v 0 ) F 2 u (u 0, v 0 ) F 2 v (u 0, v 0 ) F 3 u (u 0, v 0 ) F 3 v (u 0, v 0 )

16 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK Megjegyzés. (Emlékeztet ) (a.) Vegyesszorzat: a b c =< a, b c >= det a x a y a z b x b y b z c x c y c z a, b, c R 3 (b.) Vektoriális összeg: Tétel. Tegyük fel, hogy F R 3 egyszer sima felület: (a.) explicit alakban adott: z = g(x, y); (g R 2 R 1, g C 1 ) (b.) implicit alakban adott: G(x, y, z) = 0; (G R 3 R 1, G C 1 ) Ekkor: P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) F pontban van érint sík. Ennek egy m(p 0 ) normálvektora, illetve egyenlete : (a.) esetén: m(p 0 ) = ( x g(x 0, y 0 ), y g(x 0, y 0 ), 1) illetve: z z 0 = x g(x 0, y 0 )(x x 0 )+ y g(x 0, y 0 )(y y 0 ) (b.) esetén: m(p 0 ) = ( x G(x 0, y 0, z 0 ), y G(x 0, y 0, z 0 ), z G(x 0, y 0, z 0 )) 0 = x G(x 0, y 0, z 0 )(x x 0 )+ y G(x 0, y 0, z 0 )(y y 0 )+ z G(x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) Bizonyítás. Legyen: (a.) u F (u 0, v 0 ) = g(u, v) ; v F (u 0, v 0 ) = g(u, v) F (u, v) = u v g(u, v) egy paraméterezés.

17 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK 16 Ekkor egy normálvektora a síknak: u F (u 0, v 0 ) v F (u 0, v 0 ) = det i j k g(u, v) g(u, v) = 1 g(u, v) 2 g(u, v) 1 (b.) G(x, y, z) = 0, z G(x 0, y 0, z 0 ) 0; ekkor az implicit függvény tételb l következik, hogy: Azaz: olyan g(x, y) : G(x, y, g(x, y)) = 0, amib l x G(x, y, g(x, y)) 1+G z (x, y, g(x, y)) x g(x, y) = 0, és y G(x, y, g(x, y)) 1+G z (x, y, g(x, y)) y g(x, y) = 0. x g(x 0, y 0 ) = xg(x 0, y 0, z 0 ) z G(x 0, y 0, z 0 ), Felületi görbék ívhossza, a felület els alapformája Legyen F R 3 egyszer felületi sík, F : I 2 R 3 pedig egy paraméterezése; Γ F egy felületi görbe, ϕ = F γ : [α, β] R 3 egy paraméterezés. Mivel ϕ C 1 ([α, β], R 3 ) = Γ rektikálható, és az ívhossza: l Γ = β ϕ(t) dt = β [ ϕ 1 (t)] 2 +[ ϕ 2 (t)] 2 +[ ϕ 3 (t)] 2 dt α α Kérdés: l Γ -t az F -fel és γ-val hogyan lehet kifejezni? Válasz: Vagyis ezért: (2.1) = ϕ(t) = ϕ 1 (t) u F (u, v)+ ϕ 2 (t) v F (u, v); γ(t) = (u, v) ϕ = ϕ 1 u F + ϕ 2 v F ϕ 2 = ϕ, ϕ = γ 1 u F + γ 2 v F, γ 1 u F + γ 2 v F = = γ 2 1 u F, u F +2 γ 1 γ 2 u F, v F + γ 2 2 v F, v F. (2.2) Megjegyzés. A (2.2) kifejezésben szerepl számok pontról-pontra változnak, és els Gauss-féle alapmennyiségeknek nevezzük ket. A következ jelöléseket vezetjük be: E(w 0 ) := u F (w 0 ), u F (w 0 ) F(w 0 ) := u F (w 0 ), v F (w 0 ) G(w 0 ) := v F (w 0 ), v F (w 0 )

18 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK Megjegyzés. Kvadratikus alak: [ a b Q(x) = Q(x 1, x 2 ) = A x, x = A = b c = a x b x 1 x 2 +c x 2 ] ; Deníció. Legyen: Ezzel: [ E(w) F(w) G(w) : = F(w) G(w) ] = [ g ij (w) ] w = (u, v) ϕ(t) 2 = G(γ(t)) γ(t), γ(t) γ = ( γ 1, γ 2 ) A Γ felületi görbe ívhossza: l Γ = = = β α β α β α G(γ(t)) γ(t), γ(t) dt = E(t) [ γ 1 (t)] 2 +2F(t) γ 1 (t) γ 2 (t)+g(t) [ γ 2 (t)] 2 dt = E [ γ 1 ] 2 +2F γ 1 γ 2 +G [ γ 2 ] 2 dt Deníció. Legyen F R 3 egyszer sima felületdarab, F : I 2 R 3 paraméterezése és w = (u, v) I 2. A [ ] E(w) F(w) G(w) :=, (w I 2 ) F(w) G(w) szimmetrikus mátrixszal képzett Q(x) = Q(x 1, x 2 ) = G(w) x, x = = E(w)x F(w)x 1 x 2 +G(w)x 2 kvadratikus alakot a felület els alapformájának nevezzük Tétel. A Q(x 1, x 2 ) kvadratikus alak pozitív denit, azaz mert x = (x 1, x 2 ) R 2 \ {(0, 0)} : Q(x 1, x 2 ) > 0 det G(w) = E(w) G(w) F 2 (w) = u F (w) v F (w) 2 > 0 E(w) > 0

19 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK 18 Bizonyítás. E(w) = u F (w) u F (w) > 0 (rendben ) E G F 2 = ( u F u F )( v F v F ) ( u F v F ) 2 = (deníció szerint) = u F 2 v F 2 u F 2 v F 2 cos 2 α = (skaláris szorzat tul.) = u F 2 v F 2 sin 2 α = u F v F 2 > 0 Mivel u F és v F nem esnek egy egyenesre, így nem lehet a közbezárt szög Felület felszíne Megjegyzés. Az 1880-as évben H.A. Schwarz mutatott példát beírt háromszög lapokkal való megvalósításra 1. Az elképzelés nem vált be a gyakorlatban, viszont javítható él-, és szögkorlátozással Megjegyzés. A deníciónk motivációja: a felülethez jól illeszked idomok kellenek (pikkelyezéssel!). -ÁBRAt ik = u F (u i, v k ) v F (u i, v k ) u i v k tik integrál közelít összeggel: u F v F du dv T Deníció. F R 3 egyszer sima felületdarab, F : I 2 R 3 egy paraméterezése. Ekkor F felszíne : S := S F := u F (u, v) v F (u, v) du dv Tétel. Felület felszíne független a paraméterezést l. T Tétel. (A felszín kiszámolása): Tegyük fel, hogy F R 3 egyszer sima felületdarab. Ekkor, (a.) Ha F : I 2 R 3 egy paraméterezése, akkor: S = E(w) G(w) F2 (w) du dv T (b.) Ha F a z = g(x, y), (x, y) T explicit alakban adott, akkor: S = 1+gx2 +g y2 dx dy Ahol g x a g függvény x szerinti parciális deriváltját jelöli. 1 Lásd a [3] 70. oldalán. T

20 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK 19 (c.) Ha F a G(x, y, z) = 0 implicit alakban adott, akkor: G 2 x +G 2 2 y +G z S = dx dy G z Bizonyítás. (A felület kiszámolása): (a.) rendben (b.) Mivel T és F (u, v) = u v g(u, v) u F (u, v) = 1 0 g u (u, v) v F (u, v) = 0 1 g v (u, v) E = u F u F = 1+g 2 u F = u F v F = g u g v G = v F v F = 1+g 2 v. amib l követezik, hogy: (c.) E G F 2 = 1+g 2 u +g 2 v G(x, y, z) = 0 = G(x, y, g(x, y)) = 0 g(x, y) = g x = G x G z, g y = G y G z G z Megjegyzés. Vesd össze a forgásfelület felszínével: ugyanis: b S = 2π a f(x) 1+[f (x)] 2 dx (2.3) y = f(x) G(x, y, z) = y 2 +z 2 f 2 (x) F : y 2 +z 2 = f 2 (x) Erre a (c)-t felírva pont a (2.3) adódik.

21 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK Második alapmennyiségek A dallam : Az els alapmennyiségek a felület metrikus tulajdonságaihoz kapcsolhatók, míg a második alapmennyiségek a felület alakjával kapcsolatosak. Tegyük fel, hogy: F R 3 egyszer sima felületdarab F : I 2 R 3 F C 2 (I 2, R 3 ) P 0 F P 0 = F (w 0 ) = F (u 0, v 0 ) F -re a Taylor-formulát felírva (h = (h 1, h 2 ) R 2 ): F (w 0 +h) = F (w 0 )+ u F (w 0 )h 1 + v F (w 0 )h [ uu F (w 0 )h uv F (w 0 )h 1 h 2 + vv F (w 0 )h ] R(w 0, h) h 2 Ahol: lim R 0 h 0 (maradéktag) Azaz: Megjegyzés. Jelölések, elnevezések: F (w 0 +h) = T Fw0,2(h)+R(w 0, h) h Megjegyzés. Emlékeztet : ε érint sík dist(p, ε) pont és sík távolsága P = T (h) (1.) Pont és sík távolsága -ÁBRAdist(P, ε) = r r 0, n el jeles távolság (2.) Az érint sík normálvektora m(w 0 ) felületi normális egységvektor. dist(p, ε) = dist(t (h), ε) = T (h) F (w), m(w 0 ) = = 1 2 [ uuf (w 0 ) m(w 0 ) h uv F (w 0 ) m(w 0 )h 1 h vv F (w 0 ) m(w 0 )h 2 2 ]

22 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK 21 Ugyanis u F m, és v F m. Az el bbiekb l, a következ mennyiségeket nevezzük Gaussféle második alapmennyiségeknek (melyek minden pontban más és más értékeket vesznek fel): L(w 0 ) = uu F (w 0 ) m(w 0 ) (2.4) M(w 0 ) = uv F (w 0 ) m(w 0 ) (2.5) N(w 0 ) = vv F (w 0 ) m(w 0 ) (2.6) A felület második alapformája a P = F (w) ponton : [ L(w) M(w) Q(h) := H(w)h, h H(w) := M(w) N(w) ] Megjegyzés. dist(p, ε) = 1 2 H(w 0)h, h 2.9. Felületi görbék görbülete Motiváció: legyen F R 3 egyszer sima felületdarab, F : I 2 R 3 egy paraméterezése; Γ F felületi görbe, és ϕ = F γ. Ekkor, ha veszünk egy tetsz leges P 0 pontot a felületen, akkor a görbület a következ képpen számolható: κ(p 0 ) = Φ (s 0 ) ahol Φ = ϕ T = F ϕ T. Természetesen a Φ (s 0 ), Φ (s 0 ) számolható, de nehézkes. -ÁBRA- De! Ha felhasználjuk a Frenet-formulákat, akkor Φ -re a következ összefüggést írhatjuk fel: Φ (s 0 ) = e (s 0 ) = κ(p 0 ) n(s 0 ) Ha még beszorzunk skalárisan az m(w 0 ) vektorral, akkor κ megkapható. Err l szól a következ tétel Tétel. (Felületi görbék görbületér l): Legyen F R 3 egyszer sima felület, F : I 2 R 3 egy paraméterezése; Γ F felületi görbe, és ϕ = F γ : [α, β] F paraméterezés. Tegyük fel, hogy P 0 F, P 0 = ϕ(t 0 ) = F (γ(t 0 )) = F (u 0, v 0 ) = F (w 0 ); és γ = (γ 1, γ 2 ). Ekkor: κ(p 0 ) = 1 n(p 0 ) m(w 0 ) H(w 0) γ(t 0 ), γ(t 0 ) G(w 0 ) γ(t 0 ), γ(t 0 ) = 1 = n(p 0 ) m(w 0 ) L(w 0)[ γ 1 (t 0 )] 2 +2M(w 0 ) γ 1 (t 0 ) γ 2 (t 0 )+N(w 0 )[ γ 2 (t 0 )] 2 E(w 0 )[ γ 1 (t 0 )] 2 +2F(w 0 ) γ 1 (t 0 ) γ 2 (t 0 )+G(w 0 )[ γ 2 (t 0 )] 2 (2.7) Ahol n(p 0 ) = a görbe f normális egységvektora, és m(w 0 ) = a felületi normális egységvektor. A (2.7) formula érvényes, ha n m 0, azaz az érint sík nem esik egybe a görbe simulósíkjával.

23 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK 22 Bizonyítás. Lásd a tétel motivációját Megjegyzés. A (2.7) formuláról: gyakorlati haszna, hogy jól számolható, de talán fontosabb az elméleti jelent sége. Ugyanis a görbület (κ) csak a γ 1(t 0 ) γ 2 (t 0 hányadostól függ. Ez a hányados ) a pramétertartományban egy irányt ad meg, azaz a görbület egy érint iránytól, és nem a nagyságtól függ. Másrészt függ még az n(p 0 )-tól is, ami pedig a görbe simulósíkját adja meg. Az alábbi következtetést vonhatjuk le: az azonos érint vel és simulósíkkal rendelkez görbék görbülete megegyezik. Ez azt jelenti, hogy ha felületi görbéket vizsgálunk, akkor elég a simulómetszeteket venni Tétel. Elég csak a síkmetszetek görbületét vizsgálni, mert tetsz leges görbe P 0 -beli görbülete meg fog egyezni a görbe simulósíkja által a felületr l kimetszett görbe görbületével Deníció. (Normálsík, normálmetszet, normál görbület és ferdemetszet): Normálsík : P 0 -ban az érint síkra mer leges sík Normálmetszet : amit a normálsík a felületb l kimetsz Normál görbület : a normálmetszet görbülete Ferdemetszet : az összes metszet ami nem normálmetszet, azaz az összes többi síkmetszet Megjegyzés. A (2.7) = elég a normálmetszetet nézni (ha az összes felületi görbét tekintjük), ugyanis az normálmetszet az n és m vektor viszonyát adja meg. Ha n m = n m = ±1 Azaz, mint látható, a görbület lehet akár negatív is Deníció. (El jelezett normálgörbület): (i.) κ(p 0 ) > 0, ha n és m egyirányúak; κ e (P 0 ) := H(w 0) γ(t 0 ), γ(t 0 ) G(w 0 ) γ(t 0 ), γ(t 0 ) (ii.) κ(p 0 ) < 0, ha n és m ellentétes irányúak; (iii.) e: egy irány az érint síkban ott elmetszem, és ezt a számot (ami lehet ±) nevezem el jelezett normálgörbületnek Megjegyzés. Az (i) és (ii) a (2.7)-es formulából következik (trivi) Tétel. (Meusnier 2 tétele a ferdemetszetr l): σ egy ferdemetszet (egy sík, ami kimetsz egy görbét), az érint sík e egyenesének irányában. Ekkor a ferdemetszet görbülete: κ(p 0 ) = κ e(p 0 ) cos α Ahol α (0, π)\ { π 2 } az n és m szöge (n m 0). Összefoglalva az eddigieket : 2 ejtsd: Mönié

24 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK 23 (1.) Elég a normálmetszetek görbületét ismerni - vizsgálni. (2.) További teend : az érint síkban, különböz irányokban az arra mer leges síkmetszetek görbületének vizsgálata. Azaz κ e (P 0 ) vizsgálata, hogy hogyan változik a különböz irányokban. A továbbiak dallama : Az érint síkban van két egymásra mer leges irány (f irányok), amelyek ismeretében bármely irányú normál görbület már meghatározható (ld. kés bb az Eulertételt) Egy általános széls érték feladat Tétel. Legyen f(x) := A x, x B x, x x R n \ {0} Ahol: A, B R n n szimmetrikus mátrixok, és B pozitív denit (azaz a 0-t csak a 0-ban veszi fel). Tekintsük az A B 1 szimmetrikus mátrixot, és jelöljék λ 1 λ 2... λ n r 1, r 2,..., r n a sajátértékeket, és pedig a sajátvektorokat. Ekkor: (1.) f-nek abszolút minimuma és maximuma is (2.) min f = λ 1 = f(b 1 r 1 ) max f = λ n = f(b 1 r n ) Bizonyítás. (1.): mivel f folytonos és homogén (2.): nem kell! Megjegyzés. Az el bbi állítást, a következ szereposztásban alkalmazva (A, B R 2 ): A := H(w 0 ) B := G(w 0 ) x = (x 1, x 2 ) Az érint síkban az irányt határozzák meg. másodrend alapmennyiségekb l képzett szimmetrikus mátrix els rend alapmennyiségekb l képzett szimmetrikus mátrix e = λ 1 u F (w 0 )+λ 2 v F (w 0 ) Tétel. (F görbületekre vonatkozó): Legyen F R 3 egyszer sima felület; F : I 2 R 3 egy paraméterezése (F C 2 (I 2, R 3 )). Vegyük a felület egy pontját: P 0 = F (w 0 ) F. Ekkor:

25 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK 24 (1.) Az f(x) := κ e (P 0 ) = H(w 0)x, x G(w 0 )x, x = = L(w 0)x M(w 0 )x 1 x 2 +N(w 0 )x 2 2 E(w 0 )x 12 +2F(w 0 )x 1 x 2 +G(w 0 )x 2 2 függvénynek abszolút minimuma (κ 1 ), illetve abszolút maximuma (κ 2 ). Ezek az úgynevezett f normálgörbületek (x = (x 1, x 2 ) R 2 \ {(0,0)}). (2.) A κ 1, κ 2 a H(w 0 )G 1 (w 0 ) R 2 2 mátrix sajátértékei. (3.) κ 1 +κ 2 = tr(h(w 0 )G 1 (w 0 )) = H; Összeggörbület, vagy Minkowski-görbület. (4.) κ 1 κ 2 = det(h(w 0 )G 1 (w 0 )) = K ; Szorzatgörbület, vagy Gauss-görbület. (5.) A f görbületek egy másodfokú sajátérték-egyenletnek megoldásai, azaz λ 2 tr ( H(w 0 )G 1 (w 0 ) ) λ+det ( H(w 0 )G 1 (w 0 ) ) -nak (2.8) (mindig valós) gyökei Deníció. Az A = [a ij ] R n n mátrix nyomának 3 a következ számot nevezzük: tra := n k=1 a kk Megjegyzés. A f görbületek meghatározása: (a.) H(w 0 ), G(w 0 ) számolása; (b.) H(w 0 ) G 1 (w 0 ) számolása; (c.) A (2.8) felírása és megoldása = κ 1, κ Tétel. (F irányok): A (2.10.3) tételbeli f függvény széls érték helyei az érint síkban a (ξ, η) koordináta pontokat határozzák meg, a alapján. Ezek az úgynevezett f irányok. ξ u F (w 0 )+η v F (w 0 ) (1.) (a.) Ha κ 1 κ 2 = két f irány, és ezek -ek egymásra (b.) Ha κ 1 = κ 2 = minden irány f irány (pl. gömb) (2.) A f irányokat megadó ξ, η értékek a η 2 ξη ξ 2 det E(w 0 ) F(w 0 ) G(w 0 ) = 0 L(w 0 ) M(w 0 ) N(w 0 ) egyenlet gyökei. 3 az angol Trace szóból

26 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLGEOMETRIA - FELÜLETEK 25 Bizonyítás. Nélkül Megjegyzés. Könnyen számolható formulát kaptunk! Tétel. (Euler tétele): Legyen F R 3 egyszer sima felületdarab; P 0 F σ : egy tetsz leges normálmetszet (sík)p 0 -ban κ : a normálmetszet (görbe) görbületep 0 -ban. Ekkor: κ = κ 1 cos 2 ν +κ 2 sin 2 ν ahol κ 1, κ 2 a f (normál)görbületek, és ν az érint és a κ 1 -nek megfelel f irány szöge. Bizonyítás. Nélkül Megjegyzés. -ÁBRA Felületi pontok osztályozása Deníció. F R 3 egyszer sima felületdarab; P 0 F és K := κ 1 κ 2 szorzatgörbület (vagy Gauss-görbület). A P 0 pont (i.) elliptikus, ha K > 0 (ii.) hiperbolikus, ha K < 0 (iii.) parabolikus, ha K = 0 (iv.) szférikus, ha κ 1 = κ 2 0 (v.) planáris, ha κ 1 = κ 2 = Megjegyzés. Speciális másodrend felületeknél ellen rizni 4! 4 ld. szili

27 3. fejezet Vektoranalízis Megjegyzés. F leg R 3 R 1 ; és R 3 R 3 típusú függvények vizsgálata Jelölések, elnevezések (i.) Skalármez k : U : R 3 r U(r) R 1 Például: h mérséklet, nyomás, potenciál,... Megadása : rögzített (i, j, k) koordináta rendszerben: f(x, y, z) := U(r) r = x i+y j +z k f R 3 R 1 Azonosítás : skalármez az t megadó háromváltozós függvénnyel. U(r) = U(x, y, z) U R 3 R 1 r 0 intd U U D {r 0 } U (r 0 ) = ( 1 U(r 0 ), 2 U(r 0 ), 3 U(r 0 ) ) =: grad U(r 0 ) Az U skalármez gradiens vektora. Szemléltetés : szintfelületekkel, c R rögzített; { r R 3 U(r) = c } (ii.) Vektormez k : V : R 3 r V (r) R 3 Például: er terek gravitációs, elektromos, mágneses, stb.; áramlások: V (r) sebesség. Megadása : rögzített (i, j, k) koordináta rendszerben: V = (V 1, V 2, V 3 ) koordináta függvény V i R 3 R 1 V R 3 R 3 Szemléltetés : er vonalakkal (áramvonalakkal) Deníció. V R 3 R 3 r 0 intd V V D { r 0 } derivált (vagy jacobi) mátrix. V (r 0 ) = 1 V 1 (r 0 ) 2 V 1 (r 0 ) 3 V 1 (r 0 ) 1 V 2 (r 0 ) 2 V 2 (r 0 ) 3 V 2 (r 0 ) 1 V 3 (r 0 ) 2 V 3 (r 0 ) 3 V 3 (r 0 ) 26

28 3. FEJEZET. VEKTORANALÍZIS Megjegyzés. A vektormez t megadó vektor-vektor függvény függ a koordináta rendszer megválasztásától Megjegyzés. A derivált mátrixból képezhet ek koordináta rendszert l független kifejezések (ld. a divergencia és rotáció fogalmát) Deníció. V R 3 R 3 deriválható függvény. a V vektor divergencia függvénye. div V := 1 V V V 3 = V 1 x + V 2 y + V 3 y Megjegyzés. Használatához: div V (r 0 ) = Megjegyzés. A divergencia koordináta rendszert l független, a vektormez forrásaival kapcsolatos. Egy adott zikai jelenséget leírhatunk bármilyen koordináta rendszerben, a derivált különböz lesz, de a f átló összege nem. Ezt nevezzük skalár invariáns tulajdonságnak Deníció. V R 3 R 3 deriválható függvény. a vektormez rotáció függvénye. rot V := ( 2 V 3 3 V 2, 3 V 1 1 V 3, 1 V 2 2 V 1 ) Megjegyzés. Használatához: rot V (r 0 ) = Megjegyzés. Szokás ezt a deriváltmátrix vektorinvariánsának is nevezni. Általában zikai jelenségek jellemzésére használják (például er vonalak csavarodásának jellemzésére) Nabla szimbolika Deníció. := ( 1, 2, 3 ) nabla - (vagy Hamilton-) féle dierenciál operátor (virtuális vektor) Megjegyzés. Az el bbi deníciók egyszer sített megadására használhatjuk, például: U R 3 R 1 : grad U(r 0 ) = U(r 0 ) = ( 1 U(r 0 ), 2 U(r 0 ), 3 U(r 0 ) ) 3 V R 3 R 3 : div V (r 0 ) = V (r 0 ) = i V i (r 0 ) i=1 : rot V (r 0 ) = V (r 0 ) = det i j k V 1 V 2 V 3 (skaláris szorzat) Deníció. (Laplace operátor ): :=, = = 2 x y z Megjegyzés. Egy szám! Nevezzük még dierenciálásra éhes operátornak is Megjegyzés. U R 3 R 1 U = 2 U x + 2 U 2 y + 2 U = div grad U = U 2 z2

29 3. FEJEZET. VEKTORANALÍZIS Reguláris tartományok Deníció. Az Ω R 3 halmaznak az a R 3 egy határpontja, ha a minden környezetében van Ω-hoz tartozó, és Ω-hoz nem tartozó pont is, azaz: r > 0 : k r (a) Ω és k r (a) ( R 3 \Ω ). Az Ω halmaz határpontjainak halmazát a Ω szimbólummal fogjuk jelölni Deníció. A reguláris F R 3 felületet egyszer zárt felület nek nevezzük, ha a teret két részre, V 1 -re és V 2 -re bontja úgy, hogy (a) V 1 F V 2 = R 3, (b) V 1 F =, V 2 F =, és V 1 V 2 = ; (c) V 1 V 2 nem összefügg halmaz; (d) V 1 és V 2 is összefügg halmaz; (e) közülük az egyik, pl. V 1 korlátos halmaz Megjegyzés. (Ω-ról, Ω-ról): A továbbiakban olyan korlátos Ω R 3 tartományokat fogunk tekinteni, amelyeknek a Ω határa egyszer zárt felület. Megengedjük azt is, hogy a határhalmaz élekben csatlakozó reguláris felületdarabokból álljon. Az ilyen tartományokat röviden jó tartományoknak fogjuk majd nevezni Skalármez k térfogati integrálja, vektormez k vonal és felületi integrálja Térfogati integrál U R 3 R 1 : Ω U(r) dr Megjegyzés. Ismételni: többszörös integrál, szukcesszív integrálás Vektormez k vonalintegrálja Deníció. Legyen V R 3 R 3 ; Γ : γ : [α, β] Γ. Ekkor a vonalintegrál: Γ β V (r) dr := V (γ(t)) γ(t)dt α Megjegyzés. Ismételni: Vektor vektor függvények A primitív függvény fogalma (potenciál, potenciális energia, ld. zika) Zárt görbére vett vonalintegrál, a vonalintegráltól vett függetlenség.

30 3. FEJEZET. VEKTORANALÍZIS Vektormez k felületi integrálja -ÁBRA- Tegyük fel, hogy V R 3 R 3, és F R 3 egyszer sima felületdarab, F : I 2 R 3 pedig egy paraméterezése. ( ) : v F (u i, v j ) v j ( ) : u F (u i, v j ) u j V (F (u i, v j )), u F (u i, v j ) v F (u i, v j ) u i v j i,j Deníció. Tegyük fel, hogy V R 3 R 3 folytonos; F R 3 egyszer sima felületdarab, F : T F (T I 2 ) pedig egy paraméterezése. Ekkor: V (r) dσ := V (F (u, v)) u F (u, v) v F (u, v) du dv F A felületi integrál. T Megjegyzés. Vektorok vegyesszorzata! Fizikai tartalom: er tereknél a különböz er vonalak számát adja meg. Többféle integrálfogalom létezik még! 3.5. Integrálátalakító tételek Tétel. (Gauss-Osztrograszkij-tétel): Legyen Ω R 3 jó, és V C 1 (Ω Ω). Ekkor: V (r) dr = div V (r) dr Ω Ω Megjegyzés. Felületi integrálból térfogati integrál div V : az er tér forrásával kapcsolatos (ld. zika) Elméleti és gyakorlati szempontbol is fontos tétel Tétel. (Stokes-tétel): Tegyük fel, hogy V C 1 (F Γ). Ekkor: V (r) dr = rot V (r) dr Γ F -ÁBRA- -ÁBRA Megjegyzés. Er vonalak csavarodásának mértéke (ld. zika).

31 3. FEJEZET. VEKTORANALÍZIS Tétel. (Szimmetrikus Green-tétel): Tegyük fel, hogy Ω R 3 jó, korlátos tartomány. Ω egyszer zárt felület, kifelé mutató normálissal, és u 1, u 2 R 3 R 1 skalármez k. Ekkor: (u 1 u 2 u 1 u 2 ) dr = (u 1 grad u 2 u 2 grad u 1 ) dσ Ω Ω Megjegyzés. Vesd össze a parciális integrálással: b b u v = (u v)(b) (u v)(a) u v a b a (u v +u v) = [u v] b a a

32 4. fejezet Mérték és integrálelmélet, a Lebesgue-integrál 4.1. Emlékeztet, motiváció A Riemann-integrál -ÁBRA- (a.) C[a, b] R[a, b] F([a, b], R) (b.) R[a, b] f Tétel. (Lebesgue-tétel ): f R[a, b] ha f egy Lebesgue-értelemben vett nullmérték halmaz kivételével folytonos Megjegyzés. Lényegében a folytonos függvények Riemann-integrálhatóak. (c.) Newton-Leibniz-tétel (d.) A dierenciál és integrálszámítás alaptétele A Riemann-integrál kritikája b a f A függvény sorozatoknál és soroknál a lim és az Példa. (a.) -ÁBRAlim n 1 f n = 1 0 = b a lim(f n ) (integrál) felcserélhet sége. n N; és 1 0 f n = 1 Azaz mindkett létezik, DE nem cserélhet ek fel. (b.) -ÁBRA- Az x 1, x 1,... a [0,1] racionális pontjai. 31

33 4. FEJEZET. MÉRTÉK ÉS INTEGRÁLELMÉLET 32 Ekkor: lim n DE: lim n N f n / R[0,1] (c.) -ÁBRA- 1 0 f n (x) := 1 0 f n = 1 { 0 ha x {x1, x 2,..., x n } 1 ha x [0,1]\{x 1, x 2,..., x n } lim(f n ) = 0 lim A probléma megoldásai { 0 ha x racionális lim f n (x) = n 1 ha x irracionális n 1 0 f n = lim n n 2 = + Ha a pontonkénti konvergencia helyett az egyenletes konvergenciát tekintjük, akkor (igaz er s feltételek mellet, de) javul a helyzet. Az integrálfogalom kiterjesztése a kés bbiekben a Lebesgue-féle kiterjesztést fogjuk részletezni (1902) A Lebesgue-integrál különböz felépítései (a.) A Lebesgue-féle (1902) mértékeken keresztül A halmazok mértékének általánosításán keresztül az integrálfogalomhoz. (b.) A Riesz-féle felépítés 1 ( 1910) Mértékelmélet nélkül Mértékelmélet El zetes megjegyzések Halmazok mértéke R p -ben Különböz fogalmakról beszélhetünk a p paraméter különböz értékei mellett. Legyen A R p, A µ(a) R, elvárások: p = 1 : hossz p = 2 : terület p = 3 : térfogat (i.) µ(a) 0 (ii.) A és B egybevágó, ha µ(a) = µ(b) (iii.) Ha A B =, akkor µ(a B) = µ(a)+µ(b) (additivitás) 1 Lásd a [4] oldalain.

34 4. FEJEZET. MÉRTÉK ÉS INTEGRÁLELMÉLET 33 Kérdés: Milyen A R p -hez rendelhet ilyen szám? Válasz: Jordan-mérhet ség, Jordan-mérték. Példa. p=2 Ha H R 2, akkor H Jordan-mérhet, azaz a { 0 ha x H χ H (x) := 1 ha x R 2 \H karakterisztikus függvény Riemann-integrálható, µ(h) := Megjegyzés. p > 2-re hasonlóan (térben, stb.) R 2 χ H Megjegyzés. Geometriai jelentése (vesd össze a Riemann-integrál szemléletes jelentésével). H R 2 ; H-t kívülr l és belülr l kell véges sok téglalappal közelíteni 2. A probléma, hogy sok fontos halmaz így nem mérhet. Kérdés, hogy kiterjeszthet -e a mérték fogalma úgy, hogy az eddigi mérték megmaradjon, és lehet leg több halmaz legyen mérhet? Az igenl választ Lebesgue (1902), és Carathèodory (1914) adta meg A mérték Lebesgue-Carathèodory-féle kiterjesztése (a.) Lebesgue alapötletét követve (az R p topológiai tulajdonságait felhasználva) A Jordan-mérhet ségnél véges sok intervallum helyett megszámlálható sokat engedünk meg. Körülírt intervallumok (téglalapok) segítségével deniálta a küls mértéket, míg a beírt intervallumok helyett bels mértéket deniál (hogyan?). (b.) Carathèodory észrevétele Absztrakt módon is megy, R p helyett tetsz leges halmazra. Küls mérték és a mérhet ség ügyes denícióján keresztül Mértékterek alapvet deníciók Legyen tetsz leges halmaz; P( ) pedig a hatványhalmaza Deníció. Az Ω P( ) halmazrendszert (h.r.) -beli σ-algebrának nevezzük, ha (i.) Ω (ii.) A Ω: \A Ω (iii.) A n Ω(n = 1, 2,...) tetsz leges megszámlálható sok halmaz esetén + n=1 A n Ω Megjegyzés. Vesd össze Lebesgue alapötletével! Itt σ mindig megszámlálhatóan sok dologra vonatkozik Tétel. (i.) P( ) σ-algebra; triviális σ-algebra 2 Lásd: G. Jordan (1892), G. Peano (1887), H. Borel (1898).

35 4. FEJEZET. MÉRTÉK ÉS INTEGRÁLELMÉLET 34 (ii.) Ω (iii.) Egy σ-algebra zárt a megszámlálható metszetre és különbségre Deníció. (Mérhet tér): tetsz leges halmaz; Ω P( ) σ-algebra. Az (, Ω) párt mérhet térnek, és az Ω elemeit mérhet halmazoknak nevezzük Deníció. (Mérték): tetsz leges halmaz; Ω P( ) σ-algebra. (1.) A µ : Ω R leképezést az (, Ω) mérhet téren értelmezett mértéknek nevezzük, ha (i.) µ( ) = 0 (ii.) A Ω : µ(a) 0 (iii.) (A k ) (k N) Ω-beli, páronként diszjunkt halmazrendszer esetén ( + ) µ A k = + k=1 k=1 µ(a k ) (σ additivitás) a µ halmazfüggvény σ-additív. µ(a) : az A halmaz mértéke. (2.) A µ mérték véges, ha µ( ) < + (3.) A µ mérték σ-véges, ha megszámlálhatóan sok, páronként diszjunkt A 1, A 2,..., A k Ω: (i.) + k=1 A k = (ii.) k N : µ(a k ) < Deníció. (Mértéktér): tetsz leges halmaz; Ω P( ) σ-algebra, µ:ω R mérték. Az (, Ω, µ) hármast nevezzük mértéktérnek Megjegyzés. Valószín ségszámításban a valószín ségi mérték, ha µ( ) = 1. Probléma: van-e ilyen struktúra? Triviális példa: esetén az (, Ω, µ ω ) mértéktér. tetsz leges Ω = P( ) ω rögzített. µ ω (A) := { 1 ha ω A 0 ha ω / A 4.4. Mértékterek Lebesgue-Carathèodory-féle konstrukciója (kiterjesztési eljárással) A kiterjesztési eljárás lényege, hogy egyszer halmazokból (pl. intervallumokból és természetes mértékekb l) kiindulva b vítjük a mérhet körét Megjegyzés. Lebesgue R p ben, míg Carathèodory absztraktban foglalkozott a kérdéssel.

36 4. FEJEZET. MÉRTÉK ÉS INTEGRÁLELMÉLET R p -beli intervallumok I p rendszere, mértéke Legyen p = 1, 2,... és a = (a 1, a 2,..., a p ) R p és b = (b 1, b 2,..., b p ) R p. Ekkor deníció szerint: Példa. p = Deníció. a b i = 1... p : a < b i = 1... p : a i b i a i < b i [a, b) := {x R p a x < b} alulról zárt intervallum m ([a, b)) := (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) 1.) p = 1, 2,... ; I p := {[a, b) P(R p ) a b és a, b R p } alulról zárt intervallumok rendszere 2.) [a, b) I p természetes mértéke m ([a, b)) := Tétel. Az I p halmazrendszer struktúrája Legyen p = 1, 2,... rögzített. Ekkor: (i.) I p (ii.) A, b I p = A B I p p (b i a i ) (iii.) Ha A, B I p tetsz leges, akkor Q k véges sok páronként diszjunkt intervallum, melyre: Megjegyzés. p = 2 -ÁBRA- A\B = Absztrakció: félgy r, gy r, el mérték, kvázimérték Deníció. (Félgy r ): : a H P( ) halmazrendszer -beli félgy r, ha (i.) H (ii.) A, B H = A B H (iii.) A, B H-hoz Q k véges sok H-beli páronként diszjunkt halmaz úgy, hogy Szebb a következ struktúra: A\B = Deníció. (Gy r ): Legyen tetsz leges halmaz, a G P( ) halmazrendszer -beli gy r, ha (i.) A, B G = A B G (ii.) A, B G = A\B G Tétel. G P( ) gy r, ha i=1 n k=1 n k=1 Q k Q k

37 4. FEJEZET. MÉRTÉK ÉS INTEGRÁLELMÉLET 36 (i.), G (ii.) G zárt a véges unió- és metszetképzésre Bizonyítás. Szinte trivi (a metszetet ki lehet fejezni az egyesítéssel és a különbséggel) Tétel. Akárhány gy r metszete is gy r. Bizonyítás. Trivi Deníció. (Halmazrendszer által generált gy r ): Legyen ; Y P( ) tetsz leges halmazrendszer. Az Y halmazrendszer által generált gy r G(Y) := G Y G Megjegyzés. G gy r A metszetet csak akkor vehetjük, ha van ilyen gy r (van! P( ) gy r ). Tetsz leges Y halmazrendszer esetén G(Y) el áll, DE félgy r esetén már nem el állítás Tétel. (Félgy r által generált gy r explicit el állítása): Legyen H P( ) egy félgy r. Ekkor: { n } G(H) = A k P( ) A k H; k = 1, 2,..., n Bizonyítás. Nem kell 3. Példa. Legfontosabb példánk: I p félgy r, és G(I p ) félgy r. k= Deníció. (El mérték): Legyen tetsz leges halmaz, és H P( ) félgy r, vagy gy r. Ekkor az m : H R halmazfüggvény el mérték, ha (i.) m(a) 0 (ii.) m( ) = 0 A H-ra (iii.) m végesen additív, azaz ha A 1, A 2,..., A n H páronként diszjunkt halmazok, amire ( ) n n n A k H m( A k ) = m(a k ) k=1 k=1 Példa. Legfontosabb példánk I p -n a természetes mérték Az els kiterjesztési tétel Tétel. Tegyük fel, hogy: (i.) tetsz leges halmaz, (ii.) H P( ) félgy r, és (iii.) m : H R el mérték. Ekkor m egyértelm en kiterjeszthet a G(H) gy r n értelmezett el mértékké. 3 Lásd a [2] 15. odalán. k=1

38 4. FEJEZET. MÉRTÉK ÉS INTEGRÁLELMÉLET 37 Bizonyítás. Vázlat 4 n A G(H) = A = B k (B k H) Meggondolandó, hogy a B k -k páronként diszjunktnak választhatóak, és k=1 Ekkor igazolni kell : n m(a) := m(b k ) k=1 (A G(H)) (i.) m(a) független a B k -k megválasztásától! (ii.) m : G(H) R el mérték Tétel. (Következmény): Az I p -n értelmezett természetes mértékünk egyértelm en kiterjeszthet a G(I p )-re Tétel. A G(I p ) gy r n értelmezett természetes el mérték σ-additív is, azaz ha A i G(I p ) (i N) páronként diszjunkt, és ( ) A i G(I p ) = m A i = i=1 i=1 m(a i ) i=1 Bizonyítás. Nélkül Megjegyzés. Gy r n értelmezett el mérték általában nem σ-additív Deníció. (Kvázi mérték): tetsz leges halmaz. G P( ) gy r. A µ : G R halmazfüggvény kvázimérték, ha (i.) A G : µ(a) 0, (ii.) µ( ) = 0, és (iii.) µ σ-additív A második kiterjesztési tétel Tétel. Minden gy r n értelmezett kvázi mérték kiterjeszthet mértékké. Azaz, ha (i.) tetsz leges halmaz, (ii.) G P( ) gy r, és (iii.) µ : G R kvázimérték, akkor: Ω P( ) G-t tartalmazó σ-algebra, és µ : Ω R mérték, ami a µ kiterjesztése (azaz µ(a) = µ(a) (A G)). Bizonyítás. Vázlat. 0 4 Lásd [2]. 5 Lásd a [2] 26. oldalán.

39 4. FEJEZET. MÉRTÉK ÉS INTEGRÁLELMÉLET lépés, a küls mérték értelmezése (ez a lépés természetes!) A P( ) tetsz leges. { } µ (A) := inf µ(a i ) A i G és A A i i=1 i=1 Az A halmaz küls mértéke -ÁBRA Tétel. (1. Segédtétel) A µ : P( ) R halmazfüggvény olyan, hogy: (i.) µ (A) 0 A ( A P( )), (ii.) µ ( ) = 0, (iii.) Ha A B = µ (A) µ (B) monoton, és (iv.) σ-szubadditív, azaz A n P( ) (n N) Bizonyítás. Nélkül. ( ) µ A n µ (A n ) n=1 n= Megjegyzés. A µ általában nem σ-additív = tehát általában nem mérték. 2. lépés, a küls mérték további tulajdonságai Tétel. (2. Segédtétel) (i.) G G : µ (G) = µ(g), (ii.) minden G-beli halmaz, minden A halmazt additív módon vág szét, azaz minden G-beli rögzített halmaz esetén µ (A) = µ (A G)+µ (A\G) A P( ) 3. lépés, a mérhet ség értelmezése, az Ω σ-algebra értelmezése Deníció. 6 = ; µ : P( ) R küls mérték. A B P( ) halmazt Carathèodory értelemben mérhet nek nevezzük akkor, ha A-beli halmazt additív módon vág szét, azaz: Megjegyzés. Vesd össze a al! µ (A) = µ (A B)+µ (A\B) A P( ) A mérhet halmaz olyan éles kés, amely minden halmazt morzsa nélkül vég szét. Lebesgue a mérhet séget (R p -ben) a bels mértékkel deniálta Tétel. (3. Segédtétel) (i.) G Ω (ii.) Ω egy σ-algebra, azaz 6 Lásd Carathèodory

40 4. FEJEZET. MÉRTÉK ÉS INTEGRÁLELMÉLET 39 Ω B Ω = \B Ω B k Ω (k N) : B k Ω Bizonyítás. Nem kell Megjegyzés. k N Az Ω-ra nincs explicit el állítás, az Ω elemei nehezen áttekinthet ek. 4. lépés Tétel. (4. segédtétel): A µ : Ω R, µ(b) := µ (B) (B Ω) halmazfüggvény már mérték az Ω-n. A második kiterjesztési tétel bizonyításának vége Kérdések a kiterjesztéssel kapcsolatban (1.) Igaz-e, hogy Ω = P( )? válasz : általában NEM (azaz van nem mérhet halmaz is). (2.) Mi a kapcsolat Ω(G) és Ω között (lehet-e Ω(G) = Ω vagy Ω(G) Ω)? válasz : Ω(G) Ω is el fordulhat, pélául a Lebesgue-mérték is ilyen! Ugyanis, ha Ω a kiterjesztési eljárással kapott σ-algebra; Ω(G) a G által generált σ-algebra, akkor triviális, hogy Ω(G) Ω, ugyanis G Ω, de nem több. (3.) A mérték kiterjesztése egyértelm? válasz : általában NEM, de: Tétel. Tegyük fel, hogy (i.) 0 (ii.) G P( ) gy r (iii.) µ : G R σ-véges kvázi mérték Ekkor: a µ egyértelm en kiterjeszthet az Ω(G)-n értelmezett mértékké. Bizonyítás. Nélkül Megjegyzés. Az egyértelm ség általában csak az Ω(G) σ-algebrára igaz. (4.) A mérték kiterjesztése teljes? válasz : Deníció. Legyen (, Ω, µ) mértéktér. A µ mérték teljes, ha minden nullmérték halmaz minden részhalmaza is mérhet (persze ez is nullmérték ) Tétel. A 2. kiterjesztési tételben kapott (, Ω, µ) mértéktér teljes, azaz a µ teljes mérték.

41 4. FEJEZET. MÉRTÉK ÉS INTEGRÁLELMÉLET A Lebesgue-mérték R p -n, speciálisan a Borel-mérték Legyen I p ; G(I p ) az el bb megismert (p N) µ : a természetes kvázimérték G(I p )-n. Ekkor a 2. kiterjesztési tételb l Λ P(R p ) σ-algebra, és λ:λ R mérték, ami µ kiterjesztése. a Λ elemei a Lebesgue-mérhet halmazok, és a λ(a) pedig az A halmaz Lebesgue-mértéke A Lebesgue-mérték alapvet tulajdonságai (1) Lebesgue-értelemben nullmérték halmazok 7. { n λ(a)=0 λ (A)= 0 =inf µ(a n ) A n G(I p ) és A A n } ε>0 : I n (n N) n N intervallum sorozat, melyre: k=1 A I n és n=1 µ(i n ) < ε n=1 (2) A λ Lebesgue-mérték teljes mérték. A Λ és λ(a) = 0 = B A esetén B Λ és λ(b) = 0 (3) A λ Lebesgue-mérték eltolás invariáns. A Λ és A+x = {y +x y A} (x R p tetsz leges) A+x Λ és λ(a) = λ(a+x) (4) A Λ σ-algebra számossága > kontinuum. Ugyanis van kontinuum számosságú nullmérték halmaz, például a p = 1-ben ilyen az úgynevezett Cantor-féle halmaz 8 ennek részhalmaza is mérhet. (5) A λ Lebesgue-mérték µ-véges (pl. p = 1) (6) Λ P(R p ), azaz van Lebesgue értelemben nem mérhet halmaz. Példa. p = 1 Értelmezzünk egy relációt R-ben: x, y R : Tétel. A reláció ekvivalencia reláció. Ekkor R/ osztályfelbontást indukál R-en, azaz x y : x y R x R : A x := x+q = {x+r r Q} Mivel x R = x [x] [0,1) A x = ekvivalencia osztály tartalmaz (R/ ), és [0,1)-beli elemeket is. 7 Vesd össze a korábbi denícióval! 8 Lásd a [4] 44. oldalán.

42 4. FEJEZET. MÉRTÉK ÉS INTEGRÁLELMÉLET Tétel. Legyen K az alábbi módon denált: K := { ekvivalencia osztályból pontosan egy [0,1)-beli elem} [0,1) Ekkor K Λ, azaz K nem Lebesgue-mérhet halmaz. Bizonyítás. A bizonyításhoz írjuk fel a következ segédtételt: Tétel. (i.) y + K (y Q) páronként diszjunkt halmazok (bizonyítása indirekt) (ii.) R = y + K (bizonyítása kétoldali tartalmazással) y Q A tétel bizonyítása indirekt módon: tegyük fel, hogy K Lebesgue-mérhet : K Λ = Egyrészt: + = λ(r) = λ(y +K) = λ(k) = λ(k) 0 y Q y Q Másrészt: (y +K) [0,2] = y [0,1) Q Ami ellentmondás. y [0,1) Q (7) Borel-mérhet halmazok, Borel-mérték. λ(y +K) = y [0,1) Q λ(k) λ ([0,2)) 2 = λ(k) = 0 Tekintsük az Ω(I p ) σ-algebrát (intervallumok által generált legsz kebb). Ekkor mi a kapcsolat Ω(I p ) és Λ között? Válasz: Ω(I p ) Λ Megjegyzés. Ω(I p )-re nincs konstruktív el állítás, elemeit ugyanolyan nehéz áttekinteni, mint a λ-ét. Viszont igaz a következ állítás: Tétel. Ω(I p )=Ω(τ). ahol τ az R p -beli nyílt halmazok rendszere, C zárt, K kompakt, továbbá Ω(I p ) = Ω(τ) = Ω(C) = Ω(K). Elemei: Borel (mérhet ) halmazok. Bizonyítás. Kell Tétel. (i.) Ω(I p ) Λ (ii.) Ω(I p ) Λ Bizonyítás. Segítség (igazolható): Λ számossága > kontinuum, és Ω(I p ) számossága = kontinuum Megjegyzés. A Lebesgue-mérték valóban kiterjeszti a mérhet séget, több halmazra jó. Alkalmazási terület: jelfeldolgozás. 9 Lásd a [2] 49. oldalán.