METRIKA. 2D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva:

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "METRIKA. 2D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva:"

Ágoston Pásztor
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 METRIKA D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva: dl = dx + dy Általános alak ha nem feltétlenül Descartes-koordinátákat használunk: dl =... dx dx +...dx 1 dx +...dx dx 1 = = g 11 dx 1 + g dx + g 1 dx 1 dx + g 1 dx dx 1 = = g ij dx i dx j = g ij dx i dx j i =1 j =1 g ij = g ij x 1,x 1 1. D sík; Descartes-koordinátákkal felírva: dl = dx + dy = g ij dx i dx j koordináták: x 1 = x x = y metrikus tenzor: g ij = 1 0 # 0 1 [a g ij -k itt mind konstansok] 1 Gauss-görbület: K = = 1 = 0 R min R max # SÍK 1

2 . D sík; polárkoordinátákkal felírva: dl = dr + r d = g ij dx i dx j koordináták: x 1 = r x = metrikus tenzor: g ij = 1 0 # 0 r [itt a g függvény: g x 1 = g r = r ] 1 Gauss-görbület: K = = 1 = 0 R min R max # SÍK 3 3. D hengerfelület; hengerkoordinátákkal felírva: dl = dz + a d = g ij dx i dx j koordináták: x 1 = z x = metrikus tenzor: g ij = 1 0 # 0 a [a g ij -k mind konstansok] 1 Gauss-görbület: K = = 1 = 0 R min R max # a SÍK! 4

3 4. D kúpfelület; polárkoordinátákkal felírva: dl = dr + r sin 0 d# = g ij dx i dx j koordináták: x 1 = r x = # metrikus tenzor: g ij = r sin [itt a g függvény: g r = r sin 0 ] 0 Gauss-görbület: K = 1 R min R max = 1 #... = 0 SÍK! kivéve a csúcsot, ahol K-nak szingularitása van D gömbfelület; gömbi koordinátákkal felírva: dl = a d + a sin d# koordináták: x 1 = x = # metrikus tenzor: g ij = a 0 0 a sin [a g függvény: g = a sin ] # 1 Gauss-görbület: K = = 1 = 1 GÖRBÜLT! R min R max a a a 6 3

4 n-dimenziós sokaság pl. D felület, 3D tér, 4D téridő, stb. metrikája: ds = g 11 dx 1 + g dx g 1 dx 1 dx +... = n n = g ij dx i dx j = g ij dx i dx j i =1 j =1 A metrikát a fenti egyenletet a sokaság lakói mérésekre alapozva fel tudják állítani: 1. A sokaságot bekoordinátázzák az x 1, x,, x n tetszőlegesen felvett koordinátákkal.. Két közeli pont között megmérik a ds távolságot, és ugyanakkor regisztrálják a két pont közötti dx i koordináta-különbségeket is. 3. A -es lépést megismétlik sok közeli pontpárra. Összességében rengeteg adatot összegyűjtenek. 4. Ezekből az adatokból megállapítják a g ij = g ij x k függvényeket a metrikus tenzor elemeit. De: hogyan tudják a lakók megállapítani, hogy sokaságuk görbült-e? 7 Gauss-görbület D felület egy adott pontbeli görbültségét kifejező szám: K = k min k max = 1 R min R max R min és R max : az adott ponton át a felületre fektetett merőleges síkokkal vett metszetgörbék előjelesen értelmezett görbületei közül a legkisebbnek és a legnagyobbnak a reciproka. K előnye: a felület tényleges görbültségét fejezi ki nem módosul az értéke, ha a felületet deformációmentes alakváltozásnak tesszük ki pl. a feltekert újság: sík K hátránya: 1 nem alkalmazható 3D, 4D, stb. sokaságokra, csak D felületre! a K fenti definiálásához külső nem laposlényi nézőpont kell R min és R max fogalmát a laposlények nem értik 8 4

5 Theorema Egregium Gauss, 188: Recept a laposlények számára, hogy hogyan számolhatják ki K-t az általuk is kimérhető g ij = g ij x k függvényekből. K x 1,x = 1 g g 1 x 1 x # g 11 x g # x g 1 g 11 -, / g -, / # g - 11, / g -, / + g 1 # g - 11, / g 1 # g - 4g, / + x 1. + x. + x. + x 1. + x 1 x. + x x 1 #. # g g 11 -, / g 1 # g -, / # g - 11, / 4g + x 1. + x x 1. + x. # # g 11 g -, / g 1 # g - 11, / # g -, / 4g + x. + x 1 x. + x 1. ahol g det g ij = g 11 g # g 1 [csak D felületre alkalmazható!] 9 n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség: a Riemann-tenzor Riemann, 1854 Ezt is ki tudják számítani a sokaság lakói a g # x metrikus tenzorból: R #µ # x #µ + µ x µ # #µ µ# = 1 g # g x + g µ g + µ# ahol -, és g # a metrikus tenzor inverze. µ x # x, [tetszőleges dimenziójú sokaságra alkalmazható!] 10 5

6 TOVÁBBI PÉLDÁK A sokaságunk legyen a 4D téridő! D téridő a világűrben, nagy tömegektől távol; kockarács-hálózat, szinkronizált órák: ds = cdt dx dy dz = g # dx # dx koordináták: x 0 = t x 1 = x x = y x 3 = z metrikus tenzor: c g # = Riemann-tenzor: R #µ =... = 0 SÍK GÖRBÜLETLEN TÉRIDŐ! 1 6

7 7. 4D téridő a világűrben, nagy tömegektől távol; gömbhéj-hálózat, szinkronizált órák: ds = cdt dr r d# r sin #d = g dx dx koordináták: x 0 = t x 1 = r x = x 3 = metrikus tenzor: c g # = r r sin + Riemann-tenzor: R #µ =... = 0 SÍK GÖRBÜLETLEN TÉRIDŐ Gömbszimmetrikus, álló tömeg körüli téridő; Schwarzschild-koordinátákkal felírva: ds # = 1 GM cdt c r koordináták: x 0 = t x 1 = r x = x 3 = metrikus tenzor: # 1 GM c r 1 dr r d r sin d 1 GM c c r g # = 0 1 GM c r 0 0 r r sin + Riemann-tenzor: R #µ =... 0 GÖRBÜLT TÉRIDŐ! 14 7

9. Gömbszimmetrikus, álló tömeg körüli téridő; Painlevé-Gullstrandkoordinátákkal felírva: ds # = 1 GM cdt c r koordináták: x 0 = T x 1 = r x = x 3 = metrikus tenzor: GM c r cdtdr dr r d r sin d 1 GM

8 9. Gömbszimmetrikus, álló tömeg körüli téridő; Painlevé-Gullstrandkoordinátákkal felírva: ds # = 1 GM cdt c r koordináták: x 0 = T x 1 = r x = x 3 = metrikus tenzor: GM c r cdtdr dr r d r sin d 1 GM c GM 0 0 c r r g # = GM r 0 0 r r sin + Riemann-tenzor: R #µ =... 0 GÖRBÜLT TÉRIDŐ 15 Kitérő: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film.16 milliárd kilométernyi ideig tartott.. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg] c = M [m ] A Föld tömege M F =6x10 4 kg. = A Föld tömege M F =4.4mm. 16 8

10. Forgó fekete lyuk + a Nap + a Föld körüli téridő; Doran-koordinátákkal felírva, az

d r r + a r + a 0 koordináták: x = T!!! metrikus tenzor: g# x 1 = r M 1!

.. 0 x = Mr r + a r r + a Mr a r + a Ma r Mr a r +a Ma r + a + r GÖRBÜLT TÉRIDŐ! 17!

9 10. Forgó fekete lyuk + a Nap + a Föld körüli téridő; Doran-koordinátákkal felírva, az egyenlítői síkban: # M # Ma Mr ds = 1 dtdr + dt dtd + r r r +a # Mr r Ma +a drd dr r + a + d r r + a r + a 0 koordináták: x = T!!! metrikus tenzor: g# x 1 = r M 1! r Mr = r + a Ma r Riemann-tenzor: R #µ =... 0 x = Mr r + a r r + a Mr a r + a Ma r Mr a r +a Ma r + a + r GÖRBÜLT TÉRIDŐ! 17!! A görbült téridő néhány megfigyelhető következménye 1. gravitációs lencsehatás nagy tömegek - pl. galaxisok - begörbítik a fénysugarak útját demonstráció házilag: 18 9

10 A görbült téridő néhány megfigyelhető következménye. a bolygók perihéliumának vándorlása a Nap körül a bolygók NEM ellipszispályán keringenek A naprendszerben a Merkúrnál a legerősebb az effektus: ~43 /évszázad ~ 43 /417 körbefordulás [A legközelebbi Merkúr-átvonulás: 016. május 9.] 19 A görbült téridő néhány megfigyelhető következménye 3. a GPS-nél relativisztikus korrekcióra van szükség a Föld tömege begörbíti a téridőt Nem egy az egyben a műholdak atomórái által mutatott időt kapják meg a vevőkészülékek, hanem a relativisztikus korrekciókkal spec.rel. + ált. rel. módosított értékeket. [Relativisztikus korrekciók nélkül naponta ~10km távolságmérési hiba gyűlhetne össze.] 0 10

Hasonló dokumentumok

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje? Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]