24 műhold (6 pályasíkban 4-4) & % ( )M * 26600km. T m. # 3870 m v m "1.29 #10 $5. # 460 m T a s

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "24 műhold (6 pályasíkban 4-4) & % ( )M * 26600km. T m. # 3870 m v m "1.29 #10 $5. # 460 m T a s"

Emília Somogyiné
5 évvel ezelőtt
Látták:

A GPS-nél fellépő relativisztikus effektusok.

9 1 5 T m s Az Egyenlítőn álló vevőkészülék: r a = 67km v a [ m s ] = r a" 46 m T a s v a "1.

Időmérési diszkrepanciák várhatók, mert: 1 A műhold és a vevőkészülék eltérő r-koordinátákkal rendelkezik ld.

1 A GPS-nél fellépő relativisztikus effektusok. 4 műhold 6 pályasíkban 4-4 T m = 1 óra " Mm r m = mr m % T m T r m = m % M * 66km " v m [ m s ] = r m" 87 m v m " T m s Az Egyenlítőn álló vevőkészülék: r a = 67km v a [ m s ] = r a" 46 m T a s v a " Az időmérés pontossága fontos, mert a távolságmérést erre alapozzuk. Időmérési diszkrepanciák várhatók, mert: 1 A műhold és a vevőkészülék eltérő r-koordinátákkal rendelkezik ld. gravitációs kékeltolódás. A műhold mozog a vevőkészülékhez képest ld. idődilatáció. Schwarzschild-metrika: d" = 1 M % r dt 1 1 M r dr r d* 1 Tfh. a vevő áll a Föld nem forog, és a műhold is nyugalomban van AB eseménypár ill. CD eseménypár: dr =, dϕ = = 1 M % r m 1 dt AB d" a = 1 M % r a 1 dt CD 1

dt AB = dt CD = 1 M d" a % r m 1 1 M % r a 1 * 1 M % r m 1 + M % r *1 M + M a r m r a M = 4.44mm, r m = 66km, r a = 67km d" a 1 + 5.

2 dt AB = dt CD = 1 M d" a % r m 1 1 M % r a 1 * 1 M % r m 1 + M % r *1 M + M a r m r a M = 4.44mm, r m = 66km, r a = 67km d" a %1 csak a magasságkülönbséget figyelembe vevő számolás d" a < gravitációs kékeltolódás 1 + Magasságkülönbség + relatív mozgás dr = d" = 1 M % r dt r d* d" % dt = % 1 M r v dt AB = 1 M v m % r m 1 d" a = 1 M v a dt CD % r a 1 = 1 M v m d" a % r m 1 1 M v a % r a 1 *1 M v m r m + M + v a r a d" a %1 a magasságkülönbséget és a relatív mozgást figyelembe vevő számolás d" a < eredő relativisztikus diszkrepancia 4

3 d" a %1 Ha ezt a különbséget nem korrigálnánk, mekkora hiba halmozódna fel 1 nap alatt? 864s = 8.5µs hiba 1 nap alatt. Számít-e ez a kicsi hiba? IGEN, mert az időadatokat távolságmérésre használjuk. Ekkora távolságmérési hiba halmozódna fel 1 nap alatt: 8.5µs 1 8 m/s 11km. A GPS-műholdak órájába korrigáló áramkör van építve, a relativisztikus effektusok kompenzálására. A GPS példa arra, hogy a téridő görbültsége gyakorlati alkalmazások szintjén is beleszólhat a mindennapi életünkbe. 5 Legfeljebb mennyi ideig lehet életben maradni egy fekete lyuk eseményhorizontján belül? E m = % 1 " M r dt d " M r dr d [1] L m = r d" d [] d" = 1 M % r dt M r dtdr dr r d* [] [1], [], [] dr % d" = E % m % 1 M r 1 + L % m r d" = * E,% m + % 1 M r 1 + L - % / m r. 1 dr 6

4 M+ E " M = * 1 * M 1 + L. 1 - dr [4],% m % r % m r / *1 Szeretnénk áthaladni az eseményhorizonton, de odabent minél tovább életben maradni. Mit tegyünk? E/m, L/m: algebrai helyettesítésként is felfoghatók, az [1] és [] jobb oldalának tömörebb jelölésére. A [4] levezetésekor nem használtuk fel, hogy E/m vagy L/m konstans. A [4] bármilyen tömegpont mozgását helyesen leírja! Például: bekapcsolt hajtóművel repülő űrhajó esetén Er/m és Lr/m nem mozgásállandók. τ M legyen a lehető legnagyobb 1 A kiindulásnál E =. [1]: r = M-ről induljunk, álló helyzetből. A kiindulásnál L =. Ne mozogjunk ϕ-irányban, csak r-irányban. Közben végig geodetikuson mozogjunk, ne csináljunk semmit mert azzal csak növelnénk E -et vagy L -et. 7 A maximális életbenmaradási idő: 1 M M " max = * 1 dr =... = +M % r Példák: 1 M = M Nap = 1.5km τ max = 4.7km = 16µs M = M Galaxis ~ 1 1 M Nap τ max ~ s ~ 18nap M ~ M Nap [az eddig észlelt legnagyobb tömegű bár forgó f.ly.] τ max ~ 7nap 8 4

Ha beleesünk egy fekete lyukba, mennyi ideig tart az utazás fájdalmas szakasza? A fájdalom oka: a spagettizálódás az árapály-hatás 9 Árapály-gyorsulás, newtoni számolás: 1.

5 Ha beleesünk egy fekete lyukba, mennyi ideig tart az utazás fájdalmas szakasza? A fájdalom oka: a spagettizálódás az árapály-hatás 9 Árapály-gyorsulás, newtoni számolás: 1. Hosszirányban: húzófeszültség Δy << r "g y d "y dt [ ] = g a g f = M kg "g y m s [ ] M [ kg] r r +"y %... % M [ kg]"y r ha a tömeget méterben mérjük: "g y M"y r [1/m] 1 5

6 Árapály-gyorsulás, newtoni számolás:. Keresztirányban: nyomófeszültség Δx << r "g x d "x dt "g x = g b g j M r % M r "x r Ugyanilyen a képlet z-irányban. = M"x r 11 Árapály-gyorsulás, einsteini számolás: Emlékeztető: geodetikus deviáció d r n % d" = *R +,- n, u + u - d n y = M n y d n x = M d" r d" r n x Mostani jelölésünkkel: "g y = M"y r "g x = M"x r Ha r, akkor Δg x, Δg y az utazás vége végtelenül fájdalmas 1 6

Milyen r-értéknél kezd fájdalmas lenni? r aú =? Ökölszabály: akkor kezdjük kényelmetlenül érezni magunkat, amikor a lábunkat is, a fejünket is a súlyunknak megfelelő erővel húzzák.

7 Milyen r-értéknél kezd fájdalmas lenni? r aú =? Ökölszabály: akkor kezdjük kényelmetlenül érezni magunkat, amikor a lábunkat is, a fejünket is a súlyunknak megfelelő erővel húzzák. Δg y = g F, amikor Δy = h =méter g F = M h r aú = Mh r g F g F = 9.81m/s = /m Példák: 1 M = M Nap = 1.5km r aú ~ M > M M = 1 6 M Nap r aú ~.M < M M = 1 9 M Nap r aú ~.M << M 1 Mekkora legyen legalább a fekete lyuk tömege, hogy r aú belül legyen az eseményhorizonton? r aú < M... M >. 1 4 M Nap Meddig tart az utazás fájdalmas szakasza? I r = M-ből nyugalomból induló űrhajós r aú < M M >. 1 4 M Nap [ ] = " aú =" r aú r aú + % M r 1* 1 dr 1 M = 1 6 M Nap τ aú = m =.s [τ max = πm = 15.7s] M = 1 9 M Nap τ aú = m =.1s [τ max = πm = 4.6 óra] 14 7

II Végtelenül távoli pontból, nyugalomból induló űrhajós E m = % 1 " M r dt d " M r dr d = konst Kiinduláskor: dr =, r =, dt = dτ E/m = 1 r-irányú mozgás L/m = általánosan: [ ] = " r kezd r kezd 1 +

8 II Végtelenül távoli pontból, nyugalomból induló űrhajós E m = % 1 " M r dt d " M r dr d = konst Kiinduláskor: dr =, r =, dt = dτ E/m = 1 r-irányú mozgás L/m = általánosan: [ ] = " r kezd r kezd 1 + E -,% m * 1 * M % r 1 + L. % m r / *1 dr r aú M most: " aú =" [ r aú ]r = + dr =... = r aú = Mh % r M *1 r aú g F " aú = Mh g F M = h 9g F = m.1s Eddig tart az utazás fájdalmas szakasza, függetlenül a fekete lyuk tömegétől! 15 Hogy néz ki egy fekete lyuk, ha egy gömbhéjat építünk köré, és onnan nézzük? Hogy néz ki egy fekete lyuk, miközben r-irányban esünk felé? Gömbhéjon álló űrhajós 1 A végtelenből fejest ugró űrhajós 1 r = 5M r = 5M f.ly r =.1M 14 r =.5M [A 8. ábrája alapján] 16 8

Hasonló dokumentumok

Az időmérés pontossága fontos, mert a távolságmérést erre alapozzuk.

A GPS-nél fellépő relativisztikus effektusok. 24 műhold (6 pályasíkban 4-4) T m = 12 óra Az Egyenlítőn álló vevőkészülék: r a = 6370km 1 Az időmérés pontossága fontos, mert a távolságmérést erre alapozzuk.