Véletlen mátrix extrém-érték statisztika: Tracy-Widom eloszlás
|
|
|
- Virág Oroszné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Véletlen mátrix extrém-érték statisztika: Ábel Dániel June 15, / 34
2 2 / 34
3 Előző alkalommal bevezetett dolgok, amiket használni fogunk: 3 / 34
4 Előző alkalommal bevezetett dolgok, amiket használni fogunk: GOE, GUE, GSE sokaság (β = 1, 2, 4) sajátértékek együttes eloszlásfüggvénye: P Nβ (x 1...,x N ) = C Nβ exp β 1 2 N j=1 x 2 j x k x j β, j<k 3 / 34
5 n-pont korrelációs függvény: R n (x 1..., x n ) := N! (N n)! = det [K N (x i, x j )] i,j=1...,n... P (x 1...,x N )dx n+1 4 / 34
6 n-pont korrelációs függvény: R n (x 1..., x n ) := N! (N n)!... P (x 1...,x N )dx n+1 = det [K N (x i, x j )] i,j=1...,n ahol K N (x, y) kernel-függvény, amely a kal felírva, ill. erre az alakra a Christoffel-Darboux formulát alkalmazva: = N 2 K N (x, y) = N 1 j=0 φ j (x)φ j (y) = ( ) φn (x)φ N 1 (y) φ N (y)φ N 1 (x) x y ahol φ j (x) az ortogonalizált : φ j (x) = ( 2 j j! π ) 1 2 e 1 2 x2 H j (x) 4 / 34
7 aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása 5 / 34
8 aszimptotikája A aszimptotikus alakja, kvantum-harmonikus oszcillátor analógia alapján 6 / 34
9 aszimptotikája A aszimptotikus alakja, kvantum-harmonikus oszcillátor analógia alapján V (x) = x 2 /2 potenciál, E N energia esetén fordulópont: x 0 = 2E N 6 / 34
10 aszimptotikája A aszimptotikus alakja, kvantum-harmonikus oszcillátor analógia alapján V (x) = x 2 /2 potenciál, E N energia esetén fordulópont: x 0 = 2E N fordulópont körül lineáris közeltéssel: V (x) E N = V (x 0 )(x x 0 ) = x 0 (x x 0 ) Beírva Schrödinger-egyenletbe: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 6 / 34
11 aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 7 / 34
12 aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 Airy-függvényeket definiáló diffegyenlet: Ψ (x) = λxψ(x) 7 / 34
13 aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 Airy-függvényeket definiáló diffegyenlet: Ψ (x) = λxψ(x) ebből általánosabb esetre, Ψ (x) = λxψ(x): 7 / 34
14 aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 Airy-függvényeket definiáló diffegyenlet: Ψ (x) = λxψ(x) ebből általánosabb esetre, Ψ (x) = λxψ(x): x λ a x helyettesítéssel: λ 2a Ψ (x) = λ 1 a xψ(x) 7 / 34
15 aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 Airy-függvényeket definiáló diffegyenlet: Ψ (x) = λxψ(x) ebből általánosabb esetre, Ψ (x) = λxψ(x): x λ a x helyettesítéssel: λ 2a Ψ (x) = λ 1 a xψ(x) leosztva λ 2a -val: Ψ (x) = λ 1 3a xψ(x) 7 / 34
16 aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 Airy-függvényeket definiáló diffegyenlet: Ψ (x) = λxψ(x) ebből általánosabb esetre, Ψ (x) = λxψ(x): x λ a x helyettesítéssel: λ 2a Ψ (x) = λ 1 a xψ(x) leosztva λ 2a -val: Ψ (x) = λ 1 3a xψ(x) tehát a = 1/3-ot kell használni, így megoldás Ai(λ 1/3 x) 7 / 34
17 aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 Airy-függvényeket definiáló diffegyenlet: Ψ (x) = λxψ(x) ebből általánosabb esetre, Ψ (x) = λxψ(x): x λ a x helyettesítéssel: λ 2a Ψ (x) = λ 1 a xψ(x) leosztva λ 2a -val: Ψ (x) = λ 1 3a xψ(x) tehát a = 1/3-ot kell használni, így megoldás Ai(λ 1/3 x) A mi esetünkben: Ai( 2 6 E N x) 7 / 34
18 aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 Airy-függvényeket definiáló diffegyenlet: Ψ (x) = λxψ(x) ebből általánosabb esetre, Ψ (x) = λxψ(x): x λ a x helyettesítéssel: λ 2a Ψ (x) = λ 1 a xψ(x) leosztva λ 2a -val: Ψ (x) = λ 1 3a xψ(x) tehát a = 1/3-ot kell használni, így megoldás Ai(λ 1/3 x) A mi esetünkben: Ai( 2 6 E N x) ezzel megkaptuk a alábbi ismert aszimptotikáját: exp( x 2 /2)H N (x) = π 3/4 2 N/2+1/4 (N!) 1/2 N 1/12 A(t) + O(N 2/3 ) ahol: x = (2N + 1) 1/2 2 1/2 3 1/3 N 1/6 t A(t) = πai( 3 1/3 t) 7 / 34
19 aszimptotikája szinusz-kernel aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása előző alkalommal használt átskálázás: 8 / 34
20 aszimptotikája szinusz-kernel aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása előző alkalommal használt átskálázás: fix x 0 -nál nézve E esetén V elhanyagolható 8 / 34
21 aszimptotikája szinusz-kernel aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása előző alkalommal használt átskálázás: fix x 0 -nál nézve E esetén V elhanyagolható így szabad részecske Schrödinger-egyenletét kapjuk vissza: 8 / 34
22 aszimptotikája szinusz-kernel aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása előző alkalommal használt átskálázás: fix x 0 -nál nézve E esetén V elhanyagolható így szabad részecske Schrödinger-egyenletét kapjuk vissza: N = 2m és 2 mx = πξ és 2 my = πη, majd vegyük az m, x 0, y 0 határesetet, miközben ξ és η véges marad ebben a határesetben lim m ( 1)m m 1 4 φ2m (x) = π 1 2 cos πξ lim m ( 1)m m 1 4 φ2m+1 (x) = π 1 2 sinπξ 8 / 34
23 A két kernel összehasonlítása aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Tehát: lim N spektrum belsejében (z körül) szinusz-kernel: lim N ( π K N z + πx, z + πy ) 2N 2N 2N spektrum szélénél Airy-kernel: 1 2N 1/6 K N ( 2N + x 2 1/2 N 1/6, 2N + = 1 π y ) 2 1/2 N 1/6 sinπ(x y) (x y) = = Ai(x)Ai (y) Ai (x)ai(y) x y 9 / 34
24 : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai 10 / 34
25 : E(n; J) : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai β = 2-t fogjuk nézni jelöljük E(n; J)-vel annak valószinűségét, hogy a J halmazban pontosan n darab sajátérték van. 11 / 34
26 : E(n; J) : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai β = 2-t fogjuk nézni jelöljük E(n; J)-vel annak valószinűségét, hogy a J halmazban pontosan n darab sajátérték van. Ekkor nyilvánvalóan I S := (S, ) jelöléssel S E(0; I S) a legnagyobb sajátérték sűrűségfüggvénye. 11 / 34
27 : E(n; J) : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai β = 2-t fogjuk nézni jelöljük E(n; J)-vel annak valószinűségét, hogy a J halmazban pontosan n darab sajátérték van. Ekkor nyilvánvalóan I S := (S, ) jelöléssel S E(0; I S) a legnagyobb sajátérték sűrűségfüggvénye. Ezen E(0; I S )-t felírhatjuk a sajátértékek P N2 (x 1...,x N ) együttes eloszlásfüggvényével: E(0; I S ) = I c S dx 1... I c S ahol I c S a I S halmaz komplementere. dx n P Nβ 11 / 34
28 : E(n; J) : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai β = 2-t fogjuk nézni jelöljük E(n; J)-vel annak valószinűségét, hogy a J halmazban pontosan n darab sajátérték van. Ekkor nyilvánvalóan I S := (S, ) jelöléssel S E(0; I S) a legnagyobb sajátérték sűrűségfüggvénye. Ezen E(0; I S )-t felírhatjuk a sajátértékek P N2 (x 1...,x N ) együttes eloszlásfüggvényével: E(0; I S ) = I c S dx 1... I c S dx n P Nβ ahol IS c a I S halmaz komplementere. sajnos azonban ez az alak nem nagyon használható N határeset vizsgálatára 11 / 34
29 Fredholm determináns bevezetése I (táblán) : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai 12 / 34
30 Fredholm-determináns : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai Tehát: E(0; I S ) = det(i K N2 ) ahol det(i K N2 ) az I K N2 kernelű (I c S -en értelmezett függvényeken ható) integráloperátor determinánsa. 13 / 34
31 Fredholm-determináns : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai Tehát: E(0; I S ) = det(i K N2 ) ahol det(i K N2 ) az I K N2 kernelű (IS c -en értelmezett függvényeken ható) integráloperátor determinánsa. Kicsit általánosabban, E(n; I S )-re: 13 / 34
32 Fredholm-determináns : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai Tehát: E(0; I S ) = det(i K N2 ) ahol det(i K N2 ) az I K N2 kernelű (IS c -en értelmezett függvényeken ható) integráloperátor determinánsa. Kicsit általánosabban, E(n; I S )-re: E(n; I S ) = ( 1)n n! n λ n det(i λk N2) λ=1 13 / 34
33 felírása : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Meg lehet mutatni, hogy: det(i λk N2 ) = exp ( s ) (x s)q(x; λ) 2 dx Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai 14 / 34
34 felírása : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai Meg lehet mutatni, hogy: det(i λk N2 ) = exp ( s ) (x s)q(x; λ) 2 dx ahol q( ; λ) egy olyan (R R) függvény, amely kielégíti a q = sq + 2q 3, ( = d ds ) differenciál-egyenletet, és s -re q(s; λ) λai(s) 14 / 34
35 felírása : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai Meg lehet mutatni, hogy: det(i λk N2 ) = exp ( s ) (x s)q(x; λ) 2 dx ahol q( ; λ) egy olyan (R R) függvény, amely kielégíti a q = sq + 2q 3, ( = d ds ) differenciál-egyenletet, és s -re q(s; λ) λai(s) (így ezzel egyértelműen meghatározott) Ez a differenciál-egyenlet Painlevé-II-esként ismert, így a q( ; λ) függvény egy Painlevé-II függvény. 14 / 34
36 felírása : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai Meg lehet mutatni, hogy: det(i λk N2 ) = exp ( s ) (x s)q(x; λ) 2 dx ahol q( ; λ) egy olyan (R R) függvény, amely kielégíti a q = sq + 2q 3, ( = d ds ) differenciál-egyenletet, és s -re q(s; λ) λai(s) (így ezzel egyértelműen meghatározott) Ez a differenciál-egyenlet Painlevé-II-esként ismert, így a q( ; λ) függvény egy Painlevé-II függvény. Az eredeti E(0; I S ) függvényt λ = 1 választással kapjuk vissza. 14 / 34
37 GOE és GSE esetén : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Mivel GOE, GUE, és GSE felírható β = 1, 2, 4 paraméterrel, így a másik két sokaságra is hasonló eredményt várunk. Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai 15 / 34
38 GOE és GSE esetén : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai Mivel GOE, GUE, és GSE felírható β = 1, 2, 4 paraméterrel, így a másik két sokaságra is hasonló eredményt várunk. A legnagyobb sajátérték (megfelelően átskálázott) eloszlását F β (s)-el jelölve: ( F 1 (s) 2 = exp ( F 2 (s) = exp F 4 (s/ 2) 2 = cosh 2 ( 1 2 s s s ) q(x) dx F 2 (s) ) (x s)q(x) 2 dx ) q(x) dx F 2 (s) 15 / 34
39 grafikonjai A Painlevé-függvényes alak segítségével az eloszlás numerikusan számolható. A legnagyobb sajátérték df β (s)/ds sűrűségfüggvényét ábrázolva: 16 / 34
40 grafikonjai A Painlevé-függvényes alak segítségével az eloszlás numerikusan számolható. A legnagyobb sajátérték df β (s)/ds sűrűségfüggvényét ábrázolva: Probability densities 0.5 β = β = β = s 16 / 34
41 I II 17 / 34
42 I Paul Painlevé, Émile Picard, and B. Gambier: minden, másodrendű, polinom-együtthatós differenciál-egyenlet ötven kanonikus forma egyikeként felírható. I II 18 / 34
43 I I Paul Painlevé, Émile Picard, and B. Gambier: minden, másodrendű, polinom-együtthatós differenciál-egyenlet ötven kanonikus forma egyikeként felírható. Ezen ötven közül: 44 megoldása felírható ismert speciális függvényekkel. II 18 / 34
44 I I II Paul Painlevé, Émile Picard, and B. Gambier: minden, másodrendű, polinom-együtthatós differenciál-egyenlet ötven kanonikus forma egyikeként felírható. Ezen ötven közül: 44 megoldása felírható ismert speciális függvényekkel. a maradék 6 azonban nem, ezek megoldása új speciális függvényt definiál. 18 / 34
45 II I II Ezen 6 egyenlet: (y(t) függvényre) d 2 y 1. = 6y 2 + λt dt 2 d 2. 2 y = 2y 3 + ty + µ dt 2 ( ) 2 3. ty d2 y = t dy dt 2 dt y dy dt + at + by + cy3 + dty 4 ( ) 2 4. y d2 y = 1 dy dt 2 2 dt 1 2 a2 + 2(t 2 b)y 2 + 4ty y4 ( dy dt 5. t 2 (y y 2 ) d2 y = 1 dt 2 2 t2 (1 3y) 6. y) 3 + b(1 y) 3 + cty(1 y) + et 2 y 2 (1 + y) ( ) ( d 2 y = 1 1 dt 2 2 y + 1 y dy y t dt ( ) y(y 1)(y t) α + β t + γ t 1 + δ t(t 1) t 2 (t 1) 2 y 2 (y 1) 2 (y t) 2 ) 2 ty(1 y) dy dt + ay2 (1 ) 2 ( 1 t + 1 t y t ) dy dt + 19 / 34
46 20 / 34
47 S N a permutációs csoport, azaz 1, 2,...,N permutációi. 21 / 34
48 S N a permutációs csoport, azaz 1, 2,...,N permutációi. egy adott π S N permutáció esetén a leghosszabb növekvő részsorozat hosszát jelöljük l N (π)-vel. Pl. az 5, 1, 3, 2, 4 permutációnál a leghosszabb növekvő részsorozat: 21 / 34
49 S N a permutációs csoport, azaz 1, 2,...,N permutációi. egy adott π S N permutáció esetén a leghosszabb növekvő részsorozat hosszát jelöljük l N (π)-vel. Pl. az 5, 1, 3, 2, 4 permutációnál a leghosszabb növekvő részsorozat: 1, 2, 4 illetve 1, 3, 4, így l N (π) = 3 21 / 34
50 S N a permutációs csoport, azaz 1, 2,...,N permutációi. egy adott π S N permutáció esetén a leghosszabb növekvő részsorozat hosszát jelöljük l N (π)-vel. Pl. az 5, 1, 3, 2, 4 permutációnál a leghosszabb növekvő részsorozat: 1, 2, 4 illetve 1, 3, 4, így l N (π) = 3 Lássuk el S N -t az egyenletes eloszlással, és nézzük l N (π) eloszlását. 21 / 34
51 S N a permutációs csoport, azaz 1, 2,...,N permutációi. egy adott π S N permutáció esetén a leghosszabb növekvő részsorozat hosszát jelöljük l N (π)-vel. Pl. az 5, 1, 3, 2, 4 permutációnál a leghosszabb növekvő részsorozat: 1, 2, 4 illetve 1, 3, 4, így l N (π) = 3 Lássuk el S N -t az egyenletes eloszlással, és nézzük l N (π) eloszlását. Ennek N aszimptotikus alakját fogjuk nézni (megfelelő átskálázással) 21 / 34
52 S N a permutációs csoport, azaz 1, 2,...,N permutációi. egy adott π S N permutáció esetén a leghosszabb növekvő részsorozat hosszát jelöljük l N (π)-vel. Pl. az 5, 1, 3, 2, 4 permutációnál a leghosszabb növekvő részsorozat: 1, 2, 4 illetve 1, 3, 4, így l N (π) = 3 Lássuk el S N -t az egyenletes eloszlással, és nézzük l N (π) eloszlását. Ennek N aszimptotikus alakját fogjuk nézni (megfelelő átskálázással) A tétel: lim P N ( l N 2 N N 1/6 t ) = F 2 (t) t R ahol F 2 (t) a : F 2 (t) = exp ( t ) (x t)q(x) 2 dx 21 / 34
53 Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 22 / 34
54 Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet (PNG) modell a Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) univerzalitási osztályban van Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 23 / 34
55 Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet (PNG) modell a Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) univerzalitási osztályban van PNG modell véletlen permutációk Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 23 / 34
56 Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet (PNG) modell a Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) univerzalitási osztályban van PNG modell véletlen permutációk magasság-fluktuáció leghosszabb növekvő részsorozat Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 23 / 34
57 Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 (PNG) modell a Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) univerzalitási osztályban van PNG modell véletlen permutációk magasság-fluktuáció leghosszabb növekvő részsorozat Így: magasság-fluktuációk t követnek. 23 / 34
58 PNG modell kristály-növekedést ír le: sima kristály, amely túltelített gőzével érintkezik Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 24 / 34
59 PNG modell kristály-növekedést ír le: sima kristály, amely túltelített gőzével érintkezik felületen véletlenszerűen kristályosodási magok jönnek létre, amelyek vízszintesen (egy kristálysíkban) terjednek Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 24 / 34
60 PNG modell Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 kristály-növekedést ír le: sima kristály, amely túltelített gőzével érintkezik felületen véletlenszerűen kristályosodási magok jönnek létre, amelyek vízszintesen (egy kristálysíkban) terjednek feltételezzük, hogy ezen terjedés kör-alakú és állandó sebességű 24 / 34
61 PNG modell Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 kristály-növekedést ír le: sima kristály, amely túltelített gőzével érintkezik felületen véletlenszerűen kristályosodási magok jönnek létre, amelyek vízszintesen (egy kristálysíkban) terjednek feltételezzük, hogy ezen terjedés kör-alakú és állandó sebességű a terjedési sebességet egységnyinek választjuk 24 / 34
62 PNG modell Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 kristály-növekedést ír le: sima kristály, amely túltelített gőzével érintkezik felületen véletlenszerűen kristályosodási magok jönnek létre, amelyek vízszintesen (egy kristálysíkban) terjednek feltételezzük, hogy ezen terjedés kör-alakú és állandó sebességű a terjedési sebességet egységnyinek választjuk egyszerűség kedvéért 1 dimenzióban és droplet geometry : egyetlen kristályosodási mag origóból, és további magok ezen jönnek létre ekkor x, t koordináta-rendszerben a kristályosodási magok széle 45 fokos egyenes 24 / 34
63 PNG modell ábrán 25 / 34
64 PNG modell F 2, F 1 droplet geometry: F 2 eloszlás síkból indulás esetén: F 1 eloszlás Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 26 / 34
65 véletlen csempézések azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika 27 / 34
66 azték gyémánt A végtelen négyzetrács egy alábbi alakú részét fogjuk nézni azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika 28 / 34
67 azték gyémánt csempézve Ezt 2x1-es dominókkal fedjük le. Lefedéseken egyenletes valószinűségi mértéket nézünk. azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika 29 / 34
68 azték gyémánt a csempék Az eredeti négyzetrács sakktábla-szerű befestése alapján 4 féle dominót fogunk megkülönböztetni azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika 30 / 34
69 azték gyémánt kiszinezve Ezeket kiszinezzük azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika 31 / 34
70 azték gyémánt a sarkkör nagyobb méretnél nézve: befagyott terület, sarkkör, mérsékelt égöv (frozen region, arctic circle, temperate region) azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika 32 / 34
71 azték gyémánt összevetés négyet esetével Összehasonlításként: négyzetes részt nézve (más határfeltétel) egyenletes eloszlást tapasztalunk azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika 33 / 34
72 azték gyémánt Tracy-Widom statisztika A sarkkör körüli fluktuációk F 2 eloszlást követnek. Dominókra vonalakat rajzolunk, így nem-metsző utakat kapunk. azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika A legfelső vonal közepének fluktuációja (x N/2)/(2 5/6 N 1/3 ) módon skálázva F 2 eloszlású (N esetén) 34 / 34
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Valószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Gyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (
FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
differenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
Lagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
Differenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
Bevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
y = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
MATEMATIKAI PROBLÉMAMEGOLDÓ GYAKORLAT
MATEMATIKAI PROBLÉMAMEGOLDÓ GYAKORLAT Ergodelmélet Dávid Szabolcs Papp Dániel Stippinger Marcell 2009.12.11 2 Definíció: A T endomorfizmust ergodikusnak nevezzük, ha bármely f L 2 függvényre f const. (Miután
Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
A spin. November 28, 2006
A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,
valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A
Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
Intergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
MATEK-INFO UBB verseny április 6.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós
Szélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk
Tartalom Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk vizsgálata 1. Példa az állapottér reprezentációk megválasztására 2. Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok
Matematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
A brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
Matematika M1 Gyakorlat
Matematika M Gyakorlat BME - Gépésmérnök MSc Gyakorló Feladatsor. Zh. Határoa meg a α paraméter értékét úgy hogy a vx y = αx y xy 4y 3 3 kétváltoós függvény egy reguláris komplex függvény képetes rése
előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás
13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét
Lineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
T obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.
Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor
A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA. H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat.
AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA Mágneses dipólmomentum: m H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat. M = m H sinϕ (Elektromos töltés, q: monopólus
Mátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7
"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások
"Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.
= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
7. gyakorlat megoldásai
7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy
8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
Az elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
Matematikai geodéziai számítások 10.
Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László
GPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
Egyszabadságfokú grejesztett csillapított lengõrendszer vizsgálata
Egyszabadságfokú grejesztett csillapított lengõrendszer vizsgálata Referencia egyenlet x D Α x Α x x 0 Α sin Ω t req t,t x t D Α t x t Α x t x 0 Α Sin Ω t Α x t D Α x t x t Α Sin t Ω x 0 Homogén rész megoldása
9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.
1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép
Valószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
Diszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!
Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.
Boros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Geometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Néhány mozgás kvantummechanikai tárgyalása
Néhány ozgás kvantuechanikai tárgyalása Mozzanatok: A Schrödinger-egyenlet felírása ĤΨ EΨ Hailton-operátor egállapítása a kinetikus energiaoperátor felírása, vagy 3 dienziós ozgásra, Descartes-féle koordinátarendszerben
Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)
Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól
Ellipsis.tex, February 9, 01 Az ellipszis Az ellipszis leírása Az ellipszis szerkesztése és tulajdonságai Az ellipszis kanonikus egyenlete A kör vetülete ellipszis Az ellipszis polárkoordinátás egyenlete
3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Mátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Bevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
Numerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje
Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....
Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az
Geometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés