Az Einstein egyenletek alapvet megoldásai
|
|
- Tivadar Jónás
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Friedmann- és Schwarzschild-megoldás Klasszikus Térelméletek Elemei Szeminárium,
2 Vázlat Einstein egyenletek Robertson-Walker metrika és a tökéletes folyadékok energia-impulzus tenzora Friedmann megoldás Einstein egyenletek vákuumban Schwarzschild metrika Schwarzschild megoldás
3 Einstein egyenletek Összefüggés a térid metrikája és az anyag eloszlása között:
4 Einstein egyenletek Összefüggés a térid metrikája és az anyag eloszlása között: G ab R ab 1Rg 2 ab Λg ab = 8πG T c 4 ab
5 Einstein egyenletek Összefüggés a térid metrikája és az anyag eloszlása között: G ab R ab 1Rg 2 ab Λg ab = 8πG T c 4 ab Ahol: G ab : Einstein-tenzor R ab : Ricci-tenzor R: Ricci-skalár Λ: Kozmológiai konstans T ab : Energia-impulzus tenzor
6 Einstein egyenletek Összefüggés a térid metrikája és az anyag eloszlása között: G ab R ab 1Rg 2 ab Λg ab = 8πG T c 4 ab Ahol: G ab : Einstein-tenzor R ab : Ricci-tenzor R: Ricci-skalár Λ: Kozmológiai konstans T ab : Energia-impulzus tenzor A megjelen tenzorok szimmetrikusak 10 darab csatolt parciális dierenciálegyenlet a metrikára Probléma: T ab általában maga is függ a metrikától
7 Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora I. Deníció: Együtt-mozgó koordináta-rendszerb l (.) nézve izotrop anyageloszlás.
8 Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora I. Deníció: Együtt-mozgó koordináta-rendszerb l (.) nézve izotrop anyageloszlás. Ez matematikailag: T 00 = ϱ T ij = δ ij p T 0i = T i0 = 0
9 Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora I. Deníció: Együtt-mozgó koordináta-rendszerb l (.) nézve izotrop anyageloszlás. Ez matematikailag: T 00 = ϱ T ij = δ ij p T 0i = T i0 = 0 Általános koordináta-rendszerre áttérés a Lorentz transzformációval:
10 Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora I. Deníció: Együtt-mozgó koordináta-rendszerb l (.) nézve izotrop anyageloszlás. Ez matematikailag: T 00 = ϱ T ij = δ ij p T 0i = T i0 = 0 Általános koordináta-rendszerre áttérés a Lorentz transzformációval: T αβ = Λ α γ(v)λ β δ(v) T γδ T 00 = ϱ+pv 2 1 v 2 T i0 = ϱ+p 1 v v i 2 T ij = δ ij p + v i v j ϱ+p 1 v 2
11 Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora II. El bbiek röviden összefoglalhatóak:
12 Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora II. El bbiek röviden összefoglalhatóak: T ab = pg ab + (p + ϱ)u a u b = ϱu a u b + p(g ab + u a u b )
13 Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora II. El bbiek röviden összefoglalhatóak: T ab = pg ab + (p + ϱ)u a u b = ϱu a u b + p(g ab + u a u b ) Ahol: g ab : metrikus tenzor u a : négyes-sebesség
14 Robertson-Walker metrika I. Feltételezések:
15 Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont
16 Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont Konstans görbület térid!
17 Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont Konstans görbület térid! A metrika ilyen esetben: ( ) ds 2 = dt 2 + a 2 (t) dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdϕ 2 1 kr 2
18 Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont Konstans görbület térid! A metrika ilyen esetben: ( ) ds 2 = dt 2 + a 2 (t) dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdϕ 2 1 kr 2 Ahol: a(t): ismeretlen pozitív függvény k: ismeretlen konstans, ami meghatározza a tér alakját:
19 Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont Konstans görbület térid! A metrika ilyen esetben: ( ) ds 2 = dt 2 + a 2 (t) dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdϕ 2 1 kr 2 Ahol: a(t): ismeretlen pozitív függvény k: ismeretlen konstans, ami meghatározza a tér alakját: k = 1: A tér adott t-hez tartozó Σ t felületei 3 dimenziós gömbfelületek k = 0: Σ t sík, Euklideszi tér Newton, Speciális Relativitáselmélet k = 1: Σ t hiperboloid alakú
20 Robertson-Walker metrika II. Az izotrop és homogén megkötés több lehetséges modellt is megenged
21 Robertson-Walker metrika II. Az izotrop és homogén megkötés több lehetséges modellt is megenged k = 0, 1 által meghatározott térid k nyílt térid k (végtelenek) k = 1 által meghatározott térid k zártak (végesek), azaz kompakt sokaságot írnak le (bár határa nincs) A metrika összefoglalva: dψ 2 + sin 2 Ψ(dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) (k = 1) ds 2 = c 2 dt 2 +a 2 (t) dx 2 + dy 2 + dz 2 (k = 0) dψ 2 + sinh 2 Ψ(dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) (k = 1)
22 Robertson-Walker metrika III. 1. ábra. A metrika ábrázolása különböz k (itt Ω 0 ) értékekre
23 Friedmann megoldás I. Az Einstein-egyenlet megoldása homogén és izotrop univerzum feltételezése mellett ideális folyadékok energia-impulzus tenzorjával Λ-s tagot elhanyagoljuk
24 Friedmann megoldás I. Az Einstein-egyenlet megoldása homogén és izotrop univerzum feltételezése mellett ideális folyadékok energia-impulzus tenzorjával Λ-s tagot elhanyagoljuk Viszonylag egyszer számolások után...
25 Friedmann megoldás I. Az Einstein-egyenlet megoldása homogén és izotrop univerzum feltételezése mellett ideális folyadékok energia-impulzus tenzorjával Λ-s tagot elhanyagoljuk Viszonylag egyszer számolások után... ( ȧ ) 2 a = 8πG ϱ kc2 3 a 2 3 ä 3p a = 4πG(ϱ + ) c 2
26 Friedmann megoldás II. (ȧ a ) 2 = 8πG 3 ϱ kc 2 a 2 (1) 3p 3ä = 4πG(ϱ + a c ) (2) 2 Mivel ϱ > 0 és p 0, ezért (2)-b l látszik, hogy az univerzum nem lehet statikus!
27 Friedmann megoldás II. (ȧ a ) 2 = 8πG 3 ϱ kc 2 a 2 (1) 3p 3ä = 4πG(ϱ + a c ) (2) 2 Mivel ϱ > 0 és p 0, ezért (2)-b l látszik, hogy az univerzum nem lehet statikus! ä < 0 ȧ > 0 (tágulás) vagy ȧ < 0 (összehúzódás) + fordulópontnál lehet 0
28 Friedmann megoldás III. Fontos, hogy a tágulásnak nincs középpontja, minden pont egyenl arányú gyorsasággal távolodik egymástól a két pont távolságának arányában
29 Friedmann megoldás III. Fontos, hogy a tágulásnak nincs középpontja, minden pont egyenl arányú gyorsasággal távolodik egymástól a két pont távolságának arányában Hubble-törvény: v = ȧ a R = HR Ahol: R: Két pont távolsága H: Hubble állandó
30 Friedmann megoldás III. Fontos, hogy a tágulásnak nincs középpontja, minden pont egyenl arányú gyorsasággal távolodik egymástól a két pont távolságának arányában Hubble-törvény: v = ȧ a R = HR Ahol: R: Két pont távolsága H: Hubble állandó Megjegyzések: H id ben változik v lehet nagyobb, mint a fénysebesség (lokálisan mért relatív sebesség adott térid pontban globálisan mért sebesség távoli objektumok között)
31 Friedmann megoldás IV. Érdekes észrevenni, hogy amennyiben nem hagyjuk el a kozmológiai állandót, lehetséges volna statikus megoldást generálni, ami azonban nagyon instabil lenne
32 Friedmann megoldás IV. Érdekes észrevenni, hogy amennyiben nem hagyjuk el a kozmológiai állandót, lehetséges volna statikus megoldást generálni, ami azonban nagyon instabil lenne Mérések alapján (galaxisok vöröseltolódása) tudjuk, hogy az univerzum tágul ȧ > 0 Valamint láttuk, hogy ä < 0
33 Friedmann megoldás IV. Érdekes észrevenni, hogy amennyiben nem hagyjuk el a kozmológiai állandót, lehetséges volna statikus megoldást generálni, ami azonban nagyon instabil lenne Mérések alapján (galaxisok vöröseltolódása) tudjuk, hogy az univerzum tágul ȧ > 0 Valamint láttuk, hogy ä < 0 Következik, hogy az univerzum tágulásának gyorsasága változott: minél régebben nézzük, annál gyorsabb volt (vagy legalábbis nem volt lassabb) Azaz kellett egy olyan id pontnak lenni, amikor a(t ) = 0, amikor az univerzum minden pontjának távolsága 0 volt
34 Friedmann megoldás V. Fels korlátot egyszer en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult
35 Friedmann megoldás V. Fels korlátot egyszer en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult Ismerve, hogy H 67.6 km/s Mpc [Grieb, Jan N. et al.]
36 Friedmann megoldás V. Fels korlátot egyszer en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult Ismerve, hogy H 67.6 km/s Mpc [Grieb, Jan N. et al.] Id ben visszafelé menve egyenletesen összehúzódva pontosan T = H 1 id alatt érnénk el az a(t ) = 0-t Kiszámolva: T 14.5 milliárd év
37 Friedmann megoldás V. Fels korlátot egyszer en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult Ismerve, hogy H 67.6 km/s Mpc [Grieb, Jan N. et al.] Id ben visszafelé menve egyenletesen összehúzódva pontosan T = H 1 id alatt érnénk el az a(t ) = 0-t Kiszámolva: T 14.5 milliárd év Megjegyzés: Az univerzum valódi életkora ennél természetesen kevesebb, hiszen nem egyenletes tágulást, hanem id ben lassuló tágulást kell feltételeznünk. Valójában T 13.8 milliárd év
38 Friedmann megoldás VI. Korábbi egyenletek alakításával összefüggést kaphatunk a és ϱ között: ϱ legalább a 3 gyorsan csökken id ben (a 3 porfelh re, a 4 sugárzásra)
39 Friedmann megoldás VI. Korábbi egyenletek alakításával összefüggést kaphatunk a és ϱ között: ϱ legalább a 3 gyorsan csökken id ben (a 3 porfelh re, a 4 sugárzásra) ( ȧ a ) 2 = 8πG 3 ϱ kc2 a 2 Itt a jobb oldalon az els tag tehát id vel gyorsabban csökken, mint a második tag
40 Friedmann megoldás VI. Korábbi egyenletek alakításával összefüggést kaphatunk a és ϱ között: ϱ legalább a 3 gyorsan csökken id ben (a 3 porfelh re, a 4 sugárzásra) ( ȧ a ) 2 = 8πG 3 ϱ kc2 a 2 Itt a jobb oldalon az els tag tehát id vel gyorsabban csökken, mint a második tag Ha k = 0, 1 akkor ȧ csak aszimptotikusan lehet 0 t esetben Ha k = 1 akkor viszont létezik egy kritikus a C érték, amikor ȧ = 0, itt az univerzum tágulása megáll, és elkezd összehúzódni Azaz amennyiben elfogadjuk, hogy az univerzumunk egy véges, és zárt sokaság, ebb l következik, hogy életkora csakis véges lehet
41 Friedmann megoldás VII. A dierenciálegyenletek megoldásával felvázolható a(t) függvény különböz k értékekre: 2. ábra. Friedmann kozmológia: Univerzumok távolságának változása az id függvényében
42 Eintein egyenletek vákuumban Az Einstein egyenlet azon alakját keressük, amiben nincs jelen anyag
43 Eintein egyenletek vákuumban Az Einstein egyenlet azon alakját keressük, amiben nincs jelen anyag Vákuum energia-impulzus tenzorja azonosan 0, azaz az Einstein-egyenlet jobb oldala elt nik R kl Rg kl = 0
44 Eintein egyenletek vákuumban Az Einstein egyenlet azon alakját keressük, amiben nincs jelen anyag Vákuum energia-impulzus tenzorja azonosan 0, azaz az Einstein-egyenlet jobb oldala elt nik R kl Rg kl = 0 Megmutatható, hogy ez ekvivalens az R kl = 0 egyenlettel
45 Eintein egyenletek vákuumban Az Einstein egyenlet azon alakját keressük, amiben nincs jelen anyag Vákuum energia-impulzus tenzorja azonosan 0, azaz az Einstein-egyenlet jobb oldala elt nik R kl Rg kl = 0 Megmutatható, hogy ez ekvivalens az R kl = 0 egyenlettel Ez nem jelenti azt, hogy a görbület 0, amennyiben legalább 4 dimenzióban vagyunk! Azaz például 3 dimenziós térid ben nincs gravitáció!
46 Schwarzschild metrika I. Feltételezések: Gömbszimmetrikus térid Statikus megoldás (id ben állandó) Anyagmentes (T kl 0)
47 Schwarzschild metrika I. Feltételezések: Gömbszimmetrikus térid Statikus megoldás (id ben állandó) Anyagmentes (T kl 0) Megmutatható, hogy statikus esetben a legáltalánosabb metrika a következ : ds 2 = V 2 (x 1, x 2, x 3 )dt µ,ν=1 h µν(x 1, x 2, x 3 )dx µ dx ν Statikus: nem jelennek meg a kereszttagok
48 Schwarzschild metrika I. Feltételezések: Gömbszimmetrikus térid Statikus megoldás (id ben állandó) Anyagmentes (T kl 0) Megmutatható, hogy statikus esetben a legáltalánosabb metrika a következ : ds 2 = V 2 (x 1, x 2, x 3 )dt µ,ν=1 h µν(x 1, x 2, x 3 )dx µ dx ν Statikus: nem jelennek meg a kereszttagok Még kell a gömbszimmetria A gömbszimmetria megköti, hogy minden egyes gömbfelületen a metrikának számszoros kapcsolatban kell lennie az egység-gömbön vett metrikával
49 Schwarzschild metrika II. Gömbszimmetria: g (t) kl = λg (0) kl
50 Schwarzschild metrika II. Gömbszimmetria: g (t) kl = λg (0) kl A metrika paraméterezhet a gömbfelület A nagyságával Vezessük be r paramétert: r(a) = Ez nem a klasszikus értelemben vett sugár, s t...! A 4π
51 Schwarzschild metrika II. Gömbszimmetria: g (t) kl = λg (0) kl A metrika paraméterezhet a gömbfelület A nagyságával Vezessük be r paramétert: r(a) = Ez nem a klasszikus értelemben vett sugár, s t...! A 4π Ezzel a sugár jelleg paraméterrel viszont bevezethetjük a jól ismert gömbi koordinátákat a gömbfelületen: ds 2 (3) = r 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) = r 2 dω
52 Schwarzschild metrika II. Gömbszimmetria: g (t) kl = λg (0) kl A metrika paraméterezhet a gömbfelület A nagyságával Vezessük be r paramétert: r(a) = Ez nem a klasszikus értelemben vett sugár, s t...! A 4π Ezzel a sugár jelleg paraméterrel viszont bevezethetjük a jól ismert gömbi koordinátákat a gömbfelületen: ds 2 (3) = r 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) = r 2 dω A teljes metrikát az egyes gömbfelületek paraméterezésével kapjuk meg: ds 2 = f (r, t)dt 2 + h(r, t)dr 2 + r 2 dω
53 Schwarzschild metrika III. Mivel a metrika már adott, R kl elemeinek kiszámítása elvileg elvégezhet (de hosszadalmas...)
54 Schwarzschild metrika III. Mivel a metrika már adott, R kl elemeinek kiszámítása elvileg elvégezhet (de hosszadalmas...) Többféle módszerrel is megkaphatjuk a megoldást, ezek közül néhány példa: Tetrád módszer alapötlete: ortonormált, nem-holonóm (nem koordinátavektorokból álló) bázis bevezetése a metrikán, ezek segítségével felírható a Riemann-tenzor (B vebb információ: Robert M. Wald - General Relativity)
55 Schwarzschild metrika III. Mivel a metrika már adott, R kl elemeinek kiszámítása elvileg elvégezhet (de hosszadalmas...) Többféle módszerrel is megkaphatjuk a megoldást, ezek közül néhány példa: Tetrád módszer alapötlete: ortonormált, nem-holonóm (nem koordinátavektorokból álló) bázis bevezetése a metrikán, ezek segítségével felírható a Riemann-tenzor (B vebb információ: Robert M. Wald - General Relativity) f (r, t) = e ν(r,t) és g(r, t) = e µ(r,t) bevezetése, ezek után a Christoel -szimbólumok, és a Ricci-tenzor elemei egyszer (de hosszú) számolásokkal megkapható
56 Schwarzschild megoldás I. Láthatjuk, hogy az eredeti 10 egyenletb l csak 2 maradt f -re és g-re
57 Schwarzschild megoldás I. Láthatjuk, hogy az eredeti 10 egyenletb l csak 2 maradt f -re és g-re A megoldás során kiderül, hogy f és g függvények egymás reciprokai, valamint, hogy csak r változótól függenek. A végs megoldandó dierenciálegyenlet nagyon egyszer : f + 1 f r = 0
58 Schwarzschild megoldás I. Láthatjuk, hogy az eredeti 10 egyenletb l csak 2 maradt f -re és g-re A megoldás során kiderül, hogy f és g függvények egymás reciprokai, valamint, hogy csak r változótól függenek. A végs megoldandó dierenciálegyenlet nagyon egyszer : Aminek megoldása: f + 1 f r = 0 f = 1 + C r Matematikailag C egy tetsz leges konstans, azonban zikailag ezt konkrétan meghatározhatjuk (határeset: Newton) C = b = 2GM, ahol b a Schwarzschild sugár c 2
59 Schwarzschild megoldás II. A teljes megoldás tehát: ( ds 2 = 1 2GM ) ( ) 1 c 2 dt c 2 r 1 2GM dr 2 + r 2 dω 1 c 2 r
60 Schwarzschild megoldás II. A teljes megoldás tehát: ( ds 2 = 1 2GM ) ( ) 1 c 2 dt c 2 r 1 2GM dr 2 + r 2 dω 1 c 2 r Érdekes észrevétel, hogy a metrika két helyen is szingulárissá válik: r = 0 helyen valódi szingularitás van. Mivel az egyenletet csak olyan r tartományban oldottuk meg, ahol nincs anyag, ezért ez azt jelenti, hogy ez esetben minden anyag az origóban pontszer en helyezkedik el! Fekete lyuk?
61 Schwarzschild megoldás II. A teljes megoldás tehát: ( ds 2 = 1 2GM ) ( ) 1 c 2 dt c 2 r 1 2GM dr 2 + r 2 dω 1 c 2 r Érdekes észrevétel, hogy a metrika két helyen is szingulárissá válik: r = 0 helyen valódi szingularitás van. Mivel az egyenletet csak olyan r tartományban oldottuk meg, ahol nincs anyag, ezért ez azt jelenti, hogy ez esetben minden anyag az origóban pontszer en helyezkedik el! Fekete lyuk? Érdekesebb következmény viszont, hogy r = b helyen is találunk szingularitást, ez azonban csak a koordinátázásunk összeomlását jelenti, nem egy valódi szingularitás.
62 Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak
63 Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól
64 Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól Minden zikai objektum, melyre R b gravitációs összeomlást szenved, és egy szinguláris fekete lyukba omlik össze
65 Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól Minden zikai objektum, melyre R b gravitációs összeomlást szenved, és egy szinguláris fekete lyukba omlik össze Azonban a megoldásnak helyesnek kell lennie r < b-re is, mi van az eseményhorizonton belül?
66 Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól Minden zikai objektum, melyre R b gravitációs összeomlást szenved, és egy szinguláris fekete lyukba omlik össze Azonban a megoldásnak helyesnek kell lennie r < b-re is, mi van az eseményhorizonton belül? Az id és térkoordináták felcserél dnek, r id szer, míg t térszer lesz. De megmutatható, hogy ez is csak a rossz koordinátázás eredménye (Kruskal-Szekeres koordináták)
67 Schwarzschild megoldás IV. 3. ábra. Schwarzschild megoldás ábrázolása; az úgynevezett Flemm paraboloid
68 Schwazschild geodetikusok A szabad részecskék mozgását 3 kategóriába lehet sorolni a sugár függvényében:
69 Schwazschild geodetikusok A szabad részecskék mozgását 3 kategóriába lehet sorolni a sugár függvényében: r > 3b Stabil pálya lehetséges 3b < r < 3b Instabil körpályák (keringési sebesség eléri a 2 fénysebességet 3b-nél) 2 3b belül nincs lehetséges körpálya 2
70 Köszönöm a gyelmet!
71 Hivatkozások 1 Robert M. Wald - General Relativity 2 Steven Weinberg - Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity 3 Wikipedia - Schwarzschild metric, FriedmannLemaîtreRobertsonWalker metric, Hubble's law 4 Stephen Hawking - Into a Black Hole (Lecture)
Friedmann egyenlet. A Friedmann egyenlet. September 27, 2011
A September 27, 2011 A 1 2 3 4 A 1 2 3 4 A Robertson-Walker metrika Konvenció: idő komponenseket 4. helyre írom. R-W metrika: R(t) 2 0 0 0 1 kr 2 g = 0 R(t) 2 0 0 0 0 R(t) 2 r 2 sin 2 (Θ) 0 0 0 0 1 Ugyanez
RészletesebbenBevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
RészletesebbenMETRIKA. 2D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva:
METRIKA D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva: dl = dx + dy Általános alak ha nem feltétlenül Descartes-koordinátákat használunk: dl =... dx 1 +... dx +...dx 1 dx +...dx
RészletesebbenBevezetés a kozmológiába 1: a Világegyetem tágulása
Horváth Dezső: Kozmológia-1 HTP-2011, CERN, 2011.08.17. p. 1/24 Bevezetés a kozmológiába 1: a Világegyetem tágulása HTP-2011, CERN, 2011 augusztus 17. Horváth Dezső horvath@rmki.kfki.hu MTA KFKI Részecske
RészletesebbenA térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
RészletesebbenA térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenVan-e a vákuumnak energiája? A Casimir effektus és azon túl
Van-e a vákuumnak energiája? és azon túl MTA-ELTE Elméleti Fizikai Kutatócsoport Bolyai Kollégium, 2007. október 3. Van-e a vákuumnak energiája? és azon túl Vázlat 1 2 3 4 5 Van-e a vákuumnak energiája?
RészletesebbenStacionárius tengelyszimmetrikus terek a Kerr-Newman téridő
1 / 32 Stacionárius tengelyszimmetrikus terek a Kerr-Newman téridő Fodor Gyula MTA KFKI Részecske- és Magfizikai Kutatóintézet Integrálhatóság Nyári Iskola Budapest, 2008 augusztus 25 Bevezetés 2 / 32
RészletesebbenSzeminárium. Kaposvári István október 01. Klasszikus Térelmélet Szeminárium
Klasszikus Térelmélet 2012. október 01. Tartalom: Jelölések bevezetése Kovariáns deriváltak kommutátora és a Riemann-tenzor Vektor megváltozása zárt görbe mentén Riemann-tenzor és a Stokes-tétel Geodetikus
RészletesebbenBevezetés a kozmológiába 1: a Világegyetem tágulása
Horváth Dezső: Kozmológia-1 HTP-2016, CERN, 2016.08.16. p. 1 Bevezetés a kozmológiába 1: a Világegyetem tágulása HTP-2016, CERN, 2016 augusztus 16. Horváth Dezső horvath.dezso@wigner.mta.hu MTA KFKI Wigner
RészletesebbenERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1. példa:
ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1 Inerciarendszer (IR): olyan vonatkoztatási r rendszer, ahol érvényes Newton első törvénye ( F e = 0 " a r = 0) 1. példa: ez pl. IR (Newton és Einstein egyetért) Inerciarendszerben
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenRiemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések
A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések Az R m euklideszi tér természetes bázisának az e 1 = (1, 0,..., 0),..., e m = (0,..., 0, 1) vektorokból álló bázist mondjuk. Legyen M egy összefügg nyílt
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenAz Általános Relativitáselmélet problémáinak leküzdése alternatív modellek használatával. Ált. Rel. Szondy György ELFT tagja
Az Általános Relativitáselmélet problémáinak leküzdése alternatív modellek használatával Szondy György ELFT tagja? GPS ELFT Fizikus Vándorgyűlés Szombathely, 2004. Augusztus 24.-27. Ált. Rel. GRAVITÁCIÓ
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenGravitációs fényelhajlás gömbszimmetrikus téridőkben
SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar ELMÉLETI FIZIKA TANSZÉK Fizika BSc Szakdolgozat Gravitációs fényelhajlás gömbszimmetrikus téridőkben Deák Bence Témavezető: Dr. Keresztes
RészletesebbenERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1
ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1 Inerciarendszer (IR): olyan vonatkoztatási rendszer, ahol érvényes Newton első törvénye (! # = 0 ' = 0) 1. példa: ez pl. IR (Newton és Einstein egyetért) Inerciarendszerben tett felfedezések:
Részletesebbenegyetemi állások a relativitáselmélet általánosítása (1915) napfogyatkozás (1919) az Einstein-mítosz (1920-tól) emigráció 1935: Einstein-Podolsky-
egyetemi állások a relativitáselmélet általánosítása (1915) napfogyatkozás (1919) az Einstein-mítosz (1920-tól) emigráció 1935: Einstein-Podolsky- Rosen cikk törekvés az egységes térelmélet létrehozására
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenA hullámegyenlet megoldása magasabb dimenziókban
A hullámegyenlet megoldása magasabb dimenziókban Orbán Ágnes Fábián Gábor Kolozsi Zoltán 2009. október 29. A hullámegyenlet Hullámegyenletnek nevezzük a következ lineáris parciális dierenciálegyenletet:
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenEmlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ
Emlékeztető: az -dimeziós sokaság görbültségét kifejező meyiség a Riema-tezor (Riema, 1854: ' ( ' $ ' #µ $ µ# ahol a ú. koexiós koefficiesek (vagy Christoffel-szimbólumok a metrikus tezor g # x $ kompoeseiből
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenA relativitáselmélet története
A relativitáselmélet története a parallaxis keresése közben felfedezik az aberrációt (1725-1728) James Bradley (1693-1762) ennek alapján becsülhető a fény sebessége a csillagfény ugyanúgy törik meg a prizmán,
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenFelületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik.
Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik. Mérése: L huzalkeret folyadékhártya mozgatható huzal F F = L σ két oldala van a hártyának
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
Részletesebbenmérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati
ϕ t + j ϕ = 0 mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati sűrűsége j ϕ - a ϕ-hez tartozó áramsűrűség j ϕ = vϕ + j rev + j irr vϕ - advekció j rev - egyéb reverzibilis áram
RészletesebbenKevert állapoti anholonómiák vizsgálata
Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Bucz Gábor Témavezet : Dr. Fehér László Dr. Lévay Péter Szeged, 2015.04.23. Bucz Gábor Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Szeged, 2015.04.23. 1 / 27 Tartalom
RészletesebbenSpeciális relativitás
Fizika 1 előadás 2016. április 6. Speciális relativitás Relativisztikus kinematika Utolsó módosítás: 2016. április 4.. 1 Egy érdekesség: Fizeau-kísérlet A v sebességgel áramló n törésmutatójú folyadékban
Részletesebben"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások
"Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.
RészletesebbenSzegedi Tudományegyetem. Diplomamunka
Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Kísérleti Fizikai Tanszék Diplomamunka Eikonál-módszer az árapály-töltésű fekete lyukak gravitációs lencsézésében Dwornik Marek Témavezető:
RészletesebbenAtomok és molekulák elektronszerkezete
Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenAZ UNIVERZUM GYORSULÓ TÁGULÁSA
bességet adunk irányukat pedig a helyvektorokkal ugyanakkora szöget bezárónak vesszük A rendszert ily módon elindítva a testek Kepler-mozgást végeznek miközben konfigurációjuk önmagához hasonló (konvex
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el.
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Energetikai mérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. május 15. Neptun kód:... g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
RészletesebbenKozmológia egzakt tudomány vagy modern vallás?
Kozmológia egzakt tudomány vagy modern vallás? MOEV 2010. április 10. Előadó: Szécsi Dorottya ELTE Fizika Bsc III. Hit és tudomány Mit gondoltak őseink a Világról? A kozmológia a civilizációval egyidős
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenA loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.
1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi
RészletesebbenNemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Távcsövek és kozmológia Megoldások
Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör 2015-16 7. Távcsövek és kozmológia Megoldások Bécsy Bence, Dálya Gergely 1. Bemelegítő feladatok B1. feladat A nagyítást az objektív és az
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenGeometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
RészletesebbenA TételWiki wikiből. A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
1 / 5 A TételWiki wikiből 1 Newton-féle gravitációs erőtörvény 2 Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései 3 Friedmann-egyenletek szemléletes értelme 4 Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenA mérési eredmény megadása
A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
Részletesebben(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)
2. házi feladat 1.feladat a b)c d)e f) = a b)[c d) e f)] = = a b)[ecdf) fcde)] = abe)cdf) abf)cde) 2.feladat a) Legyen a két adott pontunk helyzete A = 0, 0), B = 1, 0), továbbá legyen a távolságok aránya
Részletesebben1. FELADATSOR. x = u + v 2, y = v + z 2, z = z. u y + z. u x + y. v x + y. v y + z. w x + y. w y + z
1. FELADATSOR 1-0: Írjuk le az R3 euklideszi tér Riemann-metrikáját az u, v, z koordináták használatával, ahol x = u + v, y = v + z, z = z. Megoldás. (L. Gy.) 1. változat: Az eredeti metrika a x, x x,
RészletesebbenA v n harmonikusok nehézion-ütközésekben
A v n harmonikusok nehézion-ütközésekben Bagoly Attila ELTE TTK Kísérleti mag- és részecskefizikai szeminárium 2014. november 27. Bagoly Attila (ELTE TTK) A v n harmonikusok nehézion-ütközésekben 2014.
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
Részletesebben= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
RészletesebbenSamu Viktória. A Helmholtz-egyenlet
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Samu Viktória A Helmholtz-egyenlet BSc Szakdolgozat Témavezet : Dr. Tóth Árpád Analízis Tanszék Budapest, 2014 Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
RészletesebbenHatározatlansági relációk származtatása az
az állapottér BME TTK Matematikus MSc. 1. évf. 2012. november 14. Vázlat: Történeti áttekintés Nemkommutatív (kvantum) valószín ségelmélet Az állapottér geometriája: Az állapottér mint Riemann-sokaság
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík
RészletesebbenŐsrobbanás: a Világ teremtése?
Horváth Dezső: A kozmológia alapjai Telki, 2010.01.14 p. 1/37 Ősrobbanás: a Világ teremtése? (A kozmológia alapjai) Horváth Dezső horvath@rmki.kfki.hu MTA KFKI Részecske és Magfizikai Kutatóintézet, Budapest
RészletesebbenA spin. November 28, 2006
A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
Részletesebben3. Fékezett ingamozgás
3. Fékezett ingamozgás A valóságban mindig jelen van valamilyen csillapítás. A gázban vagy folyadékban való mozgásnál, kis sebesség esetén a csillapítás arányos a sebességgel. Ha az vagy az ''+k sin =0,
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai
Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer
RészletesebbenBabeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest. 2015. június 20.
A görbületek világa 1 Kristály Sándor Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest 2015. június 20. 1 Az MTA Bolyai János Kutatói Ösztöndíj által támogatott kutatás. Eukleidészi világnézet
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
Részletesebbena térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenGravitáció az FLRW univerzumban Egy szimpla modell
Gravitáció az FLRW univerzumban Egy szimpla modell Összefoglaló Az FLRW metrikát alkalmazva, a Friedmann-egyenletekből kiindulva, az elektromágneses és gravitációs sugárzás hasonlósága alapján meghatározható
RészletesebbenA gravitációs hullámok miért mutathatók ki lézer-interferométerrel?
A gravitációs hullámok miért mutathatók ki lézer-interferométerrel? Gravitációs hullám (GH) Newton: ha egy nagy tömegű égitest helyet változtat, annak azonnal érződik a hatása tetszőlegesen nagy távolságban
RészletesebbenVálaszok Gergely Árpád László opponens. FEKETELYUKAK A GRAVITÁCIÓ GEOMETRIZÁLT ELMÉLETEIBEN című doktori értekezése kapcsán megfogalmazott kérdéseire
Válaszok Gergely Árpád László opponens Rácz István MTA KFKI RMKI FEKETELYUKAK A GRAVITÁCIÓ GEOMETRIZÁLT ELMÉLETEIBEN című doktori értekezése kapcsán megfogalmazott kérdéseire 1. Az első kérdés: A második
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések............................
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenAz optika tudományterületei
Az optika tudományterületei Optika FIZIKA BSc, III/1. 1. / 17 Erdei Gábor Elektromágneses spektrum http://infothread.org/science/physics/electromagnetic%20spectrum.jpg Optika FIZIKA BSc, III/1. 2. / 17
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Részletesebben[ ]dx 2 # [ 1 # h( z,t)
A gravitációs hullámok miért mutathatók ki lézer-interferométerrel? Gravitációs hullám (GH) Newton: ha egy nagy tömegű égitest helyet változtat, annak azonnal érződik a hatása tetszőlegesen nagy távolságban
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
Részletesebben0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenEgy mozgástani feladat
1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Részletesebben