Az Einstein egyenletek alapvet megoldásai

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az Einstein egyenletek alapvet megoldásai"

Átírás

1 Friedmann- és Schwarzschild-megoldás Klasszikus Térelméletek Elemei Szeminárium,

2 Vázlat Einstein egyenletek Robertson-Walker metrika és a tökéletes folyadékok energia-impulzus tenzora Friedmann megoldás Einstein egyenletek vákuumban Schwarzschild metrika Schwarzschild megoldás

3 Einstein egyenletek Összefüggés a térid metrikája és az anyag eloszlása között:

4 Einstein egyenletek Összefüggés a térid metrikája és az anyag eloszlása között: G ab R ab 1Rg 2 ab Λg ab = 8πG T c 4 ab

5 Einstein egyenletek Összefüggés a térid metrikája és az anyag eloszlása között: G ab R ab 1Rg 2 ab Λg ab = 8πG T c 4 ab Ahol: G ab : Einstein-tenzor R ab : Ricci-tenzor R: Ricci-skalár Λ: Kozmológiai konstans T ab : Energia-impulzus tenzor

6 Einstein egyenletek Összefüggés a térid metrikája és az anyag eloszlása között: G ab R ab 1Rg 2 ab Λg ab = 8πG T c 4 ab Ahol: G ab : Einstein-tenzor R ab : Ricci-tenzor R: Ricci-skalár Λ: Kozmológiai konstans T ab : Energia-impulzus tenzor A megjelen tenzorok szimmetrikusak 10 darab csatolt parciális dierenciálegyenlet a metrikára Probléma: T ab általában maga is függ a metrikától

7 Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora I. Deníció: Együtt-mozgó koordináta-rendszerb l (.) nézve izotrop anyageloszlás.

8 Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora I. Deníció: Együtt-mozgó koordináta-rendszerb l (.) nézve izotrop anyageloszlás. Ez matematikailag: T 00 = ϱ T ij = δ ij p T 0i = T i0 = 0

9 Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora I. Deníció: Együtt-mozgó koordináta-rendszerb l (.) nézve izotrop anyageloszlás. Ez matematikailag: T 00 = ϱ T ij = δ ij p T 0i = T i0 = 0 Általános koordináta-rendszerre áttérés a Lorentz transzformációval:

10 Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora I. Deníció: Együtt-mozgó koordináta-rendszerb l (.) nézve izotrop anyageloszlás. Ez matematikailag: T 00 = ϱ T ij = δ ij p T 0i = T i0 = 0 Általános koordináta-rendszerre áttérés a Lorentz transzformációval: T αβ = Λ α γ(v)λ β δ(v) T γδ T 00 = ϱ+pv 2 1 v 2 T i0 = ϱ+p 1 v v i 2 T ij = δ ij p + v i v j ϱ+p 1 v 2

11 Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora II. El bbiek röviden összefoglalhatóak:

12 Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora II. El bbiek röviden összefoglalhatóak: T ab = pg ab + (p + ϱ)u a u b = ϱu a u b + p(g ab + u a u b )

13 Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora II. El bbiek röviden összefoglalhatóak: T ab = pg ab + (p + ϱ)u a u b = ϱu a u b + p(g ab + u a u b ) Ahol: g ab : metrikus tenzor u a : négyes-sebesség

14 Robertson-Walker metrika I. Feltételezések:

15 Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont

16 Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont Konstans görbület térid!

17 Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont Konstans görbület térid! A metrika ilyen esetben: ( ) ds 2 = dt 2 + a 2 (t) dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdϕ 2 1 kr 2

18 Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont Konstans görbület térid! A metrika ilyen esetben: ( ) ds 2 = dt 2 + a 2 (t) dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdϕ 2 1 kr 2 Ahol: a(t): ismeretlen pozitív függvény k: ismeretlen konstans, ami meghatározza a tér alakját:

19 Robertson-Walker metrika I. Feltételezések: Izotrop térid = Nincs kitüntetett irány Homogén térid = Nincs kitüntetett pont Konstans görbület térid! A metrika ilyen esetben: ( ) ds 2 = dt 2 + a 2 (t) dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdϕ 2 1 kr 2 Ahol: a(t): ismeretlen pozitív függvény k: ismeretlen konstans, ami meghatározza a tér alakját: k = 1: A tér adott t-hez tartozó Σ t felületei 3 dimenziós gömbfelületek k = 0: Σ t sík, Euklideszi tér Newton, Speciális Relativitáselmélet k = 1: Σ t hiperboloid alakú

20 Robertson-Walker metrika II. Az izotrop és homogén megkötés több lehetséges modellt is megenged

21 Robertson-Walker metrika II. Az izotrop és homogén megkötés több lehetséges modellt is megenged k = 0, 1 által meghatározott térid k nyílt térid k (végtelenek) k = 1 által meghatározott térid k zártak (végesek), azaz kompakt sokaságot írnak le (bár határa nincs) A metrika összefoglalva: dψ 2 + sin 2 Ψ(dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) (k = 1) ds 2 = c 2 dt 2 +a 2 (t) dx 2 + dy 2 + dz 2 (k = 0) dψ 2 + sinh 2 Ψ(dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) (k = 1)

22 Robertson-Walker metrika III. 1. ábra. A metrika ábrázolása különböz k (itt Ω 0 ) értékekre

23 Friedmann megoldás I. Az Einstein-egyenlet megoldása homogén és izotrop univerzum feltételezése mellett ideális folyadékok energia-impulzus tenzorjával Λ-s tagot elhanyagoljuk

24 Friedmann megoldás I. Az Einstein-egyenlet megoldása homogén és izotrop univerzum feltételezése mellett ideális folyadékok energia-impulzus tenzorjával Λ-s tagot elhanyagoljuk Viszonylag egyszer számolások után...

25 Friedmann megoldás I. Az Einstein-egyenlet megoldása homogén és izotrop univerzum feltételezése mellett ideális folyadékok energia-impulzus tenzorjával Λ-s tagot elhanyagoljuk Viszonylag egyszer számolások után... ( ȧ ) 2 a = 8πG ϱ kc2 3 a 2 3 ä 3p a = 4πG(ϱ + ) c 2

26 Friedmann megoldás II. (ȧ a ) 2 = 8πG 3 ϱ kc 2 a 2 (1) 3p 3ä = 4πG(ϱ + a c ) (2) 2 Mivel ϱ > 0 és p 0, ezért (2)-b l látszik, hogy az univerzum nem lehet statikus!

27 Friedmann megoldás II. (ȧ a ) 2 = 8πG 3 ϱ kc 2 a 2 (1) 3p 3ä = 4πG(ϱ + a c ) (2) 2 Mivel ϱ > 0 és p 0, ezért (2)-b l látszik, hogy az univerzum nem lehet statikus! ä < 0 ȧ > 0 (tágulás) vagy ȧ < 0 (összehúzódás) + fordulópontnál lehet 0

28 Friedmann megoldás III. Fontos, hogy a tágulásnak nincs középpontja, minden pont egyenl arányú gyorsasággal távolodik egymástól a két pont távolságának arányában

29 Friedmann megoldás III. Fontos, hogy a tágulásnak nincs középpontja, minden pont egyenl arányú gyorsasággal távolodik egymástól a két pont távolságának arányában Hubble-törvény: v = ȧ a R = HR Ahol: R: Két pont távolsága H: Hubble állandó

30 Friedmann megoldás III. Fontos, hogy a tágulásnak nincs középpontja, minden pont egyenl arányú gyorsasággal távolodik egymástól a két pont távolságának arányában Hubble-törvény: v = ȧ a R = HR Ahol: R: Két pont távolsága H: Hubble állandó Megjegyzések: H id ben változik v lehet nagyobb, mint a fénysebesség (lokálisan mért relatív sebesség adott térid pontban globálisan mért sebesség távoli objektumok között)

31 Friedmann megoldás IV. Érdekes észrevenni, hogy amennyiben nem hagyjuk el a kozmológiai állandót, lehetséges volna statikus megoldást generálni, ami azonban nagyon instabil lenne

32 Friedmann megoldás IV. Érdekes észrevenni, hogy amennyiben nem hagyjuk el a kozmológiai állandót, lehetséges volna statikus megoldást generálni, ami azonban nagyon instabil lenne Mérések alapján (galaxisok vöröseltolódása) tudjuk, hogy az univerzum tágul ȧ > 0 Valamint láttuk, hogy ä < 0

33 Friedmann megoldás IV. Érdekes észrevenni, hogy amennyiben nem hagyjuk el a kozmológiai állandót, lehetséges volna statikus megoldást generálni, ami azonban nagyon instabil lenne Mérések alapján (galaxisok vöröseltolódása) tudjuk, hogy az univerzum tágul ȧ > 0 Valamint láttuk, hogy ä < 0 Következik, hogy az univerzum tágulásának gyorsasága változott: minél régebben nézzük, annál gyorsabb volt (vagy legalábbis nem volt lassabb) Azaz kellett egy olyan id pontnak lenni, amikor a(t ) = 0, amikor az univerzum minden pontjának távolsága 0 volt

34 Friedmann megoldás V. Fels korlátot egyszer en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult

35 Friedmann megoldás V. Fels korlátot egyszer en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult Ismerve, hogy H 67.6 km/s Mpc [Grieb, Jan N. et al.]

36 Friedmann megoldás V. Fels korlátot egyszer en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult Ismerve, hogy H 67.6 km/s Mpc [Grieb, Jan N. et al.] Id ben visszafelé menve egyenletesen összehúzódva pontosan T = H 1 id alatt érnénk el az a(t ) = 0-t Kiszámolva: T 14.5 milliárd év

37 Friedmann megoldás V. Fels korlátot egyszer en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult Ismerve, hogy H 67.6 km/s Mpc [Grieb, Jan N. et al.] Id ben visszafelé menve egyenletesen összehúzódva pontosan T = H 1 id alatt érnénk el az a(t ) = 0-t Kiszámolva: T 14.5 milliárd év Megjegyzés: Az univerzum valódi életkora ennél természetesen kevesebb, hiszen nem egyenletes tágulást, hanem id ben lassuló tágulást kell feltételeznünk. Valójában T 13.8 milliárd év

38 Friedmann megoldás VI. Korábbi egyenletek alakításával összefüggést kaphatunk a és ϱ között: ϱ legalább a 3 gyorsan csökken id ben (a 3 porfelh re, a 4 sugárzásra)

39 Friedmann megoldás VI. Korábbi egyenletek alakításával összefüggést kaphatunk a és ϱ között: ϱ legalább a 3 gyorsan csökken id ben (a 3 porfelh re, a 4 sugárzásra) ( ȧ a ) 2 = 8πG 3 ϱ kc2 a 2 Itt a jobb oldalon az els tag tehát id vel gyorsabban csökken, mint a második tag

40 Friedmann megoldás VI. Korábbi egyenletek alakításával összefüggést kaphatunk a és ϱ között: ϱ legalább a 3 gyorsan csökken id ben (a 3 porfelh re, a 4 sugárzásra) ( ȧ a ) 2 = 8πG 3 ϱ kc2 a 2 Itt a jobb oldalon az els tag tehát id vel gyorsabban csökken, mint a második tag Ha k = 0, 1 akkor ȧ csak aszimptotikusan lehet 0 t esetben Ha k = 1 akkor viszont létezik egy kritikus a C érték, amikor ȧ = 0, itt az univerzum tágulása megáll, és elkezd összehúzódni Azaz amennyiben elfogadjuk, hogy az univerzumunk egy véges, és zárt sokaság, ebb l következik, hogy életkora csakis véges lehet

41 Friedmann megoldás VII. A dierenciálegyenletek megoldásával felvázolható a(t) függvény különböz k értékekre: 2. ábra. Friedmann kozmológia: Univerzumok távolságának változása az id függvényében

42 Eintein egyenletek vákuumban Az Einstein egyenlet azon alakját keressük, amiben nincs jelen anyag

43 Eintein egyenletek vákuumban Az Einstein egyenlet azon alakját keressük, amiben nincs jelen anyag Vákuum energia-impulzus tenzorja azonosan 0, azaz az Einstein-egyenlet jobb oldala elt nik R kl Rg kl = 0

44 Eintein egyenletek vákuumban Az Einstein egyenlet azon alakját keressük, amiben nincs jelen anyag Vákuum energia-impulzus tenzorja azonosan 0, azaz az Einstein-egyenlet jobb oldala elt nik R kl Rg kl = 0 Megmutatható, hogy ez ekvivalens az R kl = 0 egyenlettel

45 Eintein egyenletek vákuumban Az Einstein egyenlet azon alakját keressük, amiben nincs jelen anyag Vákuum energia-impulzus tenzorja azonosan 0, azaz az Einstein-egyenlet jobb oldala elt nik R kl Rg kl = 0 Megmutatható, hogy ez ekvivalens az R kl = 0 egyenlettel Ez nem jelenti azt, hogy a görbület 0, amennyiben legalább 4 dimenzióban vagyunk! Azaz például 3 dimenziós térid ben nincs gravitáció!

46 Schwarzschild metrika I. Feltételezések: Gömbszimmetrikus térid Statikus megoldás (id ben állandó) Anyagmentes (T kl 0)

47 Schwarzschild metrika I. Feltételezések: Gömbszimmetrikus térid Statikus megoldás (id ben állandó) Anyagmentes (T kl 0) Megmutatható, hogy statikus esetben a legáltalánosabb metrika a következ : ds 2 = V 2 (x 1, x 2, x 3 )dt µ,ν=1 h µν(x 1, x 2, x 3 )dx µ dx ν Statikus: nem jelennek meg a kereszttagok

48 Schwarzschild metrika I. Feltételezések: Gömbszimmetrikus térid Statikus megoldás (id ben állandó) Anyagmentes (T kl 0) Megmutatható, hogy statikus esetben a legáltalánosabb metrika a következ : ds 2 = V 2 (x 1, x 2, x 3 )dt µ,ν=1 h µν(x 1, x 2, x 3 )dx µ dx ν Statikus: nem jelennek meg a kereszttagok Még kell a gömbszimmetria A gömbszimmetria megköti, hogy minden egyes gömbfelületen a metrikának számszoros kapcsolatban kell lennie az egység-gömbön vett metrikával

49 Schwarzschild metrika II. Gömbszimmetria: g (t) kl = λg (0) kl

50 Schwarzschild metrika II. Gömbszimmetria: g (t) kl = λg (0) kl A metrika paraméterezhet a gömbfelület A nagyságával Vezessük be r paramétert: r(a) = Ez nem a klasszikus értelemben vett sugár, s t...! A 4π

51 Schwarzschild metrika II. Gömbszimmetria: g (t) kl = λg (0) kl A metrika paraméterezhet a gömbfelület A nagyságával Vezessük be r paramétert: r(a) = Ez nem a klasszikus értelemben vett sugár, s t...! A 4π Ezzel a sugár jelleg paraméterrel viszont bevezethetjük a jól ismert gömbi koordinátákat a gömbfelületen: ds 2 (3) = r 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) = r 2 dω

52 Schwarzschild metrika II. Gömbszimmetria: g (t) kl = λg (0) kl A metrika paraméterezhet a gömbfelület A nagyságával Vezessük be r paramétert: r(a) = Ez nem a klasszikus értelemben vett sugár, s t...! A 4π Ezzel a sugár jelleg paraméterrel viszont bevezethetjük a jól ismert gömbi koordinátákat a gömbfelületen: ds 2 (3) = r 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) = r 2 dω A teljes metrikát az egyes gömbfelületek paraméterezésével kapjuk meg: ds 2 = f (r, t)dt 2 + h(r, t)dr 2 + r 2 dω

53 Schwarzschild metrika III. Mivel a metrika már adott, R kl elemeinek kiszámítása elvileg elvégezhet (de hosszadalmas...)

54 Schwarzschild metrika III. Mivel a metrika már adott, R kl elemeinek kiszámítása elvileg elvégezhet (de hosszadalmas...) Többféle módszerrel is megkaphatjuk a megoldást, ezek közül néhány példa: Tetrád módszer alapötlete: ortonormált, nem-holonóm (nem koordinátavektorokból álló) bázis bevezetése a metrikán, ezek segítségével felírható a Riemann-tenzor (B vebb információ: Robert M. Wald - General Relativity)

55 Schwarzschild metrika III. Mivel a metrika már adott, R kl elemeinek kiszámítása elvileg elvégezhet (de hosszadalmas...) Többféle módszerrel is megkaphatjuk a megoldást, ezek közül néhány példa: Tetrád módszer alapötlete: ortonormált, nem-holonóm (nem koordinátavektorokból álló) bázis bevezetése a metrikán, ezek segítségével felírható a Riemann-tenzor (B vebb információ: Robert M. Wald - General Relativity) f (r, t) = e ν(r,t) és g(r, t) = e µ(r,t) bevezetése, ezek után a Christoel -szimbólumok, és a Ricci-tenzor elemei egyszer (de hosszú) számolásokkal megkapható

56 Schwarzschild megoldás I. Láthatjuk, hogy az eredeti 10 egyenletb l csak 2 maradt f -re és g-re

57 Schwarzschild megoldás I. Láthatjuk, hogy az eredeti 10 egyenletb l csak 2 maradt f -re és g-re A megoldás során kiderül, hogy f és g függvények egymás reciprokai, valamint, hogy csak r változótól függenek. A végs megoldandó dierenciálegyenlet nagyon egyszer : f + 1 f r = 0

58 Schwarzschild megoldás I. Láthatjuk, hogy az eredeti 10 egyenletb l csak 2 maradt f -re és g-re A megoldás során kiderül, hogy f és g függvények egymás reciprokai, valamint, hogy csak r változótól függenek. A végs megoldandó dierenciálegyenlet nagyon egyszer : Aminek megoldása: f + 1 f r = 0 f = 1 + C r Matematikailag C egy tetsz leges konstans, azonban zikailag ezt konkrétan meghatározhatjuk (határeset: Newton) C = b = 2GM, ahol b a Schwarzschild sugár c 2

59 Schwarzschild megoldás II. A teljes megoldás tehát: ( ds 2 = 1 2GM ) ( ) 1 c 2 dt c 2 r 1 2GM dr 2 + r 2 dω 1 c 2 r

60 Schwarzschild megoldás II. A teljes megoldás tehát: ( ds 2 = 1 2GM ) ( ) 1 c 2 dt c 2 r 1 2GM dr 2 + r 2 dω 1 c 2 r Érdekes észrevétel, hogy a metrika két helyen is szingulárissá válik: r = 0 helyen valódi szingularitás van. Mivel az egyenletet csak olyan r tartományban oldottuk meg, ahol nincs anyag, ezért ez azt jelenti, hogy ez esetben minden anyag az origóban pontszer en helyezkedik el! Fekete lyuk?

61 Schwarzschild megoldás II. A teljes megoldás tehát: ( ds 2 = 1 2GM ) ( ) 1 c 2 dt c 2 r 1 2GM dr 2 + r 2 dω 1 c 2 r Érdekes észrevétel, hogy a metrika két helyen is szingulárissá válik: r = 0 helyen valódi szingularitás van. Mivel az egyenletet csak olyan r tartományban oldottuk meg, ahol nincs anyag, ezért ez azt jelenti, hogy ez esetben minden anyag az origóban pontszer en helyezkedik el! Fekete lyuk? Érdekesebb következmény viszont, hogy r = b helyen is találunk szingularitást, ez azonban csak a koordinátázásunk összeomlását jelenti, nem egy valódi szingularitás.

62 Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak

63 Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól

64 Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól Minden zikai objektum, melyre R b gravitációs összeomlást szenved, és egy szinguláris fekete lyukba omlik össze

65 Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól Minden zikai objektum, melyre R b gravitációs összeomlást szenved, és egy szinguláris fekete lyukba omlik össze Azonban a megoldásnak helyesnek kell lennie r < b-re is, mi van az eseményhorizonton belül?

66 Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet ; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól Minden zikai objektum, melyre R b gravitációs összeomlást szenved, és egy szinguláris fekete lyukba omlik össze Azonban a megoldásnak helyesnek kell lennie r < b-re is, mi van az eseményhorizonton belül? Az id és térkoordináták felcserél dnek, r id szer, míg t térszer lesz. De megmutatható, hogy ez is csak a rossz koordinátázás eredménye (Kruskal-Szekeres koordináták)

67 Schwarzschild megoldás IV. 3. ábra. Schwarzschild megoldás ábrázolása; az úgynevezett Flemm paraboloid

68 Schwazschild geodetikusok A szabad részecskék mozgását 3 kategóriába lehet sorolni a sugár függvényében:

69 Schwazschild geodetikusok A szabad részecskék mozgását 3 kategóriába lehet sorolni a sugár függvényében: r > 3b Stabil pálya lehetséges 3b < r < 3b Instabil körpályák (keringési sebesség eléri a 2 fénysebességet 3b-nél) 2 3b belül nincs lehetséges körpálya 2

70 Köszönöm a gyelmet!

71 Hivatkozások 1 Robert M. Wald - General Relativity 2 Steven Weinberg - Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity 3 Wikipedia - Schwarzschild metric, FriedmannLemaîtreRobertsonWalker metric, Hubble's law 4 Stephen Hawking - Into a Black Hole (Lecture)

Friedmann egyenlet. A Friedmann egyenlet. September 27, 2011

Friedmann egyenlet. A Friedmann egyenlet. September 27, 2011 A September 27, 2011 A 1 2 3 4 A 1 2 3 4 A Robertson-Walker metrika Konvenció: idő komponenseket 4. helyre írom. R-W metrika: R(t) 2 0 0 0 1 kr 2 g = 0 R(t) 2 0 0 0 0 R(t) 2 r 2 sin 2 (Θ) 0 0 0 0 1 Ugyanez

Részletesebben

Bevezetés a görbe vonalú geometriába

Bevezetés a görbe vonalú geometriába Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.

Részletesebben

METRIKA. 2D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva:

METRIKA. 2D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva: METRIKA D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva: dl = dx + dy Általános alak ha nem feltétlenül Descartes-koordinátákat használunk: dl =... dx 1 +... dx +...dx 1 dx +...dx

Részletesebben

Bevezetés a kozmológiába 1: a Világegyetem tágulása

Bevezetés a kozmológiába 1: a Világegyetem tágulása Horváth Dezső: Kozmológia-1 HTP-2011, CERN, 2011.08.17. p. 1/24 Bevezetés a kozmológiába 1: a Világegyetem tágulása HTP-2011, CERN, 2011 augusztus 17. Horváth Dezső horvath@rmki.kfki.hu MTA KFKI Részecske

Részletesebben

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje? Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]

Részletesebben

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje? Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]

Részletesebben

Lagrange és Hamilton mechanika

Lagrange és Hamilton mechanika Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája

Részletesebben

Van-e a vákuumnak energiája? A Casimir effektus és azon túl

Van-e a vákuumnak energiája? A Casimir effektus és azon túl Van-e a vákuumnak energiája? és azon túl MTA-ELTE Elméleti Fizikai Kutatócsoport Bolyai Kollégium, 2007. október 3. Van-e a vákuumnak energiája? és azon túl Vázlat 1 2 3 4 5 Van-e a vákuumnak energiája?

Részletesebben

Stacionárius tengelyszimmetrikus terek a Kerr-Newman téridő

Stacionárius tengelyszimmetrikus terek a Kerr-Newman téridő 1 / 32 Stacionárius tengelyszimmetrikus terek a Kerr-Newman téridő Fodor Gyula MTA KFKI Részecske- és Magfizikai Kutatóintézet Integrálhatóság Nyári Iskola Budapest, 2008 augusztus 25 Bevezetés 2 / 32

Részletesebben

Szeminárium. Kaposvári István október 01. Klasszikus Térelmélet Szeminárium

Szeminárium. Kaposvári István október 01. Klasszikus Térelmélet Szeminárium Klasszikus Térelmélet 2012. október 01. Tartalom: Jelölések bevezetése Kovariáns deriváltak kommutátora és a Riemann-tenzor Vektor megváltozása zárt görbe mentén Riemann-tenzor és a Stokes-tétel Geodetikus

Részletesebben

Bevezetés a kozmológiába 1: a Világegyetem tágulása

Bevezetés a kozmológiába 1: a Világegyetem tágulása Horváth Dezső: Kozmológia-1 HTP-2016, CERN, 2016.08.16. p. 1 Bevezetés a kozmológiába 1: a Világegyetem tágulása HTP-2016, CERN, 2016 augusztus 16. Horváth Dezső horvath.dezso@wigner.mta.hu MTA KFKI Wigner

Részletesebben

ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1. példa:

ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1. példa: ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1 Inerciarendszer (IR): olyan vonatkoztatási r rendszer, ahol érvényes Newton első törvénye ( F e = 0 " a r = 0) 1. példa: ez pl. IR (Newton és Einstein egyetért) Inerciarendszerben

Részletesebben

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

A Hamilton-Jacobi-egyenlet A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P

Részletesebben

Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések

Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések Az R m euklideszi tér természetes bázisának az e 1 = (1, 0,..., 0),..., e m = (0,..., 0, 1) vektorokból álló bázist mondjuk. Legyen M egy összefügg nyílt

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Az Általános Relativitáselmélet problémáinak leküzdése alternatív modellek használatával. Ált. Rel. Szondy György ELFT tagja

Az Általános Relativitáselmélet problémáinak leküzdése alternatív modellek használatával. Ált. Rel. Szondy György ELFT tagja Az Általános Relativitáselmélet problémáinak leküzdése alternatív modellek használatával Szondy György ELFT tagja? GPS ELFT Fizikus Vándorgyűlés Szombathely, 2004. Augusztus 24.-27. Ált. Rel. GRAVITÁCIÓ

Részletesebben

ANALÍZIS II. Példatár

ANALÍZIS II. Példatár ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Gravitációs fényelhajlás gömbszimmetrikus téridőkben

Gravitációs fényelhajlás gömbszimmetrikus téridőkben SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar ELMÉLETI FIZIKA TANSZÉK Fizika BSc Szakdolgozat Gravitációs fényelhajlás gömbszimmetrikus téridőkben Deák Bence Témavezető: Dr. Keresztes

Részletesebben

ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1

ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1 ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1 Inerciarendszer (IR): olyan vonatkoztatási rendszer, ahol érvényes Newton első törvénye (! # = 0 ' = 0) 1. példa: ez pl. IR (Newton és Einstein egyetért) Inerciarendszerben tett felfedezések:

Részletesebben

egyetemi állások a relativitáselmélet általánosítása (1915) napfogyatkozás (1919) az Einstein-mítosz (1920-tól) emigráció 1935: Einstein-Podolsky-

egyetemi állások a relativitáselmélet általánosítása (1915) napfogyatkozás (1919) az Einstein-mítosz (1920-tól) emigráció 1935: Einstein-Podolsky- egyetemi állások a relativitáselmélet általánosítása (1915) napfogyatkozás (1919) az Einstein-mítosz (1920-tól) emigráció 1935: Einstein-Podolsky- Rosen cikk törekvés az egységes térelmélet létrehozására

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t

Részletesebben

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék,   Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20 Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális

Részletesebben

A hullámegyenlet megoldása magasabb dimenziókban

A hullámegyenlet megoldása magasabb dimenziókban A hullámegyenlet megoldása magasabb dimenziókban Orbán Ágnes Fábián Gábor Kolozsi Zoltán 2009. október 29. A hullámegyenlet Hullámegyenletnek nevezzük a következ lineáris parciális dierenciálegyenletet:

Részletesebben

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció

Részletesebben

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854):  ' #$ * $ ( ' $*  ' #µ Emlékeztető: az -dimeziós sokaság görbültségét kifejező meyiség a Riema-tezor (Riema, 1854: ' ( ' $ ' #µ $ µ# ahol a ú. koexiós koefficiesek (vagy Christoffel-szimbólumok a metrikus tezor g # x $ kompoeseiből

Részletesebben

Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31

Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31 Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

A relativitáselmélet története

A relativitáselmélet története A relativitáselmélet története a parallaxis keresése közben felfedezik az aberrációt (1725-1728) James Bradley (1693-1762) ennek alapján becsülhető a fény sebessége a csillagfény ugyanúgy törik meg a prizmán,

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik.

Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik. Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik. Mérése: L huzalkeret folyadékhártya mozgatható huzal F F = L σ két oldala van a hártyának

Részletesebben

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest

Részletesebben

mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati

mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati ϕ t + j ϕ = 0 mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati sűrűsége j ϕ - a ϕ-hez tartozó áramsűrűség j ϕ = vϕ + j rev + j irr vϕ - advekció j rev - egyéb reverzibilis áram

Részletesebben

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Bucz Gábor Témavezet : Dr. Fehér László Dr. Lévay Péter Szeged, 2015.04.23. Bucz Gábor Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Szeged, 2015.04.23. 1 / 27 Tartalom

Részletesebben

Speciális relativitás

Speciális relativitás Fizika 1 előadás 2016. április 6. Speciális relativitás Relativisztikus kinematika Utolsó módosítás: 2016. április 4.. 1 Egy érdekesség: Fizeau-kísérlet A v sebességgel áramló n törésmutatójú folyadékban

Részletesebben

"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások

Flat rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások "Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.

Részletesebben

Szegedi Tudományegyetem. Diplomamunka

Szegedi Tudományegyetem. Diplomamunka Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Kísérleti Fizikai Tanszék Diplomamunka Eikonál-módszer az árapály-töltésű fekete lyukak gravitációs lencsézésében Dwornik Marek Témavezető:

Részletesebben

Atomok és molekulák elektronszerkezete

Atomok és molekulák elektronszerkezete Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre

Részletesebben

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1 numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú

Részletesebben

AZ UNIVERZUM GYORSULÓ TÁGULÁSA

AZ UNIVERZUM GYORSULÓ TÁGULÁSA bességet adunk irányukat pedig a helyvektorokkal ugyanakkora szöget bezárónak vesszük A rendszert ily módon elindítva a testek Kepler-mozgást végeznek miközben konfigurációjuk önmagához hasonló (konvex

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el.

-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el. 1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Energetikai mérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. május 15. Neptun kód:... g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Parciális dierenciálegyenletek

Parciális dierenciálegyenletek Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok

Részletesebben

Kozmológia egzakt tudomány vagy modern vallás?

Kozmológia egzakt tudomány vagy modern vallás? Kozmológia egzakt tudomány vagy modern vallás? MOEV 2010. április 10. Előadó: Szécsi Dorottya ELTE Fizika Bsc III. Hit és tudomány Mit gondoltak őseink a Világról? A kozmológia a civilizációval egyidős

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi

Részletesebben

Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Távcsövek és kozmológia Megoldások

Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Távcsövek és kozmológia Megoldások Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör 2015-16 7. Távcsövek és kozmológia Megoldások Bécsy Bence, Dálya Gergely 1. Bemelegítő feladatok B1. feladat A nagyítást az objektív és az

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső

Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy

Részletesebben

A TételWiki wikiből. A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.

A TételWiki wikiből. A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül. 1 / 5 A TételWiki wikiből 1 Newton-féle gravitációs erőtörvény 2 Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései 3 Friedmann-egyenletek szemléletes értelme 4 Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény

Részletesebben

Analízis III. gyakorlat október

Analízis III. gyakorlat október Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)

(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde) 2. házi feladat 1.feladat a b)c d)e f) = a b)[c d) e f)] = = a b)[ecdf) fcde)] = abe)cdf) abf)cde) 2.feladat a) Legyen a két adott pontunk helyzete A = 0, 0), B = 1, 0), továbbá legyen a távolságok aránya

Részletesebben

1. FELADATSOR. x = u + v 2, y = v + z 2, z = z. u y + z. u x + y. v x + y. v y + z. w x + y. w y + z

1. FELADATSOR. x = u + v 2, y = v + z 2, z = z. u y + z. u x + y. v x + y. v y + z. w x + y. w y + z 1. FELADATSOR 1-0: Írjuk le az R3 euklideszi tér Riemann-metrikáját az u, v, z koordináták használatával, ahol x = u + v, y = v + z, z = z. Megoldás. (L. Gy.) 1. változat: Az eredeti metrika a x, x x,

Részletesebben

A v n harmonikusok nehézion-ütközésekben

A v n harmonikusok nehézion-ütközésekben A v n harmonikusok nehézion-ütközésekben Bagoly Attila ELTE TTK Kísérleti mag- és részecskefizikai szeminárium 2014. november 27. Bagoly Attila (ELTE TTK) A v n harmonikusok nehézion-ütközésekben 2014.

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s

= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s 3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy

Részletesebben

Samu Viktória. A Helmholtz-egyenlet

Samu Viktória. A Helmholtz-egyenlet Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Samu Viktória A Helmholtz-egyenlet BSc Szakdolgozat Témavezet : Dr. Tóth Árpád Analízis Tanszék Budapest, 2014 Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra

Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás

Részletesebben

Határozatlansági relációk származtatása az

Határozatlansági relációk származtatása az az állapottér BME TTK Matematikus MSc. 1. évf. 2012. november 14. Vázlat: Történeti áttekintés Nemkommutatív (kvantum) valószín ségelmélet Az állapottér geometriája: Az állapottér mint Riemann-sokaság

Részletesebben

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában 1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16

Egyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík

Részletesebben

Ősrobbanás: a Világ teremtése?

Ősrobbanás: a Világ teremtése? Horváth Dezső: A kozmológia alapjai Telki, 2010.01.14 p. 1/37 Ősrobbanás: a Világ teremtése? (A kozmológia alapjai) Horváth Dezső horvath@rmki.kfki.hu MTA KFKI Részecske és Magfizikai Kutatóintézet, Budapest

Részletesebben

A spin. November 28, 2006

A spin. November 28, 2006 A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9. Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek

Részletesebben

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek 10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix

Részletesebben

3. Fékezett ingamozgás

3. Fékezett ingamozgás 3. Fékezett ingamozgás A valóságban mindig jelen van valamilyen csillapítás. A gázban vagy folyadékban való mozgásnál, kis sebesség esetén a csillapítás arányos a sebességgel. Ha az vagy az ''+k sin =0,

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai

Bázistranszformáció és alkalmazásai Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer

Részletesebben

Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest. 2015. június 20.

Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest. 2015. június 20. A görbületek világa 1 Kristály Sándor Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest 2015. június 20. 1 Az MTA Bolyai János Kutatói Ösztöndíj által támogatott kutatás. Eukleidészi világnézet

Részletesebben

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok

Részletesebben

a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.

a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus. 2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28 Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek

Részletesebben

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,

Részletesebben

Gravitáció az FLRW univerzumban Egy szimpla modell

Gravitáció az FLRW univerzumban Egy szimpla modell Gravitáció az FLRW univerzumban Egy szimpla modell Összefoglaló Az FLRW metrikát alkalmazva, a Friedmann-egyenletekből kiindulva, az elektromágneses és gravitációs sugárzás hasonlósága alapján meghatározható

Részletesebben

A gravitációs hullámok miért mutathatók ki lézer-interferométerrel?

A gravitációs hullámok miért mutathatók ki lézer-interferométerrel? A gravitációs hullámok miért mutathatók ki lézer-interferométerrel? Gravitációs hullám (GH) Newton: ha egy nagy tömegű égitest helyet változtat, annak azonnal érződik a hatása tetszőlegesen nagy távolságban

Részletesebben

Válaszok Gergely Árpád László opponens. FEKETELYUKAK A GRAVITÁCIÓ GEOMETRIZÁLT ELMÉLETEIBEN című doktori értekezése kapcsán megfogalmazott kérdéseire

Válaszok Gergely Árpád László opponens. FEKETELYUKAK A GRAVITÁCIÓ GEOMETRIZÁLT ELMÉLETEIBEN című doktori értekezése kapcsán megfogalmazott kérdéseire Válaszok Gergely Árpád László opponens Rácz István MTA KFKI RMKI FEKETELYUKAK A GRAVITÁCIÓ GEOMETRIZÁLT ELMÉLETEIBEN című doktori értekezése kapcsán megfogalmazott kérdéseire 1. Az első kérdés: A második

Részletesebben

Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések............................

Részletesebben

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41 Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét

Részletesebben

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás 5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )

Részletesebben

Az optika tudományterületei

Az optika tudományterületei Az optika tudományterületei Optika FIZIKA BSc, III/1. 1. / 17 Erdei Gábor Elektromágneses spektrum http://infothread.org/science/physics/electromagnetic%20spectrum.jpg Optika FIZIKA BSc, III/1. 2. / 17

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

[ ]dx 2 # [ 1 # h( z,t)

[ ]dx 2 # [ 1 # h( z,t) A gravitációs hullámok miért mutathatók ki lézer-interferométerrel? Gravitációs hullám (GH) Newton: ha egy nagy tömegű égitest helyet változtat, annak azonnal érződik a hatása tetszőlegesen nagy távolságban

Részletesebben

3. előadás Stabilitás

3. előadás Stabilitás Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Egy mozgástani feladat

Egy mozgástani feladat 1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.

Részletesebben

Markov-láncok stacionárius eloszlása

Markov-láncok stacionárius eloszlása Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E

Részletesebben