Samu Viktória. A Helmholtz-egyenlet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Samu Viktória. A Helmholtz-egyenlet"

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Samu Viktória A Helmholtz-egyenlet BSc Szakdolgozat Témavezet : Dr. Tóth Árpád Analízis Tanszék Budapest, 2014

2 Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni témavezet mnek, Tóth Árpádnak az érdekes témát és a felfolgzása során nyújtott rengeteg segítséget. Köszönöm, hogy végig hitt bennem, és hogy segített leküzdeni a közös munkánk során felmerült akadályokat. Nélküle ez a szakdolgozat nem jöhetett volna létre. Köszönet illeti továbbá családomat és barátaimat az egyetemi évek alatt t lük kapott támogatásért, és tanáraimat, amiért megszerettették velem a matematikát. 2

3 Tartalomjegyzék Bevezetés 5 1. Egy dimenzióban: A rezg húr 7 2. A Laplace operátor polárkoordinátákban Els bizonyítás Második bizonyítás Két dimenzióban: A rezg dob A körszimmetrikus eset Általános eset Numerikus vizsgálat 26 Irodalomjegyzék 32 Függelék 33 3

4 Ábrák jegyzéke 1.1. A rezg húr A J 0 Bessel-függvény A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 01 és λ 02 esetén A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 03 és λ 04 esetén A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 05 esetén A J m Bessel-függvények m = 0, 1, 2, 3, 4 esetén A kör alakú dob rezgése egy x id pillanatban λ 11 és λ12 esetén A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 13 és λ14 esetén

5 Bevezetés Dolgozatom témája a Helmholtz-egyenlet, amely az alábbi parciális dierenciálegyenlet: f + k 2 f = 0, ahol a Laplace-operátor, f egy függvény, k pedig egy skalár. n-dimenziós Descartesféle koordinátarendszerben az egyenlet az alábbi alakban írható fel: n i=0 2 f x 2 i + k 2 f = 0 A Helmholtz-egyenletet sokszor használják olyan zikai problémák vizsgálatakor, ahol parciális dierenciálegyenletek fordulnak el. Az eredeti egyenleten alkalmazva a váltózók szétválasztásának módszrét olyan az id t l független egyenletet kapunk, amelynek alakja megegyezik a fentiével. Els ként egy egydimenziós problémát fogok vizsgálni, amellyel a hétköznapi életben sokszor találkozunk. A húr rezgését az egydimenziós hullámegyenlet írja le, ezen a problémán alapul sok hangszer, például a gitár, a heged és a zongora is. Ezután megnézem, hogy polárkoordinátákban a Laplace-operátor miért az alábbi alakban írható fel: f = 2 f r r f r + 1 r 2 2 f ϕ 2 A 3. fejezetben egy 2-dimenziós esettel, egy kör alakú lemez rezgéseivel, az ezeket leíró hullámegyenlettel és az id t l független Helmholtz-egyenlettel fogok foglalkozni. Részletsen meg fogom vizsgálni a körszimmetrikus megoldásokat és megnézem, mennyiben tér el ett l az általános eset. Ebben a fejezetben fogom használni a Laplace-operátor polárkoordinátás alakját, hiszen ekkor a Helmholtz-egyenlet a következ képpen fog kinézni: 5

6 2 fr, ϕ) + 1 r 2 r frϕ) + 1 r r 2 fr, ϕ) + λ 2 fr, ϕ) = 0 2 ϕ 2 A 4. fejezetben a MATLAB segítségével fogom megkeresni a rezg dob problémájának konkrét megoldásait és ezek közül néhányat ábrázolni is fogok. 6

7 1. fejezet Egy dimenzióban: A rezg húr 1.1. ábra. A rezg húr A regz húr mozgását hullámegyenlet írja le. Jelölje ux, t) a húr x-tengelyt l való távolságát x helyen és t id pillanatban, a húr hossza pedig legyen l. Tudjuk, hogy a húr két vége le van rögzítve a vízszintes tengely magasságában, és meg van adva a t = 0 id pillanatban a húr helyzete fx)) és sebessége gx)). Ekkor tehát a következ egyenlet megoldását keressük: 2 ux, t) = c 2 2 ux, t) 1.1) t 2 x 2 minden 0 < x < l és minden t > 0 esetén, ahol teljesülnek az alábbi peremfeltételek: és az alábbi kezdeti feltételek: u0, t) = ul, t) = 0, 1.2) ux, 0) = fx), 1.3) u x, 0) = gx). 1.4) t 7

8 El ször is tegyük fel, hogy ux, t) el áll Xx) T t) alakban, azaz szétválasztható változójú. Ekkor 2 ux,t) t 2 = Xx) T t) és 2 ux,t) x 2 = X x) T t), tehát az egyenletünk: Ebb l az alábbi egyenletet kapjuk: Xx) T t) = c 2 X x) T t). X x) Xx) = 1 c 2 T t) T t). 1.5) 1.5)-ben a bal oldal független t-t l, a jobb oldal pedig független x-t l. Ez akkor és csak akkor lehetséges, ha mindkét oldal ugyanazzal konstanssal egyenl. Jelöljük ezt a konstanst σ-val. Ekkor X x) Xx) = σ = 1 T t) -b l az alábbi két egyenletet kapjuk: c 2 T t) X x) σ Xx) = 0 1.6) T t) σ c 2 T t) = ) 1.6) megoldása Xx) = a cos σ x) + b sin σ x), 1.7) megoldása pedig T t) = α cos σ c t) + β sin σ c t) alakú, ahol a, b, α, β C tetsz leges. Ezt a következ állításban látjuk be Állítás. Az y t) + c 2 yt) = 0 c R) egyenlet megoldásai a cosc t) + b sinc t) alakúak, ahol a, b C tetsz leges. Bizonyítás. Írjuk fel a deriváltakat: y t) = a sinc t) c) + b cosc t) c = ac sinct) + bc cosct) y t) = ac cosct) c + bc sinct) c) = a c 2 cosct) b c 2 sinct) = = c 2 a cosct) + b sinct)) = c 2 yt) Ebb l megkapjuk, hogy y t) + c 2 yt) = 0, tehát yt) valóban megoldás. A megoldást a következ képpen kaptuk meg: Másodrend dierenciálegyenleteket visszavezethetünk az els rend esetre az x 1 := y, x 2 := y helyettesítéssel. Ekkor teljesülnek a következ k: x 1 = x 2 és x 2 = c 2 x 1. 8

9 Ekkor az ) x t) = A xt) els rend lineáris dierenciálegyenletet kapjuk, ahol A = 0 1. c 2 0 Ennek a megoldása: xt) = e At r, ahol r R 2 tetsz leges. e At -t a Hermite-féle interpolációs polinom segítségével számoljuk ki. λ 1 c 2 λ = λ2 + c 2, ebb l λ 1 = c i, λ 2 = c i. Mivel a minimálpolinom foka 2, az interpolációs polinom p t z) = a t z + b t alakú lesz. Ebb l kapjuk majd meg e At -t, ugyanis p t A) = e At. Tudjuk: p t ci) = e ci t = a t ci + b t és p t ci) = e ci t = a t ci) + b t. Ebb l e ci t a t ci = e ci t + a t ci e c it e c it = 2 a t ci e c it e c it = a t, azaz c 2i 1 c sinct) = a t. b t ebb l kifejezhet : b t = e ci t ec it e c it 2 ci ci = 2ec it e c it + e c it 2 = ec it + e c it 2 = cosct) p t tehát: p t z) = sinct) z + cosct). Mivel e At = p c t A) = a t A + b t I, ) ) e At = sinct) cosct) = c c ) ) ) sinct) 0 c cosct) 0 cosct) sinct) c + = c sinct) 0 0 cosct) c sinct) cosct) xt) = e At r r R 2 ), tehát xt) = cosct) sinct) c c sinct) cosct) Nekünk yt) kell, és mivel y = x 1, ezért yt) = r 1 cosct) + r 2 1 c sinct). ) cosct) r1 r 2 sinct) c ). ) r1 r 2 ) = 9

10 Mivel r 1, r 2 tetsz leges, a megoldás a következ alakban írható fel: yt) = a cosct) + b sinct), ahol a, b C tetsz leges. Ezzel pont az állításban szerepl megoldást kaptuk. A rezg húr problémájánál kapott egyenletek megoldása tehát: Xx) = a cos σ x) + b sin σ x) és T t) = α 0 cos σ c t) + β 0 sin σ c t). A következ lépésben azt nézzük meg, mikor teljesülnek a peremfeltételek. X0) = 0 a cos0) + b sin0) = 0 a = 0 a = 0 Xx) = b sin σ x), Azaz: Xl) = 0 b sin σ l) = 0 σ l = k π k Z) σ = kπ l ux, t) = Xx)T t) = b sin kπ x) α 0 cos ckπ t) + β 0 sin ckπ l l l = sin kπ x) α cos ckπ t) + β sin ckπ ) t). l l l Mivel b, α, β C tetsz leges, ezért α, β C is az. ) t) = 1.1) linearitása miatt a sin kπ x) α cos ckπ l l bármely lineáris kombinációja is megoldás, tehát: ux, t) = sin kπ l k=1 t) + β sin ckπ l x) α k cos ckπ t) + β k sin ckπ ) t) l l Most vizsgáljuk meg a kezdeti feltételeket. 1.3) szerint: fx) = ux, 0) = α k sin kπ l Mivel ux, t) = t k=1 sin kπ x) α l k sin ckπ t) ckπ + β l l k cos ckπ l 1.4) szerint: k=1 gx) = u t x, 0) = β k ckπ l k=1 sin kπ l t) ) alakú megoldások x). 1.8). ) t) ckπ l, ezért x). 1.9) Tudjuk, hogy minden kell en sima hx) függvény a [0, l] intervallumon Fourier-sorba fejthet a következ módon: 10

11 hx) = b k sin kπ x), l k=1 ahol a b k együtthatókat az alábbi formula adja meg: b k = 2 l l 0 hx) sin kπ l x)dx. Ez alapján 1.8)-ban és 1.9)-ben az α k és β k együtthatók a következ képpen alakulnak: β k ckπ l α k = 2 l = 2 l l 0 l 0 fx) sin kπ l gx) sin kπ l x)dx, x)dx. Ezzel tehát megkaptuk az egydimenziós hullámegyenlet 1.1) megoldását: ux, t) = ahol: α k = 2 l sin kπ l k=1 l β k = 2 ckπ 0 l fx) sin kπ l 0 gx) sin kπ l x) α k cos ckπ t) + β k sin ckπ ) t) l l x)dx, x)dx., 11

12 2. fejezet A Laplace operátor polárkoordinátákban A kör alakú dob rezgésének vizsgálatához szükségünk lesz a Laplace-operátor polárkoordinátákban felírt alakjára Els bizonyítás 2.1. Deníció. A Laplace-operátor kétváltozós függvény esetén Descartes-féle koordináta-rendszerben: f = 2 f x f y Állítás. A Laplace-operátor alakja polárkoordinátákban: f = 2 f r r f r + 1 r 2 2 f ϕ 2. Bizonyítás. Helyettesítsünk polárkoordinátákkal: x := r cos ϕ, y := r sin ϕ. Ekkor f x, y) = f r cos ϕ, r sin ϕ). Az els paricális deriváltak kiszámításához a következ ket fogjuk felhasználni: r x = ) x2 + y x 2 = 1 2 x 2 + y 2) 12 2x = x r r y = ) x2 + y y 2 = 1 2 x 2 + y 2) 12 2y = y r = cos ϕ, = sin ϕ, 12

13 y x = r sin ϕ r cos ϕ = tan ϕ ϕ = arctan y x, ϕ x = y arctan = x x)) ) y 2 x y x 2 ) = 1 x 2 +y 2 x 2 y x = x2 2 x 2 + y y 2 x 2 = x2 r y 2 x = y sin ϕ = r 2 r2 r 2 ϕ y = y arctan = y x)) Az els paricális deriváltak ezek alapján: = sin ϕ, r ) y 2 1 x = x2 r 1 2 x = x r = r cos ϕ 2 r 2 x = cos ϕ. r f x = f r r x + f ϕ ϕ x f = cos ϕ r sin ϕ f r ϕ =: G, f y = f r r y + f ϕ ϕ y f = sin ϕ r + cos ϕ f r ϕ =: H, f r = f x, y) r = f x x r + f y y r f f = cos ϕ + sin ϕ x y, f ϕ = f x, y) ϕ = f x x ϕ + f y y ϕ = f x f r cos ϕ) + ϕ y r sin ϕ) ϕ = r sin ϕ f f + r cos ϕ x y. A második parciális deriváltakat G és H függvények segítségével számoljuk ki: 2 f x = G 2 x G = cos ϕ r sin ϕ G r ϕ, 2 f y = H 2 x H = sin ϕ r + cos ϕ H r ϕ, 13

14 f = 2 f x + 2 f G = cos ϕ 2 y2 r G és H függvények parciális deriváltjai: H + sin ϕ r + 1 cos ϕ H r ϕ ) G sin ϕ. ϕ G r = cos ϕ f r r sin ϕ f ) = cos ϕ f ) sin ϕ f ) = cos ϕ r ϕ r r r r ϕ 2 f sin ϕ r f 2 r 2 ϕ + sin ϕ r ) 2 f = cos ϕ 2 f ϕ r r sin ϕ 2 r G ϕ = cos ϕ f ϕ r sin ϕ f ) = cos ϕ f ) sin ϕ f ) r ϕ ϕ r ϕ r ϕ = sin ϕ f ) r + cos ϕ 2 f cos ϕ f r ϕ r ϕ + sin ϕ ) 2 f r ϕ 2 2 f ϕ r + sin ϕ f r 2 ϕ, = cos ϕ 2 f f sin ϕ r ϕ r cos ϕ f r ϕ sin ϕ 2 f r ϕ, 2 H r = sin ϕ f r r + cos ϕ f ) = sin ϕ f ) + cos ϕ f ) = sin ϕ r ϕ r r r r ϕ 2 f cos ϕ r + f 2 r 2 ϕ + cos ϕ r ) 2 f = sin ϕ 2 f ϕ r r cos ϕ f 2 r 2 ϕ + cos ϕ r 2 f ϕ r, H ϕ = sin ϕ f ϕ r + cos ϕ f ) = sin ϕ f ) + cos ϕ f ) r ϕ ϕ r ϕ r ϕ = cos ϕ f ) r + sin ϕ 2 f sin ϕ + f r ϕ r ϕ + cos ϕ ) 2 r ϕ 2 = cos ϕ f r + sin ϕ 2 f r ϕ sin ϕ f r ϕ + cos ϕ 2 r ϕ. 2 14

15 Ezek alapján már megadható f: f = 2 f x + 2 f G = cos ϕ 2 y2 r = cos 2 ϕ 2 f cos ϕ sin ϕ r2 r r + 1 r + sin ϕ H r + 1 r cos ϕ H ϕ 2 f cos ϕ sin ϕ + f ) ϕ r r 2 ϕ sin 2 ϕ 2 f sin ϕ cos ϕ f sin ϕ cos ϕ r2 r 2 ϕ r ) G sin ϕ ϕ ) 2 f ϕ r cos 2 ϕ f r + cos ϕ sin ϕ 2 f cos ϕ sin ϕ f ) r ϕ r ϕ + cos2 ϕ 2 f r ϕ 2 2 f sin ϕ cos ϕ r ϕ + sin2 ϕ f r + sin ϕ cos ϕ r f ) ϕ + sin2 ϕ 2 f r ϕ 2 = cos 2 ϕ sin 2 ϕ ) 2 f r + 1 cos 2 r 2 ϕ sin 2 ϕ ) f ) r + cos2 ϕ sin 2 ϕ 2 f r ϕ 2 = 2 f r r f r + 1 r 2 2 f ϕ 2. Ezzel pont az állításban szerepl képletet kaptuk. 15

16 2.2. Második bizonyítás 2.3. Állítás. A Laplace-operátor alakja polárkoordinátákban: f = 2 f r r f r + 1 r 2 2 f ϕ 2. Bizonyítás. A bizonyítás alapötlete az, hogy f = divgradf)), ahol divf x, y)) = F 1 x + F 2 y és gradfx, y)) = f x f y ). Használjuk a divergencia és a gradiens polárkoordinátás alakját: divf ) = 1 r r r F 1) + 1 r ϕ F 2), gradf) = f r f r ϕ ). Ekkor: divgradf)) = 1 r r f ) + 1 ) r r r f = ϕ r ϕ = 1 r r r f ) r + r 2 f + 1 r 2 r 2 f 2 ϕ = 2 = 1 r f r + 2 f r r 2 2 f ϕ 2. Ez pedig pont az állításban szerepl képlet. 16

17 3. fejezet Két dimenzióban: A rezg dob Tekintsünk egy olyan kör alakú membránt, amely nyugalmi helyzetben egy origó középpontú, a sugarú körlappal írható le, és a határain le van lerögzítve. Jelölje ux, y, t) az x, y) pontnak az xy síktól való távolságát t id pillanatban. Ekkor a membrán a dobb r) rezgéseit a kétdimenziós hullámegyenlet írja le: ) 2 ux, y, t) = c 2 2 ux, y, t) + 2 ux, y, t), 3.1) t 2 x 2 y 2 ahol t > 0 és x 2 +y 2 < a, valamint teljesül a peremfeltétel: ux, y, t) = 0 ha x 2 +y 2 = a. Mivel kör alakú membránt vizsgálunk, érdemes polárkoordinátákat használni. Legyen tehát x = r cos ϕ és y = r sin ϕ. Az egyenlet jobb oldalán c 2 u van, az el z fejezetben pedig már láttuk, hogy a Laplace-operátor hogy írható át polárkoordinátákba. A következ egyenletet kapjuk tehát: 2 ur, ϕ, t) 1 = c 2 ur, ϕ, t) + 2 ur, ϕ, t) + 1 ) t 2 r r r 2 r 2 ur, ϕ, t), 3.2) 2 ϕ 2 minden 0 < r < a, minden 0 ϕ 2π és minden 0 < t esetén, az alábbi peremfeltételekkel: ua, ϕ, t) = 0 ha 0 ϕ 2π 3.3) ur, 0, t) = ur, 2π, t) ha 0 r a és 0 t 3.4) ϕ ur, 0, t) = ϕ ur, 2π, t) ha 0 r a és 0 t 3.5) 17

18 és az alábbi kezdeti feltételekkel: ur, ϕ, 0) = fr, ϕ) ha 0 r a és 0 ϕ 2π 3.6) t ur, ϕ, 0) = gr, ϕ) ha 0 r a és 0 ϕ 2π 3.7) Itt fr, ϕ) jelöli a kezdeti alakot és gr, ϕ) jelöli a kezdeti sebességet. Két különböz esetet fogok a kés bbiekben vizsgálni. Els ként azt speciális esetet nézem meg részletesen, amikor ur, ϕ, t) körszimmetrikus, ekkor u független lesz ϕ-t l. Ezután megnézem, hogyan változnak a megoldások, ha u-ról nem teszem fel, hogy körszimmetrikus. Mindkét esetben egységsugarú membránnal fogok dolgozni. 18

19 3.1. A körszimmetrikus eset Nézzük meg tehát, hogyan lehetnek az egységsugarú membrán rezgései körszimmetrikusak. Ekkor u független ϕ-t l, tehát a 3.2) egyenlet leegyszer södik a következ képpen: ) 2 ur, t) 1 = c 2 ur, t) + 2 ur, t) t 2 r r r 2 A perem- és kezdeti feltételek pedig az alábbiak lesznek: 3.8) u1, t) = 0 3.9) ur, 0) = fr) ha 0 r ) t ur, 0) = gr) ha 0 r ) Alkalmazzuk a változók szétválasztásának módszerét, azaz tegyük fel, hogy ur, t) el áll Rr) T t) alakban. Ekkor a parciális derváltak a következ képpen írhatók fel: t ur, t) = t Rr) T t)) = Rr) T t) 2 t ur, t) = Rr) T t) r ur, t) = r Rr) T t)) = R r) T t) 2 r ur, t) = R r) T t) Ekkor az egyenlet az alábbi formába írható: Rr) T t) = c 2 R r) T t) + 1 ) r R r) T t) 3.12) Osszuk az egyenlet mindkét oldalát c 2 Rr) T t)-vel. Ekkor: 1 c T t) 2 T t) = 1 Rr) R r) + 1 ) r R r) A kapott egyenlet bal oldala csak t-t l, jobb oldala csak r-t l függ, ami csak akkor lehetséges, ha mindkét oldal egy k konstanssal egyenl. Ebb l az alábbi két egyenletet kapjuk: k = 1 c T t) 2 T t) k = 1 Rr) R r) + 1 ) r R r) 3.13) 3.14) 19

20 A 3.13) egyenletet átírhatjuk T t) = kc 2 T t) alakba. Ennek a megoldásai k > 0 esetén exponenciálisan n nek vagy csökkennek, k = 0 esetén lineárisak, k < 0 esetén periodikusak. Fizikailag elvárható, hogy a rezg dob problémájára adott megoldás id ben periodikus legyen, ezért csak a harmadik esetet fogjuk nézni, amikor k = λ 2 alakú. Ekkor az egyenlet T t) + λ 2 c 2 T t) = 0 alakú, aminek pedig az 1.1) tétel alapján ismerjük a megoldásait: T t) = a cosλc t) + b sinλc t) 3.15) A 3.14) egyenletet rendezzük a következ képpen k = λ 2 felhasználásával: 1 Rr) R r) + 1 ) r R r) = λ 2 R r) + 1 r R r) = λ 2 Rr) R r) + 1 r R r) + λ 2 Rr) = 0 r R r) + R r) + λ 2 r Rr) = 0 Keressük ennek az egyenletnek a megoldását hatványsor alakban, azaz tegyük fel, hogy Rr) = c m r m, m=0 ahol a c m -ekre szeretnénk egy rekurziót megadni. Ekkor a deriváltak a kövtkez képpen néznek ki: R r) = c m mr m 1 = c 1 + c n+2 n + 2)r n+1 R r) = m=1 n=0 c m mm 1)r m 2 = m=2 n=0 c n+2 n + 2)n + 1)r n m=n+1 helyettesítéssel m=n+2 helyettesítéssel Ebb l az egyenlet az alábbi módon írható fel: rr r) + R r) + λ 2 rrr) = c n+2 n + 2)n + 1)r n+1 + c 1 + c n+2 n + 2)r n+1 + λ 2 n=0 n=0 n=0 c n r n+1 = ) = c 1 + n + 2) 2 c n+2 + λ 2 c n r n+1 = 0 n=0 20

21 Válasszuk c 1 -et 0-nak. Ekkor: n + 2) 2 c n+2 + λ 2 c n = 0 n, azaz c n+2 = λ2 n + 2) 2 c n Válasszuk c 0 -t 1-nek. Ekkor c n -ek a következ képpen alakulnak: A megoldás tehát: Rr) = c 0 = 1 c 1 = 0 c 2 = λ2 2 2 c 3 = 0 c 4 = λ2 4 2 c 2 = λ c 2k = 1)k λ 2k k!) 2 4 k c 2k+1 = 0 c m r m = m=0 m=0 1) m m!) 2 4 m λr)2m, ami pontosan a J 0 λr) els fajú Bessel-függyvénnyel egyenl. A 3.9) peremfeltétel szerint u1, t) = 0, ami akkor teljesül, ha R1) = 0. Ez a következ t jelenti: R1) = J 0 λ) = 0, tehát λ lehetséges értékei pontosan a Bessel-függvény gyökei lesznek. Ha egység helyett a sugárt néznénk, akkor a gyökök 1 -szorosa lenne jó. a A J 0 Bessel-függvénynek végtelen sok pozitív gyöke van, jelölje az n-edik gyököt a λ 0n, ekkor 0 < λ 01 < λ 02 <... A 3.14) egyenlet peremfeltételnek eleget tév megoldásai tehát: Rr) = J 0 λ 0n r) n = 1, 2, ) 21

22 A 3.8) egyenletnek megoldásai tehát: ur, t) = Rr) T t) = a cosλ 0n c t) + b sinλ 0n c t) J 0 λ 0n r) n = 1, 2,..., ahol λ 0n a J 0 Bessel-függvény n-edik pozitív gyökét jelöli. 22

23 3.2. Általános eset Ha ur, ϕ, t)-r l nem tesszük fel, hogy körszimmetrikus, a 3.2) egyenlettel és a 3.3) - 3.7) perem- és kezdeti feltételekkel dolgozunk, annyi változással, hogy most egységnyi a sugár. Keressük a megoldást ur, ϕ, t) = Rr) Φϕ) T t) alakban. Ekkor a deriváltak a következ k: t 2 ur, ϕ, t) = Rr) Φϕ) T t) r ur, ϕ, t) = R r) Φϕ) T t) r 2 ur, ϕ, t) = R r) Φϕ) T t) ϕur, 2 ϕ, t) = Rr) Φ ϕ) T t) A 3.2) egyenlet pedig a következ képpen fog kinézni: Rr) Φϕ) T t) = c 2 1 r R r) Φϕ) T t) + R r) Φϕ) T t) + 1 ) r Rr) 2 Φ ϕ) T t) Osszuk az egyenlet mindkét oldalát c 2 Rr) Φϕ) T t)-vel: 1 c T t) 2 T t) = 1 r R r) Rr) + R r) Rr) + 1 r Φ ϕ) 2 Φϕ) 3.17) A 3.17) egyenlet bal oldala csak t-t l függ, a jobb oldala azonban független t-t l. Ez csak akkor lehetséges, ha az egyenlet mindkét oldala egy l konstanssal egyenl. Ebb l az alábbi két egyenletet kapjuk: l = 1 c 2 T t) T t) l = 1 r R r) Rr) + R r) Rr) + 1 r Φ ϕ) 2 Φϕ) 3.18) 3.19) Néézük el ször a 3.18) egyenletet: T t) = l c 2 T t) T t) lc 2 T t) = 0 23

24 Már korábban láttuk, hogy a fenti egyenletnek csak azok a megoldásai jók, ahol l < 0. Legyen tehát l = λ 2. Ekkor az egyenlet T t) + λ 2 c 2 T t) = 0 alakú, ennek pedig 1.1) állítás szerint tudjuk a megoldásait: T t) = A cosλc t) + B sinλc t) 3.20) Most nézzük 3.19)-at és használjuk fel, hogy l = λ 2 : λ 2 = 1 r R r) Rr) + R r) Rr) + 1 r Φ ϕ) 2 Φϕ) λ 2 r 2 = r R r) Rr) + r2 R r) Rr) + Φ ϕ) Φϕ) Φ ϕ) Φϕ) = r R r) Rr) + r2 R r) Rr) + λ2 r 2 A fenti egyenlet bal oldala csak ϕ-t l, jobb oldala csak r-t l függ, ez pedig csak akkor lehet, ha mindkét oldal egy k konstanssal egyenl : 3.21)-at nézzük el ször: k = Φ ϕ) Φϕ) 3.21) k = r R r) Rr) + r2 R r) Rr) + λ2 r ) Φ ϕ) = k Φϕ) Φ ϕ) + k Φϕ) = 0 Ennek az egyenletnek csak azok a megoldásai periodikusak, ahol k > 0, nekünk pedig csak a periodikus megoldások jók csak. Legyen ezért k = m 2. Ekkor 1.1) állítás alapján a megoldásai: Φϕ) = C cosm ϕ) + D sinm ϕ) 3.23) Most nézzük 3.22)-et és használjuk fel, hoogy k = m 2 : r R r) Rr) + r2 R r) Rr) + λ2 r 2 = m 2 r R r) Rr) + r2 R r) Rr) = m2 λ 2 r 2 r 2 R r) + r Rr) = m 2 λ 2 r 2 )Rr) 24

25 A következ egyenletet kapjuk tehát: r 2 R r) + r Rr) + λ 2 r 2 m 2 )Rr) = ) Ennek a körszimmetrikus esethez hasonlóan egy Bessel-függvény lesz a megoldása: Rr) = J m λr). A peremfeltételek miatt: R1) = J m λ 1) = 0, tehát λ lehetséges értékei éppen a J m Bessel-függvény gyökei lesznek. Jelöljük ezeket λ mn -nel, ha n = 1, 2,... A 3.24) egyenlet megoldásai tehát: Rr) = J m λ mn r) m = 0, 1, 2,..., n = 1, 2, ) Azt kaptuk tehát, hogy a 3.2) egyenlet megoldásai 3.20), 3.23) és 3.25) alapján: ur, ϕ, t) = Rr) Φϕ) T t) = A cosλ mn ct)+b sinλ mn ct)) C cosmϕ)+d sinmϕ)) J m λ mn r), jelöli. ahol m = 0, 1, 2,..., n = 1, 2,... és λ mn a J m Bessel-függvény n-edik pozitív gyökét 25

26 4. fejezet Numerikus vizsgálat Az el z fejezetben láttuk, hogy a rezg dob problémájának megoldásában szerepelnek a Bessel-függvények. Az alábbi ábrán a körszimmetrikus esetben kapott J 0 Bessel-függvény látható: 4.1. ábra. A J 0 Bessel-függvény Az ábrán is látszik, hogy J 0 gyökeinél a függvény el jelet vált, ezért érdemes megnézni, hogy hol vannak ezek az el jelváltások. A MATLAB segítségével ezeket az alábbi módon 1 tizedesjegy pontossággal tudjuk megbecsülni a [0, 15] intervallumon: x=0:0.1:15; y=besselj0,x); yy>0)=1; 26

27 yy<0)=0; finddiffy)~=0)*0.1 ans = A gyököket tehát a kapott értékek közelében kell keresnünk. Ezt a következ képpen tehetjük meg: format long lambda=zeros1,5); lambda1)=fzerof,2.5); lambda2)=fzerof,5.6); lambda3)=fzerof,8.7); lambda4)=fzerof,11.8); lambda5)=fzerof,15) lambda = A 2. sorban szerepl format long parancs miatt a kapott eredmény 15 tizedesjegy pontossággal közelíti meg J 0 gyökeit. 27

28 Ha a a J 0 Bessel-függvény valamelyik gyökét jelöli, akkor a körszimmetrikus eset megoldásait egy x t id pillanatban a következ képpen lehet ábrázolni: r=0:0.01:1; n=lengthr); phi=linspace0,2*pi,n); z = fa*r)'*ones1,n); y = a*r'*sinphi); x = a*r'*cosphi); surfx,y,z) Az els 5 gyök esetében az alábbi ábrákat kapjuk: 4.2. ábra. A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 01 és λ 02 esetén 4.3. ábra. A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 03 és λ 04 esetén 28

29 4.4. ábra. A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 05 esetén Az általánosabb esetben a J m Bessel-függvényt kaptuk a megoldás részeként, ahol m = 0, 1, 2,.... Az alábbi ábrán az m = 0, 1, 2, 3, 4 eset látható: 4.5. ábra. A J m Bessel-függvények m = 0, 1, 2, 3, 4 esetén Vizsgáljuk most a J 1 Bessel-függvényt. A gyököket a J 0 -nál látott módszerhez hasonlóan fogjuk megkeresni, azzal a különbséggel, hogy mivel J 1 0) = 0, az el jelváltásoknál 0.1-t l fogjuk indítani a keresést: x=0.1:0.1:15; y=besselj1,x); yy>0)=1; 29

30 yy<0)=0; finddiffy)~=0)*0.1 ans = Keressük a gyököket ezek az értékek közelében: format long lambda=zeros1,4); lambda1)=fzerof,3.8); lambda2)=fzerof,7); lambda3)=fzerof,10.1); lambda4)=fzerof,13.3) lambda = Ha a a J 1 Bessel-függvény valamelyik gyökét jelöli, akkor a megoldást egy x t id pillanatban a következ képpen lehet ábrázolni: r=0:0.01:1; n=lengthr); phi=linspace0,2*pi,n); z =fa*r)'*cosphi); y = a*r'*sinphi); x = a*r'*cosphi); surfx,y,z) 30

31 Az els 4 gyök esetében az alábbi ábrákat kapjuk: 4.6. ábra. A kör alakú dob rezgése egy x id pillanatban λ 11 és λ12 esetén 4.7. ábra. A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 13 és λ14 esetén 31

32 Irodalomjegyzék [1] Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press [2] Stanley J. Farlow: An Introduction To Dierential Equations And Their Applications [3] Wikipedia - Vibrations of a circular membrane 32

33 Függelék Bessel-függvények A Bessel-függvények deníció szerint az alábbi, ún. Bessel dierenciálegyenlet megoldásai: x 2 2 y x 2 + x y x + x2 m 2 ) = 0 Mivel ez egy másodrend dierenciálegyenlet, két lineárisan független megoldása kell, hogy legyen. Ha m egész, akkor a két független megoldást J m -mel és Y m -mel szokás jelölni, ahol J m -et els fajú, Y m -et másodfajú Bessel-függvénynek hívjuk. J m az a megoldás, amelyik a 0-ban véges, míg Y m -nek 0-ban szingularitása van. Mivel nekünk a feladatban csak olyan függvények voltak jók, amelyek 0-ban végesek, a megoldásokban csak J m szerepel. Ha a Bessel dierenciálegyenlet megoldásait hatványsor alakban keressük a Frobeniusmódszerrel[2], azaz y = x α a n x n, akkor látni fogjuk, hogy α = m és a n -re a következ rekurziót kapjuk: Ebb l kapjuk meg J m Taylor-sorát: J m x) = n=0 1 a n = n2m + n) a n 2. n=0 1) n x ) 2n+m n!m + n)!, 2 és ezt a Taylor-sor alakot használtuk a rezg dob problémájának megoldásához. 33

34 A feladat szempontjából létfontosságú továbbá, hogy J m aszimptotikusan az alábbi függvénnyel egyenl : J m z) 2 πz cos z mπ 2 π ) 4. 34

Parciális dierenciálegyenletek

Parciális dierenciálegyenletek Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Statikailag határozatlan tartó vizsgálata

Statikailag határozatlan tartó vizsgálata Statikailag határozatlan tartó vizsgálata Készítette: Hénap Gábor henapg@mm.bme.hu E E P MT A y F D E E d B MT p C x a b c Adatok: a = m, p = 1 N, b = 3 m, F = 5 N, c = 4 m, d = 5 mm. m A kés bbikekben

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 2. (b) Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25. A változók szétválasztásának módszere (5) 1 Az Y(t)-re vonakozó megoldás: Így: A probléma megoldása n-re összegzés után: A peremfeltételeknek

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot. 3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól

Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól Ellipsis.tex, February 9, 01 Az ellipszis Az ellipszis leírása Az ellipszis szerkesztése és tulajdonságai Az ellipszis kanonikus egyenlete A kör vetülete ellipszis Az ellipszis polárkoordinátás egyenlete

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem

Széchenyi István Egyetem polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010 Tartalomjegyzék 15. Elliptikus egyenletek 7 15.1. Bevezetés: Elliptikus egyenletek alkalmazott feladatokban... 7 15.2. Elméleti háttér.......................... 9 15.3. Véges dierencia eljárások II...................

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Definíció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.

Definíció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény. 8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az

Részletesebben

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Szélsőérték-számítás

Szélsőérték-számítás Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Szárítás során kalakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Rajkó Róbert 1 Eszes Ferenc 2 Szabó Gábor 1 1 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszerpar Műveletek és Környezettechnka

Részletesebben

Függvénytani alapfogalmak

Függvénytani alapfogalmak Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

SCILAB programcsomag segítségével

SCILAB programcsomag segítségével Felhasználói függvények de niálása és függvények 3D ábrázolása SCILAB programcsomag segítségével 1. Felhasználói függvények de niálása A Scilab programcsomag rengeteg matematikai függvényt biztosít a számítások

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

Atomok és molekulák elektronszerkezete

Atomok és molekulák elektronszerkezete Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje? Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

92 MAM143A előadásjegyzet, 2008/2009. x = f(t,x). x = f(x), (6.1)

92 MAM143A előadásjegyzet, 2008/2009. x = f(t,x). x = f(x), (6.1) 9 MAM43A előadásjegyzet, 8/9 6. Stabilitáselmélet 6.. Autonóm nemlineáris rendszerek Legyen f : R R n R n. Ekkor az általános elsőrendű explicit nemlineáris differenciálegyenletrendszer alakja x = f(t,x.

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac Mikroökonómia szeminárium Bevezetés, a piac Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Tanszék 2011 szeptember 21. A témakör alapfogalmai Keresleti (kínálati) görbe - kereslet (kínálat) fogalma - kereslet

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Függvények szélsőérték vizsgálata

Függvények szélsőérték vizsgálata Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények szélsőérték vizsgálata BSc Szakdolgozat Készítette: Sághy Enikő Kata Matematika BSc, Matematikai elemző szakirány Témavezető: Gémes Margit

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben