Samu Viktória. A Helmholtz-egyenlet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Samu Viktória. A Helmholtz-egyenlet"

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Samu Viktória A Helmholtz-egyenlet BSc Szakdolgozat Témavezet : Dr. Tóth Árpád Analízis Tanszék Budapest, 2014

2 Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni témavezet mnek, Tóth Árpádnak az érdekes témát és a felfolgzása során nyújtott rengeteg segítséget. Köszönöm, hogy végig hitt bennem, és hogy segített leküzdeni a közös munkánk során felmerült akadályokat. Nélküle ez a szakdolgozat nem jöhetett volna létre. Köszönet illeti továbbá családomat és barátaimat az egyetemi évek alatt t lük kapott támogatásért, és tanáraimat, amiért megszerettették velem a matematikát. 2

3 Tartalomjegyzék Bevezetés 5 1. Egy dimenzióban: A rezg húr 7 2. A Laplace operátor polárkoordinátákban Els bizonyítás Második bizonyítás Két dimenzióban: A rezg dob A körszimmetrikus eset Általános eset Numerikus vizsgálat 26 Irodalomjegyzék 32 Függelék 33 3

4 Ábrák jegyzéke 1.1. A rezg húr A J 0 Bessel-függvény A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 01 és λ 02 esetén A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 03 és λ 04 esetén A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 05 esetén A J m Bessel-függvények m = 0, 1, 2, 3, 4 esetén A kör alakú dob rezgése egy x id pillanatban λ 11 és λ12 esetén A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 13 és λ14 esetén

5 Bevezetés Dolgozatom témája a Helmholtz-egyenlet, amely az alábbi parciális dierenciálegyenlet: f + k 2 f = 0, ahol a Laplace-operátor, f egy függvény, k pedig egy skalár. n-dimenziós Descartesféle koordinátarendszerben az egyenlet az alábbi alakban írható fel: n i=0 2 f x 2 i + k 2 f = 0 A Helmholtz-egyenletet sokszor használják olyan zikai problémák vizsgálatakor, ahol parciális dierenciálegyenletek fordulnak el. Az eredeti egyenleten alkalmazva a váltózók szétválasztásának módszrét olyan az id t l független egyenletet kapunk, amelynek alakja megegyezik a fentiével. Els ként egy egydimenziós problémát fogok vizsgálni, amellyel a hétköznapi életben sokszor találkozunk. A húr rezgését az egydimenziós hullámegyenlet írja le, ezen a problémán alapul sok hangszer, például a gitár, a heged és a zongora is. Ezután megnézem, hogy polárkoordinátákban a Laplace-operátor miért az alábbi alakban írható fel: f = 2 f r r f r + 1 r 2 2 f ϕ 2 A 3. fejezetben egy 2-dimenziós esettel, egy kör alakú lemez rezgéseivel, az ezeket leíró hullámegyenlettel és az id t l független Helmholtz-egyenlettel fogok foglalkozni. Részletsen meg fogom vizsgálni a körszimmetrikus megoldásokat és megnézem, mennyiben tér el ett l az általános eset. Ebben a fejezetben fogom használni a Laplace-operátor polárkoordinátás alakját, hiszen ekkor a Helmholtz-egyenlet a következ képpen fog kinézni: 5

6 2 fr, ϕ) + 1 r 2 r frϕ) + 1 r r 2 fr, ϕ) + λ 2 fr, ϕ) = 0 2 ϕ 2 A 4. fejezetben a MATLAB segítségével fogom megkeresni a rezg dob problémájának konkrét megoldásait és ezek közül néhányat ábrázolni is fogok. 6

7 1. fejezet Egy dimenzióban: A rezg húr 1.1. ábra. A rezg húr A regz húr mozgását hullámegyenlet írja le. Jelölje ux, t) a húr x-tengelyt l való távolságát x helyen és t id pillanatban, a húr hossza pedig legyen l. Tudjuk, hogy a húr két vége le van rögzítve a vízszintes tengely magasságában, és meg van adva a t = 0 id pillanatban a húr helyzete fx)) és sebessége gx)). Ekkor tehát a következ egyenlet megoldását keressük: 2 ux, t) = c 2 2 ux, t) 1.1) t 2 x 2 minden 0 < x < l és minden t > 0 esetén, ahol teljesülnek az alábbi peremfeltételek: és az alábbi kezdeti feltételek: u0, t) = ul, t) = 0, 1.2) ux, 0) = fx), 1.3) u x, 0) = gx). 1.4) t 7

8 El ször is tegyük fel, hogy ux, t) el áll Xx) T t) alakban, azaz szétválasztható változójú. Ekkor 2 ux,t) t 2 = Xx) T t) és 2 ux,t) x 2 = X x) T t), tehát az egyenletünk: Ebb l az alábbi egyenletet kapjuk: Xx) T t) = c 2 X x) T t). X x) Xx) = 1 c 2 T t) T t). 1.5) 1.5)-ben a bal oldal független t-t l, a jobb oldal pedig független x-t l. Ez akkor és csak akkor lehetséges, ha mindkét oldal ugyanazzal konstanssal egyenl. Jelöljük ezt a konstanst σ-val. Ekkor X x) Xx) = σ = 1 T t) -b l az alábbi két egyenletet kapjuk: c 2 T t) X x) σ Xx) = 0 1.6) T t) σ c 2 T t) = ) 1.6) megoldása Xx) = a cos σ x) + b sin σ x), 1.7) megoldása pedig T t) = α cos σ c t) + β sin σ c t) alakú, ahol a, b, α, β C tetsz leges. Ezt a következ állításban látjuk be Állítás. Az y t) + c 2 yt) = 0 c R) egyenlet megoldásai a cosc t) + b sinc t) alakúak, ahol a, b C tetsz leges. Bizonyítás. Írjuk fel a deriváltakat: y t) = a sinc t) c) + b cosc t) c = ac sinct) + bc cosct) y t) = ac cosct) c + bc sinct) c) = a c 2 cosct) b c 2 sinct) = = c 2 a cosct) + b sinct)) = c 2 yt) Ebb l megkapjuk, hogy y t) + c 2 yt) = 0, tehát yt) valóban megoldás. A megoldást a következ képpen kaptuk meg: Másodrend dierenciálegyenleteket visszavezethetünk az els rend esetre az x 1 := y, x 2 := y helyettesítéssel. Ekkor teljesülnek a következ k: x 1 = x 2 és x 2 = c 2 x 1. 8

9 Ekkor az ) x t) = A xt) els rend lineáris dierenciálegyenletet kapjuk, ahol A = 0 1. c 2 0 Ennek a megoldása: xt) = e At r, ahol r R 2 tetsz leges. e At -t a Hermite-féle interpolációs polinom segítségével számoljuk ki. λ 1 c 2 λ = λ2 + c 2, ebb l λ 1 = c i, λ 2 = c i. Mivel a minimálpolinom foka 2, az interpolációs polinom p t z) = a t z + b t alakú lesz. Ebb l kapjuk majd meg e At -t, ugyanis p t A) = e At. Tudjuk: p t ci) = e ci t = a t ci + b t és p t ci) = e ci t = a t ci) + b t. Ebb l e ci t a t ci = e ci t + a t ci e c it e c it = 2 a t ci e c it e c it = a t, azaz c 2i 1 c sinct) = a t. b t ebb l kifejezhet : b t = e ci t ec it e c it 2 ci ci = 2ec it e c it + e c it 2 = ec it + e c it 2 = cosct) p t tehát: p t z) = sinct) z + cosct). Mivel e At = p c t A) = a t A + b t I, ) ) e At = sinct) cosct) = c c ) ) ) sinct) 0 c cosct) 0 cosct) sinct) c + = c sinct) 0 0 cosct) c sinct) cosct) xt) = e At r r R 2 ), tehát xt) = cosct) sinct) c c sinct) cosct) Nekünk yt) kell, és mivel y = x 1, ezért yt) = r 1 cosct) + r 2 1 c sinct). ) cosct) r1 r 2 sinct) c ). ) r1 r 2 ) = 9

10 Mivel r 1, r 2 tetsz leges, a megoldás a következ alakban írható fel: yt) = a cosct) + b sinct), ahol a, b C tetsz leges. Ezzel pont az állításban szerepl megoldást kaptuk. A rezg húr problémájánál kapott egyenletek megoldása tehát: Xx) = a cos σ x) + b sin σ x) és T t) = α 0 cos σ c t) + β 0 sin σ c t). A következ lépésben azt nézzük meg, mikor teljesülnek a peremfeltételek. X0) = 0 a cos0) + b sin0) = 0 a = 0 a = 0 Xx) = b sin σ x), Azaz: Xl) = 0 b sin σ l) = 0 σ l = k π k Z) σ = kπ l ux, t) = Xx)T t) = b sin kπ x) α 0 cos ckπ t) + β 0 sin ckπ l l l = sin kπ x) α cos ckπ t) + β sin ckπ ) t). l l l Mivel b, α, β C tetsz leges, ezért α, β C is az. ) t) = 1.1) linearitása miatt a sin kπ x) α cos ckπ l l bármely lineáris kombinációja is megoldás, tehát: ux, t) = sin kπ l k=1 t) + β sin ckπ l x) α k cos ckπ t) + β k sin ckπ ) t) l l Most vizsgáljuk meg a kezdeti feltételeket. 1.3) szerint: fx) = ux, 0) = α k sin kπ l Mivel ux, t) = t k=1 sin kπ x) α l k sin ckπ t) ckπ + β l l k cos ckπ l 1.4) szerint: k=1 gx) = u t x, 0) = β k ckπ l k=1 sin kπ l t) ) alakú megoldások x). 1.8). ) t) ckπ l, ezért x). 1.9) Tudjuk, hogy minden kell en sima hx) függvény a [0, l] intervallumon Fourier-sorba fejthet a következ módon: 10

11 hx) = b k sin kπ x), l k=1 ahol a b k együtthatókat az alábbi formula adja meg: b k = 2 l l 0 hx) sin kπ l x)dx. Ez alapján 1.8)-ban és 1.9)-ben az α k és β k együtthatók a következ képpen alakulnak: β k ckπ l α k = 2 l = 2 l l 0 l 0 fx) sin kπ l gx) sin kπ l x)dx, x)dx. Ezzel tehát megkaptuk az egydimenziós hullámegyenlet 1.1) megoldását: ux, t) = ahol: α k = 2 l sin kπ l k=1 l β k = 2 ckπ 0 l fx) sin kπ l 0 gx) sin kπ l x) α k cos ckπ t) + β k sin ckπ ) t) l l x)dx, x)dx., 11

12 2. fejezet A Laplace operátor polárkoordinátákban A kör alakú dob rezgésének vizsgálatához szükségünk lesz a Laplace-operátor polárkoordinátákban felírt alakjára Els bizonyítás 2.1. Deníció. A Laplace-operátor kétváltozós függvény esetén Descartes-féle koordináta-rendszerben: f = 2 f x f y Állítás. A Laplace-operátor alakja polárkoordinátákban: f = 2 f r r f r + 1 r 2 2 f ϕ 2. Bizonyítás. Helyettesítsünk polárkoordinátákkal: x := r cos ϕ, y := r sin ϕ. Ekkor f x, y) = f r cos ϕ, r sin ϕ). Az els paricális deriváltak kiszámításához a következ ket fogjuk felhasználni: r x = ) x2 + y x 2 = 1 2 x 2 + y 2) 12 2x = x r r y = ) x2 + y y 2 = 1 2 x 2 + y 2) 12 2y = y r = cos ϕ, = sin ϕ, 12

13 y x = r sin ϕ r cos ϕ = tan ϕ ϕ = arctan y x, ϕ x = y arctan = x x)) ) y 2 x y x 2 ) = 1 x 2 +y 2 x 2 y x = x2 2 x 2 + y y 2 x 2 = x2 r y 2 x = y sin ϕ = r 2 r2 r 2 ϕ y = y arctan = y x)) Az els paricális deriváltak ezek alapján: = sin ϕ, r ) y 2 1 x = x2 r 1 2 x = x r = r cos ϕ 2 r 2 x = cos ϕ. r f x = f r r x + f ϕ ϕ x f = cos ϕ r sin ϕ f r ϕ =: G, f y = f r r y + f ϕ ϕ y f = sin ϕ r + cos ϕ f r ϕ =: H, f r = f x, y) r = f x x r + f y y r f f = cos ϕ + sin ϕ x y, f ϕ = f x, y) ϕ = f x x ϕ + f y y ϕ = f x f r cos ϕ) + ϕ y r sin ϕ) ϕ = r sin ϕ f f + r cos ϕ x y. A második parciális deriváltakat G és H függvények segítségével számoljuk ki: 2 f x = G 2 x G = cos ϕ r sin ϕ G r ϕ, 2 f y = H 2 x H = sin ϕ r + cos ϕ H r ϕ, 13

14 f = 2 f x + 2 f G = cos ϕ 2 y2 r G és H függvények parciális deriváltjai: H + sin ϕ r + 1 cos ϕ H r ϕ ) G sin ϕ. ϕ G r = cos ϕ f r r sin ϕ f ) = cos ϕ f ) sin ϕ f ) = cos ϕ r ϕ r r r r ϕ 2 f sin ϕ r f 2 r 2 ϕ + sin ϕ r ) 2 f = cos ϕ 2 f ϕ r r sin ϕ 2 r G ϕ = cos ϕ f ϕ r sin ϕ f ) = cos ϕ f ) sin ϕ f ) r ϕ ϕ r ϕ r ϕ = sin ϕ f ) r + cos ϕ 2 f cos ϕ f r ϕ r ϕ + sin ϕ ) 2 f r ϕ 2 2 f ϕ r + sin ϕ f r 2 ϕ, = cos ϕ 2 f f sin ϕ r ϕ r cos ϕ f r ϕ sin ϕ 2 f r ϕ, 2 H r = sin ϕ f r r + cos ϕ f ) = sin ϕ f ) + cos ϕ f ) = sin ϕ r ϕ r r r r ϕ 2 f cos ϕ r + f 2 r 2 ϕ + cos ϕ r ) 2 f = sin ϕ 2 f ϕ r r cos ϕ f 2 r 2 ϕ + cos ϕ r 2 f ϕ r, H ϕ = sin ϕ f ϕ r + cos ϕ f ) = sin ϕ f ) + cos ϕ f ) r ϕ ϕ r ϕ r ϕ = cos ϕ f ) r + sin ϕ 2 f sin ϕ + f r ϕ r ϕ + cos ϕ ) 2 r ϕ 2 = cos ϕ f r + sin ϕ 2 f r ϕ sin ϕ f r ϕ + cos ϕ 2 r ϕ. 2 14

15 Ezek alapján már megadható f: f = 2 f x + 2 f G = cos ϕ 2 y2 r = cos 2 ϕ 2 f cos ϕ sin ϕ r2 r r + 1 r + sin ϕ H r + 1 r cos ϕ H ϕ 2 f cos ϕ sin ϕ + f ) ϕ r r 2 ϕ sin 2 ϕ 2 f sin ϕ cos ϕ f sin ϕ cos ϕ r2 r 2 ϕ r ) G sin ϕ ϕ ) 2 f ϕ r cos 2 ϕ f r + cos ϕ sin ϕ 2 f cos ϕ sin ϕ f ) r ϕ r ϕ + cos2 ϕ 2 f r ϕ 2 2 f sin ϕ cos ϕ r ϕ + sin2 ϕ f r + sin ϕ cos ϕ r f ) ϕ + sin2 ϕ 2 f r ϕ 2 = cos 2 ϕ sin 2 ϕ ) 2 f r + 1 cos 2 r 2 ϕ sin 2 ϕ ) f ) r + cos2 ϕ sin 2 ϕ 2 f r ϕ 2 = 2 f r r f r + 1 r 2 2 f ϕ 2. Ezzel pont az állításban szerepl képletet kaptuk. 15

16 2.2. Második bizonyítás 2.3. Állítás. A Laplace-operátor alakja polárkoordinátákban: f = 2 f r r f r + 1 r 2 2 f ϕ 2. Bizonyítás. A bizonyítás alapötlete az, hogy f = divgradf)), ahol divf x, y)) = F 1 x + F 2 y és gradfx, y)) = f x f y ). Használjuk a divergencia és a gradiens polárkoordinátás alakját: divf ) = 1 r r r F 1) + 1 r ϕ F 2), gradf) = f r f r ϕ ). Ekkor: divgradf)) = 1 r r f ) + 1 ) r r r f = ϕ r ϕ = 1 r r r f ) r + r 2 f + 1 r 2 r 2 f 2 ϕ = 2 = 1 r f r + 2 f r r 2 2 f ϕ 2. Ez pedig pont az állításban szerepl képlet. 16

17 3. fejezet Két dimenzióban: A rezg dob Tekintsünk egy olyan kör alakú membránt, amely nyugalmi helyzetben egy origó középpontú, a sugarú körlappal írható le, és a határain le van lerögzítve. Jelölje ux, y, t) az x, y) pontnak az xy síktól való távolságát t id pillanatban. Ekkor a membrán a dobb r) rezgéseit a kétdimenziós hullámegyenlet írja le: ) 2 ux, y, t) = c 2 2 ux, y, t) + 2 ux, y, t), 3.1) t 2 x 2 y 2 ahol t > 0 és x 2 +y 2 < a, valamint teljesül a peremfeltétel: ux, y, t) = 0 ha x 2 +y 2 = a. Mivel kör alakú membránt vizsgálunk, érdemes polárkoordinátákat használni. Legyen tehát x = r cos ϕ és y = r sin ϕ. Az egyenlet jobb oldalán c 2 u van, az el z fejezetben pedig már láttuk, hogy a Laplace-operátor hogy írható át polárkoordinátákba. A következ egyenletet kapjuk tehát: 2 ur, ϕ, t) 1 = c 2 ur, ϕ, t) + 2 ur, ϕ, t) + 1 ) t 2 r r r 2 r 2 ur, ϕ, t), 3.2) 2 ϕ 2 minden 0 < r < a, minden 0 ϕ 2π és minden 0 < t esetén, az alábbi peremfeltételekkel: ua, ϕ, t) = 0 ha 0 ϕ 2π 3.3) ur, 0, t) = ur, 2π, t) ha 0 r a és 0 t 3.4) ϕ ur, 0, t) = ϕ ur, 2π, t) ha 0 r a és 0 t 3.5) 17

18 és az alábbi kezdeti feltételekkel: ur, ϕ, 0) = fr, ϕ) ha 0 r a és 0 ϕ 2π 3.6) t ur, ϕ, 0) = gr, ϕ) ha 0 r a és 0 ϕ 2π 3.7) Itt fr, ϕ) jelöli a kezdeti alakot és gr, ϕ) jelöli a kezdeti sebességet. Két különböz esetet fogok a kés bbiekben vizsgálni. Els ként azt speciális esetet nézem meg részletesen, amikor ur, ϕ, t) körszimmetrikus, ekkor u független lesz ϕ-t l. Ezután megnézem, hogyan változnak a megoldások, ha u-ról nem teszem fel, hogy körszimmetrikus. Mindkét esetben egységsugarú membránnal fogok dolgozni. 18

19 3.1. A körszimmetrikus eset Nézzük meg tehát, hogyan lehetnek az egységsugarú membrán rezgései körszimmetrikusak. Ekkor u független ϕ-t l, tehát a 3.2) egyenlet leegyszer södik a következ képpen: ) 2 ur, t) 1 = c 2 ur, t) + 2 ur, t) t 2 r r r 2 A perem- és kezdeti feltételek pedig az alábbiak lesznek: 3.8) u1, t) = 0 3.9) ur, 0) = fr) ha 0 r ) t ur, 0) = gr) ha 0 r ) Alkalmazzuk a változók szétválasztásának módszerét, azaz tegyük fel, hogy ur, t) el áll Rr) T t) alakban. Ekkor a parciális derváltak a következ képpen írhatók fel: t ur, t) = t Rr) T t)) = Rr) T t) 2 t ur, t) = Rr) T t) r ur, t) = r Rr) T t)) = R r) T t) 2 r ur, t) = R r) T t) Ekkor az egyenlet az alábbi formába írható: Rr) T t) = c 2 R r) T t) + 1 ) r R r) T t) 3.12) Osszuk az egyenlet mindkét oldalát c 2 Rr) T t)-vel. Ekkor: 1 c T t) 2 T t) = 1 Rr) R r) + 1 ) r R r) A kapott egyenlet bal oldala csak t-t l, jobb oldala csak r-t l függ, ami csak akkor lehetséges, ha mindkét oldal egy k konstanssal egyenl. Ebb l az alábbi két egyenletet kapjuk: k = 1 c T t) 2 T t) k = 1 Rr) R r) + 1 ) r R r) 3.13) 3.14) 19

20 A 3.13) egyenletet átírhatjuk T t) = kc 2 T t) alakba. Ennek a megoldásai k > 0 esetén exponenciálisan n nek vagy csökkennek, k = 0 esetén lineárisak, k < 0 esetén periodikusak. Fizikailag elvárható, hogy a rezg dob problémájára adott megoldás id ben periodikus legyen, ezért csak a harmadik esetet fogjuk nézni, amikor k = λ 2 alakú. Ekkor az egyenlet T t) + λ 2 c 2 T t) = 0 alakú, aminek pedig az 1.1) tétel alapján ismerjük a megoldásait: T t) = a cosλc t) + b sinλc t) 3.15) A 3.14) egyenletet rendezzük a következ képpen k = λ 2 felhasználásával: 1 Rr) R r) + 1 ) r R r) = λ 2 R r) + 1 r R r) = λ 2 Rr) R r) + 1 r R r) + λ 2 Rr) = 0 r R r) + R r) + λ 2 r Rr) = 0 Keressük ennek az egyenletnek a megoldását hatványsor alakban, azaz tegyük fel, hogy Rr) = c m r m, m=0 ahol a c m -ekre szeretnénk egy rekurziót megadni. Ekkor a deriváltak a kövtkez képpen néznek ki: R r) = c m mr m 1 = c 1 + c n+2 n + 2)r n+1 R r) = m=1 n=0 c m mm 1)r m 2 = m=2 n=0 c n+2 n + 2)n + 1)r n m=n+1 helyettesítéssel m=n+2 helyettesítéssel Ebb l az egyenlet az alábbi módon írható fel: rr r) + R r) + λ 2 rrr) = c n+2 n + 2)n + 1)r n+1 + c 1 + c n+2 n + 2)r n+1 + λ 2 n=0 n=0 n=0 c n r n+1 = ) = c 1 + n + 2) 2 c n+2 + λ 2 c n r n+1 = 0 n=0 20

21 Válasszuk c 1 -et 0-nak. Ekkor: n + 2) 2 c n+2 + λ 2 c n = 0 n, azaz c n+2 = λ2 n + 2) 2 c n Válasszuk c 0 -t 1-nek. Ekkor c n -ek a következ képpen alakulnak: A megoldás tehát: Rr) = c 0 = 1 c 1 = 0 c 2 = λ2 2 2 c 3 = 0 c 4 = λ2 4 2 c 2 = λ c 2k = 1)k λ 2k k!) 2 4 k c 2k+1 = 0 c m r m = m=0 m=0 1) m m!) 2 4 m λr)2m, ami pontosan a J 0 λr) els fajú Bessel-függyvénnyel egyenl. A 3.9) peremfeltétel szerint u1, t) = 0, ami akkor teljesül, ha R1) = 0. Ez a következ t jelenti: R1) = J 0 λ) = 0, tehát λ lehetséges értékei pontosan a Bessel-függvény gyökei lesznek. Ha egység helyett a sugárt néznénk, akkor a gyökök 1 -szorosa lenne jó. a A J 0 Bessel-függvénynek végtelen sok pozitív gyöke van, jelölje az n-edik gyököt a λ 0n, ekkor 0 < λ 01 < λ 02 <... A 3.14) egyenlet peremfeltételnek eleget tév megoldásai tehát: Rr) = J 0 λ 0n r) n = 1, 2, ) 21

22 A 3.8) egyenletnek megoldásai tehát: ur, t) = Rr) T t) = a cosλ 0n c t) + b sinλ 0n c t) J 0 λ 0n r) n = 1, 2,..., ahol λ 0n a J 0 Bessel-függvény n-edik pozitív gyökét jelöli. 22

23 3.2. Általános eset Ha ur, ϕ, t)-r l nem tesszük fel, hogy körszimmetrikus, a 3.2) egyenlettel és a 3.3) - 3.7) perem- és kezdeti feltételekkel dolgozunk, annyi változással, hogy most egységnyi a sugár. Keressük a megoldást ur, ϕ, t) = Rr) Φϕ) T t) alakban. Ekkor a deriváltak a következ k: t 2 ur, ϕ, t) = Rr) Φϕ) T t) r ur, ϕ, t) = R r) Φϕ) T t) r 2 ur, ϕ, t) = R r) Φϕ) T t) ϕur, 2 ϕ, t) = Rr) Φ ϕ) T t) A 3.2) egyenlet pedig a következ képpen fog kinézni: Rr) Φϕ) T t) = c 2 1 r R r) Φϕ) T t) + R r) Φϕ) T t) + 1 ) r Rr) 2 Φ ϕ) T t) Osszuk az egyenlet mindkét oldalát c 2 Rr) Φϕ) T t)-vel: 1 c T t) 2 T t) = 1 r R r) Rr) + R r) Rr) + 1 r Φ ϕ) 2 Φϕ) 3.17) A 3.17) egyenlet bal oldala csak t-t l függ, a jobb oldala azonban független t-t l. Ez csak akkor lehetséges, ha az egyenlet mindkét oldala egy l konstanssal egyenl. Ebb l az alábbi két egyenletet kapjuk: l = 1 c 2 T t) T t) l = 1 r R r) Rr) + R r) Rr) + 1 r Φ ϕ) 2 Φϕ) 3.18) 3.19) Néézük el ször a 3.18) egyenletet: T t) = l c 2 T t) T t) lc 2 T t) = 0 23

24 Már korábban láttuk, hogy a fenti egyenletnek csak azok a megoldásai jók, ahol l < 0. Legyen tehát l = λ 2. Ekkor az egyenlet T t) + λ 2 c 2 T t) = 0 alakú, ennek pedig 1.1) állítás szerint tudjuk a megoldásait: T t) = A cosλc t) + B sinλc t) 3.20) Most nézzük 3.19)-at és használjuk fel, hogy l = λ 2 : λ 2 = 1 r R r) Rr) + R r) Rr) + 1 r Φ ϕ) 2 Φϕ) λ 2 r 2 = r R r) Rr) + r2 R r) Rr) + Φ ϕ) Φϕ) Φ ϕ) Φϕ) = r R r) Rr) + r2 R r) Rr) + λ2 r 2 A fenti egyenlet bal oldala csak ϕ-t l, jobb oldala csak r-t l függ, ez pedig csak akkor lehet, ha mindkét oldal egy k konstanssal egyenl : 3.21)-at nézzük el ször: k = Φ ϕ) Φϕ) 3.21) k = r R r) Rr) + r2 R r) Rr) + λ2 r ) Φ ϕ) = k Φϕ) Φ ϕ) + k Φϕ) = 0 Ennek az egyenletnek csak azok a megoldásai periodikusak, ahol k > 0, nekünk pedig csak a periodikus megoldások jók csak. Legyen ezért k = m 2. Ekkor 1.1) állítás alapján a megoldásai: Φϕ) = C cosm ϕ) + D sinm ϕ) 3.23) Most nézzük 3.22)-et és használjuk fel, hoogy k = m 2 : r R r) Rr) + r2 R r) Rr) + λ2 r 2 = m 2 r R r) Rr) + r2 R r) Rr) = m2 λ 2 r 2 r 2 R r) + r Rr) = m 2 λ 2 r 2 )Rr) 24

25 A következ egyenletet kapjuk tehát: r 2 R r) + r Rr) + λ 2 r 2 m 2 )Rr) = ) Ennek a körszimmetrikus esethez hasonlóan egy Bessel-függvény lesz a megoldása: Rr) = J m λr). A peremfeltételek miatt: R1) = J m λ 1) = 0, tehát λ lehetséges értékei éppen a J m Bessel-függvény gyökei lesznek. Jelöljük ezeket λ mn -nel, ha n = 1, 2,... A 3.24) egyenlet megoldásai tehát: Rr) = J m λ mn r) m = 0, 1, 2,..., n = 1, 2, ) Azt kaptuk tehát, hogy a 3.2) egyenlet megoldásai 3.20), 3.23) és 3.25) alapján: ur, ϕ, t) = Rr) Φϕ) T t) = A cosλ mn ct)+b sinλ mn ct)) C cosmϕ)+d sinmϕ)) J m λ mn r), jelöli. ahol m = 0, 1, 2,..., n = 1, 2,... és λ mn a J m Bessel-függvény n-edik pozitív gyökét 25

26 4. fejezet Numerikus vizsgálat Az el z fejezetben láttuk, hogy a rezg dob problémájának megoldásában szerepelnek a Bessel-függvények. Az alábbi ábrán a körszimmetrikus esetben kapott J 0 Bessel-függvény látható: 4.1. ábra. A J 0 Bessel-függvény Az ábrán is látszik, hogy J 0 gyökeinél a függvény el jelet vált, ezért érdemes megnézni, hogy hol vannak ezek az el jelváltások. A MATLAB segítségével ezeket az alábbi módon 1 tizedesjegy pontossággal tudjuk megbecsülni a [0, 15] intervallumon: x=0:0.1:15; y=besselj0,x); yy>0)=1; 26

27 yy<0)=0; finddiffy)~=0)*0.1 ans = A gyököket tehát a kapott értékek közelében kell keresnünk. Ezt a következ képpen tehetjük meg: format long lambda=zeros1,5); lambda1)=fzerof,2.5); lambda2)=fzerof,5.6); lambda3)=fzerof,8.7); lambda4)=fzerof,11.8); lambda5)=fzerof,15) lambda = A 2. sorban szerepl format long parancs miatt a kapott eredmény 15 tizedesjegy pontossággal közelíti meg J 0 gyökeit. 27

28 Ha a a J 0 Bessel-függvény valamelyik gyökét jelöli, akkor a körszimmetrikus eset megoldásait egy x t id pillanatban a következ képpen lehet ábrázolni: r=0:0.01:1; n=lengthr); phi=linspace0,2*pi,n); z = fa*r)'*ones1,n); y = a*r'*sinphi); x = a*r'*cosphi); surfx,y,z) Az els 5 gyök esetében az alábbi ábrákat kapjuk: 4.2. ábra. A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 01 és λ 02 esetén 4.3. ábra. A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 03 és λ 04 esetén 28

29 4.4. ábra. A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 05 esetén Az általánosabb esetben a J m Bessel-függvényt kaptuk a megoldás részeként, ahol m = 0, 1, 2,.... Az alábbi ábrán az m = 0, 1, 2, 3, 4 eset látható: 4.5. ábra. A J m Bessel-függvények m = 0, 1, 2, 3, 4 esetén Vizsgáljuk most a J 1 Bessel-függvényt. A gyököket a J 0 -nál látott módszerhez hasonlóan fogjuk megkeresni, azzal a különbséggel, hogy mivel J 1 0) = 0, az el jelváltásoknál 0.1-t l fogjuk indítani a keresést: x=0.1:0.1:15; y=besselj1,x); yy>0)=1; 29

30 yy<0)=0; finddiffy)~=0)*0.1 ans = Keressük a gyököket ezek az értékek közelében: format long lambda=zeros1,4); lambda1)=fzerof,3.8); lambda2)=fzerof,7); lambda3)=fzerof,10.1); lambda4)=fzerof,13.3) lambda = Ha a a J 1 Bessel-függvény valamelyik gyökét jelöli, akkor a megoldást egy x t id pillanatban a következ képpen lehet ábrázolni: r=0:0.01:1; n=lengthr); phi=linspace0,2*pi,n); z =fa*r)'*cosphi); y = a*r'*sinphi); x = a*r'*cosphi); surfx,y,z) 30

31 Az els 4 gyök esetében az alábbi ábrákat kapjuk: 4.6. ábra. A kör alakú dob rezgése egy x id pillanatban λ 11 és λ12 esetén 4.7. ábra. A körszimmetrikus rezgés egy x id pillanatban λ 13 és λ14 esetén 31

32 Irodalomjegyzék [1] Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press [2] Stanley J. Farlow: An Introduction To Dierential Equations And Their Applications [3] Wikipedia - Vibrations of a circular membrane 32

33 Függelék Bessel-függvények A Bessel-függvények deníció szerint az alábbi, ún. Bessel dierenciálegyenlet megoldásai: x 2 2 y x 2 + x y x + x2 m 2 ) = 0 Mivel ez egy másodrend dierenciálegyenlet, két lineárisan független megoldása kell, hogy legyen. Ha m egész, akkor a két független megoldást J m -mel és Y m -mel szokás jelölni, ahol J m -et els fajú, Y m -et másodfajú Bessel-függvénynek hívjuk. J m az a megoldás, amelyik a 0-ban véges, míg Y m -nek 0-ban szingularitása van. Mivel nekünk a feladatban csak olyan függvények voltak jók, amelyek 0-ban végesek, a megoldásokban csak J m szerepel. Ha a Bessel dierenciálegyenlet megoldásait hatványsor alakban keressük a Frobeniusmódszerrel[2], azaz y = x α a n x n, akkor látni fogjuk, hogy α = m és a n -re a következ rekurziót kapjuk: Ebb l kapjuk meg J m Taylor-sorát: J m x) = n=0 1 a n = n2m + n) a n 2. n=0 1) n x ) 2n+m n!m + n)!, 2 és ezt a Taylor-sor alakot használtuk a rezg dob problémájának megoldásához. 33

34 A feladat szempontjából létfontosságú továbbá, hogy J m aszimptotikusan az alábbi függvénnyel egyenl : J m z) 2 πz cos z mπ 2 π ) 4. 34

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék,   Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20 Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális

Részletesebben

Parciális dierenciálegyenletek

Parciális dierenciálegyenletek Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0, Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

ANALÍZIS II. Példatár

ANALÍZIS II. Példatár ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

A hullámegyenlet megoldása magasabb dimenziókban

A hullámegyenlet megoldása magasabb dimenziókban A hullámegyenlet megoldása magasabb dimenziókban Orbán Ágnes Fábián Gábor Kolozsi Zoltán 2009. október 29. A hullámegyenlet Hullámegyenletnek nevezzük a következ lineáris parciális dierenciálegyenletet:

Részletesebben

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1 numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú

Részletesebben

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)

Részletesebben

Analízis III. gyakorlat október

Analízis III. gyakorlat október Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

Tizenegyedik gyakorlat: Parciális dierenciálegyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc

Tizenegyedik gyakorlat: Parciális dierenciálegyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc Tizenegyedi gyaorlat: Parciális dierenciálegyenlete Dierenciálegyenlete, Földtudomány és Környezettan BSc A parciális dierenciálegyenlete elmélete még a özönséges egyenleteénél is jóval tágabb, így a félévben

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22 Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t

Részletesebben

Bevezetés a görbe vonalú geometriába

Bevezetés a görbe vonalú geometriába Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)

1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás) Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1 Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,

Részletesebben

Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31

Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31 Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen

Részletesebben

Fourier sorok február 19.

Fourier sorok február 19. Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Differenciálegyenletek december 13.

Differenciálegyenletek december 13. Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

Hajder Levente 2017/2018. II. félév

Hajder Levente 2017/2018. II. félév Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer

Részletesebben

Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén

Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert

Részletesebben

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:

Részletesebben

Statikailag határozatlan tartó vizsgálata

Statikailag határozatlan tartó vizsgálata Statikailag határozatlan tartó vizsgálata Készítette: Hénap Gábor henapg@mm.bme.hu E E P MT A y F D E E d B MT p C x a b c Adatok: a = m, p = 1 N, b = 3 m, F = 5 N, c = 4 m, d = 5 mm. m A kés bbikekben

Részletesebben

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.

Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten KOMPLEX SZÁMOK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Történeti bevezetés

Részletesebben

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Analízis III Parciális differenciálegyenletek

Analízis III Parciális differenciálegyenletek Analízis III Parciális differenciálegyenletek Lineáris, másodrendű PDE-k 2012. január 20. 1. Bevezető A parciális differemciálegyenlet egy olyan összefüggés, ahol az ismeretlen egy többváltozós valós függvény.

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

Numerikus Matematika

Numerikus Matematika Numerikus Matematika Baran Ágnes Gyakorlat Interpoláció Baran Ágnes Numerikus Matematika 6.-7. Gyakorlat 1 / 40 Lagrange-interpoláció Példa Határozzuk meg a ( 2, 5), ( 1, 3), (0, 1), (2, 15) pontokra illeszkedő

Részletesebben

MATEK-INFO UBB verseny április 6.

MATEK-INFO UBB verseny április 6. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós

Részletesebben

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 2. (b) Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25. A változók szétválasztásának módszere (5) 1 Az Y(t)-re vonakozó megoldás: Így: A probléma megoldása n-re összegzés után: A peremfeltételeknek

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)

6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris

Részletesebben

Végeselem modellezés alapjai 1. óra

Végeselem modellezés alapjai 1. óra Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma

Részletesebben

Kalkulus II., harmadik házi feladat

Kalkulus II., harmadik házi feladat Név: Neptun: Web: http://mawell.sze.hu/~ungert Kalkulus II., harmadik házi feladat.,5 pont) Határozzuk meg a következ határértékeket: ahol a) A =, ), b) A =, ), c) A =, ).,) A Az egszer bb kezelhet ség

Részletesebben

Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban

Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban Dr. Horváth Péter, BME HVT 06. október 4.. feladat Számítuk ki a DI rendszer válaszát, ha adott a gerjesztés és az impulzusválasz! u[k = 0,6 k ε[k;

Részletesebben

differenciálegyenletek

differenciálegyenletek Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás 5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )

Részletesebben

Végeselem analízis. 1. el adás

Végeselem analízis. 1. el adás Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)

Részletesebben

Differenciaegyenletek

Differenciaegyenletek Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11

Részletesebben

Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel

Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)

Részletesebben

rank(a) == rank([a b])

rank(a) == rank([a b]) Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a Matlabban Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Matlabban igen egyszer en oldhatók meg. Legyen A az egyenletrendszer m-szer n-es együtthatómátrixa, és

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Polinomok maradékos osztása

Polinomok maradékos osztása 14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4. Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:

Részletesebben

A PiFast program használata. Nagy Lajos

A PiFast program használata. Nagy Lajos A PiFast program használata Nagy Lajos Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Bináris kimenet létrehozása. 3 2.1. Beépített konstans esete.............................. 3 2.2. Felhasználói konstans esete............................

Részletesebben

Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához

Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al

Részletesebben

3. Fékezett ingamozgás

3. Fékezett ingamozgás 3. Fékezett ingamozgás A valóságban mindig jelen van valamilyen csillapítás. A gázban vagy folyadékban való mozgásnál, kis sebesség esetén a csillapítás arányos a sebességgel. Ha az vagy az ''+k sin =0,

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)

Részletesebben

Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele

Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele Markó Zoltán 11C Húrnégyszögek Definíció: Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amely köré kör írható Vagyis az olyan konvex négyszögek, amelyeknek oldalai egyben

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben