Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Távcsövek és kozmológia Megoldások

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Távcsövek és kozmológia Megoldások"

Éva Kocsis
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Távcsövek és kozmológia Megoldások Bécsy Bence, Dálya Gergely 1. Bemelegítő feladatok B1. feladat A nagyítást az objektív és az okulár fókusztávolságának hányadosaként kapjuk, így Zsombor és Bence távcsöveinek nagyításának az aránya: N Zs N B = f obj,zs f ok,zs fok,b f obj,b (1) ahol az okulárok fókusza kiesik, mert ugyanazt az okulárt használják. Ilyenkor a nagyítások aránya tehát egyszerűen az objektívek fókusztávolságainak aránya, vagyis N Zs N B = 1, 5 (2) A fényerőt úgy kapjuk, ha az objektív fókuszát elosztjuk az átmérővel, vagyis: fényerő = f obj D így Bence távcsövének fényereje 11,8, Zsomborénak pedig 7. (3) B2. feladat Vegyük a pupilla átmérőjét 0,5 cm-nek, a teliholdét pedig 0,5 -nak! A távcső fókuszpontjában alkotott képméretet (B, cm-ben) a következő összefüggés adja meg: B = 0,0175 w f obj (4) ahol w az égitest mérete fokokban, f obj pedig a fókusz cm-ben. Átrendezve: f obj = B 0,0175 w = 57,14 cm (5) 1

2 B3. feladat Egy távcső szögfelbontását az alábbi képlet adja: Θ = 1,22 λ D, (6) ahol λ az alkalmazott hullámhossz és D a távcső átmérője. Mi azt szeretnénk, hogy Θ radio = Θ optikai legyen. Azaz: Innen átrendezve kapjuk, hogy: 1,22 21 cm D r = 1, nm 15 cm (7) D r = 63 km (8) Vegyük észre, hogy ez nagyon nagy távcsőméret. Ilyen nagyot még rádiótávcsövekkel sem lehet elérni, azonban az úgynevezett rádióinterferométeres technikával elérhető ezzel megegyező felbontás több egymástól távol lévő távcső együttes alkalmazásával. B4. feladat Az észlelt és laboratóriumi hullámhosszakból kiszámíthatjuk a z vöröseltolódást az azábbi képlettel: z = λ λ 0, (9) ahol λ az észlelt és laboratóriumi hullámhosszak különbsége, λ 0 pedig a laboratóriumi hullámhossz, jelen esetben 2799,1 Å. A hullámhosszkülönbség a megadott adatok alapján λ = 14,16 Å. Így a vöröseltolódásra z = 0,00506 adódik. Innen a z = v/c képlettel kiszámolhatjuk az M58 radiális sebességét, amire az alábbi értéket kapjuk: 1517,6 km s Innen a galaxis távolságát a Hubble-törvény alapján becsülhetjük meg, miszerint: (10) v = Hd, (11) ahol v a galaxis látóirányú sebessége, H = 67,8 km/s a Hubble állandó, d a galaxis távolsága. Mpc Innen a galaxis távolságára 22,4 Mpc adódik. Ezen távolság alapján a Virgo-halmaz jöhet szóba mint az M58 halmaza, mivel annak távolsága nagyjából 17 Mpc. És tényleg igaz, az M58 a Virgo-halmaz egyik legfényesebb galaxisa. 2

3 2. Nehezebb feladatok N1. feladat Vegyük a Hubble-állandót H = 70 km -nek! A Hubble-törvényt használva a galaxis távolsága: s Mpc d = v H = 9,29 Mpc = 9, pc (12) Ha a galaxis ilyen messze van, akkor nyilván a benne lévő cefeida is. Tudjuk továbbá a cefeida látszó fényességét, vagyis kiszámíthatjuk az abszolút fényességét: M = m+5 5lgd = 2,44 m (13) Innen pedig a periódus-fényesség reláció ismeretében megkaphatjuk a periódust napokban: M = 2,43(lgP 1) 4,05 (14) P = 10 M+4,05 2,43 +1 = 2,17 nap (15) N2. feladat A csillag a távcső látómezejéből a Föld forgása miatt fog kimenni. A tényleges látómező méretének (Θ) felét úgy kapjuk meg, ha az ehhez szükséges időt átszámítjuk fokokba. Azonban azt is figyelembe kell vennünk, hogy minél nagyobb deklinációjú egy csillag, annál lassabban mozog az égen. Ezért ezt még be kell szoroznunk a deklináció koszinuszával, azaz: Θ/2 = 4 perc 24 h 360 cosδ (16) Beírva a deklináció értékét és megszorozva mindkét oldalt kettővel megkapjuk, hogy a látómező mérete Θ = 1,976. Innen az N nagyítást megkaphatjuk az alábbi összefüggéssel: N = nevleges latomezo tenyleges latomezo = 50 = 25,302 (17) 1,976 Ismert továbbá az alábbi összefüggés a nagyítás, a távcső fókusztávolsága és az okulár fókusztávolsága között: N = f tavcso f okular (18) Ezt átrendezve az okulár fókusztávolságára az alábbi érték adódik: f okular = 39,52 (19) 3

4 N3. feladat Számítsuk ki először a Wien-törvényből, hogy milyen hullámhosszon legintenzívebb most a mikrohullámú háttérsugárzás! λ 0 T 0 = 2, mk λ 0 = 1, m (20) A kibocsátott és az észlelt hullámhossz közötti összefüggés a következő: z = λ = λ obs = λ 0 = λ 0 1 (21) ahol a kibocsátott sugárzás hullámhossza, λ obs pedig a megfigyelt hullámhossz. Tehát z = 8- nál: = λ 0 z +1 = 1, (22) A kibocsátott hullámhosszat beírva a Wien-törvénybe, megkaphatjuk annak a fekete testnek a hőmérsékletét, ami ilyen hullámhosszon sugároz legintenzívebben, ez pedig T = 24,58 K. 3. Diákolimpiai szintű feladatok D1. feladat A feladat szövege alapján ismerjük a G-Tejútrendszer és az F-Tejútrendszer távolságokat, továbbá a G-F-Tejútrendszer szöget, ahogy azt az 1. ábrán is láthatjuk: G x 3 Gpc T 1. ábra φ 2,5 Gpc F A hiányzó x távolságot koszinusztétellel számíthatjuk ki. Az ábra jelöléseit követve: 3 2 = x 2 +2,5 2 2 x 2,5 cosϕ (23) amelyet a következő másodfokú egyenletre rendezhetünk: x 2 2,083x 2,75 = 0 (24) 4

5 Ennek a pozitív gyöke 3, tehát a G galaxistól 3 Gpc távolságra van az F galaxis. A Hubbletörvényből meghatározhatjuk az F galaxisnak a G-től való távolodási sebességét: Hx = v = km s = 0,7 c (25) Ilyen nagy sebességnél a hullámhosszváltozás kiszámításához már a Doppler-effektus relativisztikus képletét kell használni: λ λ = 1+ v c 1 v 1 = 1,38 (26) c Így, a λ = 656, 28 nm-es Hα-vonal hullámhosszváltozása λ = 905, 98 nm, vagyis a G galaxisból szemlélve az F galaxis spektrumát, a vonal λ obs = 1562,26 nm-nél fog látszani. D2. feladat A feladat megoldásához elengedhetetlen a Hubble-paraméter felírása a skálafaktorokkal: H = ȧ (27) a Tudjuk továbbá, hogy egy sík, anyagdominált Univerzumban a skálaparaméter időfüggése az alábbi: Innen a deriválás szabályaiból következik, hogy ȧ t 1/3. Így: a t 2/3 (28) H 1 (29) t Természetesen nincs szükségünk deriválásra, ha megjegyezzük H időfüggését. A fordított arányosság miatt felírhatjuk, hogy: H akkor = t akkor, (30) H most t most ahol akkor-ral jelöltük a H akkori értékét, amikor a Voyager eléri a Tejútrendszer másik oldalát. Innen átrendezve kapjuk az akkori H-t: 13, ev H akkor = H most (13, t) ev, (31) ahol t az ahhoz szükséges idő, hogy az űrszonda eljut a kérdéses helyre. Az eltelt időt egyszerűen a sebesség definíciójából kapjuk: t = s v Így beírva, hogy H most = 67,8 km/s Mpc = (15+8) kpc 17 km/s = 4, s = 1, ev (32) a kérdéses H-ra azt kapjuk, hogy: H akkor = 61,9 km/s Mpc 5 (33)

D3. feladat Közelítsük az Univerzumot egy homogén sűrűségű gömbként! Ekkor egy, a szélén lévő részecskének a sebessége éppen a szökési sebesség.

6 D3. feladat Közelítsük az Univerzumot egy homogén sűrűségű gömbként! Ekkor egy, a szélén lévő részecskének a sebessége éppen a szökési sebesség. Másrészt viszont tudjuk, hogy igaz a Hubble-törvény is a tágulásra, így a két sebességet feleltessük meg egymásnak: 2GM = HR (34) R Innen kifejezhetjük a tömeget: M = H2 R 3 2G A térfogatot V = 4/3 R 3 π alakban felírva írjuk be a sűrűség képletébe: (35) H 2 = M V = 3 8πG (36) D4. feladat Oldjuk meg először a feladatot abban az esetben, amikor a tükör felülete gömb. Tekintsük ekkor a 2. ábrát, amin G jelöli a gömb középpontját, F a fókuszpontot, f a fókusztávolságot és h a tükör keresett bemélyedését. 2. ábra. Mélyedés Ez alapján felrajzolhatjuk a 3. ábrát, ahol egy egyenlő szárú háromszög látható, amelynek felső csúcsa a gömb középpontja. Ebbe írjuk be a tükör átmérőjét (30 cm) és a gömb sugarát ami kétszerese a fókusztávolságnak, azaz 200 cm. Így megkaphatjuk a háromszög m magasságát a Pitagorasz-tétel segítségével: m = cm = 199,437 cm (37) Ezt a gömb sugarából kivonva kapjuk a tükör bemélyedését: h = R m = 5,63 mm (38) 6

7 3. ábra. Háromszög Most végezzük el ugyanezt a számolást paraboloidtükör feltételezésével. Ehhez fontos ismernünk a parabola egyenletét: Ekkor a mélyedést az alábbi módon kapjuk: y(x) = x2 4f (39) h = y(15 cm) = (15 cm) cm = 5,625 mm (40) 7

Hasonló dokumentumok

Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Asztrofizika II. és Műszerismeret Megoldások

Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör 2015-16 4. Asztrofizika II. és Műszerismeret Megoldások Dálya Gergely, Bécsy Bence 1. Bemelegítő feladatok B.1. feladat Írjuk fel a Pogson-képletet: