Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest június 20.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest. 2015. június 20."

Átírás

1 A görbületek világa 1 Kristály Sándor Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest június Az MTA Bolyai János Kutatói Ösztöndíj által támogatott kutatás.

2 Eukleidészi világnézet Eukleidész: Kr. e. 300, Alexandria Eukleidészi posztulátum: Ha egy egyenes úgy metsz két másikat, hogy az egyoldalon fekvő belső szögek összege két derékszögnél kisebb, akkor a két másik egyenes találkozzon egymással, ha végtelenül meghosszabbítjuk őket, éspedig azon az oldalon, ahol a szögek összege kisebb két derékszögnél; Párhuzamossági tranzitivitás: d 1 d 2 és d 2 d 3 d 1 d 3 ; Háromszög szögeinek összege pontosan Egyenesek: a legrövidebb hosszúságú görbék.

3 Eukleidészi világnézet Eukleidész: Kr. e. 300, Alexandria Aquinói Szt. Tamás (Summa contra Gentiles, 13. sz.) a Mindenhatósági Paradoxonról: Tud-e Isten olyan háromszöget alkotni, melynek szögösszege 180 0? Immanuel Kant (A tiszta ész kritikája, 18. sz.): Az euklideszi axiómák a tapasztalást szükségszerűen megelőző emberi ismeretek. Párhuzamossági axióma megtámadása!

4 Gömbi geometria Egyenesek helyett főkörök (geodetikus vonalak); Geodetikus háromszög szögeinek összege >180 0 : Mercator-térkép (térképészet); Megjelenik a görbület: a metszetgörbület K = 1 R 2 ; Ha R, akkor K 0: flat eset. Föld esetén: R közép = 6372, 797km, K közép

5 Hiperbolikus geometria Úttörők Bolyai János ( ); Carl Friedrich Gauss ( ); Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij ( ). Az elmélet kiépítése 1860-tól: Arthur Cayley, Felix Klein, Eugenio Beltrami, Henri Poincaré, Bernhard Riemann, Paul Finsler, stb.

6 Hiperbolikus geometria Úttörők Bolyai János ( ); Carl Friedrich Gauss ( ); Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij ( ). Az elmélet kiépítése 1860-tól: Arthur Cayley, Felix Klein, Eugenio Beltrami, Henri Poincaré, Bernhard Riemann, Paul Finsler, stb.

7 Hiperbolikus geometria I Egy egyenesen kívül eső ponton több párhuzamos is huzható; Párhuzamossági tranzitivitás: nem teljesül! Háromszög szögeinek összege < Mik a geodetikus vonalak?

8 Hiperbolikus geometria II: példák

9 Hopf-klasszifikáció (Riemann sokaságok)

10 Riemann geometria és a relativitáselmélet B. Riemann: 1870-es évek Einstein egyenlet (általános relativitáselmélet): G ij + Λg ij = 8πG c 4 T ij. A tér(idő) negatívan meggörbül a gravitáció hatására: nem-eukleidészi geometria; Alátámasztás: csillagok mellett elhaladó fény meghajlása.

11 Riemann geometria és a relativitáselmélet B. Riemann: 1870-es évek Einstein egyenlet (általános relativitáselmélet): G ij + Λg ij = 8πG c 4 T ij. A tér(idő) negatívan meggörbül a gravitáció hatására: nem-eukleidészi geometria; Alátámasztás: csillagok mellett elhaladó fény meghajlása.

12 Busemann (vagy Thalész) egyenlőtlenség H. Busemann: 1950-es évek eleje Egy (M, d) metrikus tér Busemann-görbült, ha minden γ 1, γ 2 : [0, 1] M geodetikus vonal esetén, melyekre γ 1 (0) = γ 2 (0), teljesül d ( γ 1 ( 1 2 ), γ 2 ( 1 2 )) 1 2 d(γ 1(1), γ 2 (1)). [Középvonal hosszúsága nem nagyobb, mint a hozzatartozó alapvonal hosszúságának fele.] Eukleidészi eset:

13 Thalész tétele Riemann esetben Busemann (1955): Legyen (M, g) egy Riemannian sokaság. (M, d g ) Busemann-görbült akkor és csakis akkor, ha az (M, g) szekcionális görbülete nem-pozitív. Nyílt kérdés (Busemann, 1955): Milyen nem-pozitívan görbült Finsler sokaságok lesznek Busemann-görbültek? Fontos kérdés alkalmazások perspektívájából (is)!!! spaces Euclidean

14 Thalész tétele Riemann esetben Busemann (1955): Legyen (M, g) egy Riemannian sokaság. (M, d g ) Busemann-görbült akkor és csakis akkor, ha az (M, g) szekcionális görbülete nem-pozitív. Nyílt kérdés (Busemann, 1955): Milyen nem-pozitívan görbült Finsler sokaságok lesznek Busemann-görbültek? Fontos kérdés alkalmazások perspektívájából (is)!!! spaces Euclidean

15 Thalész tétele Riemann esetben Busemann (1955): Legyen (M, g) egy Riemannian sokaság. (M, d g ) Busemann-görbült akkor és csakis akkor, ha az (M, g) szekcionális görbülete nem-pozitív. Nyílt kérdés (Busemann, 1955): Milyen nem-pozitívan görbült Finsler sokaságok lesznek Busemann-görbültek? Fontos kérdés alkalmazások perspektívájából (is)!!! spaces Euclidean

16 Finsler-Poincaré korong, K = 1/4 Fekete lyukak leírása M = { (x 1, x 2) R 2 : x x 2 2 < 4 }. Nem-reverzibilis Finsler metrika M en: 1 F ((r, θ), V) = p2 + r 2 q 2 + pr, V = p 1 r2 1 r4 r +q θ T (r,θ)m d F ( M, (0, 0)) = ln 2; d F ((0, 0), M) = +. Ábra :(a) d F (p 1, p 2 ) = és d F (m 1, m 2 ) =

17 Nem-projektív Finsler metrika; görbület 0 M = { p = ((x 1, x 2), x 3) R 2 R m 2 : x x 2 2 < 1 }, m 2; y = ((y 1, y 2), ỹ 3) T pm = R m legyen ( x 2y 1 + x 1y 2) 2 + y 2 (1 x 2 1 F (p, y) = x2 2 ) ( x2y1 + x1y2) 1 x 2 1. x2 2 Ábra : (a) m = 2, d F (p 1, p 2 ) = 1 és d F (m 1, m 2 ) = ; (b) m = 3, d F (p 1, p 2 ) = és d F (m 1, m 2 ) =

18 Busemann kérdése Válasz Berwald terekre Tétel (A. Kristály, L. Kozma; J. Geom. Phys., 2006) Minden nem-pozitívan görbült Berwald tér egyben Busemann-görbült is (teljesül Thalész tétele). spaces Euclidean Következmény γ 1, γ 2 geodetikusok. Ekkor t d F (γ 1 (t), γ 2 (t)) konvex. Megjegyzés: űrhajók burkolatának optimalizálása (IMPAN) geodetikus konvexitás.

19 Weber optimizáció Torricelli pont: a pap és a három falu min S (AS + BS + CS) = AT + BT + CT; Analitikusan nem számolható ki a T pont helyzete (Galois elmélet).

20 Létezési és egyértelműségi tételek igazolása A. Kristály, Á. Róth, G. Moroşanu, J. Optim. Theory Appl., 2008 min (SP 1 + SP 2 + SP 3 ) = T f P 1 + T f P 2 + T f P 3 ; S (S α) min (P 1S + P 2 S + P 3 S) = P 1 T b + P 2 T b + P 3 T b. S (S α)

21 Vízesés Finsler-Poincaré modell Hogyan mozgassuk az M S anyahajót a vízen, hogy a mentőcsónakok minimális idő alatt elérjék a sétahajókat?

22 Köszönöm a figyelmet/türelmet!

Geometriai alapok Felületek

Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus

Részletesebben

Az Yff pontok vizsgálata különböző geometriákban

Az Yff pontok vizsgálata különböző geometriákban Az Yff pontok vizsgálata különböző geometriákban Szakdolgozat Paulik Rita Matematika BSc, Matematika tanári szakirány Témavezető: Dr. Rózsahegyiné Vásárhelyi Éva egyetemi docens Konzulens: Lénárt István

Részletesebben

Dobó Andor. Az elliptikus geometriának a Riemann-féle (gömbi) modellje lényegesen különbözik a Dobóféle

Dobó Andor. Az elliptikus geometriának a Riemann-féle (gömbi) modellje lényegesen különbözik a Dobóféle Dobó Andor Az elliptikus liptikus geometria két modelljér elljéről A Dobó-Topa-féle elliptikus (görbült) téridő-elmélet az elliptikus geometria alkalmazásán alapszik. Éppen ezért fontos e geometriának

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés)

OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés) OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés) Kötelez tárgyak, szakdolgozat (mindegyik tárgy teljesítend ) M1101 Lineáris és analitikus geometria 1. M1102 Lineáris

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Még egyszer a Cayley-Klein modellről

Még egyszer a Cayley-Klein modellről Még egyszer a Cayley-Klein modellről (Apróságok II.) Az [1]-ben, a 3. pontban részletesen ismertettem a hiperbolikus sík Cayley-Klein-féle modelljét. Az ott leírtakat most több vonatkozásban is helyesbítem,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Kétszakos matematikatanár szak (régi képzés)

OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Kétszakos matematikatanár szak (régi képzés) OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Kétszakos matematikatanár szak (régi képzés) Kötelezı tárgyak, szakdolgozat (mindegyik tárgy teljesítendı, a szakdolgozat írható a másik szakból) kód tárgynév kredit

Részletesebben

A projektív geometria alapjai. Kovács Zoltán

A projektív geometria alapjai. Kovács Zoltán A projektív geometria alapjai Kovács Zoltán előadásvázlat, 2003 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés, homogén koordináták az euklidészi síkon 2 2. A projektív sík 5 3. Projektív transzformációk 8 4. Centrális

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Szóbeli érettségi gyakorló feladatok

Szóbeli érettségi gyakorló feladatok Szóbeli érettségi gyakorló feladatok Elméleti kérdések. Definiálja egy szám n-edik gyökét! Mondja ki az n-edik gyökre vonatkozó azonosságokat!. Definiálja a logaritmus fogalmát! Mondja ki a logaritmusra

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

MATEMATIKA - STATISZTIKA TANSZÉK

MATEMATIKA - STATISZTIKA TANSZÉK MATEMATIKA - STATISZTIKA TANSZÉK 1. A Kodolányi János Főiskolán végzett kutatások Tananyagfejlesztés A kutatási téma címe, rövid leírása Várható eredmények vagy célok; részeredmények Kutatás kezdete és

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE 11 FELADATSOR 11 FELADATSOR I rész Felhasználható idő: 45 perc 6x 1 111) Melyik állítás igaz az alábbi egyenlet

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes.

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes. Heti 4 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 148 óra áll rendelkezésre. A tanmenet 132 óra beosztását tartalmazza. Heti 5 óra esetén összesen 37-tel több órában dolgozhatunk. Ez összesen 185 óra. Itt

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

BOLYAI JÁNOS GEOMETRIAI RENDSZERE ALKALMAS ESZKÖZ A TÁRSADALOM MODELLEZÉSÉRE 4

BOLYAI JÁNOS GEOMETRIAI RENDSZERE ALKALMAS ESZKÖZ A TÁRSADALOM MODELLEZÉSÉRE 4 Seebauer Imre 1 Szolnoki Tudományos Közlemények XVI. Szolnok, 2012 A TÉRVÁLASZTÁS KOMPETENCIÁJÁNAK FEJLESZTÉSE A SAKKJÁTÉKBAN 2 A társadalmi, szervezeti folyamatok irányítása választási (döntési) képességeket

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

A geometriák felépítése (olvasmány)

A geometriák felépítése (olvasmány) 7. modul: HÁROMSZÖGEK 13 A geometriák felépítése (olvasmány) Az általános iskolában megismertük a háromszöget, a négyzetet, a párhuzamosságot és hasonló geometriai fogalmakat, és tulajdonságokat is megfogalmaztunk

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

Koordináta-rendszerek

Koordináta-rendszerek Koordináta-rendszerek Térkép: a Föld felszín (részletének) ábrázolása síkban Hogyan határozható meg egy pont helyzete egy síkon? Derékszögű koordináta-rendszer: a síkban két, egymást merőlegesen metsző

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

TARTALOM. MATEMATIKA - MD Matematika oktatótablók 135 Geometriai oktatótablók 136 Táblai vonalzók 137 Geometria 138 Fóliamappák 139 141

TARTALOM. MATEMATIKA - MD Matematika oktatótablók 135 Geometriai oktatótablók 136 Táblai vonalzók 137 Geometria 138 Fóliamappák 139 141 TARTALOM MATEMATIKA - MD Matematika oktatótablók 135 Geometriai oktatótablók 136 Táblai vonalzók 137 Geometria 138 Fóliamappák 139 141 INFORMATIKA Informatikai falitablók 142 MATEMATIKAI OKTATÓTABLÓK 50

Részletesebben

FORD FOCUS 1 2 3 4 5 6 7 9 11 13 15 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 17 9 6 3 1 1 4 2 5 7 8 10 19 20 21 22 23 25 26 27

Részletesebben

FORD FOCUS Focus_346_2013.25_V4_cover.indd 1-4 04/12/2012 12:34

FORD FOCUS Focus_346_2013.25_V4_cover.indd 1-4 04/12/2012 12:34 FORD FOCUS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 17 18 19 21 9 6 3 1 1 4 2 5 7 8 10 23 25

Részletesebben

Reiman István: Matematika

Reiman István: Matematika Reiman István: Matematika Reiman István Matematika Budapest, 2011 Reiman István, Typotex, 2011 Az 1992-es kiadás alapján készült. Lektorálták: Laczkó László, Pálmay Lóránt, Urbán János ISBN 978 963 279

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK FÁZISEGYENSÚLYAI IV.

TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK FÁZISEGYENSÚLYAI IV. TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK FÁZISEGYENSÚLYAI IV. TÖBBFÁZISÚ, TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK Kétkomponens szilárd-folyadék egyensúlyok Néhány fogalom: - olvadék - ötvözetek - amorf anyagok Állapotok feltüntetése:

Részletesebben

V. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások

V. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások V. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az fele akkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödik alkalommal 10cm magasra pattant fel?

Részletesebben

PÁLYÁZATI FELHÍVÁS. Az Óbudai Egyetem Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kari Részönkormányzata pályázatot hirdet a KVK HÖK ALELNÖK

PÁLYÁZATI FELHÍVÁS. Az Óbudai Egyetem Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kari Részönkormányzata pályázatot hirdet a KVK HÖK ALELNÖK Iktsz: KVK HÖK 2015/028 Az Óbudai Egyetem a KVK HÖK ALELNÖK Iktsz: KVK HÖK 2015/027 Az Óbudai Egyetem a KVK HÖK ELNÖK Iktsz: KVK HÖK 2015/029 Az Óbudai Egyetem a KVK HÖK GAZDASÁGI ÜGYEKÉRT FELELŐS ELNÖKSÉGI

Részletesebben

SAIN MARTON. Nincs királyi út!

SAIN MARTON. Nincs királyi út! SAIN MARTON Nincs királyi út! SAIN MÁRTON Nincs királyi út! Matematikatörténet GONDOLAT. BUDAPEST, 1986 Szakmailag ellenőrizte VEKERDI LÁSZLÓ ANDRÉKA HAJNAL SAIN ILDIKÓ ISBN 963 281 7044 Sain Márton,

Részletesebben

Sík és gömb összehasonlító geometriája a Lénárt-gömb segítségével

Sík és gömb összehasonlító geometriája a Lénárt-gömb segítségével Lénárt István Sík és gömb összehasonlító geometriája a Lénárt-gömb segítségével Szöveges ízelítő az akkreditált, internetes, távoktató pedagógus-továbbképzési program anyagából Budapest 2007-2009. Tartalomjegyzék

Részletesebben

A fény visszaverődése

A fény visszaverődése I. Bevezető - A fény tulajdonságai kölcsönhatásokra képes egyenes vonalban terjed terjedési sebessége függ a közeg anyagától (vákuumban 300.000 km/s; gyémántban 150.000 km/s) hullám tulajdonságai vannak

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

9. Publikációs lista 9.1. Impaktfaktorral rendelkező folyóiratokban megjelent cikkek

9. Publikációs lista 9.1. Impaktfaktorral rendelkező folyóiratokban megjelent cikkek CURRICULUM VITAE 1. Név: KRISTÁLY Alexandru 2. Születési adatok: Balánbánya, 1975. március 22. 3. Állampolgárság: román, magyar 4. Nemzetiség: magyar 5. E-mail: alexandrukristaly@yahoo.com, alexandru.kristaly@econ.ubbcluj.ro

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Mikroökonómia I. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 4. hét HAZSNOSSÁG, PREFERENCIÁK

Mikroökonómia I. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 4. hét HAZSNOSSÁG, PREFERENCIÁK MIKROÖKONÓMIA I. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia I. B HAZSNOSSÁG, PREFERENCIÁK K hegyi Gergely, Horn Dániel, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június Vázlat 1

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Matematika tanmenet, 9. osztály (heti 4 óra) Halmazok, műveletek racionális számok között 12 óra. Az n elemű halmaz részhalmazainak száma

Matematika tanmenet, 9. osztály (heti 4 óra) Halmazok, műveletek racionális számok között 12 óra. Az n elemű halmaz részhalmazainak száma Matematika tanmenet, 9. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 9. Példatárak: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából I. Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél.

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél. Matematika A vizsga leírása: írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. A matematika írásbeli vizsga egy 45 perces feladatlap írásbeli megoldásából áll. Az írásbeli feladatlap tartalmi jellemzői az alábbiak:

Részletesebben

Bolyai János forradalma 1

Bolyai János forradalma 1 1 PRÉKOPA ANDRÁS Bolyai János forradalma 1 Elsı rész Bolyai János a magyar tudomány legkiemelkedıbb alakja, nagyságát Kopernikuszéhoz hasonlíthatjuk. Az 1831-ben megjelent huszonhat oldalas, röviden Appendix

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Adatelemzési eljárások az idegrendszer kutatásban Somogyvári Zoltán

Adatelemzési eljárások az idegrendszer kutatásban Somogyvári Zoltán Adatelemzési eljárások az idegrendszer kutatásban Somogyvári Zoltán MTA KFKI Részecske és Magfizikai Intézet, Biofizikai osztály Az egy adatsorra (idősorra) is alkalmazható módszerek Példa: Az epileptikus

Részletesebben

Szívókönyökök veszteségeinek és sebességprofiljainak vizsgálata CFD szimuláció segítségével

Szívókönyökök veszteségeinek és sebességprofiljainak vizsgálata CFD szimuláció segítségével GANZ ENGINEERING ÉS ENERGETIKAI GÉPGYÁRTÓ KFT. Szívókönyökök veszteségeinek és sebességprofiljainak vizsgálata CFD szimuláció segítségével Készítette: Bogár Péter Háznagy Gergely Egyed Csaba Zombor Csaba

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

Egy matematikus megjegyzései Hermann Imre Lélek és tér koncepciójához Surányi László

Egy matematikus megjegyzései Hermann Imre Lélek és tér koncepciójához Surányi László Imágó Budapest (3 [24]) 2013, 3 4: 113 122 Egy matematikus megjegyzései Hermann Imre Lélek és tér koncepciójához Surányi László A matematikus, aki a matematikát a szó valódi értelmében értelmes tevékenységnek

Részletesebben

Miért van az, hogy a legtöbben. a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból

Miért van az, hogy a legtöbben. a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból Miért van az, hogy a legtöbben a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból Elszó 0 éves személyes tapasztalataim azt mutatják, hogy a tanulóknak

Részletesebben

FORD B-MAX BMAX_V3_2012_Cvr_Main.indd 1-3 30/06/2012 08:42

FORD B-MAX BMAX_V3_2012_Cvr_Main.indd 1-3 30/06/2012 08:42 FORD B-MAX 1 2 3 4 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 19 21 22 23 4 2 14 1 13 1 6 3 15 8 9

Részletesebben

Georg Cantor (1883) vezette be Henry John Stephen Smith fedezte fel 1875-ben. van struktúrája elemi kis skálákon is önhasonló

Georg Cantor (1883) vezette be Henry John Stephen Smith fedezte fel 1875-ben. van struktúrája elemi kis skálákon is önhasonló láttuk, hogy a Lorenz egyenletek megoldásai egy nagyon bonyolult halmazt alkottak a fázistérben végtelenül komplex felület fraktál: komplex geometriai alakzatok, melyeknek elemi kis skálán is van finomszerkezete

Részletesebben

A BOLYAI EGYETEM AZ ÜNNEPI AVATÓBESZÉD TÜKRÉBEN

A BOLYAI EGYETEM AZ ÜNNEPI AVATÓBESZÉD TÜKRÉBEN Maurer I. Gyula A BOLYAI EGYETEM AZ ÜNNEPI AVATÓBESZÉD TÜKRÉBEN Kolozsvár Erdélynek hagyományosan a legfontosabb kultúrcentruma. A város, mely az I. világháború befejezéséig és a II. világháború alatt

Részletesebben

A MAGYAR TUDOMÁNY NAPJA ERDÉLYBEN 2012

A MAGYAR TUDOMÁNY NAPJA ERDÉLYBEN 2012 PROGRAMFÜZET A MAGYAR TUDOMÁNY NAPJA ERDÉLYBEN 2012 3. Matematika és informatika alkalmazásokkal Szervezők: Erdélyi Múzeum-Egyesület Matematikai és Informatikai Szakosztály Kolozsvári Akadémiai Bizottság

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6 Kategória P 6 1. Írjátok le azt a számot, amely a csillag alatt rejtőzik: *. 5 = 9,55 2. Babszem Jankó 25 ször kisebb, mint Kukorica Jancsi. Írjátok le, hogy hány centiméter Babszem Jankó, ha Kukorica

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

A húrnégyszögek meghódítása

A húrnégyszögek meghódítása A húrnégyszögek meghódítása A MINDENTUDÁS ISKOLÁJA Gerőcs lászló A HÚRNÉGYSZÖGEK MEGHÓDÍTÁSA Akadémiai Kiadó, Budapest ISBN 978 963 05 8969 7 Kiadja az Akadémiai Kiadó, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók

Részletesebben

DAM Hotel szálloda szezonális -

DAM Hotel szálloda szezonális - Szálláshely-nyilvántartás a szálláshely-szolgáltató a szálláshely nyilvántartá si szám engedély kiadásának dátuma adószáma, neve címe címe, hrsz-a elnevezése statisztikai száma a tevékenység típusa befogadóképessége

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

A vitorlázórepülésről

A vitorlázórepülésről A vitorlázórepülésről Tartalom Tartalom 2 Bevezetés 4 Történelmi áttekintés 4 Vitorlázórepülés 5 Versenyzés 5 FELADAT TÍPUSOK 7 FELKÉSZÜLÉS 7 2 a vitorlázórepülés a légi sportok királynője, vagy még inkább

Részletesebben

Einstein születésének 100. évfordulóján

Einstein születésének 100. évfordulóján DR. VERMES MIKLÓS Budapest, Jedlik Ányos Gimnázium Einstein születésének 100. évfordulóján Nevezetes tudományos évfordulók mindig voltak, de a tudomány rohamos haladásával matematikailag. együtt jár, hogy

Részletesebben

Elnézést kérek a megkésett válaszért! de mostanában nagyon elfoglalt vagyok, és

Elnézést kérek a megkésett válaszért! de mostanában nagyon elfoglalt vagyok, és 1 Tisztelt Mérnök Úr! Elnézést kérek a megkésett válaszért! de mostanában nagyon elfoglalt vagyok, és csak ritkán van időm számítógép elé ülni. Köszönöm a könyvem iránti érdeklődését és a megtisztel ő

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Matematika az építészetben

Matematika az építészetben Matematika az építészetben Molnár-Sáska Katalin Főisk.docens YMÉK Bevezetés - Történeti áttekintés - A geometria helye a főiskolai képzésben - Újraindítás és körülményei Részletes tanmenet Megjegyzések:

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

A MECHANIKAI ENERGIA

A MECHANIKAI ENERGIA A MECHANIKAI ENERGIA. A mechanika munkatétele A mechanika munkatétele Newton második axiómájából következik. Newton második axiómája egyetlen tömegre (vagy tömegpontra): F d r ma m, (.) mely általános

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 0. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 40 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Kulturális Javak Bizottsága 2013. december 5-i ülés

Kulturális Javak Bizottsága 2013. december 5-i ülés Kulturális Javak Bizottsága 2013. december 5-i ülés Az ülés napirendje 1. Ismeretlen firenzei mester: Szent Sebestyén és Szent Domonkos, 1360-1380 körül (fa, tempera, aranyozott, 91 x 58 cm, jelzés nélkül,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

MATEMATIKA HELYI TANTERV 9/AJTP évfolyam

MATEMATIKA HELYI TANTERV 9/AJTP évfolyam MATEMATIKA HELYI TANTERV 9/AJTP évfolyam Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi

Részletesebben