Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest június 20.

Átírás

1 A görbületek világa 1 Kristály Sándor Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest június Az MTA Bolyai János Kutatói Ösztöndíj által támogatott kutatás.

2 Eukleidészi világnézet Eukleidész: Kr. e. 300, Alexandria Eukleidészi posztulátum: Ha egy egyenes úgy metsz két másikat, hogy az egyoldalon fekvő belső szögek összege két derékszögnél kisebb, akkor a két másik egyenes találkozzon egymással, ha végtelenül meghosszabbítjuk őket, éspedig azon az oldalon, ahol a szögek összege kisebb két derékszögnél; Párhuzamossági tranzitivitás: d 1 d 2 és d 2 d 3 d 1 d 3 ; Háromszög szögeinek összege pontosan Egyenesek: a legrövidebb hosszúságú görbék.

3 Eukleidészi világnézet Eukleidész: Kr. e. 300, Alexandria Aquinói Szt. Tamás (Summa contra Gentiles, 13. sz.) a Mindenhatósági Paradoxonról: Tud-e Isten olyan háromszöget alkotni, melynek szögösszege 180 0? Immanuel Kant (A tiszta ész kritikája, 18. sz.): Az euklideszi axiómák a tapasztalást szükségszerűen megelőző emberi ismeretek. Párhuzamossági axióma megtámadása!

4 Gömbi geometria Egyenesek helyett főkörök (geodetikus vonalak); Geodetikus háromszög szögeinek összege >180 0 : Mercator-térkép (térképészet); Megjelenik a görbület: a metszetgörbület K = 1 R 2 ; Ha R, akkor K 0: flat eset. Föld esetén: R közép = 6372, 797km, K közép

5 Hiperbolikus geometria Úttörők Bolyai János ( ); Carl Friedrich Gauss ( ); Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij ( ). Az elmélet kiépítése 1860-tól: Arthur Cayley, Felix Klein, Eugenio Beltrami, Henri Poincaré, Bernhard Riemann, Paul Finsler, stb.

6 Hiperbolikus geometria Úttörők Bolyai János ( ); Carl Friedrich Gauss ( ); Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij ( ). Az elmélet kiépítése 1860-tól: Arthur Cayley, Felix Klein, Eugenio Beltrami, Henri Poincaré, Bernhard Riemann, Paul Finsler, stb.

7 Hiperbolikus geometria I Egy egyenesen kívül eső ponton több párhuzamos is huzható; Párhuzamossági tranzitivitás: nem teljesül! Háromszög szögeinek összege < Mik a geodetikus vonalak?

8 Hiperbolikus geometria II: példák

9 Hopf-klasszifikáció (Riemann sokaságok)

10 Riemann geometria és a relativitáselmélet B. Riemann: 1870-es évek Einstein egyenlet (általános relativitáselmélet): G ij + Λg ij = 8πG c 4 T ij. A tér(idő) negatívan meggörbül a gravitáció hatására: nem-eukleidészi geometria; Alátámasztás: csillagok mellett elhaladó fény meghajlása.

11 Riemann geometria és a relativitáselmélet B. Riemann: 1870-es évek Einstein egyenlet (általános relativitáselmélet): G ij + Λg ij = 8πG c 4 T ij. A tér(idő) negatívan meggörbül a gravitáció hatására: nem-eukleidészi geometria; Alátámasztás: csillagok mellett elhaladó fény meghajlása.

12 Busemann (vagy Thalész) egyenlőtlenség H. Busemann: 1950-es évek eleje Egy (M, d) metrikus tér Busemann-görbült, ha minden γ 1, γ 2 : [0, 1] M geodetikus vonal esetén, melyekre γ 1 (0) = γ 2 (0), teljesül d ( γ 1 ( 1 2 ), γ 2 ( 1 2 )) 1 2 d(γ 1(1), γ 2 (1)). [Középvonal hosszúsága nem nagyobb, mint a hozzatartozó alapvonal hosszúságának fele.] Eukleidészi eset:

13 Thalész tétele Riemann esetben Busemann (1955): Legyen (M, g) egy Riemannian sokaság. (M, d g ) Busemann-görbült akkor és csakis akkor, ha az (M, g) szekcionális görbülete nem-pozitív. Nyílt kérdés (Busemann, 1955): Milyen nem-pozitívan görbült Finsler sokaságok lesznek Busemann-görbültek? Fontos kérdés alkalmazások perspektívájából (is)!!! spaces Euclidean

14 Thalész tétele Riemann esetben Busemann (1955): Legyen (M, g) egy Riemannian sokaság. (M, d g ) Busemann-görbült akkor és csakis akkor, ha az (M, g) szekcionális görbülete nem-pozitív. Nyílt kérdés (Busemann, 1955): Milyen nem-pozitívan görbült Finsler sokaságok lesznek Busemann-görbültek? Fontos kérdés alkalmazások perspektívájából (is)!!! spaces Euclidean

15 Thalész tétele Riemann esetben Busemann (1955): Legyen (M, g) egy Riemannian sokaság. (M, d g ) Busemann-görbült akkor és csakis akkor, ha az (M, g) szekcionális görbülete nem-pozitív. Nyílt kérdés (Busemann, 1955): Milyen nem-pozitívan görbült Finsler sokaságok lesznek Busemann-görbültek? Fontos kérdés alkalmazások perspektívájából (is)!!! spaces Euclidean

16 Finsler-Poincaré korong, K = 1/4 Fekete lyukak leírása M = { (x 1, x 2) R 2 : x x 2 2 < 4 }. Nem-reverzibilis Finsler metrika M en: 1 F ((r, θ), V) = p2 + r 2 q 2 + pr, V = p 1 r2 1 r4 r +q θ T (r,θ)m d F ( M, (0, 0)) = ln 2; d F ((0, 0), M) = +. Ábra :(a) d F (p 1, p 2 ) = és d F (m 1, m 2 ) =

17 Nem-projektív Finsler metrika; görbület 0 M = { p = ((x 1, x 2), x 3) R 2 R m 2 : x x 2 2 < 1 }, m 2; y = ((y 1, y 2), ỹ 3) T pm = R m legyen ( x 2y 1 + x 1y 2) 2 + y 2 (1 x 2 1 F (p, y) = x2 2 ) ( x2y1 + x1y2) 1 x 2 1. x2 2 Ábra : (a) m = 2, d F (p 1, p 2 ) = 1 és d F (m 1, m 2 ) = ; (b) m = 3, d F (p 1, p 2 ) = és d F (m 1, m 2 ) =

18 Busemann kérdése Válasz Berwald terekre Tétel (A. Kristály, L. Kozma; J. Geom. Phys., 2006) Minden nem-pozitívan görbült Berwald tér egyben Busemann-görbült is (teljesül Thalész tétele). spaces Euclidean Következmény γ 1, γ 2 geodetikusok. Ekkor t d F (γ 1 (t), γ 2 (t)) konvex. Megjegyzés: űrhajók burkolatának optimalizálása (IMPAN) geodetikus konvexitás.

19 Weber optimizáció Torricelli pont: a pap és a három falu min S (AS + BS + CS) = AT + BT + CT; Analitikusan nem számolható ki a T pont helyzete (Galois elmélet).

20 Létezési és egyértelműségi tételek igazolása A. Kristály, Á. Róth, G. Moroşanu, J. Optim. Theory Appl., 2008 min (SP 1 + SP 2 + SP 3 ) = T f P 1 + T f P 2 + T f P 3 ; S (S α) min (P 1S + P 2 S + P 3 S) = P 1 T b + P 2 T b + P 3 T b. S (S α)

21 Vízesés Finsler-Poincaré modell Hogyan mozgassuk az M S anyahajót a vízen, hogy a mentőcsónakok minimális idő alatt elérjék a sétahajókat?

22 Köszönöm a figyelmet/türelmet!