Segítség és útmutatás az eligazodáshoz
|
|
- Egon Lakatos
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Segítség és útmutatás az eligazodáshoz (Apróságok IV.) Mivel nem könnyű eligazodni az euklideszi geometria és a hiperbolikus geometria tulajdonságai és állításai között, ezért az [1]-ben, [2]-ben és [3]-ban közöltek jobb megértése céljából, Dobó közreműködésével összefoglalom a fontosabb alapismereteket. 1. Bolyai János az Appendix 15. -ban S-rendszernek nevezte el a geometriának azt a rendszerét, amelyik Euklidesz XI. axiómájának ellenkező feltevésére épül. Bolyai tárgyalásában a párhuzamossági távolságra vonatkozó hosszúságmetrika euklideszi: az AB szakasz hosszát egy OE egységszakaszra vonatkoztatott hányadossal mérjük (a klasszikus valós szám-egyenesre némileg emlékeztető módon.) A szögmértéke is azonos az euklideszi geometriában alkalmazotthoz (Riemann-féle), vagyis a szög nagyságát az egységkör középpontjából kiinduló két egyenes ( szögszár ) által az egységkörből kimetszett ívnek a hossza adja meg. Belátható, hogy a Bolyai János alkotta geometriában az OX félegyenessel (abszcisszatengellyel) párhuzamos egyenes egyenletét a I. th th e kifejezés adja meg, ahol y 0 (párhuzamossági távolság) az egyenes azon pontjának ordinátája, amelynek O a vetülete. (Ebben a geometriában tehát a párhuzamos egyenes egy euklideszi értelemben véve görbe vonal lesz!) Most a párhuzamossági szög ( elpattanás szöge, β) és y 0 között a kapcsolat: II. ctg β e. Ha k, akkor β π, ami a párhuzamossági távolság és párhuzamossági szög közötti euklideszi kapcsolatot fejezi ki. A II. alapvető, klasszikus formula, amely szerint minden egyes rögzített k értékhez tartozik egy önmagában ellentmondásmentes hiperbolikus geometria. Ebből, ha k, Euklidész rendszeréhez jutunk. Felhasználva a tangens hiperbolikus függvény hatványsorát, k esetén I. az y=y 0 alakba megy át, amely az euklideszi geometria párhuzamos egyenesének egyenletét adja. Ha egy tétel az euklideszi geometriában is és a hiperbolikus geometriában is érvényes, akkor a bebizonyításához nem szükséges a párhuzamossági axióma. Ilyen tétel például az az állítás, miszerint a hegyesszögű háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. (Ez egyébként az elliptikus geometriában is igaz!) 2. A hiperbolikus sík Cayley-Klein-féle C-K modelljében a távolság mértéke nem euklideszi, hanem hiperbolikus, amit a kettősviszony (ld. [2] és [4]) segítségével 1
2 fejezünk ki 1. Itt a párhuzamos egyenest euklideszi értelemben véve nem görbe, hanem euklideszi félegyenes (félhúr) jelenti. Ha O-val jelöljük a kör középpontját, akkor a C-K modellben az O csúcsú szögek hiperbolikus mértéke egyben az euklideszi geometria szerinti mértékű is, ezért az ilyen szögeket euklideszi szögmérővel mérhetjük. A csúcs ettől eltérő elhelyezkedése esetén azonban ez már nem áll fönn (ld. következő pont). Az itt közöltekből következik, hogy a C-K modellben a párhuzamosság szöge (β) euklideszi geometria szerinti és hiperbolikus mértéke egyenlő. Ez viszont nem jelenti azt, hogy a Bolyai-féle S-rendszerbeli modell párhuzamossági szöge megegyezik a C-K modell párhuzamossági szögével; hiszen az előbbiben a távolság euklideszi mértékű, a párhuzamos egyenes görbe vonal, míg az utóbbiban a távolság hiperbolikus mértékű, a párhuzamos egyenes euklideszi jellegű. Ugyanakkor mindkét modellben β és y 0 kapcsolatát a II. alatti formulatípus fejezi ki, adja meg. A C-K modell alkalmazását megkönnyíti, hogy viszonylag egyszerű úton megadható a kapcsolat a szakaszok (ld. [2], [4]) és szögek euklideszi geometria szerinti és hiperbolikus mértéke között. (Mivel eddig nem volt rá szükségünk, ezért itt nem foglalkozunk olyan szögek mérésével, amelyek csúcsa nem O-ban van. Elvileg erre is volna lehetőség ugyanúgy, mint a szakaszmérés esetében.) Megemlítjük, hogy a C-K modellben az egyenlő szakaszok nem látszanak egyenlőknek. Ha valamely szakaszt egymás után sokszor felmérjük, akkor a kör kerületéhez azaz a végtelen távoli ponthoz egyre közelebb jutunk, de sohasem érjük el. Amennyiben egy szakasz egyik végpontja a modellkör O középpontja, akkor a hiperbolikus értelemben egyenlő szakaszok euklideszi értelemben is egyenlők. Továbbá sohasem szabad elfelejtkezni arról az euklideszi szemléletünknek meghökkentő tényről, hogy a hiperbolikus síkban a háromszög szögösszege mindig kisebb π-nél. 3. Hogy a hiperbolikus szög mérése mennyire eltér az euklideszi geometriában szokásostól, azt a következőképpen illusztráljuk. Avégből, hogy az 1. Ábrán h-val jelölt C-K modellkör tetszésszerinti A pontjából a g egyenesre f merőlegest bocsássunk, az 1. Ábrán megszerkesztett P segédponttal összekötő egyenest kell megrajzolnunk. Ez az ábrán jól szemlélteti, hogy az f és g közötti euklideszi geometria szerinti derékszög, ha O A, akkor mennyire különbözik a hiperbolikus derékszögtől. 1 A C-K modellen alapuló interpretációt 1871-ben F. Klein adta meg Az úgynevezett nem euklideszi geometriáról című munkájában. Klein a projektív mértékdefiníciót A. Cayley 1859-ben megjelent Hatodik értekezés a formákról című dolgozatából vette át. (Cayley viszont a formák elméletének geometriai értelmezésénél a J. Plücker által felépített analitikus geometriára támaszkodott.) Klein említett dolgozatában bebizonyította, hogy a valós kúpszelettel meghatározott Cayley-féle projektív metrika megegyezik az állandó negatív Gauss-görbületű tér metrikájával. Ezután Klein leképezte a Lobacsevszkij-síkot egy kör belsejére. A hiperbolikus távolság definíciója Kleinnél, mint Cayleynél is, a kettősviszony logaritmusával van kifejezve. Az 1872-ben meghirdetett, Klein-féle Erlangeni program új megvilágításba helyezi a geometria és a relativitási elvek fizikai szerepét. Iránta azonban sokáig nem fordult kellő figyelem. Klein 1928-ban Nicht Euklidische Geometrie című könyvében ez olvasható: Világunkban a három klasszikus geometria valamelyikének Euklidészének, Riemannénak, avagy Lobacsevszkijének kell uralkodnia. Munkáiban a Bolyai geometriáról nem beszél, említést sem tesz. 2
3 (Ha O=A, akkor f és g mind euklideszi, mind pedig hiperbolikus értelemben merőlegesek!) h A O g f P 1. Ábra Föntiekből az is kitűnik, [1]-ben tévesen állítottam, hogy megmutatható, miszerint a C-Kmodellben az euklideszi geometria szerint egybevágó szögtartományok közül a C-K modell O középpontjával egybeeső csúcsú szögtartomány a legnagyobb; Ugyanis az 1. Ábrán az f és g metszéspontjában két hiperbolikus derékszög az euklideszi geometria szerint véve 90 o -nál kisebb (míg másik kettő szemmel láthatóan nagyobb.) Ebből viszont az is következik, hogy ha e két kisebb szöget az euklideszi geometria szerinti derékszögre növeljük, akkor hiperbolikus értelemben már 90 o -nál nagyobbak lesznek hiperbolikus értelemben nagyobbak tehát, mintha e (euklideszi értelemben tekintett) derékszögek csúcsai az O középpontba esnének. (Ott ugyanis hiperbolikusan is csak 90 o -ot érnének.) 4. Nemcsak a síkban, a térben is van hiperbolikus geometria. A hiperbolikus tér modelljét úgy kapjuk meg, hogy e tér pontjainak, egyeneseinek és síkjainak a közönséges (euklideszi) tér valamely gömbjén belül eső pontokat, egyenes szakaszokat és síkrészeket tekintjük. Két pont távolságát pedig a C-K modell síkváltozatában látottakhoz hasonlóan definiáljuk. 5. A hiperbolikus geometriának számos modellje van. Poincaré kettőt is konstruált. Az egyik egy félgömbön valósul meg, a másik pedig síkon, azáltal, hogy a félgömböt sztereografikusan a síkra vetítjük. Ezáltal a h körlap belsejét fedjük le. Ebben az egyenesek a h-ra merőleges körívek lesznek. A Poincaré-féle modell szögtartó, benne az euklideszi geometria szerinti szögértékek arányosak a hiperbolikus geometria szerinti szögértékekkel. Az arányossági tényező állandó. Mivel a hiperbolikus síkon a 2π teljes szöget a modellben változatlanul látjuk, az arányossági tényező értéke egy! (Ebben a modellben tehát a szögek torzítatlanul fognak látszani!) A matematikusok kedvenc modellje a hiperboloid-modell, melyben az egyenesek szerepét azok a görbék játsszák, amelyeket az origón áthaladó síkok metszenek ki belőle. Véleményük szerint a hiperbolikus geometria összes modellje közül ez az, amelyik: a legbővebb lehetőségeket és leghatékonyabb eszközöket adja számítások elvégzéséhez, matematikai tételek bizonyításához. Dobó a C-K modellt találta céljai eléréséhez a legalkalmasabbnak! 3
4 6. Euklideszénél jóval bonyolultabb, ugyanakkor sokkal precízebb David Hilbert ( ) axiómarendszere. (Lásd: A geometria alapjai; Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 1899.) Ez öt axiómacsoportra épül nevezetesen az összetartozás, a rendezés, az egybevágóság, a párhuzamosság és a folytonosság axiómacsoportjára. Matematikailag egzakt módon bizonyítható, hogy a hiperbolikus geometriában az euklideszi geometriának csak egyetlen axiómája nem érvényes ez pedig a párhuzamossági axióma. Ez a 2. Ábrán jól látható, ahol a P ponton át nem menő g egyeneshez (húrhoz) a paralel (párhuzamos) és ultraparalel (ultrapárhuzamos) egyenesek (húrok) egész sora található. Ilyen a p 1, p 2, valamint az e 1, e 2, e 3, e 4, egyenes! A közös kerületi ponttal rendelkező p 1 és p 2 egyenes felel meg a Bolyai felfogásában legelőször elpattanó két egyenesnek. p 2 p 1 P e 4 e 3 e 2 e 1 g 2. Ábra Az elliptikus geometriában a párhuzamossági axiómán kívül az euklideszi rendezési axiómák sem érvényesek. Az ókorból kiindulva az egész középkoron át a XIX. század elejéig az emberiség legkiválóbbjai sikertelenül fáradoztak azon, hogy a párhuzamossági axiómát Euklidész többi axiómájából levezessék (származtassák). Hogy ez nem sikerült, annak alapvető oka, hogy az függetlennek bizonyult a többitől. A hiperbolikus, az elliptikus és az euklideszi geometriát a következőképpen is jellemezhetjük: a) A hiperbolikus geometriában végtelen sok, az euklideszi geometriában egy olyan egyenes van, míg az elliptikus geometriában egy sincs, amely valamely egyenesen kívüli ponton úgy megy át, hogy nem metszi az adott egyenest. b) A hiperbolikus geometriában a háromszög belső szögeinek összege: < π, elliptikus geometriában: > π, euklideszi geometriában: = π. c) Hiperbolikus geometriában a Gauss-féle görbület: <0, elliptikus geometriában: >0, euklideszi geometriában: =0. 4
5 Egyébként Hilbert volt, aki 1900-ban azt a célt tűzte maga elé, hogy axiomatizálja a fizikát. Hilbert a variációszámítást, a differenciálgeometriát és a végtelen csoportok elméletét használta fel a gravitációs tér általános kovariáns egyenleteinek származtatásához. Ezek a formulák egyenrangúak Einstein november 25-i egyenleteivel. Einstein véleménye Hilbert elméletének egészéről vitathatatlanul negatív volt. V. P. Vizgin szerint Hilbert törekvését a gravitáció és az elektromágnesesség egységes térelmélete előfutárának kell tekintenünk. Ilyen előzmények után érthető meg igazán, hogy mennyire jelentősek azok az eredmények, amelyeket Dobóval külön-külön vagy együtt a k görbületi paraméter alkalmazásával értünk el. Ma már ezek segítik és szolgálják nélkülözhetetlen módon a fizika egzakt azaz szilárd alapokra helyezését. Ebben alapvető szerepet játszik a Dobó-Lorentz, illetve a Dobó-Topa transzformáció, amelyek magukba foglalják k-t is. *** Budapest, április 10., vasárnap Topa Zsolt Hivatkozások fizikus, szakközgazdász [1] Topa Zsolt: Még egyszer a Cayley-Klein modellről (Apróságok II.) (Kézirat, Budapest, március 15., kedd) [2] Topa Zsolt: Apróságok (Kézirat, Budapest, július 17.) [3] Topa Zsolt: És még mindig a Cayley-Klein modellről (Apróságok III.) (Kézirat, Budapest, április 1., péntek) [4] Dobó Andor: Miért nem lehet k=1? (Kézirat, Budapest, március 25. /Irén/) 5
10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
Részletesebben18. Kerületi szög, középponti szög, látószög
18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)
RészletesebbenBabeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest. 2015. június 20.
A görbületek világa 1 Kristály Sándor Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest 2015. június 20. 1 Az MTA Bolyai János Kutatói Ösztöndíj által támogatott kutatás. Eukleidészi világnézet
RészletesebbenA hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje
A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
Részletesebben1. A Hilbert féle axiómarendszer
{Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
Részletesebben54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
RészletesebbenGEOMETRIA 1, alapszint
GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:
Részletesebben3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
Részletesebben1.Háromszög szerkesztése három oldalból
1 Szerkessz háromszöget, ha három oldala: a=3 cm b=4 cm c=5 cm 1.Háromszög szerkesztése három oldalból (Ugye tudod, hogy az a oldallal szemben A csúcs, b oldallal szemben B stb. van!) (homorú, hegyes,
RészletesebbenMinden matematikai elmélet fogalmak és állítások gyűjteményeként fogható fel. Az
Az euklideszi geometria axiomatikus felépítése 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének alapelvei Minden matematikai elmélet fogalmak és állítások gyűjteményeként
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenMTB1005 Geometria I előadásvázlat
MTB1005 Geometria I előadásvázlat Az abszolút geometria axiómarendszere 0. A geometria axiomatikus felépítéséről Egy axiómarendszer nem definiált alapfogalmakból és bizonyítás nélkül elfogadott állításokból
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenMatematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
RészletesebbenDobó Andor. Az elliptikus geometriának a Riemann-féle (gömbi) modellje lényegesen különbözik a Dobóféle
Dobó Andor Az elliptikus liptikus geometria két modelljér elljéről A Dobó-Topa-féle elliptikus (görbült) téridő-elmélet az elliptikus geometria alkalmazásán alapszik. Éppen ezért fontos e geometriának
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenGeometria 1, normálszint
Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
Részletesebben2. A tantárgy tartalma Előadás Az axiomatikus módszer a matematikában. A geometria axiomatikus megalapozásáról.
Tantárgy neve Geometria I Tantárgy kódja MTB1015 Meghirdetés féléve 1 Kreditpont 4k Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel (tantárgyi kód) MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kovács
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenA szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez
1 A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez A síkmértani szerkesztések között van egy kedvencünk: a szabályos n - szög közelítő szerkesztése. Azért vívta ki nálunk ezt az előkelő helyet, mert nagyon
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenTrigonometrikus összefüggések a Cayley-Klein-modellben
Trigonometrikus összefüggések a Cayley-Klein-modellben Matematika BSc Szakdolgozat Készítette: Csákberényi-Nagy Erzsébet Matematika BSc, tanári szakirány Témavezető: Dr. Verhóczki László, egyetemi docens
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenBevezetés a síkgeometriába
a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom
RészletesebbenEÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
Részletesebben1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. (x eleme az A halmaznak, x az A halmazhoz tartozik),
1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben Halmazok A halmaz a matematikában nem definiált fogalom. A halmazt alapfogalomnak tekintjük, nem tudjuk egyszerűbb fogalmakkal
RészletesebbenFeladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenAz Yff pontok vizsgálata különböző geometriákban
Az Yff pontok vizsgálata különböző geometriákban Szakdolgozat Paulik Rita Matematika BSc, Matematika tanári szakirány Témavezető: Dr. Rózsahegyiné Vásárhelyi Éva egyetemi docens Konzulens: Lénárt István
RészletesebbenInteraktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-
Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges
RészletesebbenTranszformációk síkon, térben
Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenRacionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
RészletesebbenVI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN. A feladatsor jellemzői
VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai: szögfelező, oldalfelező merőleges, magasság, beírt kör és középpontja, körülírt kör
Részletesebben3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
RészletesebbenGeometria I. Vígh Viktor
Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
RészletesebbenFejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek
Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenPraktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger. 2006/07 I. szemeszter
Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006/07 I. szemeszter Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 1 / 125 Outline Alapfogalmak, ponthalmazok.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenSzög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából:
Szög A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: http://hu.wikipedia.org/wiki/szög A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
Részletesebben2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II. forduló osztály
. feladat: Szupercsiga egy függőleges falon mászik felfelé. Első nap 4 cm-t tesz meg, éjszaka cm-t visszacsúszik. Második napon 9 cm-t tesz meg, éjszaka 4 cm-t csúszik vissza, harmadik napon 6 cm-t mászik,
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk
Egybevágósági transzformációk Párhuzamos eltolás Geometriai transzformációk Egybevágósági transzformációk (9. osztály) Helybenhagyás Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli forgatás Párhuzamos
RészletesebbenTérbeli transzformációk, a tér leképezése síkra
Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle
RészletesebbenLengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
Részletesebbenválasztással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi.
Egy kis számmisztika Az elmúlt másfél-két évben elért kutatási eredményeim szerint a fizikai téridő geometriai jellege szerint háromosztatú egységet alkot: egymáshoz (a lokális éterhez mért v sebesség
RészletesebbenGömbi háromszögek Kiszi Gergely Témavezető: Moussong Gábor
Gömbi háromszögek Kiszi Gergely Témavezető: Moussong Gábor Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Bsc, tanári szakirány 2017 Bevezetés Elsőször a középiskolai matematika tanárom,
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenMATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005
2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
RészletesebbenEgy feladat megoldása Geogebra segítségével
Egy feladat megoldása Geogebra segítségével A következőkben a Geogebra dinamikus geometriai szerkesztőprogram egy felhasználási lehetőségéről lesz szó, mindez bemutatva egy feladat megoldása során. A Geogebra
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenMatematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)
Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.
RészletesebbenFeladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
RészletesebbenTARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK
TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási
Részletesebbena geometria axiómái Vincze Csaba Debreceni Egyetem szeptember 27.
Semmiből egy új, más világot: a geometria axiómái Vincze Csaba Kutatók éjszakája 2017 Debreceni Egyetem 2017. szeptember 27. Babits Mihály: Bolyai Isten elménket bezárta a térbe. Szegény elménk e térben
RészletesebbenGeometriai axiómarendszerek és modellek
Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének
RészletesebbenEgy geometriai szélsőérték - feladat
1 Egy geometriai szélsőérték - feladat A feladat: Szerkesztendő egy olyan legnagyobb területű háromszög, melynek egyik csúcsa az a és b féltengelyeivel adott ellipszis tetszőlegesen felvett pontja. Keresendő
RészletesebbenGEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a
GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:
Részletesebben2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenIsmételjük a geometriát egy feladaton keresztül!
Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.
Részletesebben