Miért érdekes a görög matematika?
|
|
|
- Béla Bognár
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 2016. március
2 Tartalom 1 Bevezetés 2 Geometria 3 Számelmélet 4 Analízis 5 Matematikai csillagászat 6 Következtetések
3 Bevezetés
4 Miért éppen a görög matematika? A középiskolások sok olyan matematikai témát tanulnak, amelyeket a görögök fedeztek föl, de a diákok nem tudják a történelmi hátteret
5 Miért éppen a görög matematika? A középiskolások sok olyan matematikai témát tanulnak, amelyeket a görögök fedeztek föl, de a diákok nem tudják a történelmi hátteret Érdekesebb, ha tudjuk, hogyan született valami
6 Miért éppen a görög matematika? A középiskolások sok olyan matematikai témát tanulnak, amelyeket a görögök fedeztek föl, de a diákok nem tudják a történelmi hátteret Érdekesebb, ha tudjuk, hogyan született valami Bár a görögök sokat tanultak az egyiptomiaktól és a babilóniaktól,
7 Miért éppen a görög matematika? A középiskolások sok olyan matematikai témát tanulnak, amelyeket a görögök fedeztek föl, de a diákok nem tudják a történelmi hátteret Érdekesebb, ha tudjuk, hogyan született valami Bár a görögök sokat tanultak az egyiptomiaktól és a babilóniaktól, történelmileg a görög matematika az első, amely a mai napig helytálló eredményeket bizonyított be szabatosan
8 Történet i.e. 6. század: görög városállamok (Athén GR, Milétosz TU, Szirakúza: IT) i.e. 450: Athén fénykora i.e. 323: Alekszandrosz és hellenizmus i.e Róma elfoglalja Szirakúzát
9 Földrajz
10 Milétosz, Thálész, kb. i.e. 580
11 Croton, Püthagorász, kb. i.e. 550
12 Paestum, Élea, Zénon, i.e. 460
13 Athén, Eudoxosz, i.e. 370
14 Alexandria, Eukleidész, i.e. 300
15 Szirakúza, Arkhimédész, i.e. 240
16 2. Geometria
17 Geometriáról általában Földmérés tudománya
18 Geometriáról általában Földmérés tudománya Az egyiptomiak már ismerték a csonkagúla térfogatát (i.e. 1850)
19 Geometriáról általában Földmérés tudománya Az egyiptomiak már ismerték a csonkagúla térfogatát (i.e. 1850) A geometria szemléletes és mégis szabatos
20 Eukleidész előtt Thálész tétele. (i.e. 580): egy félkör bármelyik pontjából az átmérő derékszög alatt látszik
21 Eukleidész előtt Thálész tétele. (i.e. 580): egy félkör bármelyik pontjából az átmérő derékszög alatt látszik Püthagorász tétele (i.e. 550). Ha a, b egy derékszögű háromszög befogóinak hossza, c az átfogóé, akkor a 2 + b 2 = c 2
22 Eukleidész előtt Thálész tétele. (i.e. 580): egy félkör bármelyik pontjából az átmérő derékszög alatt látszik Püthagorász tétele (i.e. 550). Ha a, b egy derékszögű háromszög befogóinak hossza, c az átfogóé, akkor a 2 + b 2 = c 2 Miért fontos?
23 Eukleidész előtt Thálész tétele. (i.e. 580): egy félkör bármelyik pontjából az átmérő derékszög alatt látszik Püthagorász tétele (i.e. 550). Ha a, b egy derékszögű háromszög befogóinak hossza, c az átfogóé, akkor a 2 + b 2 = c 2 Miért fontos? Mert alapvető matematikai igazságot fejez ki: független valószínűségi változók összegének a szórásnégyzete = a szórásnégyzetek összegével
24 Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek
25 Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek Nem nagy tudós, de a valaha élt legjobb tankönyvíró
26 Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek Nem nagy tudós, de a valaha élt legjobb tankönyvíró Axióma: alapigazság, pl. két egyenes legfeljebb egy pontban metszi egymást
27 Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek Nem nagy tudós, de a valaha élt legjobb tankönyvíró Axióma: alapigazság, pl. két egyenes legfeljebb egy pontban metszi egymást Alapfogalom: pont, egyenes, sík, eleme, metszi
28 Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek Nem nagy tudós, de a valaha élt legjobb tankönyvíró Axióma: alapigazság, pl. két egyenes legfeljebb egy pontban metszi egymást Alapfogalom: pont, egyenes, sík, eleme, metszi Egyik sem vezethető vissza alapabbra
29 Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek Nem nagy tudós, de a valaha élt legjobb tankönyvíró Axióma: alapigazság, pl. két egyenes legfeljebb egy pontban metszi egymást Alapfogalom: pont, egyenes, sík, eleme, metszi Egyik sem vezethető vissza alapabbra Definíció: pl. a háromszög A csúcsához tartozó szögfelező egyenes,
30 Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek Nem nagy tudós, de a valaha élt legjobb tankönyvíró Axióma: alapigazság, pl. két egyenes legfeljebb egy pontban metszi egymást Alapfogalom: pont, egyenes, sík, eleme, metszi Egyik sem vezethető vissza alapabbra Definíció: pl. a háromszög A csúcsához tartozó szögfelező egyenes, Tétel. A háromszög 3 szögfelezője 1 pontban metszi egymást
31 Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek Nem nagy tudós, de a valaha élt legjobb tankönyvíró Axióma: alapigazság, pl. két egyenes legfeljebb egy pontban metszi egymást Alapfogalom: pont, egyenes, sík, eleme, metszi Egyik sem vezethető vissza alapabbra Definíció: pl. a háromszög A csúcsához tartozó szögfelező egyenes, Tétel. A háromszög 3 szögfelezője 1 pontban metszi egymást Meglepő, de logikus!
32 Párhuzamossági axióma Definíció. Két síkbeli egyenes párhuzamos, ha nem metszik egymást
33 Párhuzamossági axióma Definíció. Két síkbeli egyenes párhuzamos, ha nem metszik egymást Az V. axióma: Adott egyeneshez adott külső ponthoz pontosan egy párhuzamos egyenes húzható
34 Párhuzamossági axióma Definíció. Két síkbeli egyenes párhuzamos, ha nem metszik egymást Az V. axióma: Adott egyeneshez adott külső ponthoz pontosan egy párhuzamos egyenes húzható Eukleidész is tudatában volt annak, hogy ez az axióma más, mint a többi, esetleg tétel
35 Párhuzamossági axióma Definíció. Két síkbeli egyenes párhuzamos, ha nem metszik egymást Az V. axióma: Adott egyeneshez adott külső ponthoz pontosan egy párhuzamos egyenes húzható Eukleidész is tudatában volt annak, hogy ez az axióma más, mint a többi, esetleg tétel 15 tételt kimondott nélküle, s csak aztán vezette be
36 Párhuzamossági axióma Definíció. Két síkbeli egyenes párhuzamos, ha nem metszik egymást Az V. axióma: Adott egyeneshez adott külső ponthoz pontosan egy párhuzamos egyenes húzható Eukleidész is tudatában volt annak, hogy ez az axióma más, mint a többi, esetleg tétel 15 tételt kimondott nélküle, s csak aztán vezette be Bolyai Lobacsevszkij (1830): logikailag létezik olyan geometria, amelyben nem érvényes A5.
37 Párhuzamossági axióma Definíció. Két síkbeli egyenes párhuzamos, ha nem metszik egymást Az V. axióma: Adott egyeneshez adott külső ponthoz pontosan egy párhuzamos egyenes húzható Eukleidész is tudatában volt annak, hogy ez az axióma más, mint a többi, esetleg tétel 15 tételt kimondott nélküle, s csak aztán vezette be Bolyai Lobacsevszkij (1830): logikailag létezik olyan geometria, amelyben nem érvényes A5. Nemcsak logikai játék: Einstein (1915) általános relativitáselmélete
38 Görög sejtések, modern megoldások Hány oldalú szabályos sokszögek szerkeszthetők meg euklidészi módon?
39 Görög sejtések, modern megoldások Hány oldalú szabályos sokszögek szerkeszthetők meg euklidészi módon? például a szabályos háromszög, négyzet, hatszög, és ötszög (aranymetszés)!!
40 Görög sejtések, modern megoldások Hány oldalú szabályos sokszögek szerkeszthetők meg euklidészi módon? például a szabályos háromszög, négyzet, hatszög, és ötszög (aranymetszés)!! Gauss (1795): a szabályos 7-szög nem szerkeszthető meg
41 Görög sejtések, modern megoldások Hány oldalú szabályos sokszögek szerkeszthetők meg euklidészi módon? például a szabályos háromszög, négyzet, hatszög, és ötszög (aranymetszés)!! Gauss (1795): a szabályos 7-szög nem szerkeszthető meg Harmadolható-e minden szög?
42 Görög sejtések, modern megoldások Hány oldalú szabályos sokszögek szerkeszthetők meg euklidészi módon? például a szabályos háromszög, négyzet, hatszög, és ötszög (aranymetszés)!! Gauss (1795): a szabályos 7-szög nem szerkeszthető meg Harmadolható-e minden szög? Például a 90 o igen, de a 60 o nem (Gauss)
43 3. Számelmélet
44 Számelméletről általában Gauss: a számelmélet a matematika királynője: szép, de haszontalan
45 Számelméletről általában Gauss: a számelmélet a matematika királynője: szép, de haszontalan görög újítás
46 Számelméletről általában Gauss: a számelmélet a matematika királynője: szép, de haszontalan görög újítás 1970 óta a titkosírás alapja:
47 Számelméletről általában Gauss: a számelmélet a matematika királynője: szép, de haszontalan görög újítás 1970 óta a titkosírás alapja: p és q egy-egy prímszám, szorzatuk pq egyszerűen kiszámítható
48 Számelméletről általában Gauss: a számelmélet a matematika királynője: szép, de haszontalan görög újítás 1970 óta a titkosírás alapja: p és q egy-egy prímszám, szorzatuk pq egyszerűen kiszámítható de ha a számok nagyok, pl , akkor gyakorlatilag nem tudjuk tényezőire bontani a szorzatot
49 Végtelen sok prímszám van Definíció: Egy prímszám olyan pozitív egész szám, amelynek nincs valódi osztója.
50 Végtelen sok prímszám van Definíció: Egy prímszám olyan pozitív egész szám, amelynek nincs valódi osztója. Tétel (Eukleidész.) Végtelen sok prímszám van.
51 Végtelen sok prímszám van Definíció: Egy prímszám olyan pozitív egész szám, amelynek nincs valódi osztója. Tétel (Eukleidész.) Végtelen sok prímszám van. Bizonyítás. Indirekt módon.
52 Végtelen sok prímszám van Definíció: Egy prímszám olyan pozitív egész szám, amelynek nincs valódi osztója. Tétel (Eukleidész.) Végtelen sok prímszám van. Bizonyítás. Indirekt módon. Tegyük föl, hogy csak véges sok van: p 1, p 2,..., p n.
53 Végtelen sok prímszám van Definíció: Egy prímszám olyan pozitív egész szám, amelynek nincs valódi osztója. Tétel (Eukleidész.) Végtelen sok prímszám van. Bizonyítás. Indirekt módon. Tegyük föl, hogy csak véges sok van: p 1, p 2,..., p n. Szorozzuk össze őket és a szorzathoz adjunk 1-et: n = p 1 p 2 p n + 1
54 Végtelen sok prímszám van Definíció: Egy prímszám olyan pozitív egész szám, amelynek nincs valódi osztója. Tétel (Eukleidész.) Végtelen sok prímszám van. Bizonyítás. Indirekt módon. Tegyük föl, hogy csak véges sok van: p 1, p 2,..., p n. Szorozzuk össze őket és a szorzathoz adjunk 1-et: n = p 1 p 2 p n + 1 n nem osztható p 1, p 2,..., p n egyikével sem, tehát vagy új prím szám, vagy van egy újabb prímosztója
55 Végtelen sok prímszám van Definíció: Egy prímszám olyan pozitív egész szám, amelynek nincs valódi osztója. Tétel (Eukleidész.) Végtelen sok prímszám van. Bizonyítás. Indirekt módon. Tegyük föl, hogy csak véges sok van: p 1, p 2,..., p n. Szorozzuk össze őket és a szorzathoz adjunk 1-et: n = p 1 p 2 p n + 1 n nem osztható p 1, p 2,..., p n egyikével sem, tehát vagy új prím szám, vagy van egy újabb prímosztója Példa: = 7, prím, de az 5 kimarad
56 Hány ikerprímszám van? Definíció. Két prímszám ikerprímszám, ha különbségük 2
57 Hány ikerprímszám van? Definíció. Két prímszám ikerprímszám, ha különbségük 2 Példa: 3 és 5, 5 és 7, 11 és 13 stb
58 Hány ikerprímszám van? Definíció. Két prímszám ikerprímszám, ha különbségük 2 Példa: 3 és 5, 5 és 7, 11 és 13 stb Van-e végtelen sok ikerprímszám? Nem tudjuk
59 Hány ikerprímszám van? Definíció. Két prímszám ikerprímszám, ha különbségük 2 Példa: 3 és 5, 5 és 7, 11 és 13 stb Van-e végtelen sok ikerprímszám? Nem tudjuk Legújabb eredmény: végtelen sok olyan (nem feltétlen iker) prímpár létezik, amelynek különbsége kisebb, mint 600.
60 Hány ikerprímszám van? Definíció. Két prímszám ikerprímszám, ha különbségük 2 Példa: 3 és 5, 5 és 7, 11 és 13 stb Van-e végtelen sok ikerprímszám? Nem tudjuk Legújabb eredmény: végtelen sok olyan (nem feltétlen iker) prímpár létezik, amelynek különbsége kisebb, mint 600. Következmény: végtelen sok olyan prímpár létezik, amelynek különbsége egy adott páros szám, amelyik kisebb, mint 600 (pl. 2, 4,..., 598)
61 Vannak irracionális számok Definíció. Egy pozitív szám racionális, ha felírható két pozitív szám hányadosaként (ratio=/=értelem, hanem viszony), irracionális egyébként.
62 Vannak irracionális számok Definíció. Egy pozitív szám racionális, ha felírható két pozitív szám hányadosaként (ratio=/=értelem, hanem viszony), irracionális egyébként. Tétel. 2 irracionális.
63 Vannak irracionális számok Definíció. Egy pozitív szám racionális, ha felírható két pozitív szám hányadosaként (ratio=/=értelem, hanem viszony), irracionális egyébként. Tétel. 2 irracionális. Bizonyítás. Indirekt. 2 = p, (p, q) 1 q
64 Pitágorászi számhármasok Derékszögű háromszögek hossza a, b, c: Pitágorász-tétel: a 2 + b 2 = c 2.
65 Pitágorászi számhármasok Derékszögű háromszögek hossza a, b, c: Pitágorász-tétel: a 2 + b 2 = c 2. Lehet-e a, b, c mind természetes szám? Például (1, 1, 2) nem ilyen
66 Pitágorászi számhármasok Derékszögű háromszögek hossza a, b, c: Pitágorász-tétel: a 2 + b 2 = c 2. Lehet-e a, b, c mind természetes szám? Például (1, 1, 2) nem ilyen Példa: = 5 2
67 Pitágorászi számhármasok Derékszögű háromszögek hossza a, b, c: Pitágorász-tétel: a 2 + b 2 = c 2. Lehet-e a, b, c mind természetes szám? Például (1, 1, 2) nem ilyen Példa: = 5 2 Mások? Például: triviális: (6, 8, 10).
68 Pitágorászi számhármasok Derékszögű háromszögek hossza a, b, c: Pitágorász-tétel: a 2 + b 2 = c 2. Lehet-e a, b, c mind természetes szám? Például (1, 1, 2) nem ilyen Példa: = 5 2 Mások? Például: triviális: (6, 8, 10). Mások? Tegyük föl, hogy (a, b) = 1: nincs közös osztójuk (primitív). Például = 13 2
69 folytatás Tétel. Ha (a, b, c) primitív pitágorászi számhármas, akkor felírható a következő alakban:
70 folytatás Tétel. Ha (a, b, c) primitív pitágorászi számhármas, akkor felírható a következő alakban: a = m 2 n 2, b = 2mn, c = m 2 + n 2, ahol m > n természetes szám, különböző paritásúak, és (m, n) = 1
71 folytatás Tétel. Ha (a, b, c) primitív pitágorászi számhármas, akkor felírható a következő alakban: a = m 2 n 2, b = 2mn, c = m 2 + n 2, ahol m > n természetes szám, különböző paritásúak, és (m, n) = 1 Bizonyítás: Elégséges: (m 2 n 2 ) 2 + (2mn) 2 = (m 2 + n 2 ) 2
72 folytatás Tétel. Ha (a, b, c) primitív pitágorászi számhármas, akkor felírható a következő alakban: a = m 2 n 2, b = 2mn, c = m 2 + n 2, ahol m > n természetes szám, különböző paritásúak, és (m, n) = 1 Bizonyítás: Elégséges: (m 2 n 2 ) 2 + (2mn) 2 = (m 2 + n 2 ) 2 Szükséges: a 2 + b 2 = c 2 -t átrendezve: a 2 = c 2 b 2 = (c b)(c + b)
73 folytatás Tétel. Ha (a, b, c) primitív pitágorászi számhármas, akkor felírható a következő alakban: a = m 2 n 2, b = 2mn, c = m 2 + n 2, ahol m > n természetes szám, különböző paritásúak, és (m, n) = 1 Bizonyítás: Elégséges: (m 2 n 2 ) 2 + (2mn) 2 = (m 2 + n 2 ) 2 Szükséges: a 2 + b 2 = c 2 -t átrendezve: a 2 = c 2 b 2 = (c b)(c + b) a 2 mindkét tényezője négyzetszám: n 2 = c b, m 2 = c + b stb.
74 Kitérő: Fermat-sejtés, 1636 Fermat-sejtés: x n + y n z n, ha n > 2
75 Kitérő: Fermat-sejtés, 1636 Fermat-sejtés: x n + y n z n, ha n > 2 Fermat tétele: x 4 + y 4 z 4.
76 Kitérő: Fermat-sejtés, 1636 Fermat-sejtés: x n + y n z n, ha n > 2 Fermat tétele: x 4 + y 4 z 4. Wiles tétele (1994): Fermat sejtése igaz
77 Kitérő: Fermat-sejtés, 1636 Fermat-sejtés: x n + y n z n, ha n > 2 Fermat tétele: x 4 + y 4 z 4. Wiles tétele (1994): Fermat sejtése igaz Önmagában teljesen haszontalan" kérdés, de óriási lökést adott a matematika fejlődésének
78 4. Analízis
79 Hosszúság, terület, térfogat, érintő hosszúság, terület- és térfogatmérés
80 Hosszúság, terület, térfogat, érintő hosszúság, terület- és térfogatmérés Sima görbék érintőjének meredeksége (parabolatükör tökéletesen fókuszálja a párhuzamos sugarakat)
81 Hosszúság, terület, térfogat, érintő hosszúság, terület- és térfogatmérés Sima görbék érintőjének meredeksége (parabolatükör tökéletesen fókuszálja a párhuzamos sugarakat) A görögöknél fényüzés volt, de a modern tudomány és technika alapja
82 Zénó paradoxonai Zénon (i.e. 460, Élea): Akhilleusz és a teknősbéka: n + =?
83 Zénó paradoxonai Zénon (i.e. 460, Élea): Akhilleusz és a teknősbéka: n + =? Paradoxon: ellentmondásnak látszó helyes állítás
84 Zénó paradoxonai Zénon (i.e. 460, Élea): Akhilleusz és a teknősbéka: n + =? Paradoxon: ellentmondásnak látszó helyes állítás Racionális magva: létezik végtelen sok pozitív szám, amelyek összege véges, itt 1
85 Akhilleusz és a teknősbéka
86 Kitérő: Pláton filozófiája Pláton (i.e. körül 370): filozófus, akadémia (liget neve): a filozófiához ismerned kell a geometriát!
87 Kitérő: Pláton filozófiája Pláton (i.e. körül 370): filozófus, akadémia (liget neve): a filozófiához ismerned kell a geometriát! Plutarkhosz (i.sz. 100): Párhuzamos életrajzok, Marcellus tábornok Szirakúzát ostromolja, Arkhimédesz halála:
88 Kitérő: Pláton filozófiája Pláton (i.e. körül 370): filozófus, akadémia (liget neve): a filozófiához ismerned kell a geometriát! Plutarkhosz (i.sz. 100): Párhuzamos életrajzok, Marcellus tábornok Szirakúzát ostromolja, Arkhimédesz halála: Tökéletes leírás: a matematika nem valódi tárgyakkal, hanem azok égi másával foglalkozik
89 Kitérő: Pláton filozófiája Pláton (i.e. körül 370): filozófus, akadémia (liget neve): a filozófiához ismerned kell a geometriát! Plutarkhosz (i.sz. 100): Párhuzamos életrajzok, Marcellus tábornok Szirakúzát ostromolja, Arkhimédesz halála: Tökéletes leírás: a matematika nem valódi tárgyakkal, hanem azok égi másával foglalkozik Platón felháborodott [Eudoxosz mechanikai játékain], és szemrehányást tett neki, hogy... elrontja azt, ami jó van a geometriában azáltal, hogy az emberek figyelmét a testetlen és elvont tárgyakról az érzékelhető világra fordítja."
90 Eudoxosz Eudoxosz (i.e. 370, Athén): a kör kerülete = a körbe be- és köréírt sokszögek kerületének közös határértéke, amint az oldalak hossza tart 0-hoz:
91 Eudoxosz Eudoxosz (i.e. 370, Athén): a kör kerülete = a körbe be- és köréírt sokszögek kerületének közös határértéke, amint az oldalak hossza tart 0-hoz: Tétel: P = πd, ahol π 3, π > 3
92 Arkhimédész, az ókor legnagyobb tudósa Arkhimédész (i.e. 287 i.e. 212, Szirakúza)
93 Arkhimédész, az ókor legnagyobb tudósa Arkhimédész (i.e. 287 i.e. 212, Szirakúza) legendák: szórakozott professzor a fürdőből ruhátlanul hazaszalad
94 Arkhimédész, az ókor legnagyobb tudósa Arkhimédész (i.e. 287 i.e. 212, Szirakúza) legendák: szórakozott professzor a fürdőből ruhátlanul hazaszalad praktikus mérnök, aki csigákkal partra vontatja az ostromló római hajókat
95 Gyújtótükör
96 Arkhimédész és a π Legyen a n és A n az egység átmérőjű körbe- és köré írt n-oldalú szabályos sokszög oldalhossza. Végrehajtja Eudoxosz programját, fokozatos megközelítéssel az oldalhosszak közti rekurzióval, a 2n = a n 2(1 + 1 a 2 n), A 2n = A n A 2 n kiszámítja az egység átmérőjű körbe- és köré írt 96-oldalú szabályos sokszög kerületét: < π < 31 7
97 Arkhimédész és a π, folytatás Oldalszám Beírt kerülerület Köréírt 6 3,00 3, ,11 3, ,13 3, ,140 3, ,141 3,143 ke-
98 Arkhimédész egyéb felfedezései Gömb térfogata = 4R 3 π/3
99 Arkhimédész egyéb felfedezései Gömb térfogata = 4R 3 π/3 Térfogat-bizonyítás: Félgömb = henger Kúp (tölcsér)
100 Arkhimédész egyéb felfedezései Gömb térfogata = 4R 3 π/3 Térfogat-bizonyítás: Félgömb = henger Kúp (tölcsér) A [0, 1] szakaszon a parabola alatti terület = 1/3 Bizonyítás: 4 db
101 Arkhimédész síremléke
102 5. Matematikai csillagászat
103 Föld Hold Nap távolsága Arisztarkhosz (i.e. 290, Szamosz)
104 Föld Hold Nap távolsága Arisztarkhosz (i.e. 290, Szamosz) Félhold idején a FHN-szög derékszög
105 Föld Hold Nap távolsága Arisztarkhosz (i.e. 290, Szamosz) Félhold idején a FHN-szög derékszög FH/FN = cos α
106 Föld Hold Nap távolsága Arisztarkhosz (i.e. 290, Szamosz) Félhold idején a FHN-szög derékszög FH/FN = cos α Szabad szemmel α = 87 o, tehát FN = 20FH
107 Föld Hold Nap távolsága Arisztarkhosz (i.e. 290, Szamosz) Félhold idején a FHN-szög derékszög FH/FN = cos α Szabad szemmel α = 87 o, tehát FN = 20FH valójában α = 1/2 o, tehát FN = 400FH
108 Föld Hold Nap távolsága Arisztarkhosz (i.e. 290, Szamosz) Félhold idején a FHN-szög derékszög FH/FN = cos α Szabad szemmel α = 87 o, tehát FN = 20FH valójában α = 1/2 o, tehát FN = 400FH A Nap sokkal nagyobb, mint a Hold Nap a központ, a Föld is bolygó (Kopernikusz, 1543)
109 Arisztarkhosz
110 Föld mérete Eratoszthenész (i.e. 240, Alexandria)
111 Föld mérete Eratoszthenész (i.e. 240, Alexandria) A nyári napforduló idején a napsugár merőlegesen esik be az asszuáni kútba, Alexandriában viszont α szöggel
112 Föld mérete Eratoszthenész (i.e. 240, Alexandria) A nyári napforduló idején a napsugár merőlegesen esik be az asszuáni kútba, Alexandriában viszont α szöggel Ha egy délkörön fekszik a két hely, akkor i = Rα, R 40 ezer km
113 Föld mérete Eratoszthenész (i.e. 240, Alexandria) A nyári napforduló idején a napsugár merőlegesen esik be az asszuáni kútba, Alexandriában viszont α szöggel Ha egy délkörön fekszik a két hely, akkor i = Rα, R 40 ezer km Eratoszthenész sztadionban számolt, és többféle sztadion volt, akárcsak a brit és az amerikai gallon
114 Eratoszthenesz
115 6. Következtetések
116 Időrendi névsor Thálesz (i.e. 580) Püthagorász (i.e. 550) Eudoxosz (i.e. 370) Eukleidész (i.e. 300) Arkhimédész (i.e. 240)
117 Következtetések Miért éppen a görögök? Városállamok versengése, szabad szellem
118 Következtetések Miért éppen a görögök? Városállamok versengése, szabad szellem Miért állt le a fejlődés? Elérte a maximumot, (leragadtak a paradoxonoknál, nem volt jó számírásuk, széteső társadalom)
119 Következtetések Miért éppen a görögök? Városállamok versengése, szabad szellem Miért állt le a fejlődés? Elérte a maximumot, (leragadtak a paradoxonoknál, nem volt jó számírásuk, széteső társadalom) A görög matematika feltámadása: újkor, pl. az analitikus geometria (Descartes, Fermat, 1630)
120 Következtetések Miért éppen a görögök? Városállamok versengése, szabad szellem Miért állt le a fejlődés? Elérte a maximumot, (leragadtak a paradoxonoknál, nem volt jó számírásuk, széteső társadalom) A görög matematika feltámadása: újkor, pl. az analitikus geometria (Descartes, Fermat, 1630) kalkulus (Newton és Leibniz, 1670-től)
121 Irodalom I Szabó Árpád (1980): A görög matematika kibontakozása. Simonyi Károly (1980): A fizika kultúrtörténete. (2009): Válogatott fejezetek a matematika történetéből.
A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)
A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer
Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
Bevezetés a síkgeometriába
a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom
MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.
Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,
2. Síkmértani szerkesztések
2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet
(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
Geometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. Néhány elem sorba rendezése, az összes lehetséges sorrend felsorolása.
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
Modern matematikai paradoxonok
Modern matematikai paradoxonok Juhász Péter ELTE Matematikai Intézet Számítógéptudományi Tanszék 2013. január 21. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 1 / 36 Jelentés Mit jelent a paradoxon
Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 016. április 7. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)
Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott
Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
A TERMÉSZETES SZÁMOK
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019.
Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök
Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok
TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK
TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
Tartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek
2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,
Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest. 2015. június 20.
A görbületek világa 1 Kristály Sándor Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest 2015. június 20. 1 Az MTA Bolyai János Kutatói Ösztöndíj által támogatott kutatás. Eukleidészi világnézet
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!
Koordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel
5. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel Axióma: Bizonyítás: olyan állítás, amelynek igazságát bizonyítás nélkül elfogadjuk.
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.
1. feladatsor Legyen ABCDEF egy szabályos hatszög. A hatszög AB és BC oldalára megrajzoljuk
1. feladatsor 2013.09.13. 1. Legyen ABCDEF egy szabályos hatszög. A hatszög AB és BC oldalára megrajzoljuk kifelé a BAXY és CBZT négyzeteket, illetve a CD és DE oldalára befelé a CDP Q és DERS négyzeteket.
1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,
Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK
Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK Év eleji feladatok Szükséges eszközök: A4-es négyzetrácsos füzet Letölthető tananyag: Emelt szintű matematika érettségi témakörök (2016) Forrás: www.mozaik.info.hu
Fejezetek a Matematika
Fejezetek a Matematika Kultúrtörténetéből Dormán Miklós Szegedi Tudományegyetem TTIK Bolyai Intézet 2013 október 25 Az ókori Görögország matematikája 2 rész Éliszi Hippiász (kb 420 körül): az egyik szögharmadoló
Láthatjuk, hogy az els szám a 19, amelyre pontosan 4 állítás teljesül, tehát ez lesz a legnagyobb. 1/5
D1. Egy pozitív egész számról az alábbi 7 állítást tették: I. A szám kisebb, mint 23. II. A szám kisebb, mint 25. III. A szám kisebb, mint 27. IV. A szám kisebb, mint 29. V. A szám páros. VI. A szám hárommal
GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a
GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:
Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!
Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a
10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
SZTE TTIK Bolyai Intézet
Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,
Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein
A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
III. Vályi Gyula Emlékverseny december
III. Vályi Gyula Emlékverseny 1996. december 14 15. VI osztály A feladatok szövege után öt lehetséges válasz (A, B, C, D és E) található, amelyek közül csak pontosan egy helyes. A helyes válasz betűjelét
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket
PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÁSA: MATEMATIKA, KÖZÉP SZINT. 3, ahonnan 2 x = 3, tehát. x =. 2
FELADATSOR MEGOLDÁSA I. rész 1.1.) a) igaz b) hamis. 1..) A helyes megoldás: b) R = r 1..) x = 7 = ahonnan x = tehát x =. 1.4.) Az oszlopdiagramból kiolvasható hogy a két üzem termelése között a legnagyobb
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:
Érdekes pitagoraszi számokról
Érdekes pitagoraszi számokról Tuzson Zoltan Ebben a dolgozatban különböző érdekes tulajdonsággal rendelkező pitagoraszi számhármasokról, szám négyesekről és szám n-esekről írtam. A leírtak alapján is beláthatjuk,
Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
Hajdú Bihar megyei középiskolások matematika versenye, 2018/ évfolyam, II. kategória, megoldókulcs
Hajdú Bihar megyei középiskolások matematika versenye, 018/019 11. évfolyam, II. kategória, megoldókulcs 1. feladat 1. megoldás Az északi csap 8:00 és 8:30 között (fél óra alatt) a medence 1 részét tölti
Minden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont.
1. 1. Név: NEPTUN kód: Tanult középiskolai matematika szintje: közép, emelt szint. Munkaidő: 50 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. A feladatlap üresen
Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika
Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki
Kisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a b pozitív egészek és tudjuk hogy a 2
Kártyázzunk véges geometriával
Kártyázzunk véges geometriával Bogya Norbert Bolyai Intézet Egyetemi tavasz, 2016 Tartalom Dobble Véges geometria Dobble újratöltve SET Kérdések Hogy tudunk ilyen kártyákat konstruálni? 8 helyett más
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,
MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam
MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,
SZÁMELMÉLETI FELADATOK
SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban
Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. különbözı pozitív egész szám átlaga. Legfeljebb mekkora lehet ezen számok közül a legnagyobb? (A) (B) 8 (C) 9 (D) 78 (E) 44. 00 009 + 008 007 +... + 4
A logika, és a matematikai logika alapjait is neves görög tudós filozófus Arisztotelész rakta le "Analitika" című művében, Kr.e. IV. században.
LOGIKA A logika tudománnyá válása az ókori Görögországban kezdődött. Maga a logika szó is görög eredetű, a logosz szó jelentése: szó, fogalom, ész, szabály. Már az első tudósok, filozófusok, és politikusok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. (x eleme az A halmaznak, x az A halmazhoz tartozik),
1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben Halmazok A halmaz a matematikában nem definiált fogalom. A halmazt alapfogalomnak tekintjük, nem tudjuk egyszerűbb fogalmakkal
Geometriai transzformációk
Geometriai transzformációk 11 elemi geometriafeladat 10. és DG Matektábor 2016. október 6. Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október
Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)
Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.
2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat
1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
Bartha Gábor feladatjavaslatai az Arany Dániel Matematika Versenyre
Bartha Gábor feladatjavaslatai az Arany Dániel Matematika Versenyre Kérem, hogy a megoldásokat elektronikus (lehetőleg doc vagy docx) formában is küldjétek el a következő e- mail címre: balgaati@gmail.com
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II. forduló osztály
. feladat: Szupercsiga egy függőleges falon mászik felfelé. Első nap 4 cm-t tesz meg, éjszaka cm-t visszacsúszik. Második napon 9 cm-t tesz meg, éjszaka 4 cm-t csúszik vissza, harmadik napon 6 cm-t mászik,
1. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3..-/-0-000 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 05 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.
Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele
Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele Markó Zoltán 11C Húrnégyszögek Definíció: Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amely köré kör írható Vagyis az olyan konvex négyszögek, amelyeknek oldalai egyben