Modern matematikai paradoxonok
|
|
|
- Etelka Halászné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Modern matematikai paradoxonok Juhász Péter ELTE Matematikai Intézet Számítógéptudományi Tanszék január 21. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
2 Jelentés Mit jelent a paradoxon szó? A szó jelentése Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
3 Jelentés Mit jelent a paradoxon szó? A szó jelentése Két értelemben is használjuk: Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
4 Jelentés Mit jelent a paradoxon szó? A szó jelentése Két értelemben is használjuk: 1 Látszólagos paradoxon, ami ellentmond az elképzelésünknek, elvárásunknak. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
5 Jelentés Mit jelent a paradoxon szó? A szó jelentése Két értelemben is használjuk: 1 Látszólagos paradoxon, ami ellentmond az elképzelésünknek, elvárásunknak. 2 Valódi paradoxon, vagyis egy igazi ellentmondás. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
6 Ókori paradoxonok Ókori paradoxonok Zénón paradoxonjai (i. e. V. század): Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
7 Ókori paradoxonok Ókori paradoxonok Zénón paradoxonjai (i. e. V. század): Akhilleusz és a tekn s Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
8 Ókori paradoxonok Ókori paradoxonok Zénón paradoxonjai (i. e. V. század): Akhilleusz és a tekn s Kil tt nyílvessz Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
9 Ókori paradoxonok Ókori paradoxonok Zénón paradoxonjai (i. e. V. század): Akhilleusz és a tekn s Kil tt nyílvessz Fának hajított k Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
10 Ókori paradoxonok Ókori paradoxonok Zénón paradoxonjai (i. e. V. század): Akhilleusz és a tekn s Kil tt nyílvessz Fának hajított k Zénón következtetése: a mozgás csak illúzió. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
11 Miért félünk a paradoxonoktól? A kérdés Miért félünk a valódi paradoxonoktól? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
12 Miért félünk a paradoxonoktól? Miért félünk a paradoxonoktól? Paradoxon esetén értelmetlenné válik a matematika, bármit be lehet bizonyítani. (És annak ellenkez jét is.) Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
13 Miért félünk a paradoxonoktól? Miért félünk a paradoxonoktól? Paradoxon esetén értelmetlenné válik a matematika, bármit be lehet bizonyítani. (És annak ellenkez jét is.) Indirekt bizonyítással. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
14 Miért félünk a paradoxonoktól? A bizonyítás Tétel: Minden prím páros. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
15 Miért félünk a paradoxonoktól? A bizonyítás Tétel: Minden prím páros. Bizonyítás: Indirekt feltevés: tegyük fel, hogy van páratlan prím. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
16 Miért félünk a paradoxonoktól? A bizonyítás Tétel: Minden prím páros. Bizonyítás: Indirekt feltevés: tegyük fel, hogy van páratlan prím. Paradoxon. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
17 Miért félünk a paradoxonoktól? A bizonyítás Tétel: Minden prím páros. Bizonyítás: Indirekt feltevés: tegyük fel, hogy van páratlan prím. Paradoxon. Ellentmondásra jutottunk. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
18 Miért félünk a paradoxonoktól? A bizonyítás Tétel: Minden prím páros. Bizonyítás: Indirekt feltevés: tegyük fel, hogy van páratlan prím. Paradoxon. Ellentmondásra jutottunk. Az eredeti feltevés hamis volt. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
19 Miért félünk a paradoxonoktól? A bizonyítás Tétel: Minden prím páros. Bizonyítás: Indirekt feltevés: tegyük fel, hogy van páratlan prím. Paradoxon. Ellentmondásra jutottunk. Az eredeti feltevés hamis volt. Vagyis a tétel igaz. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
20 Végtelen sorok Végtelen sorok Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
21 Végtelen sorok Grandi problémája Guido Grandi ( ) olasz szerzetes, matematikus Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
22 Végtelen sorok Grandi problémája Guido Grandi ( ) olasz szerzetes, matematikus =? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
23 Végtelen sorok Megoldások 1 1 }{{} }{{} }{{} +... = Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
24 Végtelen sorok Megoldások 1 1 }{{} }{{} }{{} +... = }{{} + 1 }{{}... = Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
25 Végtelen sorok Megoldások = A Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
26 Végtelen sorok Megoldások = A = A Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
27 Végtelen sorok Megoldások = A = A 1 = 2A Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
28 Végtelen sorok Megoldások = A = A 1 = 2A Vagyis A = 1 2 Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
29 Végtelen sorok Euler problémája Leonhard Euler ( ) Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
30 Végtelen sorok Euler problémája Leonhard Euler ( ) Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
31 Végtelen sorok Euler problémája = A Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
32 Végtelen sorok Euler problémája = A = 2A Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
33 Végtelen sorok Euler problémája = A = 2A Vonjuk ki az alsó egyenletb l a fels t. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
34 Végtelen sorok Euler problémája = A = 2A Vonjuk ki az alsó egyenletb l a fels t. A = 1 Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
35 Végtelen sorok Tisztázás Augustin-Louis Cauchy ( ) francia matematikus Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
36 Végtelen sorok Tisztázás Augustin-Louis Cauchy ( ) francia matematikus 1 A végtelen sor deníciója Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
37 Végtelen sorok Tisztázás Augustin-Louis Cauchy ( ) francia matematikus 1 A végtelen sor deníciója 2 A határérték deníciója. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
38 Halmazelmélet Halmazelmélet Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
39 Halmazelmélet Alapkérdés Kérdés: Mikor egyforma nagyságú két végtelen halmaz? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
40 Halmazelmélet Kezdetek Galileo Galilei ( ) Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
41 Halmazelmélet Kezdetek Galileo Galilei ( ) Értelmetlen a kérdés. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
42 Halmazelmélet Kezdetek Georg Cantor ( ) német matematikus Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
43 Halmazelmélet Kezdetek Georg Cantor ( ) német matematikus Egyenl ség deníciója Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
44 Halmazelmélet Kezdetek Georg Cantor ( ) német matematikus Egyenl ség deníciója Megszámlálható halmazok Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
45 Halmazelmélet Kezdetek Georg Cantor ( ) német matematikus Egyenl ség deníciója Megszámlálható halmazok Valós számok (1874) Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
46 Halmazelmélet Kezdetek Georg Cantor ( ) német matematikus Egyenl ség deníciója Megszámlálható halmazok Valós számok (1874) Cantor-tétel (1891) Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
47 Halmazelmélet Kezdetek Georg Cantor ( ) német matematikus Egyenl ség deníciója Megszámlálható halmazok Valós számok (1874) Cantor-tétel (1891) Sok különböz számosság Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
48 Halmazelmélet Bertrand Russell Bertrand Russell ( ), angol matematikus, lozófus Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
49 Halmazelmélet Bertrand Russell Bertrand Russell ( ), angol matematikus, lozófus Principia Mathematica Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
50 Halmazelmélet Russell-paradoxon Deníció. Egy halmaz jó, ha nem eleme önmagának. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
51 Halmazelmélet Russell-paradoxon Deníció. Egy halmaz jó, ha nem eleme önmagának. Deníció. Egy halmaz rossz, ha eleme önmagának. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
52 Halmazelmélet Russell-paradoxon Deníció. Egy halmaz jó, ha nem eleme önmagának. Deníció. Egy halmaz rossz, ha eleme önmagának. Russell-paradoxon A kérdés: (1901) Milyen halmaz az összes jó halmazból álló halmaz? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
53 Halmazelmélet Russell-paradoxon Deníció. Egy halmaz jó, ha nem eleme önmagának. Deníció. Egy halmaz rossz, ha eleme önmagának. Russell-paradoxon A kérdés: (1901) Milyen halmaz az összes jó halmazból álló halmaz? Lényegében ugyanezt Cantor észrevette 1899-ben. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
54 Halmazelmélet Tisztázás Szokatlan megoldás. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
55 Halmazelmélet Tisztázás Szokatlan megoldás. Axiomatikus felépítés, ZermeloFraenkel axiómarendszer (1908, 1922). Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
56 Halmazelmélet Tisztázás Szokatlan megoldás. Axiomatikus felépítés, ZermeloFraenkel axiómarendszer (1908, 1922). Szigorúan szabályozza a halmazképzést. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
57 Mértékelmélet Mértékelmélet Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
58 Mértékelmélet Mértékelmélet Van-e a síkban olyan alakzat, amely egybevágó egy valódi részhalmazával? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
59 Mértékelmélet Mértékelmélet Van-e a síkban olyan alakzat, amely egybevágó egy valódi részhalmazával? Van-e olyan, ami korlátos is? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
60 Mértékelmélet Mértékelmélet Van-e a síkban olyan alakzat, amely egybevágó egy valódi részhalmazával? Van-e olyan, ami korlátos is? Látszik itt valami aggasztó dolog? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
61 Mértékelmélet Fura halmazok Van-e olyan A síkbeli halmaz, amire igaz, hogy A = A 1 A 2 A 1 A 2 = és Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
62 Mértékelmélet Fura halmazok Van-e olyan A síkbeli halmaz, amire igaz, hogy A = A 1 A 2 A 1 A 2 = és A = A 1 = A2. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
63 Mértékelmélet Fura halmazok Van-e olyan A síkbeli halmaz, amire igaz, hogy A = A 1 A 2 A 1 A 2 = és A = A 1 = A2. Mazurkiewicz és Sierpi«ski, Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
64 Mértékelmélet Fura halmazok Van-e olyan A síkbeli halmaz, amire igaz, hogy A = A 1 A 2 A 1 A 2 = és A = A 1 = A2. Mazurkiewicz és Sierpi«ski, Lindenbaum, 1926., korlátos nem lehet. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
65 Mértékelmélet Átdarabolás Átdarabolás Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
66 Mértékelmélet Átdarabolás Átdarabolás Deníció. A és B halmazok átdarabolhatók egymásba, ha Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
67 Mértékelmélet Átdarabolás Átdarabolás Deníció. A és B halmazok átdarabolhatók egymásba, ha 1 A = A 1 A 2... A n 2 B = B 1 B 2... B n Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
68 Mértékelmélet Átdarabolás Átdarabolás Deníció. A és B halmazok átdarabolhatók egymásba, ha 1 A = A 1 A 2... A n 2 B = B 1 B 2... B n 3 A i = Bi Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
69 Mértékelmélet Háromszög területe Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
70 Mértékelmélet Háromszög területe Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
71 Mértékelmélet Háromszög területe Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
72 Mértékelmélet Háromszög területe Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
73 Mértékelmélet Bolyai Farkas tétele BolyaiGerwien tétel. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
74 Mértékelmélet Bolyai Farkas tétele BolyaiGerwien tétel. Bármely két egyenl terület sokszög átdarabolható egymásba. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
75 Mértékelmélet Bolyai Farkas tétele BolyaiGerwien tétel. Bármely két egyenl terület sokszög átdarabolható egymásba. David Hilbert kérdése (1900.): azonos térfogatú kocka és szabályos tetraéder átdarabolható-e egymásba? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
76 Mértékelmélet Bolyai Farkas tétele BolyaiGerwien tétel. Bármely két egyenl terület sokszög átdarabolható egymásba. David Hilbert kérdése (1900.): azonos térfogatú kocka és szabályos tetraéder átdarabolható-e egymásba? Max Dehn Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
77 Mértékelmélet Paradox halmazok Paradox halmazok Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
78 Mértékelmélet Paradox halmazok Paradox halmazok Deníció. A halmaz paradox, ha A = A 1 A 2, A 1 A 2 = és A 1, A 2 és A átdarabolhatók egymásba. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
79 Mértékelmélet Paradox halmazok Paradox halmazok Deníció. A halmaz paradox, ha A = A 1 A 2, A 1 A 2 = és A 1, A 2 és A átdarabolhatók egymásba. Láttuk, hogy a síkban van paradox halmaz. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
80 Mértékelmélet Paradox halmazok Paradox halmazok Deníció. A halmaz paradox, ha A = A 1 A 2, A 1 A 2 = és A 1, A 2 és A átdarabolhatók egymásba. Láttuk, hogy a síkban van paradox halmaz. Van-e korlátos? (60 évig megoldatlan kérdés volt.) Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
81 Mértékelmélet Paradox halmazok Paradox halmazok Deníció. A halmaz paradox, ha A = A 1 A 2, A 1 A 2 = és A 1, A 2 és A átdarabolhatók egymásba. Láttuk, hogy a síkban van paradox halmaz. Van-e korlátos? (60 évig megoldatlan kérdés volt.) Winfried Just, Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
82 Mértékelmélet BanachTarski paradoxon BanachTarski-paradoxon, Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
83 Mértékelmélet BanachTarski paradoxon BanachTarski-paradoxon, Tétel. Egy gömb átdarabolható két gömb uniójába. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
84 Mértékelmélet BanachTarski paradoxon BanachTarski-paradoxon, Tétel. Egy gömb átdarabolható két gömb uniójába. Mi ebben a meglep? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
85 Mértékelmélet BanachTarski paradoxon Hol itt a paradoxon? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
86 Mértékelmélet BanachTarski paradoxon Hol itt a paradoxon? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
87 Mértékelmélet BanachTarski paradoxon Hol itt a paradoxon? Probléma a térfogattal. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
88 Összefoglalás Különböz paradoxonok Összegzés Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
89 Összefoglalás Különböz paradoxonok Összegzés Nem tisztázott fogalom, szület ben lév deníció - végtelen sorok Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
90 Összefoglalás Különböz paradoxonok Összegzés Nem tisztázott fogalom, szület ben lév deníció - végtelen sorok Valódi paradoxon, amit ki kell küszöbölni - Russell-paradoxon Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
91 Összefoglalás Különböz paradoxonok Összegzés Nem tisztázott fogalom, szület ben lév deníció - végtelen sorok Valódi paradoxon, amit ki kell küszöbölni - Russell-paradoxon Látszólagos, a szemléletünknek nagyon ellentmondó állítás - BanachTarski-paradoxon Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
92 Összefoglalás Egyéb modern halmazok Születésnap-paradoxon Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
93 Összefoglalás Egyéb modern halmazok Születésnap-paradoxon Monty Hall-paradoxon. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
94 Összefoglalás Egyéb modern halmazok Születésnap-paradoxon Monty Hall-paradoxon. Gábriel harsonája.... Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
95 Kérdések Bátran kérdezzetek! Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
96 Vége Köszönöm a gyelmet. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok január / 36
A matematika nyelvér l bevezetés
A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások
Matematikai logika és halmazelmélet
Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete
Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék november 3.
Számosságok dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék 2008. november 3. ### Szamoss1www.tex, 2008.09.28. Ebben a rövid jegyzetben els½osorban a végtelen halmazok méretét, elemeinek
Diszkrét démonok A Borsuk-probléma
A Borsuk-probléma Bessenyei Mihály DE TTK Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör (megnyitó el adás) Debrecen, 2017. október 16. Bevezetés Magyarázat a címhez... Napjainkban
Kijelentéslogika, ítéletkalkulus
Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Kijelentés, ítélet: olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis Logikai értékek: igaz, hamis zürke I: 52-53, 61-62, 88, 95 Logikai műveletek
Kijelentéslogika, ítéletkalkulus
Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Arisztotelész (ie 4. sz) Leibniz (1646-1716) oole (1815-1864) Gödel (1906-1978) Neumann János (1903-1957) Kalmár László (1905-1976) Péter Rózsa (1905-1977) Kijelentés,
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!
DiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Egy halmazt elemei megadásával tekintünk ismertnek. Az elemeket felsorolással,vagy ha lehet a rájuk jellemző közös tulajdonság megadásával adunk meg.
Halmazelmélet A matematikai halmazelmélet megalapítója Georg Cantor (1845 1918) matematikus. Cantor Oroszországban született, de életét Németországban töltötte. Egy halmazt elemei megadásával tekintünk
Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam
Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes
Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein
A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden
A végtelen a matematikában Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet.
A végtelen a matematikában Radnóti Gimnázium 203. 04. 23. Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj 2 Pólya György: Ha a tudomány
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
Halmazelméleti alapfogalmak
Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,
SE EKK EIFTI Matematikai analízis
SE EKK EIFTI Matematikai analízis 1. Blokk A matematika minden ága foglalkozik halmazokkal, ezért fontos a halmazok általános tulajdonságainak vizsgálata. A halmazok általános tulajdonságaival a matematikának
JOHANNES KEPLER (Weil der Stadt, december 27. Regensburg, Bajorország, november 15.)
SZABÁLYOS TESTEK JOHANNES KEPLER (Weil der Stadt, 1571. december 27. Regensburg, Bajorország, 1630. november 15.) Német matematikus és csillagász, aki felfedezte a bolygómozgás törvényeit, amiket róla
1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. (x eleme az A halmaznak, x az A halmazhoz tartozik),
1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben Halmazok A halmaz a matematikában nem definiált fogalom. A halmazt alapfogalomnak tekintjük, nem tudjuk egyszerűbb fogalmakkal
11. előadás. Konvex poliéderek
11. előadás Konvex poliéderek Konvex poliéder 1. definíció: Konvex poliédernek nevezzük a térben véges sok, nem egysíkú pont konvex burkát. 2. definíció: Konvex poliédernek nevezzük azokat a térbeli korlátos
Analízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,
Diszkrét Matematika - Beadandó Feladatok
Diszkrét Matematika - Beadandó Feladatok Demjan Adalbert - SFDAGZ 2014. december 6. Tartalomjegyzék 1. 2.1-2/c 2 2. 2.2-1/c 3 3. 2.3-13/a 4 4. 2.3-13/b 5 5. 4.1-5/a 6 6. 4.1-5/b 7 7. 4.1-5/c 8 8. 4.4-16
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket
Miért érdekes a görög matematika?
2016. március Tartalom 1 Bevezetés 2 Geometria 3 Számelmélet 4 Analízis 5 Matematikai csillagászat 6 Következtetések Bevezetés Miért éppen a görög matematika? A középiskolások sok olyan matematikai témát
Matematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
Dr. Vincze Szilvia;
2014. szeptember 17. és 19. Dr. Vincze Szilvia; vincze@agr.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia/oktatas/oktatott_targyak/index/index.html 2010/2011-es tanév I. féléves tematika
Érdekességek az elemi matematika köréből
Érdekességek az elemi matematika köréből Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 1 / 17 Társasház
Választási rendszerek axiomatikus elmélete
Választási rendszerek axiomatikus elmélete Boros Zoltán Debreceni Egyetem TTK Matematikai Intézet Analízis Tanszék Matematika Szakkör Megnyitó 2016. szeptember 12. Interaktív demonstráció: fagylalt preferenciák
A híres Riemann-sejtés
A híres Riemann-sejtés Szakács Nóra Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Egyetemi Tavasz 205. 04. 8. A Riemann-sejtés története Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok
Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 1. Diszkrét matematika 2. 5. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. október 12. Diszkrét matematika
Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb
Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb 2004_02/4 Tegyél * jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosan Lehet hogy, de nem biztos Lehetetlen a) b) c) Négy egymást követő természetes
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,
Fraktálok. Bevezetés. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék Tavasz
Fraktálok Bevezetés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014-2015 Tavasz TARTALOMJEGYZÉK 1 of 51 Előzetes a bevezetőhöz 2 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Előzetes a bevezetőhöz
HALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék augusztus 12.
Számosságok dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék 2012. augusztus 12. nszamossagnszamoss2www.tex, 2012.08.12., 02:50 1. Bevezetés Ebben a rövid jegyzetben els½osorban a végtelen
2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia;
2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia; vincze@fin.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia Első pillantásra hihetetlennek tűnik, hogy egy olyan tiszta és érzelmektől mentes tudomány,
Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor
Metrikus terek, Hausdorff-mérték Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 22. Vázlat 1 Folytonos görbék Affin függvények Definíciók A Koch-görbe A Cantor-halmaz
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Paradoxonok. Diplomamunka. Kövesdi Péter. Matematika tanári szakirány.
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Paradoxonok Diplomamunka Kövesdi Péter Matematika tanári szakirány Matematika BSc Témavezet : Hermann Péter Algebra és Számelmélet Tanszék Budapest,
hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
Pókok és hurkok Ízelít a topológikus xponttételek elméletéb l
Ízelít a topológikus xponttételek elméletéb l Bessenyei Mihály Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia Partiumi Keresztény Egyetem (Nagyvárad),
HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam
HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,
A matematika nyelvéről bevezetés
A matematika nyelvéről bevezetés Wettl Ferenc 2006. szeptember 19. Wettl Ferenc () A matematika nyelvéről bevezetés 2006. szeptember 19. 1 / 17 Tartalom 1 Matematika Kijelentő mondatok Matematikai kijelentések
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Kombinatorika
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről
MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005
2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára
Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka
1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
A változatlan. Invariánsok a matematikában. Szakács Nóra. Egyetemi Tavasz Bolyai Intézet
A változatlan Invariánsok a matematikában Szakács Nóra Bolyai Intézet Egyetemi Tavasz 2017. 04. 22. Egy egyszer kérdés Át tud-e haladni egy futó egy sakktábla összes mez jén úgy, hogy szabályosan lép,
MATEMATIKAI PARADOXONOK
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR MATEMATIKAI PARADOXONOK BSc MATEMATIKA SZAKDOLGOZAT TANÁRI SZAKIRÁNY Készítette: Hajnal Anna Témavezető: Korándi József BUDAPEST, 2015 Tartalomjegyzék
Függvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
I. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Perigal négyzete. oldalhosszúságú négyzetet. A három négyzetet úgy
Perigal négyzete Tuzson Zoltán tanár, Székelyudvarhely Henry Perigal (101-19) matematikus 17-an egy nagyon szemléletes izonyítást mutatott e a Pitagorasz-tételre. Een két kise négyzetet átdaraol egy nagyoá,
MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2012
2012 2. Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), oszthatósággal kapcsolatos problémák, számrendszerek. 4. Hatványozás, hatványfogalom kiterjesztése, azonosságok. Gyökvonás és azonosságai,
X. PANGEA Matematika Verseny II. forduló 10. évfolyam. 1. Az b matematikai műveletet a következőképpen értelmezzük:
1. Az a @ b matematikai műveletet a következőképpen értelmezzük: @ a a b b, feltéve, hogy a 0. a Melyik állítás igaz a P és Q mennyiségekre? P = ((2 @ 1) @ (1 @ 2)) Q = ((7 @ 8) @ (8 @ 7)) A) P > Q B)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 2. forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 017/018-as tanév. forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy tanár kijavította egy 1 f s csoport dolgozatait.
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika
Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK
Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK Év eleji feladatok Szükséges eszközök: A4-es négyzetrácsos füzet Letölthető tananyag: Emelt szintű matematika érettségi témakörök (2016) Forrás: www.mozaik.info.hu
Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
Diszkrét matematika II. gyakorlat
Diszkrét matematika II. gyakorlat 9. Gyakorlat Szakács Nóra Helyettesít: Bogya Norbert Bolyai Intézet 2013. április 11. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat 2013. április 11.
képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. február 1. Vázlat 1 Mi a fraktál? 2 A konstrukció Egyszerű tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk
MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK
MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.
Záróvizsga tételek matematikából osztatlan tanárszak
Záróvizsga tételek matematikából osztatlan tanárszak A: szakmai ismeretek; B: szakmódszertani ismeretek Középiskolai specializáció 1. Lineáris algebra A: Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok. A valós
A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)
A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer
Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok
Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam 1. félév ESZKÖZÖK Matematika A 9. évfolyam 1. modul 1.1 dominó { 5-re végződő páros számok } { az x < 0 egyenlet megoldásai } { a Föld holdjai }
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2.
1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. alapján 9-12. évfolyam 2 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy
HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,
Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, 1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A: a csoport tanulói b) B: Magyarország városai ma c) C: Pilinszky
5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK
Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz
Doktori Tézisek Készítette: Kertész Gábor
Dido-tétel és más problémák euklideszi, hiperbolikus és szférikus síkon Doktori Tézisek Készítette: Kertész Gábor Matematika Doktori Iskola Elméleti Matematika Doktori Program Iskolavezet : Dr. Laczkovich
SZTE TTIK Bolyai Intézet
Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,
MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Sorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Matematika az építészetben
Matematika az építészetben Molnár-Sáska Katalin Főisk.docens YMÉK Bevezetés - Történeti áttekintés - A geometria helye a főiskolai képzésben - Újraindítás és körülményei Részletes tanmenet Megjegyzések:
Kaposi Ambrus. University of Nottingham Functional Programming Lab. Hackerspace Budapest 2015. január 6.
Bizonyítás és programozás Kaposi Ambrus University of Nottingham Functional Programming Lab Hackerspace Budapest 2015. január 6. Bizonyítás, érvelés Példa: sáros a csizmám ha vizes a föld, esett az eső
végtelen sok számot?
Hogyan adjunk össze végtelen sok számot? Németh Zoltán, SZTE Bolyai Intézet www.math.u szeged.hu/~nemeth 2006. Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan gyorsan