Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Paradoxonok. Diplomamunka. Kövesdi Péter. Matematika tanári szakirány.
|
|
- Alfréd Magyar
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Paradoxonok Diplomamunka Kövesdi Péter Matematika tanári szakirány Matematika BSc Témavezet : Hermann Péter Algebra és Számelmélet Tanszék Budapest, 2016
2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2. Kiválasztási axióma 4. Csoportelméleti alapok 4.1. Csoport fogalma Csoporthatás, paradox csoporthatás Szabad csoportok Haussdor-paradoxon Paradoxitás és szabad csoportok Független forgatások Haussdor-paradoxon Banach-Tarski paradoxon Átdarabolhatóság geometriai értelemben Halmazok átdarabolhatósága Banach - Tarski paradoxon További érdekesség Laczkovich M. - Kör négyszögesítése
3 1. Bevezetés Szakdolgozatom középpontjában az aranycsináló-paradoxonként elhíresült Banach Tarski paradoxon áll. Ez szemléletesen megfogalmazva azt mondja ki, hogy ha egy tömör gömböt a megfelel módszerrel feldarabolunk, akkor az így kapott részeket össze tudjuk úgy rendezni, hogy végeredményként két, az eredetivel azonos gömböt kapunk. Azaz a paradoxon szerint képesek vagyunk megkett zni a tömör gömböt. A témát csoportelméleti összefüggésben tárgyalva ez nem jelent mást, mint hogy egy halmazt, ami a gömb pontjait tartalmazza, egy módszer segítségével megkett zzük, pontosabban látható lesz, hogy ekkor kétféle módon állítjuk el. Azonban ezek belátásához szükség van a csoportelmélet ide vonatkozó összefüggéseinek ismeretére, melyeket a dolgozat elején összegy jtöttünk. Az állítás paradox mivolta nem kérdéses, teljesen ellentmond a mindennapi életben tapasztaltaknak. Azonban nagyon érdekes, hogy a matematika megenged ilyen állításokat. Annak szemléltetésére, hogy a tárgyalt paradoxon nem az egyetlen ilyen valótlanságot igazoló állítás, az utolsó fejezetben megemlítésre kerül egy hasonlóan érdekes matematikai tartalommal bíró eredmény.
4 2. Kiválasztási axióma Mindenek el tt ismertetjük a halmazelmélet legvitatottabb axiómáját, a kiválasztási axiómát, ugyanis ezen alapszanak a dolgozatban tárgyalt paradoxonok. El ször Ernst Zermelo mondta ki axiómaként a jólrendezési tétel bizonyításában, amit újra kellett fogalmaznia, mivel nagy vitát váltott ki a matematikusok körében. Amellett hogy sok pozitív, a tudományt el re viv következménye volt, akadtak szép számmal olyanok is, amelyek a valóságnak ellentmondó állításokat eredményeztek. Erre jó példa a Banach-Tarski paradoxon. 196-ban Paul Cohen igazolta, hogy független a többi axiómától, azokból nem lehet levezetni. Ezáltal a kiválasztási axiómát elfogadottnak tekinthetjük Kiválasztási axióma (Axiom of Choice - AC). Ha {A i : i I} nemüres halmazok rendszere, akkor f függvény, amelyre D(f) = I és f(i) A i i I-re. Az f függvény neve kiválasztási függvény, minden A i -b l kiválaszt egy elemet Megjegyzés. Az axióma egy ekvivalens megfogalmazása: Páronként diszjunkt halmazok bármely rendszeréhez létezik olyan halmaz, amelynek az összes nem üres halmazzal pontosan egy közös eleme van. A dolgozatban a Tétel bizonyításánál, és annak következményeinél fogjuk felhasználni, amelyek a Haussdor illetve a Banach-Tarski paradoxon igazolásához egyaránt szükségesek lesznek.. Csoportelméleti alapok Ez a fejezet a probléma megértéséhez szükséges ismereteket tartalmazza, illetve foglalja össze, elindulva a csoportok deníciójától, egészen a szabad csoportok deníciójáig. 4
5 .1. Csoport fogalma Ebben a részben a témához szorosan kapcsolódó alapdeníciók csak felsorolás szintjén kerülnek megemlítésre. Ezek az el adásokon tanultak szerint a következ k:.1.1. Deníció (Csoport). Legyen a G : halmaz, rajta egy m velet ( ): a, b G-re értelmezett a b G úgy, hogy: 1. Asszociativitás: a, b, c G : (a b) c = a (b c) 2. Egységelem: e G : x G e x = x e = x. Inverz: c G c 1 G c c 1 = c 1 c = e A.1.1. Denícióban nem tettük fel, hogy a m velet kommutatív. Ezt a tulajdonságot az alábbi deníció tartalmazza:.1.2. Deníció (Abel-csoport). Azokat a csoportokat, amelyekben a m - velet kommutatív, azaz a, b G esetén a b = b a teljesül, Abel-csoportnak hívjuk. Ezen deníciók ismeretében kezdhet meg a bonyolultabb csoportelméleti összefüggések tárgyalása..2. Csoporthatás, paradox csoporthatás A halmazok paradox felbontásának létrehozásához szükséges a csoporthatás fogalmának bevezetése Deníció (Csoporthatás). Legyen adott egy G csoport és egy H halmaz. Ekkor G hat H-n, ha: g G és h H esetén h g H értelmezett úgy, hogy: 1. a, b G és h H-ra h ab = (h a ) b 2. h H-ra h e = h, ahol e a G egységeleme 5
6 A kés bbiekben szükségünk lesz a csoporthatás pályájának és stabilizátorának fogalmára, így ezeket is deniáljuk Deníció (Pálya és stabilizátor). Legyen G a H halmazon ható csoport, továbbá g G és h H. Ekkor: 1. A h pont orbitja (pályája) G-nél Orb G (h) = {h g g G}, vagyis azok a pontok, ahová h-t G elemei el tudják vinni. 2. A h stabilizátora G-ben G h = {g G h g = h}, vagyis azok a csoportelemek, amik xen hagyják h-t Megjegyzés. G hatása H-n tranzitív, ha csak egy pálya van. Ez azt jelenti, hogy h 1, h 2 H g G, amire h g 1 = h Megjegyzés. Speciális eset: amikor G S H. Itt S H tetsz leges H halmaz önmagára ható bijektív leképezései, transzformációi. S H csoportot alkot a kompozíció m veletére nézve, ezt a H-n ható szimmetrikus csoportnak nevezzük, aminek G részcsoportja, úgynevezett transzformációcsoport (G elemei is transzformációk). Maga a hatás már tisztázott, ami még maradt, az a paradoxitás kérdése..2.. Deníció (Paradox csoporthatás). Legyen G csoport, ami hat az L halmazon, és legyen H L. Ekkor a H halmaz G-paradox, ha n, m Z + és X 1,..., X n, Y 1,..., Y m H amelyek páronként diszjunktak és a 1,..., a n, b 1,..., b m G: H = n i=1 X a i i és H = m j=1 Y b j j. 6
7 .. Szabad csoportok A következ kben deniáljuk a szabad csoportokat, egészen pontosan a kétgenerátoros szabad csoportokat. Ezek segítségével hozunk létre paradox csoporthatást...1. Deníció. Legyen G csoport és g G. Ekkor a g elem egész kitev j hatványaiból álló részcsoportot a g elem által generált részcsoportnak nevezzük, jele: g...2. Deníció. Tetsz leges G csoport esetén az X G által generált részcsoport a legsz kebb X-et tartalmazó részcsoportja G-nek, jele: X. Az X halmazt G generátorrendszerének nevezzük (X generálja G-t), ha X = G. A fenti denícióban szerepl legsz kebb elem alatt egy halmazrendszer azon elemét értjük (egy halmazt), ami a halmazrendszer minden elemének részhalmaza...1. Tétel. Legyen G csoport és X G. Ekkor X a G azon elemeib l áll, melyek fölírhatók az X elemeib l és azok inverzéb l képzett akárhány tényez s szorzatként. Szabad csoport konstrukciója: Vegyünk el ször egy nemüres X halmazt. Ezt követ en x X-hez rendeljünk hozzá egy x 1 -gyel jelölt elemet amelyekre teljesül, hogy x x 1 és x 1 / X. Ha ezeket az elemeket hozzávesszük a kezdetben meglév x elemekhez, akkor megkett ztük az X halmazt. Az x és x 1 elemeket nevezzük bet knek és képezzünk ezekb l a bet kb l véges sorozatokat. A kapott véges karaktersorozatokat, melyeknek minden eleme x vagy x 1 nevezzük el szavaknak. Ha például X = {x, y}, akkor egy lehetséges szó: xxyxxxxy 1 y 1 y 1 y 1 x 1 x 1 yyyxy 1 x 1 x 1 x 1 A következ kben az xxx... x }{{} rövidebb alakban az alábbi formában írható fel: n := x n jelölést fogjuk alkalmazni, így a fenti szó 7
8 x 2 yx 4 y 4 x 2 y xy 1 x Az így értelmezett szavakat tartalmazó halmazt jelöljük S-sel. A következ lépésben az S halmaz segítségével szeretnénk csoportot alkotni. Ehhez teljesítenie kell a csoportaxiómákat, azaz kell egy asszociatív m velet, egy egységelem, továbbá az inverzképzésre való zártság. Lássuk el a halmazt a következ m velettel: képezzük a halmazban szerepl s, t S szavakból az st kifejezést, ami jelentse a szavak ebben a sorrendben történ egymás után írását. Tekintsük egységelemnek az úgynevezett üres szót, azt az elemet, aminek egyetlen bet je sincs. A továbbiakban jelöljük 1-gyel. Ahhoz, hogy csoportot hozhassunk létre, a csoportelemek inverzeinek meghatározása is szükséges. El ször is azt szeretnénk, hogy x és x 1 egymás inverzei legyenek, azaz xx 1 = 1 teljesüljön. Azonban ehhez az egyenl ség szerint az xx 1 -et és az x 1 x-et az üres szóval kell azonosítanunk. Ennek köszönhet en a szavak rövidebb alakra egyszer södhetnek. Tekintsük például az xyy 1 x 1 x és y 1 yx szavakat: xyy 1 x} 1 {{ x} = x yy 1 = x }{{} 1 1 y 1 y x = x }{{} 1 Az inverzek deniálása miatt ezek egyenl k, mindkett az x szóvá egyszer - södik. Ily módon egy ekvivalenciarelációt értelmeztünk a szavak halmazán, amely szerint minden szóhoz létezik egy legrövidebb szó, amivel a szó maga ekvivalens. Az így leegyszer södött szavakat redukált szavaknak nevezzük...1. Állítás. Egy adott szót akárhogy egyszer sítünk, mindig ugyanazt a redukált szót kapjuk...1. Következmény. A..1. Állítás miatt ezek a redukált szavak egyértelm en meghatározottak. 8
9 Ennek alapján nem vehetjük egyszer en S halmaz elemeit, hanem az egyes szavakból képzett redukált szavak adják a kívánt csoportelemeket. Ennek a módosításnak az egységelemre nincs kihatása, azonban a m veletet újra meg kell határoznunk, mivel a csoportelemek szerkezete megváltozott, pontosabban mostanra alakult ki. Így a fenti m velet már nem teljesíti az elvárásokat. Vegyük például az s = x y 2 x 4 y 6 és t = y 4 x 2 yx 5 redukált szavakat. Ekkor az st = x y 2 x 4 y 6 y 4 x 2 yx 5. Jól látható, hogy az egyszer egymás után írással nem redukált szót, azaz nem csoportbeli elemet kaptunk. Viszont ha a m veletet még kiegészítjük azzal, hogy az egymás után írást követ en redukáljuk is a kapott szót, akkor már csoportbeli elemet fogunk kapni. Az ily módon el állított redukált szavakból álló halmaz, ellátva a kib vített m velettel és az egységelemmel már csoportot, úgynevezett szabad csoportot alkot...1. Megjegyzés. A fenti..1. Tétel ismeretében látható, hogy a példában szerepl X halmaz generálja a kapott szabad csoportot. Vagyis a megalkotott szabad csoport nem más, mint X. Belátható a következ állítás:..2. Állítás. G kétgenerátoros szabad csoport, ha minden eleme pontosan egyféleképpen áll el az X G halmaz elemeib l és azok inverzéb l (az egységgel való b vítéseket leszámítva). Azaz g G-hez! a 1,..., a n, b 1,..., b n Z kitev k, hogy x, y = X esetén: g = x a 1 y b 1 x a 2 y b 2...x an y bn, ahol a i, b j 0 (kivéve a 1, b n ). Az itt szerepl x, y elemeket szabad generátoroknak nevezzük...2. Megjegyzés. A továbbiakban csak azokkal az esetekkel fogunk foglalkozni, ahol az X halmaz két elemb l áll, azaz ahol két elem generálja a csoportot. Ezt a csoportot F 2 -vel jelöljük. 9
10 4. Haussdor-paradoxon Ebben a fejezetben felhasználva az eddig megismert csoportelméleti fogalmakat, további tételek és következtetések segítségével juthatunk el a Haussdorparadoxonig. Ehhez a térbeli forgatások mátrixokkal való leírását is részletezzük, mivel a paradoxon a térbeli, origón áthaladó egyenesek körüli forgatások (SO ) csoportjával kapcsolatos Paradoxitás és szabad csoportok A következ állítás tárgyalása el tt vizsgáljuk meg a csoporthatás egy speciális esetét. Válasszuk a.2.1. Denícióban szerepl H halmazt magának a G csoportnak. Azaz ekkor G csoport hasson önmagán úgy, hogy a G-beli (c) tárgyelemet jobbról megszorozzuk egy G-beli (a) elemmel. Vagyis c G elemnek az a G elemnél vett képére c a := c a teljesül Megjegyzés. Az így deniált hatást természetes hatásnak nevezzük. Ennek a hatásnak a segítségével megmutatjuk, hogy az F 2 csoport F 2 - paradox Állítás. Az F 2 szabad csoport önmagán való természetes hatása paradox. Bizonyítás. Jelöljék az F 2 szabad csoport két generátorát x és y. Ekkor az F 2 minden eleme egyértelm en el áll x és y elemekb l és inverzeikb l, azaz az x, x 1, y, y 1 bet k redukált szorzataként. Ha az s ezen négy bet valamelyike, akkor jelentse a W (s) halmaz az F 2 csoport azon elemeit, azokat a redukált szorzatokat, amelyek s-sel végz dnek. Például: y 1 xyyx 1 y W (y) vagy x 1 yxxy 1 y 1 x 1 W (x 1 ). Ekkor az F 2 csoport el áll a következ alakban: F 2 = 1 W (x) W (x 1 ) W (y) W (y 1 ), 10
11 ahol 1 az üres szó, a további halmazok pedig az adott bet re végz d redukált szavakat tartalmazzák. Ezek egymástól páronként diszjunkt részhalmazok, hiszen a négy különböz végz dés szerint válogattuk szét a szavakat. Továbbá megmutatható, hogy F 2 = W (x) W (x 1 )x és F 2 = W (y) W (y 1 )y. (1) Ennek igazolásához elég belátni a két felbontás közül az egyiket, a másik elem szerinti felosztást ennek mintájára el lehet végezni. A bizonyításhoz tekintsük az F 2 = W (y) W (y 1 )y el állítást. Vagyis ha megmutatjuk, hogy a W (y 1 )y halmaz tartalmazza az összes nem y-ra végz d redukált szót, akkor beláttuk az egyenl séget. Ehhez el ször vegyük a h F 2 \ W (y) elemeket. Ezekre biztosan igaz, hogy nem y-ra végz dnek, hanem a y 1, x, x 1 bet k valamelyikére. Szorozzuk meg ezeket a h szavakat az F 2 csoport y 1 elemével jobbról. A kapott szavakat nem tudjuk egyszer síteni, mivel az így létrejött három lehetséges végz dés:...y 1 y }{{} 1 vagy...x }{{} y 1 vagy }...x {{ 1 } y 1. Emiatt hy 1 W (y 1 ). h h h Ha ezekre az y F 2 elem hat jobbról, akkor h = (hy 1 )y W (y 1 )y teljesül, vagyis a nem y-ra végz d h szavak benne vannak a W (y 1 )y részhalmazban. Tudjuk tehát, hogy W (y) és W (y 1 )y halmazok együttesen tartalmazzák az összes lehetséges redukált szót, továbbá a két halmaz diszjunkt, ennek alapján: F 2 = W (y) W (y 1 )y teljesül. Hasonlóan belátható az F 2 = W (x) W (x 1 )x egyenl ség is. A paradoxitás könnyen ellen rizhet felidézve a.2.. Deníciót és kéttagú unióra felírva: H = X a 1 1 Xa 2 2 = Y b 1 1 Y b 2 2 Ha vesszük a H = F 2, valamint a 1 = 1, X 1 = W (x), a 2 = x, X 2 = W (x 1 ) és b 1 = 1, Y 1 = W (y), b 2 = y, Y 2 = W (y 1 ) helyettesítéseket, akkor éppen (1)-et kapjuk. Ez pedig azt jelenti, hogy az F 2 halmaz F 2 -paradox. 11
12 Megjegyzés. Ha egy G csoport önmagán való természetes hatása paradox, akkor röviden azt mondjuk, hogy a G csoport paradox. A következ jelent s lépés az, amikor egy G csoport xpont nélkül hat egy H halmazon ( h H-ra h g = h g = e G), azaz h H esetén G h = {e} Tétel. Ha a G paradox csoport hat a H halmazon, továbbá h H G h = {e}, akkor a H halmaz G-paradox. Bizonyítás. Mivel G paradox, így önmagán hatva el áll a következ alakban: G = X a i i = Y b j j, ahol a i, b j G és X i, Y j G i = 1...n és j = 1...m-re. Használjuk fel a.2.2. Deníciót, ami alapján egy h H pont pályája Orb G (h) = {h g g G}. Mint jól tudjuk ezek a pályák páronként diszjunktak vagy megegyeznek. Vegyük az összes h H elemhez tartozó Orb G (h) halmazokból álló páronként diszjunkt halmazrendszert. A kiválasztási axióma miatt M halmaz, aminek az összes orbittal pontosan egy közös eleme van. M halmazra G minden eleme jobbról. M g i = H teljesül. Hasson erre az Az így kapott halmazok uniójára Mivel h H G h = {e}, azaz G xpont nélkül hat H-n, ezért a, b G-re azt kapjuk, hogy M a M b =. Ugyanis tegyük fel indirekt, hogy m 1, m 2 M, amikre m a 1 = mb 2. Hasson ezekre jobbról b 1, ekkor m ab 1 1 = m 2, azaz ugyanabban az orbitban vannak. Tehát igaz az, hogy m 2 = m c 1, ahol c G. Ezt behelyettesítve a feltételbe, miszerint m a 1 = mb 2, a következ adódik m a 1 = (mc 1 )b = m cb 1, ekkor ha a 1 hat jobbról, akkor m 1 = m bca 1 1 azaz lenne olyan e g = bca 1 G, ami m 1 -et helyben hagyná, ez pedig ellentmond azzal, hogy G xpont nélkül hat. Ha ezt beláttuk, akkor vegyük Xi = {M g g X i } és Yj = {M g g Y j }. Ekkor mivel H paradox felbontásában i, j : X i Y j =, emiatt X i Y j =. Továbbá X i Y j = {M g g G} = H. 12
13 Mivel G = X a i i el áll: = Y b j j és G hat a H = X i Y j halmazon, ezért H H = (X i )a i és H = (Y j )b j alakban, ami azt jelenti, hogy a H halmaz G-paradox Következmény. Ha az F 2 kétgenerátoros szabad csoport xpont nélkül hat a H halmazon, akkor a H halmaz F 2 -paradox Következmény. Legyen G csoport és R G részcsoport. Ekkor ha R paradox, akkor G is paradox. Bizonyítás. Vegyünk egy G csoportot, továbbá legyen R G olyan csoport, melynek önmagán való természetes hatása paradox. Hasson R a G halmazon a következ képpen: g G-re és r R-re g r := g r. Tegyük fel, hogy r R ami egy g G elemre úgy hat, hogy gr = g. Ekkor ha mindkét oldalt megszorozzuk balról g 1 elemmel, akkor g 1 gr = g 1 g adódik. Azaz r = e, ami azt jelenti, hogy R xpontmentesen hat G-n. Ekkor alkalmazhatjuk a Tételt a következ helyettesítéssel: a tételben szerepl X halmaznak válasszuk magát a G csoportot, és hasson ezen az R paradox csoport xpont nélkül. Ebb l megkapjuk, hogy a G csoport R-paradox. A paradox csoporthatás deníciójából (.2.. Deníció) következik, hogy G paradox módon el áll, mivel léteznek olyan G-beli elemek, amelyekkel a paradox felbontás létrehozható. Ezek éppen a fenti R G elemei, amikr l tudjuk, hogy xpont nélkül hatnak G-n, vagyis azt kaptuk hogy a G csoport G-paradox is Következmény. Legyen G csoport és F 2 G. Ekkor G paradox. 1
14 4.2. Független forgatások Tétel. SO -ban X, Y forgatások, amelyek egy kétgenerátoros szabad csoportnak a szabad generátorrendszerét alkotják. Bizonyítás. Vegyük az x és y tengely körüli arccos 1 szöggel történ forgatásokat. Jelölje ezeket X és Y. Lineáris algebrában tanultak alapján X-nek és Y -nak megfeleltethet egy-egy x-as mátrix, amik a következ alakúak: X ±1 = ± és Y ±1 = ± ahol X 1 és Y 1 a megfelel tengely körüli negatív szög forgatások. Azt kell bizonyítanunk, hogy X, Y szabad generátorai az általuk generált részcsoportnak SO -ban. Ez ekvivalens azzal, hogy nincs olyan x ±1, y ±1 bet kb l képzett w redukált szó, amikbe értelemszer en X, Y -t helyettesítve (triviális esett l eltekintve) az egységmátrixot kapnánk. Ennek igazolásához: Tegyük fel indirekt, hogy létezik ilyen w szó. Jelölje a behelyettesítéssel kapott transzformációt W. Feltehet, hogy a szavunk y ±1 -re végz dik (ellenkez esetben w-t helyettesítsük y 1 wy ±1 -gyel). Azt állítjuk, hogy (1 0 0)W éppen (a b b, c Z és c, valamint k 1 a w szó hossza. Ez azt jelenti, hogy (a b 2c)/ k alakú, ahol a, 2c)/ k = (1 0 0)W (1 0 0), mivel ekkor c 2 = 0 c = 0 adódna, ami ellentmond azzal, hogy c, így W nem lehet identitás. A harmadik -ban szerepl állítást a w szó hossza szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk. 14
15 1. Legyen k = 1, azaz w = y ±1 ( = ( ) ( Y ±1 = ) ) ± ( = k = 1-re láthatóan teljesülnek a feltételek. ) = 2. Tegyük fel, hogy minden legfeljebb k 1 hosszú v szóra teljesül az állítás, miszerint (1 0 0)V = 1 k 1 (a b 2c ), ahol a, b, c megfelel tulajdonságúak.. Ezek ismeretében kell belátnunk, hogy k hosszú w szóra is teljesül. Ehhez vizsgáljuk meg, hogyan áll el v-b l w: w = v x ±1 vagy w = v y ±1, azaz ezen négy lehetséges el állításnál kell végeredményként a megfelel egészeket kapnunk. ( ) ( ( ) V X ±1 = 1 ) a b 2c 1 k = 0 ± ( = 1 a ( 1 ) k 1 b ± 2c 2 2 ) ( 2 2 b + 1 2c ) = ( ) = 1 a 1 k 1 (b ± 4c 1 ) 2( 2b + c ) = ( = 1 ) a b ± 4c 2(c 2b ) k 1 ( ) ( ( ) V Y ±1 = 1 ) a b 2c k = ( = 1 ( 1 k 1 a ± 2 2 2c ) b ( 2 2 ( = 1 ) a ± 4c b 2(c 2a ) k a + 1 2c ) ± ) = Látható, hogy minden esetben a megfelel egészeket kaptunk, azonban még igazolnunk kell, hogy c. A fenti. pont alapján a következ ket kapjuk: c c 2b ( ) illetve c c 2a ( ) 15
16 Ehhez nézzük meg, hogy a k 1 hosszú v szavak koordinátái hogyan állnak el k 2 hosszú u szavakból, amik az indukciós feltétel miatt a következ alakúak: (1 0 0)U = (a b c 2)/ k 2 A v szavak kétféleképpen állíthatók el : v = u x ±1 vagy v = u y ±1. Ezekben az esetekben az egyes koordináták kiszámítása ugyanazon az elven történik, mint a korábbi. pontban. Ennek alapján: ( ) ( U X ±1 = 1 ) a b 2c 1 k ± = 1 k 1 ( a b ± 4c 2(c 2b ) ) = ( ) eset: c = c 2b = c 2(b ± 4c ) = c 2b 8c = c + ( 2b + c ) 9c = c + c 9c = 2c 9c. Ekkor az indukciós feltevés szerint c és c = 2c és 9c = c amikor w = u x ±1 x ±1. ( ) eset: c = c 2a = c 2(a ) = c 6a. Ekkor az indukciós feltevés szerint c, továbbá 6a = c amikor w = u x ±1 y ±1. ( ) ( Hasonlóan U Y ±1 = 1 ) a ± 4c b 2(c 2a ) k 1 ( ) eset: c = c 2b = c 2(b ) = c 6b. Ekkor az indukciós feltevés szerint c, továbbá 6b = c amikor w = u y ±1 x ±1. ( ) eset: c = c 2a = c 2(a ± 4c ) = c 2a 8c = c + ( 2a + c ) 9c = c + c 9c = 2c 9c. Ekkor az indukciós feltevés szerint c és c = 2c és 9c = c amikor w = u y ±1 y ±1. A bizonyítás során felhasznált állítást igazoltuk, ezáltal a tétel bizonyításával is végeztünk. 16
17 A Tételben el állított X, Y forgatások szabad csoportja legyen F 2. Ennek elemei egyes R -beli pályákon minden pontot helyben hagynak, így a Tétel még nem alkalmazható. Azonban ha vesszük az S 2 egységgömbhéját, akkor a rajta ható F 2 csoportban minden, az identitástól eltér forgatásnak két xpontja lesz S 2 -vel. Nevezetesen a forgatás tengelyének a gömbhéjjal való metszéspontjai. Legyen az összes ilyen pontot tartalmazó halmaz D. Ekkor mivel F 2 megszámlálható, így a D halmaz is megszámlálható. Ha vesszük az S 2 \ D pontok halmazát, (melyekre F 2 csoport hat,) akkor ebben az esetben F 2 már xpont nélkül hat. Ebben vegyük a P S 2 \ D pontot, amire X F 2 hat. Ekkor P X S 2 \ D, mivel ha Y F 2, amire (P X ) Y = P X, akkor ha jobbról X 1 hat: ((P X ) Y ) X 1 = P XY X 1 = P XX 1 = P Így P xpont lesz XY X 1 -nél, azaz P D, ami ellentmond annak, hogy P S 2 \ D. Továbbá mivel F 2 paradox csoport, így a Tétel alapján az S 2 \D halmaz F 2 -paradox. Ennek egy b vített változatát fogalmazza meg a Haussdor-paradoxon. 4.. Haussdor-paradoxon Tétel (Haussdor-paradoxon). D S 2 megszámlálható részhalmaz, melyre az S 2 \ D halmaz SO -paradox. Bizonyítás. A tétel igazolásához az eddig leírtak mellett két, korábbi állítást/ tételt kell csak felhasználnunk. Azt tudjuk, hogy S 2 \D F 2 -paradox. A Tétel miatt F 2 SO, emellett a Következmény miatt, mivel F 2 paradox, így SO is paradox S 2 \ D SO -paradox. 17
18 5. Banach-Tarski paradoxon 5.1. Átdarabolhatóság geometriai értelemben Deníció. Két sokszög geometriai értelemben véve átdarabolható, ha az egyikük szétbontható véges sok sokszög darabra, majd ezeket távolságtartó leképezések felhasználásával átrendezve a másik sokszöget kapjuk Megjegyzés. A geometriai értelemben vett átdarabolhatóságon azt értjük, mikor a sokszög szétbontásának során keletkezett sokszög darabok határpontjai közösek. Az eéle átdarabolhatóság tranzitív m velet, mivel ha A átdarabolható B-be és B átdarabolható C-be, akkor A átdarabolható C-be. A sokszögek átdarabolhatóságával kapcsolatos tétel Bolyai Farkas nevéhez f z dik Tétel (Bolyai - Gerwien). Két sokszög geometriai értelemben véve átdarabolható egymásba a sokszögek azonos terület ek. Bizonyítás. A tétel = iránya könnyen látható, ugyanis - ahogy az a denícióban szerepel - az átrendezés során csak távolságtartó leképezéseket használunk fel, melyeknek pontosan az a lényege, hogy az alakzat pontjai közti távolságot nem változtatja meg, ezáltal az adott sokszög darab területét sem. A = iránynál a tranzitivitás miatt elegend azt megmutatni, hogy bármely sokszög átdarabolható egy vele megegyez terület négyzetbe. Ennek igazolásához az alábbi ábra nyújt segítséget. Az (a) rész azt mutatja, hogy bármely háromszög átdarabolható egy téglalapba. (Tompaszög háromszög esetén a tompaszögb l húzott magasság felez pontján keresztül men, a szöggel szemközti oldallal párhuzamos egyenes esetén megoldható.) A (b) ábra szemlélteti azt, hogy minden olyan téglalap, melynek hosszabb 18
19 oldala legfeljebb négyszerese a rövidebb oldalnak, az megfelel en szétbontva négyzetté alakítható. Abban az esetben, amikor nem teljesül a b 4a feltétel, a (c) ábrán látható módon a téglalapot félbe vágva és a hosszabb oldalak mentén összeillesztve kedvez bb oldalarányú téglalapot kapunk. Ezzel az eljárással kialakítható a kívánt alakzat. Az utolsó ábrán a Pitagorasz-tétel igazolása látható. Eszerint két négyzet megfelel darabokra bontásával ezek a darabok átrendezhet k egy, a kiindu- 2 lási négyzetek területösszegével azonos terület négyzetté. (c = a2 + b2 ) Ezek ismeretében a bizonyítás lépései a következ k: 1. Az adott sokszöget háromszögekre bontjuk n csúcs esetén n 2 darab háromszögre 2. Minden háromszögb l kialakítható a vele megegyez terület téglalap. ((a)ábra). Tetsz leges téglalapot szét tudunk úgy bontani, hogy a darabjaiból egy négyzetet kapjunk. ((b)-(c) ábrák) 4. A sikeresen négyzetté rendezett darabokat egyetlen nagy négyzetté alakítjuk. ((d) ábra) 19
20 Ennek alapján az eredeti sokszög átdarabolható a kapott négyzetbe (és visszafelé hasonlóan) Megjegyzés. A tétel térbeli megfelel je, azaz az átdarabolhatóság sokszögek helyett poliéderekre kimondva nem teljesül Halmazok átdarabolhatósága Térjünk vissza a dolgozat elején tárgyalt fogalmakhoz, melyek az átdarabolhatóság halmazelméleti megfelel jének bevezetésével általánosabb kontextusba helyezhet k Deníció. Legyen G csoporthatás a H halmazon, és X, Y H. Ekkor X és Y G-átdarabolhatók, ha: X = X i és Y = Y i i = 1,..., n X i X j = = Y i Y j ha i < j n és g 1,..., g n G, melyekre i n esetén X g i i = Y i Megjegyzés. Ezt követ en az A G B jelölés fogja azt jelenteni, hogy az A halmaz átdarabolható G révén a B halmazba. Ezen új fogalom felhasználásával a paradox csoporthatás deníciója (.2.. Deníció) a következ képpen írható fel: Állítás. Hasson a G csoport az L halmazon. Ekkor a H L halmaz G-paradox X, Y H, ahol X Y =, melyekre X G H és Y G H teljesül Tétel. Hasson a G csoport az L halmazon, továbbá legyenek H, H L, melyekre H G H. Ekkor ha a H halmaz G-paradox, akkor H' is Tétel. Ha a D S 2 megszámlálható részhalmaz S 2 és S 2 \ D SO -átdarabolható. Jelöléssel: S 2 SO S 2 \ D 20
21 Bizonyítás. A tétel igazolása az alábbi két részb l áll: 1. Keressünk olyan f SO forgatást a gömbfelületen, melyre a D, D f, D f 2,... halmazok páronként diszjunktak. Ha ez létrehozható, akkor innent l S 2 = D (S 2 \ D) SO ( D) f (S 2 \ D) = S 2 \ D teljesül, ahol D = {D f n n = 0, 1,...} 2. f megadása Legyen l egy origón áthaladó egyenes, ami nem tartalmazza a megszámlálható D halmazt. Legyen A az olyan θ szögek halmaza, melyekhez n > 0 és P D, hogy (P ) f D, ahol f az l egyenes körüli forgatás nθ radiánnal. Mivel A megszámlálható, így választhatunk egy ϑ / A szöget, emellett legyen f továbbra is a megfelel forgatás l körül. Ekkor (D) f n D =, ha n > 0 (azaz az elforgatott pont D-n kívülre fog esni), amib l az következik, hogy 0 m < n-re (D) f m (D) f n =, ami pontosan a keresett feltétel. 5.. Banach - Tarski paradoxon Ezen fejezet végére sikerült az összes olyan deníciót, tételt összegy jteni, melyek segítségével a dolgozat csúcspontját jelent Banach-Tarski paradoxon megérthet és igazolható. A tétel egyszer bb kimondásához és igazolásához a térbeli egybevágóságok csoportját ezt követ en G -mal fogjuk jelölni. Nem maradt más hátra, ismerkedjünk meg a paradoxonnal Tétel. S 2 gömbhéj SO -paradox, csakúgy mint bármely origó középpontú gömbhéj. Továbbá bármely R -beli tömör gömb G -paradox és R is G -paradox. 21
22 Bizonyítás. A Tétel (Haussdor-paradoxon) állítása szerint az S 2 \D halmaz SO -paradox, ha D S 2 megszámlálható részhalmaz, ami a térbeli forgatások xpontjait tartalmazza. Ha ehhez hozzávesszük az Tétel állítását, miszerint S 2 és S 2 \ D egymásba SO -átdarabolhatók (S 2 SO S 2 \ D), akkor az Tétel miatt azt kapjuk, hogy S 2 SO -paradox. Az eddigi eredmények egyike sem függött a gömbhéj méretét l, ezért tetsz leges sugarú gömbhéjra belátható a paradox felbontás. Az tétel második részét elég az O origó középpontú B-vel jelölt gömbökre belátni, mivel G -ban benne van az összes térbeli eltolás is. Tekinthetjük továbbá az egységgömböt, mivel a bizonyítás alkalmazható lesz tetsz leges méret gömbre. Mivel SO G, így a tétel els feléb l következik, hogy S 2 is G -paradox. Vegyük azt a bijekciót, ami P S 2 ponthoz hozzárendeli a P -hez tartozó sugarat: P {αp : 0 < α 1}, a hozzárendelésb l kihagyjuk a gömb középpontját. Így azt kaptuk, hogy B \ {0} G -paradox. Ekkor ha belátjuk, hogy B G (B \ {0}), akkor az Tétel alapján a B halmaz G -paradox, amivel megkaptuk a tételünket. Tekintsük a P = (0, 0, 1/2) ponton áthaladó olyan egyenest, ami nem tartalmazza O-t. Legyen ϕ ezen egyenes körüli, irracionális szög forgatás. Ha vesszük D = {(O) ϕn n 0}, akkor (D) ϕ = D \ {O}. Így mivel ϕ G, ezért teljesül B G (B \ {0}). Ha a sugár szerinti megfeleltetésnél S 2 pontjainál az összes R \ {O} pontot vesszük, akkor R \ {0} G R teljesül. Ennek alapján egy térbeli tömör gömböt feldarabolva, majd a darabokat eltolva, elforgatva (azaz távolságtartó transzformációkat felhasználva) két gömböt kaptunk végeredményül. 22
23 6. További érdekesség 6.1. Laczkovich M. - Kör négyszögesítése A Bolyai Farkas által bizonyított Tételnek egy er sebb megfogalmazása az Alfred Tarski által felvetett probléma, aminek bizonyítása Laczkovich Miklós nevéhez f z dik. Ebben az esetben a feldarabolás során nem engedünk meg közös határpontokat, vagyis minden pontot csak egyszer veszünk. Azt kellett igazolni, hogy felbontható-e a négyzet A 1, A 2,..., A n és a kör B 1, B 2,..., B n diszjunkt halmazokra úgy, hogy i = 1,..., n-re A i egybevágó legyen B i -vel. A sík minden részhalmazához hozzárendelhetünk egy számot (mérték), amit területnek nevezünk. Ez a terület végesen additív, vagyis két közös pont nélküli halmaz területe a két halmaz területének összege. Emellett egybevágóság-invariáns, azaz két egybevágó alakzat területe egyenl. Így az állítás az alábbi formában is megfogalmazható: két síkbeli alakzat egymásba átdarabolható = területük megegyezik. A síkbeli mértékre vonatkozó állítások térben (térfogat esetén) már nem teljesülnek. Ennek az az oka, hogy amíg a G 2 csoport (sík transzformációinak csoportja) nem tartalmaz szabad csoportot, addig a térben éppen a G -ban lév szabad csoport létezése biztosította a paradox el állítást. Emiatt a Banach - Tarski paradoxonnak ugyan nincs R 2 -beli megfelel je, azaz nem lehet megkett zni egy körlapot, de egy további érdekesség, hogy Laczkovich bizonyítása során az egybevágóságok közül csak eltolásokat használ. 2
24 Hivatkozások [1] Stan Wagon - The Banach-Tarski Paradox, Cambridge University Press, 1985 [2] Kiss Emil - Bevezetés az algebrába, Typotex 2007 [] [4] [5] hajnal/courses/univ H almazelmelet/halmaz99/axiomak.htm 24
DiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenPermutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 4. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 4. feladatsor, megoldásvázlatok 0. Ha G egy véges csoport, akkor nyilván csak véges sok részcsoportja van. Legyen most G végtelen. Ha van végtelen rend g G elem, akkor g (Z, +), aminek
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenCsoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül
1 ALAPFOGALMAK Csoporthatások 1 Alapfogalmak G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül és µ(g, µ(h, x)) = µ(gh, x) µ(1 G, x) = x minden g, h G és x X esetén. Multiplikatív
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenMM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )
MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenRelációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk
Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum
RészletesebbenModern matematikai paradoxonok
Modern matematikai paradoxonok Juhász Péter ELTE Matematikai Intézet Számítógéptudományi Tanszék 2013. január 21. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 1 / 36 Jelentés Mit jelent a paradoxon
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. középszint
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató
OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,
RészletesebbenMegoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
Részletesebben1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
RészletesebbenHaladók III. kategória 2. (dönt ) forduló
Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló 1. Tetsz leges n pozitív egész számra jelölje f (n) az olyan 2n-jegy számok számát, amelyek megegyeznek az utolsó n számjegyükb l alkotott szám négyzetével. Határozzuk
Részletesebben1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x
Részletesebben1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két
RészletesebbenHalmazelméleti alapfogalmak
Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
Részletesebben10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
Részletesebben24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)
24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,
Részletesebben2. Halmazelmélet (megoldások)
(megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenA relációelmélet alapjai
A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal
RészletesebbenHalmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy
1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,
RészletesebbenRelációk. 1. Descartes-szorzat
Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram.. Descartes-szorzat A kurzuson már megtanultuk mik a halmazok
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenChomsky-féle hierarchia
http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/formalis.html Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezet ), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenSE EKK EIFTI Matematikai analízis
SE EKK EIFTI Matematikai analízis 1. Blokk A matematika minden ága foglalkozik halmazokkal, ezért fontos a halmazok általános tulajdonságainak vizsgálata. A halmazok általános tulajdonságaival a matematikának
RészletesebbenM/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24
OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5
RészletesebbenMatematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
RészletesebbenL'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
RészletesebbenEgy kártyatrükk és ami mögötte van
Egy kártyatrükk és ami mögötte van Egy b vész 1 db, egyenként - kártyából álló kupacba osztotta az lapos francia kártya lapjait, majd a kupacokat az ábrán látható módon hátlappal felfelé, egy olyan kör
Részletesebben16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési
RészletesebbenLáthatjuk, hogy az els szám a 19, amelyre pontosan 4 állítás teljesül, tehát ez lesz a legnagyobb. 1/5
D1. Egy pozitív egész számról az alábbi 7 állítást tették: I. A szám kisebb, mint 23. II. A szám kisebb, mint 25. III. A szám kisebb, mint 27. IV. A szám kisebb, mint 29. V. A szám páros. VI. A szám hárommal
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 2. forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 017/018-as tanév. forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy tanár kijavította egy 1 f s csoport dolgozatait.
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenMM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) 1. Ismétlés február 8.február Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük)
MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2007.05.11) 1. Ismétlés február 8.február 15. 1.1. Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük) (1) Egy csoport rendelkezhet egynél több egységelemmel. (2) Bármely két háromelem
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenMatematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1
3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció
RészletesebbenFüggvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
Részletesebben0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
Részletesebben2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója.
Számelmélet és rejtjelezési eljárások. (Számelméleti alapok. RSA és alkalmazásai, Die- Hellman-Merkle kulcscsere.) A számelméletben speciálisan az egész számok, általánosan a egységelemes integritási tartomány
RészletesebbenHHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
RészletesebbenKomplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenKovács Dániel. Középiskolai versenyfeladatok elemzése egyetemi eszközökkel
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kovács Dániel Középiskolai versenyfeladatok elemzése egyetemi eszközökkel BSc Alkalmazott Matematikus Szakdolgozat Témavezet : Dr. Kiss Emil Algebra
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenKomplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)
RészletesebbenA matematika nyelvér l bevezetés
A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Részletesebben1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni
1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni a) 5 db 8 cm hosszú, b) 8 db 5 cm hosszú cérnával? Megoldás:
Részletesebben