Egy kártyatrükk és ami mögötte van

Átírás

1 Egy kártyatrükk és ami mögötte van Egy b vész 1 db, egyenként - kártyából álló kupacba osztotta az lapos francia kártya lapjait, majd a kupacokat az ábrán látható módon hátlappal felfelé, egy olyan kör alakú asztalra helyezte, amely a középpontja körül bármerre elforgatható. mutatvány a következ : a b vész kihív egy önként jelentkez t a néz k közül és felkéri, hogy forgassa meg párszor az asztalt, majd válasszon ki két tetsz leges kupacot. z így kiválasztott lapot nézze meg és amennyiben talál köztük azonos érték kártyákat, úgy azokat hátlappal felfelé tegye félre, a többi lapot pedig helyezze vissza oda, ahonnan elvette (a kártyák ügyes elrendezése miatt minden esetben két kártyát kell félretennie). Ezután a b vész választ két kupacot. 1. ábra. Ezeket megnézi, majd két lap kivételével visszateszi a kártyákat a helyükre. Végül megkéri az önként jelentkez t, vegye kézbe is félretett lapjait és mutassák meg a közönségnek egyszerre, mi is az a - kártya, ami a kezükben van. Meglepetésre, mind a négy kártyának ugyanaz az értéke. megfejtéshez el ször gondoljuk végig hogyan lehetséges, hogy a jelentkez nek minden esetben pontosan két kártyát kell félretennie. Hogy ez így legyen, semelyik két kupacban nem szerepelhet ugyanaz az érték kett nél többször, vagyis minden kupacban minden kártya legfeljebb egyszer szerepelhet. Ebb l már adódik els tulajdonságunk: 1. bármely két különböz kupacot választva kell lennie pontosan egy olyan értéknek, amely mindkét kupacban szerepel. Mivel egy ( kupacon belül csak különböz érték lapok szerepelnek, ezért minden kupacon belül ) különböz értékekb l álló értékpár van. Egyik ilyen pár sem szerepelhet két különböz kupacban, hiszen ha lenne két ilyen kupac, ezekre nem teljesülne az 1. tulajdonság. Tehát azon különböz értékekb l álló ( értékpárok száma, ahol a pár mindkét tagja ugyanabban a kupacban szerepel: 1 ( ) = 1 ). Ez megegyezik az összes különböz értékekb l álló értékpárok számával, tehát az alábbi tulajdonságnak is teljesülnie kell:. bármely két különböz értéket választva kell lennie pontosan egy olyan kupacnak, melyben mindkét érték szerepel. 1

2 trükk vizsgálatát egy kicsit félretéve, ismerkedjünk meg a projektív síkokkal. Legyen P egy tetsz leges halmaz, E pedig P bizonyos részhalmazainak halmaza. P elemeit pontoknak, E elemeit pedig egyeneseknek fogjuk hívni. mennyiben egy P P pont és e E egyenes esetén P e teljesül, akkor azt mondjuk, hogy a P pont illeszkedik az e egyenesre. Π = (P, E) párt projektív síknak nevezzük, ha az alábbi négy axiómának eleget tesz: P1. bármely két különböz ponthoz pontosan egy olyan egyenes van, melyre mindkét pont illeszkedik, P. bármely két különböz egyeneshez pontosan egy olyan pont van, mely mindkét egyenesre illeszkedik, P. minden egyenesre illeszkedik legalább három különböz pont, P. minden pont legalább három különböz egyenesre illeszkedik. P1, P axiómák helyett a geometriai szóhasználattal élve azt is mondhatjuk, hogy két ponton át egyértelm en létezik az ket összeköt egyenes, illetve, hogy bármely két egyenesnek egyértelm en létezik metszéspontja. P, P axiómák az elfajuló esetek kizárására szolgálnak. Szembet n a hasonlóság az els két axióma és a kártyakupacokra vonatkozó két tulajdonság között. Legyen P a 1 db kupacból álló halmaz. eniáljuk továbbá a kupacok alábbi részhalmazait: h : zoknak a kupacoknak a halmaza, melyekben szerepel ász h : zoknak a kupacoknak a halmaza, melyekben szerepel -es... h : zoknak a kupacoknak a halmaza, melyekben szerepel király Mivel a francia kártyában 1 különböz érték lap van és mindegyik kupacban minden érték legfeljebb egyszer szerepelhet, ezért összesen 1 db -elem részhalmazt deniáltunk a kupacokon. Legyen E = {h, h,, h }, ekkor a (P, E)-pár az 1. és. tulajdonság miatt kielégíti a P1, P axiómákat, és nyilvánvalóan kielégíti P-at és P-et is, tehát projektív síkot alkot. z alábbi tétel bizonyítását feladatnak hagyjuk (megtalálható pl. [1]-ben vagy az interneten is elérhet []-ben): Tétel. Ha a Π projektív síknak van olyan egyenese, melyre n + 1 pont illeszkedik, akkor Π minden egyenesére n + 1 pont illeszkedik, Π minden pontján át n + 1 egyenes megy át, Π összesen n + n + 1 pontot és ugyanennyi egyenest tartalmaz. z el z tétel alapján értelmes a következ deníció: eníció. Π projektív sík rendje n, ha Π-nek létezik olyan egyenese, melyre n + 1 pont illeszkedik. Ez esetben Π-t n-rend véges projektív síknak nevezzük. Hogy milyen n értékek esetén létezik n-rend projektív sík, illetve adott n esetén hány db egymástól lényegesen különböz (nem izomorf) sík létezik, máig megoldatlan probléma.

3 Ha n prímhatvány, akkor véges testek segítségével tudunk n-rend síkot konstruálni (ez szintén megtalálható [1]-ben), és a sejtés az, hogy csak prímhatvány rend síkok léteznek. nnyit azonban már mi is beláttunk, hogy ha hihetünk a b vészünknek és tényleg kupacokba tudja osztani az 1. és. tulajdonságoknak megfelel en az -lapos francia kártyát, akkor létezik -rend projektív sík, hiszen a fent említett módon deniált (P, E) pár kielégíti az axiómákat és = 1. továbbiakban ismertetünk egy módszert, aminek a segítségével véges projektív síkokat készíthetünk. Továbbá megmutatjuk, hogyan kell a b vésznek szétosztani a kártyákat, illetve honnan tudja, hogy melyik két kupacot kell választania. ciklikus modell. Legyen S az O középpontú körbe írt szabályos (n + n + 1)-szög. Ha P és Q a sokszög két különböz csúcsa, akkor nevezzük a P és Q távolságának k-t, ha a rövidebb P Q ívhez tartozó középponti szög k 0 /(n + n + 1). Legfeljebb hány csúcsát lehet kiválasztani S-nek, hogy bármely kett távolsága különböz legyen? Mivel a sokszög csúcsai összesen (n + n)/ = ( ) n+1 különböz távolságot határoznak meg, ezért legfeljebb (n + 1)-et. Tegyük fel, hogy sikerült kiválasztanunk (n + 1) db csúcsot a megadott feltétellel és az általuk meghatározott részsokszöget jelöljük R-rel (az ilyen részsokszögeket szokás teljesen szabálytalan részsokszögnek nevezni).. ábrán az n = esetben berajzoltunk egy teljesen szabálytalan résznégyszöget. R-nek O-körüli k 0 /(n + n + 1) szög elforgatottjait (k = 0, 1,..., n + n) jelöljük 7 R 0, R 1,..., R n +n-vel. z R i részsokszög csúcsainak a halmazát pedig r i -vel. pontok, vagyis P legyen S csúcsainak a halmaza, az egyenesek pedig E = {r 0, r 1,, r n +n}. Tehát a P P pont pontosan akkor illeszkedik az r j E egyenesre, O ha P az R részsokszög j 0 /(n + n + 1) 11 szög elforgatottjának az egyik csúcsa. Megmutatjuk, hogy modellünk kielégíti a 1 P1-P axiómákat. Legyen P, Q két különböz pont, melyek távolsága k. R csúcsai 1 között minden távolság pontosan egyszer fordul el, így pontosan egy olyan elforgatottja 1 van, melynek P és Q is csúcsa. Ezzel beláttuk, hogy P1 teljesül.. ábra. Legyen R m és R l két különböz egyenes, ekkor n + n + 1 = n(n + 1) + 1 páratlan volta miatt, az R m -et R l -be illetve az R l -t R m -be viv pozitív irányú forgatások közül az egyiknek a szöge kisebb mint 10. z indexeket választhatjuk úgy, hogy ez az R m -et R l - be viv forgatás legyen és a szögét jelöljük k 0 /(n +n+1)-val. Ekkor k {1,..., (n + n)/)}. Egy M pont pontosan akkor van rajta mindkét szóbanforgó egyenesen, ha R m - nek létezik egy olyan N csúcsa, melyre az NOM irányíytott szög +k 0 /(n + n + 1). Ilyen M, N pontpár viszont pontosan egy van R m csúcsai között, hiszen ott R csúcsaihoz hasonlóan minden távolság pontosan egyszer lép fel. Ezzel P teljesülését is beláttuk, P és P teljesülése pedig n esetén nyilvánvaló.

4 z így kapott véges projektív síkokat szokás ciklikus síkoknak nevezni. Mivel a. ábrán látható szabályos 1-szögben a berajzolt (1,,,-csúcsok által meghatározott) résznégyszög teljesen szabálytalan, ezért létezik -rend ciklikus sík. Megmutatható, hogy lényegében ez az egyetlen -rend projektív sík, vagyis bármely más, a P1-P axiómákat teljesít 1 pontból álló modell pontjai és egyenesei, illeszkedéstartó módon megfeleltethet k a mi példánk pontjainak és egyeneseinek. Ez azonban nincs mindig így, pl. -rend projektív síkból négy különböz létezik, melyek közül csak az egyiket kapjuk meg a fent ismertetett eljárással. Bizonyítható, hogy ha n prímhatvány, akkor a szabályos (n +n+1)-szög csúcsai közül mindig kiválasztható egy teljesen szabálytalan (n + 1)-szög (lásd. [1]), és az így kapott ciklikus sík lényegében ugyanaz, mint a korább említett (de nem részletezett) véges testek segítségével konstruálható sík. legkisebb szám, mely esetén ez nem tehet meg, n =. Ezt az állítást úgy is megfogalmazhatjuk, hogy egy szabályos ++1 = -szög bármely 7 csúcsa által meghatározott 1 távolság között lesz két egyforma. Végezetül rátérünk a trükk magyarázatára. kártyákat a trükk megkezdése el tt az ábrán látható módon úgy oszjuk szét a 1 kupacba, hogy bármely azonos érték kártya a 7. ill.. ábrán berajzolt teljesen szabálytalan négyszög egy elforgatottjának a csúcsait adja. Például az 1.,.,.,. kupacokba kerüljenek az ászok, a.,.,.,. kupacokba a -esek,... végül a 1.,.,.,7. kupacokba a királyok. Ekkor az az állítás, hogy a. kupacban 11 szerepel ász, úgyis megfogalmazható, hogy a. kupacnak megfelel pont rajta van az 1 ászok által meghatározott egyenesen. Tulajdonképpen minden kártyalap megfelelteth- 1 1 et a -rend ciklikus síkon egy pont-egyenes illeszkedés párnak. Ezek száma valóban, hiszen a síkon 1 pont van, melyek mindegyike pontosan különböz egyenesre. ábra. illeszkedik. mikor a néz kiválaszt két kupacot, az egyértelm en meghatározza a négyszög egyik elforgatottját. b vésznek csak oda kell képzelnie a négyszög másik két csúcsát és az ott található két kupacot kell választania. Mivel az így kiválasztott - kupac egy egyenesre esik, ezért mindkét kupacpárban ugyanaz az érték fog megegyezni. b vésznek ki kell választania saját kupacaiból a két egyforma kártyát és ezeket kell a kezében tartania. Mivel csak a kártyák egymáshoz viszonyított helyzete számít, ezért az asztal elforgatása semmiben sem befolyásolja a mutatványt. z alábbi táblázat azt mutatja, hogy a fenti módszerrel mely kártyák kerülnek az egyes kupacokba. Természetesen sok más elrendezés is lehetséges, nem számít ugyanis, hogy az egyes értékeket, a négyszög mely elforgatottjához rendeljük. táblázat k. oszlopában a k. kupacban szerepl lapok szerepelnek, a színek feltüntetése nélkül.

5 z érdekl d olvasók számára ajánlunk néhány feladatot: 1. eressünk teljesen szabálytalan (a) -szöget, a szabályos 7-szögben, (b) -szöget, a szabályos 1-szögben. (c) Hány db forgatással egymásba nem vihet teljesen szabálytalan -szög választható ki a szabályos 1-szög csúcsai közül?. Ha a kártyák egy kupacon belüli sorrendjét nem vesszük gyelembe és az egymásból forgatással megkapható elrendezéseket nem tekintjük különböz nek, akkor hány különböz káryta-elrendezésben adható el a trükk?. El adható-e a trükk olyan káryta-elrendezés mellett, ahol minden kupacban négy különböz szín kártya szerepel?. Mutassuk meg, hogy a néz és a b vész által kiválosztott kupacban minden érték szerepel.. trükk úgy is elvégezhet, hogy a b vész nem két kupacot, hanem egyb l kártyát választ, melyek értéke megegyezik a néz által félretett lapok értékével. Hogyan lehetséges ez? Csajbók Bence Irodalomjegyzék [1] iss György és Sz nyi Tamás: Véges Geometriák, Polygon iadó, Szeged 001. [] Bérczi Gergely, Gács ndrás és Sz nyi Tamás: Véges projektív síkok, Új matematikai mozaik (szerk.: Hraskó ndrás), Budapest, Typotex iadó 00. vagy