Fraktálok. Bevezetés. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék Tavasz

Átírás

1 Fraktálok Bevezetés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék Tavasz TARTALOMJEGYZÉK 1 of 51

2 Előzetes a bevezetőhöz 2 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem

3 Előzetes a bevezetőhöz 3 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Ajánlott irodalom

4 Előzetes a bevezetőhöz 4 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Ajánlott irodalom Szabó László Imre: Ismerkedés a fraktálok matematikájával

5 Előzetes a bevezetőhöz 5 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Ajánlott irodalom Szabó László Imre: Ismerkedés a fraktálok matematikájával Gerald A. Edgar: Measure, Topology and Fractal Geometry

6 Előzetes a bevezetőhöz 6 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Ajánlott irodalom Szabó László Imre: Ismerkedés a fraktálok matematikájával Gerald A. Edgar: Measure, Topology and Fractal Geometry Benoit Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature

7 Előzetes a bevezetőhöz 7 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Ajánlott irodalom Szabó László Imre: Ismerkedés a fraktálok matematikájával Gerald A. Edgar: Measure, Topology and Fractal Geometry Benoit Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature Richard M. Crownover: Introduction to Fractals and Chaos

8 Előzetes a bevezetőhöz 8 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Ajánlott irodalom Szabó László Imre: Ismerkedés a fraktálok matematikájával Gerald A. Edgar: Measure, Topology and Fractal Geometry Benoit Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature Richard M. Crownover: Introduction to Fractals and Chaos... és még sokan mások

9 Előzetes a bevezetőhöz 9 of 51 Értékelés ÉRTÉKELÉS Feladatok

10 Előzetes a bevezetőhöz 10 of 51 Értékelés ÉRTÉKELÉS Feladatok Programok

11 Előzetes a bevezetőhöz 11 of 51 Értékelés ÉRTÉKELÉS Feladatok Programok Kiselőadások

12 Előzetes a bevezetőhöz 12 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák

13 Előzetes a bevezetőhöz 13 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák Metrikus terek, topológia

14 Előzetes a bevezetőhöz 14 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák Metrikus terek, topológia Topológiai dimenzió

15 Előzetes a bevezetőhöz 15 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák Metrikus terek, topológia Topológiai dimenzió Önhasonlóság, hasonlósági dimenzió

16 Előzetes a bevezetőhöz 16 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák Metrikus terek, topológia Topológiai dimenzió Önhasonlóság, hasonlósági dimenzió Mértékelmélet

17 Előzetes a bevezetőhöz 17 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák Metrikus terek, topológia Topológiai dimenzió Önhasonlóság, hasonlósági dimenzió Mértékelmélet Hasudorff-dimenzió és egyéb tört dimenziók

18 Előzetes a bevezetőhöz 18 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák Metrikus terek, topológia Topológiai dimenzió Önhasonlóság, hasonlósági dimenzió Mértékelmélet Hasudorff-dimenzió és egyéb tört dimenziók Alkalmazások

19 Előzetes a bevezetőhöz 19 of 51 Tematika TEMATIKA Fraktálpéldák Metrikus terek, topológia Topológiai dimenzió Önhasonlóság, hasonlósági dimenzió Mértékelmélet Hasudorff-dimenzió és egyéb tört dimenziók Alkalmazások...

20 Előzetes a bevezetőhöz 20 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma

21 Előzetes a bevezetőhöz 21 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma Teljes indukció

22 Előzetes a bevezetőhöz 22 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma Teljes indukció Számrendszerek

23 Előzetes a bevezetőhöz 23 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma Teljes indukció Számrendszerek Analízis: határérték, folytonosság, sorozatok, sorok

24 Előzetes a bevezetőhöz 24 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma Teljes indukció Számrendszerek Analízis: határérték, folytonosság, sorozatok, sorok R, R n tulajdonságai

25 Előzetes a bevezetőhöz 25 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma Teljes indukció Számrendszerek Analízis: határérték, folytonosság, sorozatok, sorok R, R n tulajdonságai Sztringek formális leírása (szabad félcsoportok)

26 Előzetes a bevezetőhöz 26 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma Teljes indukció Számrendszerek Analízis: határérték, folytonosság, sorozatok, sorok R, R n tulajdonságai Sztringek formális leírása (szabad félcsoportok) Jelölések: Z, R,...

27 Előzetes a bevezetőhöz 27 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK I Halmazelmélet: véges, végtelen, kiválasztási axióma Teljes indukció Számrendszerek Analízis: határérték, folytonosság, sorozatok, sorok R, R n tulajdonságai Sztringek formális leírása (szabad félcsoportok) Jelölések: Z, R,... Programozás

28 Előzetes a bevezetőhöz 28 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy

29 Előzetes a bevezetőhöz 29 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy 1 minden a A esetén u >= a

30 Előzetes a bevezetőhöz 30 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy 1 minden a A esetén u >= a 2 Ha w >= a a A, akkor w >= u

31 Előzetes a bevezetőhöz 31 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy 1 minden a A esetén u >= a 2 Ha w >= a a A, akkor w >= u 3 sup =, ha pedig A nem korlátos felülről, sup A =

32 Előzetes a bevezetőhöz 32 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy 1 minden a A esetén u >= a 2 Ha w >= a a A, akkor w >= u 3 sup =, ha pedig A nem korlátos felülről, sup A = inf A értelemszerűen, inf =, ha pedig A nem korlátos alulról, inf A =

33 Előzetes a bevezetőhöz 33 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy 1 minden a A esetén u >= a 2 Ha w >= a a A, akkor w >= u 3 sup =, ha pedig A nem korlátos felülről, sup A = inf A értelemszerűen, inf =, ha pedig A nem korlátos alulról, inf A = A felső határ: lim sup n x n = lim n sup k>=n x k

34 Előzetes a bevezetőhöz 34 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy 1 minden a A esetén u >= a 2 Ha w >= a a A, akkor w >= u 3 sup =, ha pedig A nem korlátos felülről, sup A = inf A értelemszerűen, inf =, ha pedig A nem korlátos alulról, inf A = A felső határ: lim sup n x n = lim n sup k>=n x k Ha f valós függvény, akkor lim sup x 0 f (x) = lim s 0 sup 0<x<s f (x)

35 Előzetes a bevezetőhöz 35 of 51 Elvárt ismeretek ELVÁRT ISMERETEK II u = sup A azt jelenti, hogy 1 minden a A esetén u >= a 2 Ha w >= a a A, akkor w >= u 3 sup =, ha pedig A nem korlátos felülről, sup A = inf A értelemszerűen, inf =, ha pedig A nem korlátos alulról, inf A = A felső határ: lim sup n x n = lim n sup k>=n x k Ha f valós függvény, akkor lim sup x 0 f (x) = lim s 0 sup 0<x<s f (x) Az alsó határ hasonlóan

36 Némi történelmi bevezetés 36 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK I

37 Némi történelmi bevezetés 37 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK I

38 Némi történelmi bevezetés 38 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK I

39 Némi történelmi bevezetés 39 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK I

40 Némi történelmi bevezetés 40 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK I Nem róla lesz szó...

41 Némi történelmi bevezetés 41 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK II

42 Némi történelmi bevezetés 42 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK II

43 Némi történelmi bevezetés 43 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK II

44 Némi történelmi bevezetés 44 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK II Weierstrass: f (x) = k=1 ak cos(b k πx), ahol 0 < a < 1, b pozitív páratlan egész és ab > π

45 Némi történelmi bevezetés 45 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK II Weierstrass: Hermite: f (x) = k=1 ak cos(b k πx), ahol 0 < a < 1, b pozitív páratlan egész és ab > π

46 Némi történelmi bevezetés 46 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK II Weierstrass: Hermite: f (x) = k=1 ak cos(b k πx), ahol 0 < a < 1, b pozitív páratlan egész és ab > π Poincare:

47 Némi történelmi bevezetés 47 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK III

48 Némi történelmi bevezetés 48 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK III

49 Némi történelmi bevezetés 49 of 51 A szörnyek A SZÖRNYEK III