Érdekességek az elemi matematika köréből

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Érdekességek az elemi matematika köréből"

Átírás

1 Érdekességek az elemi matematika köréből Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

2 Társasház Egy társasházban 123 ember lakik. Életkoruk összege években mérve L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

3 Társasház Egy társasházban 123 ember lakik. Életkoruk összege években mérve L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

4 Társasház Egy társasházban 123 ember lakik. Életkoruk összege években mérve Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható a házból 100 lakos úgy, hogy életkoraik összege nem kevesebb, mint L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

5 Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

6 Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). Válasszuk ki a 100 legidősebbet. Közülük a legfiatalabb sem fiatalabb, mint a fönnmaradó 23 lakos bármelyike. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

7 Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). Válasszuk ki a 100 legidősebbet. Közülük a legfiatalabb sem fiatalabb, mint a fönnmaradó 23 lakos bármelyike. Állítás A 100 legidősebb lakos életkorának összege nem lehet kevesebb 3100-nál. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

8 Megoldás Életkor szerint sorbarendezzük a lakosokat (pl.: Bőhm bácsi, Taki bácsi, Lenke néni, Magenheim doktor,...). Válasszuk ki a 100 legidősebbet. Közülük a legfiatalabb sem fiatalabb, mint a fönnmaradó 23 lakos bármelyike. Állítás A 100 legidősebb lakos életkorának összege nem lehet kevesebb 3100-nál. Bizonyítás Indirekt tegyük fel, hogy az életkoruk összege kevesebb, mint Ez azt jelenti, hogy közülük a legfiatalabb életkora kevesebb, mint 31. Ekkor a kimaradó 23 lakos életkora is kevesebb 31-nél (külön-külön), vagyis az életkoraik összege kevesebb, mint = 713. Ezekből kapjuk, hogy a 123 lakos életkorának összege kevesebb, mint = 3813, ami ellentmondásban van a feladat föltételével. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

9 Haj-jaj Anatómia: az embereknek kevesebb, mint hajszála van. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

10 Haj-jaj Anatómia: az embereknek kevesebb, mint hajszála van. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

11 Haj-jaj Anatómia: az embereknek kevesebb, mint hajszála van. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

12 Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

13 Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb ( ) ember él. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

14 Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb ( ) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

15 Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb ( ) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: csoport. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

16 Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb ( ) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: csoport. Biztosan van legalább egy olyan csoport, ahová legalább két ember kerül. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

17 Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb ( ) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: csoport. Biztosan van legalább egy olyan csoport, ahová legalább két ember kerül. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

18 Feladat és megoldása Bizonyítsuk be, hogy Csongrád megyében él legalább két olyan ember, akiknek ugyanannyi hajszáluk van. Csongrádban kb ( ) ember él. Rendezzük hajszálaik száma szerint csoportokba őket: csoport. Biztosan van legalább egy olyan csoport, ahová legalább két ember kerül. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

19 Tanuló Egy diáknak 9 feladatot kell megoldania egyetlen hét alatt. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

20 Tanuló Egy diáknak 9 feladatot kell megoldania egyetlen hét alatt. Mutassuk meg, hogy legalább a hét egyik napján, legalább 2 feladatot meg kell oldania, ha a határidőt tartani akarja. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

21 Tanuló Egy diáknak 9 feladatot kell megoldania egyetlen hét alatt. Mutassuk meg, hogy legalább a hét egyik napján, legalább 2 feladatot meg kell oldania, ha a határidőt tartani akarja. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

22 Skatulya elv (Pigeonhole-, Dirichlet-principle) Ha m testet osztunk szét n csoportba, és m > n k, k N, akkor legalább (k + 1) test kerül az egyik csoportba. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

23 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

24 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

25 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

26 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

27 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

28 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

29 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

30 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. A 4 szám paritását vizsgálva 3 b a L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

31 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású 3 b a L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

32 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású legalább 3 különbság páros L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

33 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású legalább 3 különbság páros 2 szám páros, 2 szám páratlan L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

34 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású legalább 3 különbság páros 2 szám páros, 2 szám páratlan legalább 2 különbség páros L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

35 Számelméleti példa Legyenek a, b, c, d Z. Mutassuk meg, hogy 12 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c). 4 szám van, a 3-mal való osztási maradékaik szerint csoportba rendezve a skatulya elv miatt legalább kettő ugyanabba a maradékosztályba esik: például az a és a b. Ekkor a = 3k + 1, b = 3l + 1, k, l Z. 3 b a A 4 szám paritását vizsgálva legalább 3 szám azonos paritású legalább 3 különbság páros 2 szám páros, 2 szám páratlan legalább 2 különbség páros A szorzat osztható 3-mal és 4-gyal, azaz 12-vel. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

36 Geometria Egy szabályos húszszög csúcsai mind kékre vagy pirosra vannak festve. A piros csúcsok száma 9, a kékeké 11. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

37 Geometria Egy szabályos húszszög csúcsai mind kékre vagy pirosra vannak festve. A piros csúcsok száma 9, a kékeké 11. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

38 Geometria Egy szabályos húszszög csúcsai mind kékre vagy pirosra vannak festve. A piros csúcsok száma 9, a kékeké 11. Bizonyítsuk be, hogy legalább 2 kék csúcs egy átló mentén, ellentétesen helyezkedik el. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

39 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

40 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

41 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

42 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

43 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

44 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; összesen 10 átmérő van. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

45 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; összesen 10 átmérő van. Véve azon átmérőket, melyek legalább egyik vége piros, legföljebb 9 ilyet találunk. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

46 Megoldás A szabályos húszszög körülírt körén vannak a csúcsok, vegyük a csúcsokat tartalmazó átmérőit ennek a körnek. Világos: egy átmérőn átellenes csúcsok vannak; legföljebb 2 csúcs van egy átmérőn; összesen 10 átmérő van. Véve azon átmérőket, melyek legalább egyik vége piros, legföljebb 9 ilyet találunk. Van legalább 1 átmérő, amin nincs piros csúcs. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

47 Számrejtvény Keressük meg a kifejezés értékét, ha különböző betű különböző számjegyet jelöl, azonos betűk ugyanazt a számjegyet rejtik: L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

48 Számrejtvény Keressük meg a kifejezés értékét, ha különböző betű különböző számjegyet jelöl, azonos betűk ugyanazt a számjegyet rejtik: D I R I C H L E T P R I N C I P L E L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

49 Az elkent" irracionálisok α Q, m, n Z L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

50 Az elkent" irracionálisok Bizonyítsuk be, hogy ε > 0 esetén α Q, m, n Z n α m < ε. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

51 Az elkent" irracionálisok Bizonyítsuk be, hogy ε > 0 esetén α Q, m, n Z n α m < ε. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

52 Az elkent" irracionálisok Bizonyítsuk be, hogy ε > 0 esetén α Q, m, n Z n α m < ε. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

53 Megoldás - naná, hogy skatulya elvvel Legyen M > 1/ε, és osszuk föl a (0; 1) intervallumot M egyenlő részre. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

54 Megoldás - naná, hogy skatulya elvvel Legyen M > 1/ε, és osszuk föl a (0; 1) intervallumot M egyenlő részre. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

55 {1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

56 {1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

57 {1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

58 {1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

59 {1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek {n 1 α} {n 2 α} < ε. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

60 {1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek {n 1 α} {n 2 α} < ε. {n 1 α} = n 1 α [n 1 α] L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

61 {1 α}, {2 α},..., {M α}, {(M + 1) α} Ezek mind különbözőek, és mind a (0; 1) eleme. skatulya elvből következik, hogy n 1, n 2 (n 1 n 2 ) : ugyanabba a részbe kerülnek {n 1 α} {n 2 α} < ε. {n 1 α} = n 1 α [n 1 α] (n 1 n 2 )α ([n 1 α] + [n 2 α]) = n α m < ε. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

62 Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

63 Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

64 Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

65 Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

66 Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. Megmutatjuk, hogy a (0; 1) intervallum racionális számai sorozatba rendezhetőek, azaz van első, második,... L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

67 Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. Megmutatjuk, hogy a (0; 1) intervallum racionális számai sorozatba rendezhetőek, azaz van első, második,... Megmutatjuk, hogy a (0; 1)-be eső valós számokat nem tudjuk sorozatba szedni. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

68 Hát ez fura! A racionális számokból ugyanannyi van, mint természetes számból, megszámlálhatóan végtelen, valós számokból még több, azaz irracionális számból több van, mint racionális számból. Megmutatjuk, hogy a (0; 1) intervallum racionális számai sorozatba rendezhetőek, azaz van első, második,... Megmutatjuk, hogy a (0; 1)-be eső valós számokat nem tudjuk sorozatba szedni. Indirekt módon tegyük föl, hogy sorozatba rendezhetőek. Írjuk mindegyik számot tizedestört alakba úgy, hogy mindig a végtelen sok tizedesjegyű kifejtést választjuk, például (0, 5 = 0, ). L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

69 a ij {0, 1,..., 9} x 1 = 0, a 11 a 12 a 13..., x 2 = 0, a 21 a 22 a 23...,... L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

70 a ij {0, 1,..., 9} x 1 = 0, a 11 a 12 a 13..., x 2 = 0, a 21 a 22 a 23...,... y = 0, b 1 b 2 b 3... b n = { 1, ha ann 1; 2, ha a nn = 1. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

71 a ij {0, 1,..., 9} x 1 = 0, a 11 a 12 a 13..., x 2 = 0, a 21 a 22 a 23...,... y = 0, b 1 b 2 b 3... b n = { 1, ha ann 1; 2, ha a nn = 1. Föltételezésünkkel ellentétben y (0; 1), azaz mégsem mindegyik számot soroltuk föl. L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

72 Búcsú Tanulság: skatulyázni jó L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

73 Búcsú Tanulság: skatulyázni jó de azért óvatosan L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

74 Búcsú Tanulság: skatulyázni jó de azért óvatosan Köszönöm a figyelmet! L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája / 17

SKATULYA-ELV. Sava Grozdev

SKATULYA-ELV. Sava Grozdev SKATULYA-ELV Sava Grozdev Ha 3 apró labdát akarunk elhelyezni a nadrágunk 2 zsebébe, akkor kétség sem férhet hozzá, hogy legalább 2 labda azonos zsebbe fog kerülni. Hasonlóan, ha 4 kicsi dobozt akarunk

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

A skatulya-elv Béres Zoltán (Szabadka, Zenta)

A skatulya-elv Béres Zoltán (Szabadka, Zenta) A skatulya-elv Béres Zoltán (Szabadka, Zenta) Ez a 205. november 28-i komáromi előadás kibővített, javított, újraszerkesztett és megoldásokkal ellátott feladatsora Alapfeladatok. Van 4 skatulyám és 5 gyufaszálam.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Skatulya-elv. Sava Grozdev

Skatulya-elv. Sava Grozdev Skatulya-elv Sava Grozdev Egy alapvető szabály, azaz elv azt állítja, hogy: ha m testet szétosztunk n csoportba és m > n, akkor legalább két test azonos csoportba fog kerülni. Ezt az elvet különböző országokban

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. A 2014-et felírtuk három természetes szám összegeként úgy, hogy ha az első számot elosztjuk

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a b pozitív egészek és tudjuk hogy a 2

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Ágotai László (Kisújszállás)

Ágotai László (Kisújszállás) Kalandozás a rácspontok világában Ágotai László (Kisújszállás) 1.) Hány egész koordinátájú pont van azon a szakaszon, amelynek végpontjai ( 3 ; 17 ) és ( 48, 81 )?.) Igazoljuk, hogy ha az ax + by = c (

Részletesebben

(4 pont) Második megoldás: Olyan számokkal próbálkozunk, amelyek minden jegye c: c( t ). (1 pont)

(4 pont) Második megoldás: Olyan számokkal próbálkozunk, amelyek minden jegye c: c( t ). (1 pont) Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2005 2006-os tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály A mellékelt ábrán két egymás melletti mező számának összege mindig a közvetlen felettük lévő mezőben szerepel. Fejtsétek meg a hiányzó számokat! 96 23 24 17 A baloldali három mezőbe tartozó

Részletesebben

SZTE TTIK Bolyai Intézet

SZTE TTIK Bolyai Intézet Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket

Részletesebben

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész

Részletesebben

Feladatlap. a hatosztályos speciális matematika tantervű osztályok írásbeli vizsgájára (2006)

Feladatlap. a hatosztályos speciális matematika tantervű osztályok írásbeli vizsgájára (2006) Feladatlap a hatosztályos speciális matematika tantervű osztályok írásbeli vizsgájára (2006) 1) Karcsi januárban betegség miatt háromszor hiányzott az iskolából:12-én,14-én és 24-én. Milyen napra esett

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam 1. félév ESZKÖZÖK Matematika A 9. évfolyam 1. modul 1.1 dominó { 5-re végződő páros számok } { az x < 0 egyenlet megoldásai } { a Föld holdjai }

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április mal, így a számjegyeinek összege is osztható 3-mal.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április mal, így a számjegyeinek összege is osztható 3-mal. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HATODIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Melyik a legkisebb 3-mal osztható négyjegyű szám, amelynek minden számjegye különböző,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve)

Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve) Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve) Kombinatorika 5. előadás SZTE Bolyai Intézet Szeged, 2016. március 1. 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Színezések Fonyó Lajos, Keszthely

Színezések Fonyó Lajos, Keszthely Színezések Fonyó Lajos, Keszthely 1. A sík pontjait kiszínezzük két színnel. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges d R + esetén lesz két egymástól d távolságra levő pont, amelyek azonos színűek. I. megoldás:

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 =

4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 = 4. Sorozatok Megjegyzés: A szakirodalomban használt a sorozat tagjáról, máskor eleméről beszélni. Az alábbiakban mindkét kifejezést használtuk megtartva a feladatok eredeti fogalmazását. I. Feladatok.

Részletesebben

Differenciálegyenletek a mindennapokban

Differenciálegyenletek a mindennapokban Differenciálegyenletek a mindennapokban Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 1 / 15 Pénz, pénz,

Részletesebben

MEMO (Middle European Mathematical Olympiad) Szoldatics József, Dunakeszi

MEMO (Middle European Mathematical Olympiad) Szoldatics József, Dunakeszi Szoldatics József: MEMO MEMO (Middle European Mathematical Olympiad) Szoldatics József, Dunakeszi A feladatmegoldó szemináriumon első részében egy rövid beszámolót fognak hallani a 010. szeptember 9. és

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Minden feladat teljes megoldása 7 pont

Minden feladat teljes megoldása 7 pont Telefon: 7-8900 Fax: 7-8901 4. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. nap HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Minden feladat teljes megoldása 7 pont 1. 9 kg mogyorót vásároltunk,

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2010.03.2. 1. Jelölje B n azt a gráfot, melynek csúcsai az n hosszúságú 0 1 sorozatok, két sorozat akkor és csak akkor van összekötve éllel, ha pontosan egy vagy két helyen különböznek. Adjuk

Részletesebben

SzA II. gyakorlat, szeptember 18.

SzA II. gyakorlat, szeptember 18. SzA II. gyakorlat, 015. szeptember 18. Barátkozás a gráfokkal Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Az előre megszámozott (címkézett) n darab pont közé hányféleképp húzhatunk be éleket úgy, hogy egyszerű gráfhoz

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

MEGOLDÁS ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ

MEGOLDÁS ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ 5. osztály Jelölje a 20-as és az 50-es közötti számokat a és b, a 20-as és a 80-as közöttieket c és d, az 50-es és a 80- as közöttieket pedig e és f. Ekkor tudjuk, hogy a+ b= 130, c+ d = 100 és e+ f =

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

Algoritmuselmélet 18. előadás

Algoritmuselmélet 18. előadás Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok

Részletesebben

Szabolcs-Szatmár-Bereg megyei Ambrózy Géza Matematikaverseny 2012/2013 II. forduló 5. osztály

Szabolcs-Szatmár-Bereg megyei Ambrózy Géza Matematikaverseny 2012/2013 II. forduló 5. osztály 5. osztály 1. Hány olyan téglalap van, amelynek minden oldala centiméterben kifejezve egész szám, és a területe 60 cm 2? 2. Adott a síkon egy ABC szabályos háromszög. Keresd meg a síkon az összes olyan

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HETEDIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Ki lehet-e tölteni a következő táblázat mezőit pozitív egész számokkal úgy, hogy

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2006/2007-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2006/2007-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2006/2007-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Matematika levelezős verseny általános iskolásoknak II. forduló megoldásai

Matematika levelezős verseny általános iskolásoknak II. forduló megoldásai Matematika levelezős verseny általános iskolásoknak II. forduló megoldásai 1. Hány olyan téglalap van, amelynek csúcsai az alábbi négyzetrács rácspontjaira esnek? A téglalapok oldalai vagy,,függőlegesek"

Részletesebben

Megoldások 11. osztály

Megoldások 11. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 016. március 1115. Megoldások 11. osztály 1. feladat Egy háromszög három oldalának mér száma, a, b, c ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} 2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó

Részletesebben

DÖNTŐ MEGOLDÁSOK 5. OSZTÁLY

DÖNTŐ MEGOLDÁSOK 5. OSZTÁLY 5. OSZTÁLY 1.) A páratlan számjegyek száma 5, közülük 1 db, illetve 3 db lehet a háromjegyű számunkban. Ha mindhárom számjegy páratlan, akkor az 5 lehetőségből választhatunk mindhárom helyiértékre. Így

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary)

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 9 (00) 07 4 PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Kiss Péter professzor emlékére Abstract. In this article, we characterize the odd-summing

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;.

8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;. BEM JÓZSEF Jelszó:... VÁROSI MATEMATIKAVERSENY Teremszám:... 2010. december 7-8. Hely:... 8. OSZTÁLY Tiszta versenyidő: 90 perc. A feladatokat többször is olvasd el figyelmesen! A megoldás menetét, gondolataidat

Részletesebben

1. Írd le számjegyekkel illetve betűkkel az alábbi számokat! Tízezer-hétszáztizenkettő Huszonhétmillió-hétezer-nyolc

1. Írd le számjegyekkel illetve betűkkel az alábbi számokat! Tízezer-hétszáztizenkettő Huszonhétmillió-hétezer-nyolc 1. Írd le számjegyekkel illetve betűkkel az alábbi számokat! Tízezer-hétszáztizenkettő Huszonhétmillió-hétezer-nyolc 10 325 337 30 103 000 002 2. Végezd el az alábbi műveleteket, ahol jelölve van ellenőrizz!

Részletesebben

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu- . modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Ismétléses permutáció: ha az elemek között van olyan, amelyik többször is előfordul, az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: ha n elem között p 1, p 2, p 3, p k darab megegyező

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel 5. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel Axióma: Bizonyítás: olyan állítás, amelynek igazságát bizonyítás nélkül elfogadjuk.

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor I-hez

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor I-hez NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor I-hez Számadó László (Budapest) 1. Számold ki! a) 1 2 3 + 4 5 6 ; b) 1 2 3 + 4 5 6. 2 3 4 5 6 7 2 3 5 6 7 a) 1 2 3 4 2 3 4 +5

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben