A változatlan. Invariánsok a matematikában. Szakács Nóra. Egyetemi Tavasz Bolyai Intézet

Átírás

1 A változatlan Invariánsok a matematikában Szakács Nóra Bolyai Intézet Egyetemi Tavasz

2 Egy egyszer kérdés Át tud-e haladni egy futó egy sakktábla összes mez jén úgy, hogy szabályosan lép, és minden mez t csak egyszer érint?

3 Egy egyszer kérdés Át tud-e haladni egy futó egy sakktábla összes mez jén úgy, hogy szabályosan lép, és minden mez t csak egyszer érint? Nem: akárhogyan is lép, a mez színe változatlan.

4 Egy nehezebb kérdés Át tud-e haladni egy huszár egy sakktábla összes mez jén úgy, hogy szabályosan lép, és minden mez t csak egyszer érint?

5 Egy nehezebb kérdés Át tud-e haladni egy huszár egy sakktábla összes mez jén úgy, hogy szabályosan lép, és minden mez t csak egyszer érint? Igen.

6 Egy nehezebb kérdés És van-e olyan útvonal, amely az egyik sarokból indul, és az átellenesbe érkezik?

7 Egy nehezebb kérdés És van-e olyan útvonal, amely az egyik sarokból indul, és az átellenesbe érkezik? A huszár minden lépéssel színt vált, tehát minden páros sokadik lépése fehér, minden páratlan sokadik lépése fekete mez re érkezik.

8 Egy nehezebb kérdés És van-e olyan útvonal, amely az egyik sarokból indul, és az átellenesbe érkezik? A huszár minden lépéssel színt vált, tehát minden páros sokadik lépése fehér, minden páratlan sokadik lépése fekete mez re érkezik. Ha minden mez t pontosan egyszer érint, akkor az utolsó lépése a 63. fekete kellene legyen.

9 Invariánsok A két meggondolásban közös, hogy kerestünk egy olyan tulajdonságot (a mez színe), amely a lépések során változatlan (a futó esetén), vagy kontrollált módon változik (a huszár esetén).

10 Invariánsok A két meggondolásban közös, hogy kerestünk egy olyan tulajdonságot (a mez színe), amely a lépések során változatlan (a futó esetén), vagy kontrollált módon változik (a huszár esetén). Ezen tulajdonság segítségével bizonyítottuk, hogy bizonyos mez k között nincsen a kért szabályoknak megfelel lépéssor.

11 A változatlan A Rubik-kocka

12 A változatlan A Rubik-kocka

13 A változatlan A Rubik-kocka Tény: a Rubik-kockának nem lehet csak egy élkockáját megfordítani (a kocka szétszedése nélkül)

14 A változatlan A Rubik-kocka Tény: a Rubik-kockának nem lehet csak egy élkockáját megfordítani (a kocka szétszedése nélkül) A bizonyítás: keressünk olyan tulajdonságot, amelyet a Rubik-kocka forgatásai nem változtatnak, az élfordítás viszont igen.

15 Permutációk Permutáció:

16 Permutációk Permutáció: sorbaállított elemek egy átrendezése

17 Permutációkat végrehajthatunk egymás után:

18 Permutációkat végrehajthatunk egymás után:

19 Permutációkat végrehajthatunk egymás után:

20 Permutációkat végrehajthatunk egymás után:... és így újabb permutációt kapunk.

21 A forgatás, mint permutáció

22 A forgatás, mint permutáció

23 A forgatás, mint permutáció

24 Permutációk a Rubik-kockán A Rubik-kocka egy összekeverése: olyan permutáció, amely forgatások egymásutánjaként áll el

25 A forgatások egy invariánsa Számoljuk meg azokat az elempárokat, amelyek sorrendje egymáshoz képest az új elrendezésben más:

26 A forgatások egy invariánsa Számoljuk meg azokat az elempárokat, amelyek sorrendje egymáshoz képest az új elrendezésben más: 1.

27 A forgatások egy invariánsa Számoljuk meg azokat az elempárokat, amelyek sorrendje egymáshoz képest az új elrendezésben más: 1. 2.

28 A forgatások egy invariánsa Azt mondjuk, hogy egy permutáció páros (páratlan), ha azon elempárok száma, amelyek sorrendjét egymáshoz képest megváltoztatja, páros (páratlan).

29 A forgatások egy invariánsa Azt mondjuk, hogy egy permutáció páros (páratlan), ha azon elempárok száma, amelyek sorrendjét egymáshoz képest megváltoztatja, páros (páratlan). Az el z példában szerepl permutáció páros.

30 A forgatások egy invariánsa Azt mondjuk, hogy egy permutáció páros (páratlan), ha azon elempárok száma, amelyek sorrendjét egymáshoz képest megváltoztatja, páros (páratlan). Az el z példában szerepl permutáció páros. A Rubik-kocka forgatásaihoz tartozó permutációk szintén párosak.

31 Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk?

32 Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk?

33 Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk?

34 Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? =

35 Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros.

36 Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után

37 Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után a második permutációban egy sorrendcsere vagy kijavít egy rossz sorrendet, vagy

38 Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után a második permutációban egy sorrendcsere vagy kijavít egy rossz sorrendet, vagy elront egy jót.

39 Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után a második permutációban egy sorrendcsere vagy kijavít egy rossz sorrendet (k) elront egy jót (m k).

40 Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után a második permutációban egy sorrendcsere vagy kijavít egy rossz sorrendet (k) elront egy jót (m k). A végén a rossz sorrend elempárok száma: n

41 Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után a második permutációban egy sorrendcsere vagy kijavít egy rossz sorrendet (k) elront egy jót (m k). A végén a rossz sorrend elempárok száma: n k

42 Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után a második permutációban egy sorrendcsere vagy kijavít egy rossz sorrendet (k) elront egy jót (m k). A végén a rossz sorrend elempárok száma: n k + (m k)

43 Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után a második permutációban egy sorrendcsere vagy kijavít egy rossz sorrendet (k) elront egy jót (m k). A végén a rossz sorrend elempárok száma: n k + (m k) = n + m 2k, páros.

44 Egy élkocka megfordítása A forgatásokkal el állítható összekeverések, mint permutációk, tehát mindig párosak.

45 Egy élkocka megfordítása A forgatásokkal el állítható összekeverések, mint permutációk, tehát mindig párosak. És az élfordítás?

46 Egy élkocka megfordítása

47 Egy élkocka megfordítása A 7, 8,..., 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendet cserél

48 Egy élkocka megfordítása A 7, 8,..., 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendet cserél = páros sok csere

49 Egy élkocka megfordítása A 7, 8,..., 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendet cserél = páros sok csere Ezen felül még a 6 és a 20 egymással sorrendet cserélnek

50 Egy élkocka megfordítása A 7, 8,..., 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendet cserél = páros sok csere Ezen felül még a 6 és a 20 egymással sorrendet cserélnek = páros +1 = páratlan sok sorrendcsere

51 Egy élkocka megfordítása A 7, 8,..., 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendet cserél = páros sok csere Ezen felül még a 6 és a 20 egymással sorrendet cserélnek = páros +1 = páratlan sok sorrendcsere Forgatások segítségével csak páros permutációkat tudunk el állítani, tehát a megfordított élkockát nem.

52 A változatlan Csomók

53 A változatlan Csomók Ki lehet-e bogozni a fent látható csomókat anélkül, hogy elszakítanánk ket?

54 A változatlan Csomók Ki lehet-e bogozni a fent látható csomókat anélkül, hogy elszakítanánk ket? (Vagy átbogozhatóak -e egymásba?)

55 A változatlan Csomók Ki lehet-e bogozni a fent látható csomókat anélkül, hogy elszakítanánk ket? (Vagy átbogozhatóak -e egymásba?) Keressünk olyan tulajdonságot (invariánst), amely a bogozás során nem változik!

56 Csomók a valóságban

57 Csomók a valóságban Egy korai atommodell (Kelvin, 1860): az atom az éter összecsomósodása

58 Csomók a valóságban Egy korai atommodell (Kelvin, 1860): az atom az éter összecsomósodása Az elszakadt, majd összekötött DNS-szálban is létrejöhetnek csomók: A csomó invariánsai segítségével biológusok a DNS-javító enzimek m ködését vizsgálják.

59 A változatlan Csomók Ki lehet-e bogozni a fent látható csomókat anélkül, hogy elszakítanánk ket? (Vagy átbogozhatóak -e egymásba?) Keressünk olyan tulajdonságot (invariánst), amely a bogozás során nem változik!

60 A bogozás a következ három lépés használhatát jelenti:

61 A bogozás a következ három lépés használhatát jelenti:

62 A bogozás a következ három lépés használhatát jelenti:

63 A bogozás a következ három lépés használhatát jelenti:

64 Diagramok A csomókat általában két dimenzióban szoktuk ábrázolni: Az ábrázolás szabályai: minden keresztezésen legfeljebb két ág haladjon át (az egyik fent, a másik lent).

65 Háromszínezhet ség Azt mondjuk, hogy egy csomó háromszínezhet, ha kiszínezhet három színnel úgy, hogy legalább két színt felhasználunk, és minden keresztezésnél a találkozó három szál mind különböz szín, vagy

66 Háromszínezhet ség Azt mondjuk, hogy egy csomó háromszínezhet, ha kiszínezhet három színnel úgy, hogy legalább két színt felhasználunk, és minden keresztezésnél a találkozó három szál mind különböz szín, vagy mind egyforma szín,

67 Háromszínezhet ség Azt mondjuk, hogy egy csomó háromszínezhet, ha kiszínezhet három színnel úgy, hogy legalább két színt felhasználunk, és minden keresztezésnél a találkozó három szál mind különböz szín, vagy mind egyforma szín, és a szálak csak keresztezésnél váltanak színt.

68 A lépések során a háromszínezhet ség nem változik: tegyük fel, hogy kiszíneztük a csomót. A lépések után is jól színezhet csomót kapunk:

69 A lépések során a háromszínezhet ség nem változik: tegyük fel, hogy kiszíneztük a csomót. A lépések után is jól színezhet csomót kapunk:

70 A lépések során a háromszínezhet ség nem változik: tegyük fel, hogy kiszíneztük a csomót. A lépések után is jól színezhet csomót kapunk:

71 A lépések során a háromszínezhet ség nem változik: tegyük fel, hogy kiszíneztük a csomót. A lépések után is jól színezhet csomót kapunk:

72 Tehát: háromszínezhet csomóból csak háromszínezhet t lehet bogozni.

73 Tehát: háromszínezhet csomóból csak háromszínezhet t lehet bogozni. (a triviális csomó) nem háromszínezhet

74 Tehát: háromszínezhet csomóból csak háromszínezhet t lehet bogozni. (a triviális csomó) nem háromszínezhet (a lóhere) háromszínezhet

75 Tehát: háromszínezhet csomóból csak háromszínezhet t lehet bogozni. (a triviális csomó) nem háromszínezhet (a lóhere) háromszínezhet (a nyolcascsomó) nem háromszínezhet

76 Azaz a lóhere nem bogozható ki, és nem is bogozható át a nyolcasba.

77 Azaz a lóhere nem bogozható ki, és nem is bogozható át a nyolcasba. A nyolcascsomót sem lehet kibogozni, de ennek a bizonyításához bonyolultabb invariánsokra van szükség.

78 Köszönöm a gyelmet!