Hogyan óvjuk meg értékes festményeinket?
|
|
|
- Ervin Csonka
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Hogyan óvjuk meg értékes festményeinket? Hajnal Péter Bolyai Intézet, SZTE, Szeged április
2 Bevezető példa I. Feladat Adott egy konvex nyolcszög.
3 Bevezető példa I. Feladat Adott egy konvex nyolcszög. Csúcsai közül ( 8 3) = 56-féleképpen választható ki három.
4 Bevezető példa I. Feladat Adott egy konvex nyolcszög. Csúcsai közül ( 8 3) = 56-féleképpen választható ki három. Mindegyik kiválasztás egy-egy háromszöghöz vezet.
5 Bevezető példa I. Feladat Adott egy konvex nyolcszög. Csúcsai közül ( 8 3) = 56-féleképpen választható ki három. Mindegyik kiválasztás egy-egy háromszöghöz vezet. Helyezzünk el pontokat a síkon úgy, hogy mind a 56 fenti háromszög belsejébe essen kiválasztott pont.
6 Bevezető példa I. Feladat Adott egy konvex nyolcszög. Csúcsai közül ( 8 3) = 56-féleképpen választható ki három. Mindegyik kiválasztás egy-egy háromszöghöz vezet. Helyezzünk el pontokat a síkon úgy, hogy mind a 56 fenti háromszög belsejébe essen kiválasztott pont. Legaláb hány pontra van szükségünk?
7 A megoldás: alsó becslés
8 A megoldás: alsó becslés
9 A megoldás: felső becslés
10 A megoldás: felső becslés
11 A megoldás: felső becslés
12 A megoldás: felső becslés
13 A megoldás: felső becslés
14 A megoldás: felső becslés
15 FONTOS ötlet Ha háromszögek egy rendszere olyan, hogy
16 FONTOS ötlet Ha háromszögek egy rendszere olyan, hogy akkor BELSEJEIK PÁRONKÉNT DISZJUNKTAK
17 FONTOS ötlet Ha háromszögek egy rendszere olyan, hogy BELSEJEIK PÁRONKÉNT DISZJUNKTAK akkor KÜLÖNBÖZŐ PONTOKAT IGÉNYELNEK.
18 FONTOS ötlet Ha háromszögek egy rendszere olyan, hogy BELSEJEIK PÁRONKÉNT DISZJUNKTAK akkor KÜLÖNBÖZŐ PONTOKAT IGÉNYELNEK. Észrevétel Ha találunk lagalább k páronként diszjunkt háromszöget, akkor legalább k pont kell a megoldáshoz.
19 Kérdések 1. kérdés Mi van ha konvex hatszög helyett konvex n-szöggel dolgozunk?
20 Kérdések 1. kérdés Mi van ha konvex hatszög helyett konvex n-szöggel dolgozunk? Semmi baj. Ugyanezek az ötletek megoldják a feladatot.
21 Kérdések 1. kérdés Mi van ha konvex hatszög helyett konvex n-szöggel dolgozunk? Semmi baj. Ugyanezek az ötletek megoldják a feladatot. 2. kérdés Mi van ha n általános helyzetű ponttal dolgozunk?
22 Kérdések 1. kérdés Mi van ha konvex hatszög helyett konvex n-szöggel dolgozunk? Semmi baj. Ugyanezek az ötletek megoldják a feladatot. 2. kérdés Mi van ha n általános helyzetű ponttal dolgozunk? Nehezebb a kérdés. De OKOS diákjaink még mindig megoldják.
23 Kérdések 1. kérdés Mi van ha konvex hatszög helyett konvex n-szöggel dolgozunk? Semmi baj. Ugyanezek az ötletek megoldják a feladatot. 2. kérdés Mi van ha n általános helyzetű ponttal dolgozunk? Nehezebb a kérdés. De OKOS diákjaink még mindig megoldják évi Kürschák József matematikai tanulóverseny egyik (legnehezebb) feladata.
24 Bevezető példa II. Feladat Egy pincében egyenes szakaszokból álló folyosók rendszere. A folyosó szakaszok egy konvex n-szög oldalai és átlói.
25 Bevezető példa II. Feladat Egy pincében egyenes szakaszokból álló folyosók rendszere. A folyosó szakaszok egy konvex n-szög oldalai és átlói. ( ( n 2) folyosónk van.)
26 Bevezető példa II. Feladat Egy pincében egyenes szakaszokból álló folyosók rendszere. A folyosó szakaszok egy konvex n-szög oldalai és átlói. ( ( n 2) folyosónk van.) A pince egy pontján elhelyezett fáklya pontosan azokat a folyosókat világítja meg, ami áthalad rajta.
27 Bevezető példa II. Feladat Egy pincében egyenes szakaszokból álló folyosók rendszere. A folyosó szakaszok egy konvex n-szög oldalai és átlói. ( ( n 2) folyosónk van.) A pince egy pontján elhelyezett fáklya pontosan azokat a folyosókat világítja meg, ami áthalad rajta. Legalább hány fáklyára van szükségünk az összes folyosó megvilágításához?
28 Bevezető példa II. Feladat Egy pincében egyenes szakaszokból álló folyosók rendszere. A folyosó szakaszok egy konvex n-szög oldalai és átlói. ( ( n 2) folyosónk van.) A pince egy pontján elhelyezett fáklya pontosan azokat a folyosókat világítja meg, ami áthalad rajta. Legalább hány fáklyára van szükségünk az összes folyosó megvilágításához? Első ötlet:
29 Bevezető példa II. Feladat Egy pincében egyenes szakaszokból álló folyosók rendszere. A folyosó szakaszok egy konvex n-szög oldalai és átlói. ( ( n 2) folyosónk van.) A pince egy pontján elhelyezett fáklya pontosan azokat a folyosókat világítja meg, ami áthalad rajta. Legalább hány fáklyára van szükségünk az összes folyosó megvilágításához? Első ötlet: n fáklya elég.
30 Bevezető példa II. Feladat Egy pincében egyenes szakaszokból álló folyosók rendszere. A folyosó szakaszok egy konvex n-szög oldalai és átlói. ( ( n 2) folyosónk van.) A pince egy pontján elhelyezett fáklya pontosan azokat a folyosókat világítja meg, ami áthalad rajta. Legalább hány fáklyára van szükségünk az összes folyosó megvilágításához? Első ötlet: Második ötlet: n fáklya elég.
31 Bevezető példa II. Feladat Egy pincében egyenes szakaszokból álló folyosók rendszere. A folyosó szakaszok egy konvex n-szög oldalai és átlói. ( ( n 2) folyosónk van.) A pince egy pontján elhelyezett fáklya pontosan azokat a folyosókat világítja meg, ami áthalad rajta. Legalább hány fáklyára van szükségünk az összes folyosó megvilágításához? Első ötlet: Második ötlet: n fáklya elég. n 1 fáklya elég.
32 A feladat ábrán
33 A feladat ábrán
34 A korábbi ötlet nem működik Közös pont nélküli két folyosó Külön fáklyát igénylő két folyosó.
35 A korábbi ötlet nem működik Közös pont nélküli két folyosó Külön fáklyát igénylő két folyosó. Kérdés Hány páronként közös pont nélküli folyosót tudok kijelölni?
36 A korábbi ötlet nem működik Közös pont nélküli két folyosó Külön fáklyát igénylő két folyosó. Kérdés Hány páronként közös pont nélküli folyosót tudok kijelölni? A válasz:
37 A korábbi ötlet nem működik Közös pont nélküli két folyosó Külön fáklyát igénylő két folyosó. Kérdés Hány páronként közös pont nélküli folyosót tudok kijelölni? A válasz: n 2.
38 Az ötlet ábrán
39 Az ötlet ábrán
40 Az ötlet ábrán
41 A korábbi ötlet működik Feltehető, hogy az egyik csúcsban (A) nincs fáklya.
42 A korábbi ötlet működik Feltehető, hogy az egyik csúcsban (A) nincs fáklya. Vegyük az A-ban összefutó folyosókat. (n 1 darab.)
43 A korábbi ötlet működik Feltehető, hogy az egyik csúcsban (A) nincs fáklya. Vegyük az A-ban összefutó folyosókat. (n 1 darab.) Bármely kettőnek egyetlen közös pontja van: A.
44 A korábbi ötlet működik Feltehető, hogy az egyik csúcsban (A) nincs fáklya. Vegyük az A-ban összefutó folyosókat. (n 1 darab.) Bármely kettőnek egyetlen közös pontja van: A. Ha A-ban nincs fáklya, akkor
45 A korábbi ötlet működik Feltehető, hogy az egyik csúcsban (A) nincs fáklya. Vegyük az A-ban összefutó folyosókat. (n 1 darab.) Bármely kettőnek egyetlen közös pontja van: A. Ha A-ban nincs fáklya, akkor EZ AZ n 1 FOLYOSÓ MINDEGYIKE KÜLÖN FÁKLYÁT IGÉNYEL.
46 A korábbi ötlet működik Feltehető, hogy az egyik csúcsban (A) nincs fáklya. Vegyük az A-ban összefutó folyosókat. (n 1 darab.) Bármely kettőnek egyetlen közös pontja van: A. Ha A-ban nincs fáklya, akkor EZ AZ n 1 FOLYOSÓ MINDEGYIKE KÜLÖN FÁKLYÁT IGÉNYEL. A feladat megoldása: n 1 fáklya kell, de elég is.
47 A megoldás ábrán fáklya nélküli csúcs
48 A megoldás ábrán
49 Lássuk a festményeket!
50 Lássuk a festményeket! Menjünk el egy képtárba.
51 Lássuk a festményeket! Menjünk el egy képtárba.
52 Lássuk a festményeket! Menjünk el egy képtárba.
53 Lássuk a festményeket! Menjünk el egy képtárba.
54 Lássuk a festményeket! Menjünk el egy képtárba.
55 Hogyan védjük meg az értékes festményeket?
56 Hogyan védjük meg az értékes festményeket? Egyszerű:
57 Hogyan védjük meg az értékes festményeket? Egyszerű: Fogadjuk fel őröket. Helyezzük el őket sűrűen.
58 Hogyan védjük meg az értékes festményeket? Egyszerű: Fogadjuk fel őröket. Helyezzük el őket sűrűen. Mégsem olyan egyszerű.
59 Hogyan védjük meg az értékes festményeket? Egyszerű: Fogadjuk fel őröket. Helyezzük el őket sűrűen. Mégsem olyan egyszerű. Tudja valaki mennyibe kerül egy megbízható őr?
60 Mi az hogy sűrűen? Legyen G egy képtár:
61 Mi az hogy sűrűen? Legyen G egy képtár: tartomány
62 Mi az hogy sűrűen? Legyen G egy képtár: síkbeli tartomány
63 Mi az hogy sűrűen? Legyen G egy képtár: sokszög
64 Mi az hogy sűrűen? Legyen G egy képtár: egyszerű sokszög.
65 Mi az hogy sűrűen? Legyen G egy képtár: egyszerű sokszög. Legyen O egy pontja (az őr).
66 Mi az hogy sűrűen? Legyen G egy képtár: egyszerű sokszög. Legyen O egy pontja (az őr). Amit LÁT O, azt őrzi.
67 Mi az hogy sűrűen? Legyen G egy képtár: egyszerű sokszög. Legyen O egy pontja (az őr). Amit LÁT O, azt őrzi. Sűrű = Az őrök által látott területek fedjék le a képtárat.
68 A kérdés Minimum hány őr kell egy képtár őrzésére?
69 A kérdés Minimum hány őr kell egy képtár őrzésére? Természetes érzés: Bonyolultabb, nagyobb képtár, több őr.
70 A kérdés Minimum hány őr kell egy képtár őrzésére? Természetes érzés: Bonyolultabb, nagyobb képtár, több őr. Minimum hány őr kell egy N oldalú képtár őrzésére?
71 Definíció Definíció Legyen E egy egyszerű sokszög.
72 Definíció Definíció Legyen E egy egyszerű sokszög. guard(e) = min{k : k őrrel őrizhetjük E-t}
73 Definíció Definíció Legyen E egy egyszerű sokszög. guard(e) = min{k : k őrrel őrizhetjük E-t} Definíció guard(n) = min{guard(e) : E egy egyszerű N-szög}.
74 Alsó becslés
75 Alsó becslés Mi az, hogy alsó becslés?
76 Alsó becslés Mi az, hogy alsó becslés? Legegyszerűbb mód: Egy konkrét nehéz képtár felrajzolása.
77 Alsó becslés Mi az, hogy alsó becslés? Legegyszerűbb mód: Egy konkrét nehéz képtár felrajzolása.
78 Alsó becslés Mi az, hogy alsó becslés? Legegyszerűbb mód: Egy konkrét nehéz képtár felrajzolása.
79 Alsó becslés Mi az, hogy alsó becslés? Legegyszerűbb mód: Egy konkrét nehéz képtár felrajzolása.
80 Az alsó becslés
81 Az alsó becslés Alsó becslés guard(n) N. 3
82 Felső becslés
83 Felső becslés Minden N oldalú sokszöghöz megfelelő számú őrt kell biztosítanunk.
84 Felső becslés Minden N oldalú sokszöghöz megfelelő számú őrt kell biztosítanunk. Észrevétel Ha minden csúcsba őrt rakunk, akkor rendben vagyunk.
85 Felső becslés Minden N oldalú sokszöghöz megfelelő számú őrt kell biztosítanunk. Észrevétel Ha minden csúcsba őrt rakunk, akkor rendben vagyunk. Felső becslés guard(n) N.
86 Háromszögelések
87 Háromszögelések Tétel Minden egyszerű sokszög egymást nem metsző átlókkal háromszögekre bontható.
88 Háromszögelések Tétel Minden egyszerű sokszög egymást nem metsző átlókkal háromszögekre bontható. Tétel + Egy N oldalú egyszerű sokszöget egymást nem metsző átlókkal háromszögekre bontunk.
89 Háromszögelések Tétel Minden egyszerű sokszög egymást nem metsző átlókkal háromszögekre bontható. Tétel + Egy N oldalú egyszerű sokszöget egymást nem metsző átlókkal háromszögekre bontunk. Minden esetben ugyanannyi háromszögünk lesz, N 2.
90 Az alaptétel mozgatórugója FŐLEMMA Egy egyszerű sokszögben mindig találhatunk olyan átlót, amely teljesen a sokszög belsejében halad.
91 A FŐLEMMA bizonyítása Vegyünk egy C csúcsot, amelyben konvex szög van!
92 A FŐLEMMA bizonyítása Vegyünk egy C csúcsot, amelyben konvex szög van! Legyen a két szomszédos csúcs C és C +.
93 A FŐLEMMA bizonyítása Vegyünk egy C csúcsot, amelyben konvex szög van! Legyen a két szomszédos csúcs C és C +. Ha a C C + átló nem jó, akkor vegyük a CC C + -ben lévő, C-től különböző, C C + -tól legtávolabbi D csúcsot.
94 A FŐLEMMA bizonyítása Vegyünk egy C csúcsot, amelyben konvex szög van! Legyen a két szomszédos csúcs C és C +. Ha a C C + átló nem jó, akkor vegyük a CC C + -ben lévő, C-től különböző, C C + -tól legtávolabbi D csúcsot. CD áltó bizonyítja a FŐLEMMÁt.
95 Észrevétel Észrevétel Sokszögünket háromszögeljük. Ha úgy rakunk le őröket a csúcsokba, hogy minden háromszög esetén valamelyik csúcsába kerüljön őr, akkor védjük a sokszöget/képtárat.
96 Fisk tétele Fisk-Tétel Legyen E egy egyszerű háromszögelt sokszög.
97 Fisk tétele Fisk-Tétel Legyen E egy egyszerű háromszögelt sokszög. Ekkor csúcsai kiszínezhetők három színnel úgy, hogy
98 Fisk tétele Fisk-Tétel Legyen E egy egyszerű háromszögelt sokszög. Ekkor csúcsai kiszínezhetők három színnel úgy, hogy a háromszögelés minden háromszögében három különböző színű csúcs legyen.
99 Fisk tétele Fisk-Tétel Legyen E egy egyszerű háromszögelt sokszög. Ekkor csúcsai kiszínezhetők három színnel úgy, hogy a háromszögelés minden háromszögében három különböző színű csúcs legyen. Bizonyítás Indukció és FŐLEMMA.
100 A FŐTÉTEL
101 A FŐTÉTEL FŐTÉTEL guard(n) = N. 3
102 Mi a helyzet 3-dimenzióban? TAPASZTALAT: A 3-dimenzió sokkal nehezebb mint a 2-dimenzió másfélszerese.
103 Mi a helyzet 3-dimenzióban? TAPASZTALAT: A 3-dimenzió sokkal nehezebb mint a 2-dimenzió másfélszerese. 1. KÉRDÉS: Hogyan mérjük egy poliéder bonyolultságát?
104 Mi a helyzet 3-dimenzióban? TAPASZTALAT: A 3-dimenzió sokkal nehezebb mint a 2-dimenzió másfélszerese. 1. KÉRDÉS: Hogyan mérjük egy poliéder bonyolultságát? 2. KÉRDÉS: Mi az egymást nem metsző átlókkal háromszögekre bontás térbeli megfelelője?
105 Mi a helyzet 3-dimenzióban? TAPASZTALAT: A 3-dimenzió sokkal nehezebb mint a 2-dimenzió másfélszerese. 1. KÉRDÉS: Hogyan mérjük egy poliéder bonyolultságát? 2. KÉRDÉS: Mi az egymást nem metsző átlókkal háromszögekre bontás térbeli megfelelője? 3. KÉRDÉS: Minden csúcsba rajunk őrt. Őrzik a képtárat?
106 Háromszögelés
107 Háromszögelés Schönhardt példája C A C A Schönhardt s polyhedron: T
108 Minden csúcsban őr
109 Minden csúcsban őr Octoplex méretű kockában p 7 3 q center
110 Itt a vége!
111 Itt a vége! Köszönöm a figyelmet!
10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a b pozitív egészek és tudjuk hogy a 2
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
Geometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!
11. előadás. Konvex poliéderek
11. előadás Konvex poliéderek Konvex poliéder 1. definíció: Konvex poliédernek nevezzük a térben véges sok, nem egysíkú pont konvex burkát. 2. definíció: Konvex poliédernek nevezzük azokat a térbeli korlátos
VIII. Vályi Gyula Emlékverseny 2001 november Mennyivel egyenlő ezen számjegyek összege?
VIII. Vályi Gyula Emlékverseny 001 november 3-5 VI osztály Csak az eredmény kérjük! 1. Frédi 3 naponként, Béni 4 naponként jár az uszodába, mindig pontosan délután 4-től 6-ig. Kedden találkoztak az uszodában.
Erdősné Németh Ágnes. Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa. agi@microprof.hu. INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 1
Parkettázás s szabályos sokszögekkel Erdősné Németh Ágnes Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa agi@microprof.hu INFO SAVARIA 2010. április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 1 LOGO versenyfeladatok
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók
Gubancok. Hajnal Péter. SZTE, Bolyai Intézet
Gubancok SZTE, Bolyai Intézet 2010 Bevezető feladat Három ház három kút feladat Adott a síkon három ház és három kút. Bevezető feladat Három ház három kút feladat Adott a síkon három ház és három kút.
1. feladatsor Legyen ABCDEF egy szabályos hatszög. A hatszög AB és BC oldalára megrajzoljuk
1. feladatsor 2013.09.13. 1. Legyen ABCDEF egy szabályos hatszög. A hatszög AB és BC oldalára megrajzoljuk kifelé a BAXY és CBZT négyzeteket, illetve a CD és DE oldalára befelé a CDP Q és DERS négyzeteket.
Síkbarajzolható gráfok, duális gráf
Síkbarajzolható gráfok, duális gráf Papp László BME November 8, 2018 Gráfok lerajzolása Definíció: Egy G gráf diagramján a gráf olyan lerajzolását értjük ahol a csúcsok különböző síkbeli pontok, illetve
1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4
. Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 0/0 II. forduló = x + = x ++ = x +++ = x Ennek ismeretében mennyivel egyenlő ++++...+9+99=? A ) 0. D ) 0 000 6 C ) 0 D ) A Földközi-tengerben a só-víz aránya :
A Fermat-Torricelli pont
Vígh Viktor SZTE Bolyai Intézet 2014. november 26. Huhn András Díj 2014 Így kezdődött... Valamikor 1996 tavaszán, a Kalmár László Matematikaverseny megyei fordulóján, a hetedik osztályosok versenyén. [Korhű
MEGOLDÁS ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ
5. osztály Jelölje a 20-as és az 50-es közötti számokat a és b, a 20-as és a 80-as közöttieket c és d, az 50-es és a 80- as közöttieket pedig e és f. Ekkor tudjuk, hogy a+ b= 130, c+ d = 100 és e+ f =
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
Diszkrét démonok A Borsuk-probléma
A Borsuk-probléma Bessenyei Mihály DE TTK Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör (megnyitó el adás) Debrecen, 2017. október 16. Bevezetés Magyarázat a címhez... Napjainkban
EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
Síkba rajzolható gráfok
Síkba rajzolható gráfok Elmélet Definíció: egy G gráfot síkba rajzolható gráfnak nevezünk, ha az felrajzolható a síkra anélkül, hogy az élei metsszék egymást. Egy ilyen felrajzolását a G gráf síkbeli reprezentációjának
1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. különbözı pozitív egész szám átlaga. Legfeljebb mekkora lehet ezen számok közül a legnagyobb? (A) (B) 8 (C) 9 (D) 78 (E) 44. 00 009 + 008 007 +... + 4
3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési
Bevezetés a síkgeometriába
a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom
Programozási nyelvek 2. előadás
Programozási nyelvek 2. előadás Logo forgatás tétel Forgatás tétel Ha az ismétlendő rész T fok fordulatot végez és a kezdőhelyére visszatér, akkor az ismétlések által rajzolt ábrák egymás T fokkal elforgatottjai
Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei
Számítástudomány alapjai Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei 90. A konvex poliéder egyes lapjait határoló élek száma legyen k! Egy konvex poliéder egy tetszőleges
Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
Ezután az első megoldásban látott gondolatmenettel fejezhetjük be a feladat megoldását. = n(np 1)...(np p+1) (p 1)! ( ) np 1.
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2011 12-es tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító
I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
JOHANNES KEPLER (Weil der Stadt, december 27. Regensburg, Bajorország, november 15.)
SZABÁLYOS TESTEK JOHANNES KEPLER (Weil der Stadt, 1571. december 27. Regensburg, Bajorország, 1630. november 15.) Német matematikus és csillagász, aki felfedezte a bolygómozgás törvényeit, amiket róla
Minden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont.
1. 1. Név: NEPTUN kód: Tanult középiskolai matematika szintje: közép, emelt szint. Munkaidő: 50 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. A feladatlap üresen
FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. február 1. Vázlat 1 Mi a fraktál? 2 A konstrukció Egyszerű tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk
Háromszögek fedése két körrel
SZTE Bolyai Intézet, Geometria Tanszék 2010. április 24. Motiváció Jól ismert a kerületi szögek tétele, vagy más megfogalmazásban a látókörív tétel. Motiváció A tételből a következő állítás adódik: Motiváció
MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
Természettudományi kar. szakdolgozat Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány ELTE TTK
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Horváth Markó Síkgráfok polikromatikus színezése szakdolgozat Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány témavezető: Bérczi Kristóf ELTE TTK Operációkutatási
Képzeld el, építsd meg! Síkbeli és térbeli alakzatok 3. feladatcsomag
Síkbeli és térbeli alakzatok 1.3 Képzeld el, építsd meg! Síkbeli és térbeli alakzatok 3. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 10 12 év sokszög, szabályos sokszög egybevágó lap, él, csúcs párhuzamos,
48. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló HETEDIK OSZTÁLY MEGOLDÁSOK = = 2019.
8. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló HETEDIK OSZTÁLY MEGOLDÁSOK 1. Bizonyítsd be, hogy 019 db egymást követő pozitív egész szám közül mindig kiválasztható 19 db úgy, hogy az összegük
Minden feladat teljes megoldása 7 pont
Postacím: 11 Budapest, Pf. 17. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. nap NEGYEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Minden feladat teljes megoldása 7 pont 1. Hat futó: András, Bence, Csaba,
Az egyszerűsítés utáni alak:
1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 1. Diszkrét matematika 2. 5. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. október 12. Diszkrét matematika
Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
Hraskó András, Surányi László: spec.mat szakkör Tartotta: Hraskó András. 1. alkalom
1. alkalom 1. Beszínezzük a koordináta-rendszer rácspontjait. Egyetlen szabályt kell betartanunk: az (a;b) pontnak ugyanolyan színűnek kell lennie, mint az (a-b;a) és az (a;b-a) pontnak (a és b egész számok).
47. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
7. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló NYOLADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Hány különböző módon lehet felírni az 102-et két pozitív négyzetszám összegeként? (Az összeadás sorrendje
9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
Matematika az építészetben
Matematika az építészetben Molnár-Sáska Katalin Főisk.docens YMÉK Bevezetés - Történeti áttekintés - A geometria helye a főiskolai képzésben - Újraindítás és körülményei Részletes tanmenet Megjegyzések:
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 11. Előadás. Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor november 29.
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2010. november 29. 1. Gráfok metszési száma z előadás a metszési szám nevű gráfparaméterről szól. Ez
OPTIKAI CSALÓDÁSOK. Vajon valóban eltolódik a vékony egyenes? A kávéházi fal. Úgy látjuk, mintha a vízszintesek elgörbülnének
OPTIKAI CSALÓDÁSOK Mint azt tudjuk a látás mechanizmusában a szem által felvett információt az agy alakítja át. Azt hogy valójában mit is látunk, nagy szerepe van a tapasztalatoknak, az emlékeknek.az agy
Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
Koordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat
Síkbarajzolható gráfok Április 26.
Síkbarajzolható gráfok 2017. Április 26. Síkgráfok Egy gráf síkgráf=síkba rajzolható gráf, ha lerajzolható úgy a síkba, hogy élei csak a szögpontokban metszik egymást. Ha egy gráf lerajzolható a síkba,
ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY
Ismétléses permutáció: ha az elemek között van olyan, amelyik többször is előfordul, az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: ha n elem között p 1, p 2, p 3, p k darab megegyező
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
![VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]](/thumbs/88/117769211.jpg "VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]")
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.
ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC
Az egyes feladatok részkérdéseinek a száma az osztály felkészültségének és teherbírásának megfelelően (a feladat tartalmához igazodva) csökkenthető!
1 Az egyes feladatok részkérdéseinek a száma az osztály felkészültségének és teherbírásának megfelelően (a feladat tartalmához igazodva) csökkenthető! Szerkesztette: Huszka Jenő 2 A változat 1. Az ABCDEFGH
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.
Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak
XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II. forduló osztály
. feladat: Szupercsiga egy függőleges falon mászik felfelé. Első nap 4 cm-t tesz meg, éjszaka cm-t visszacsúszik. Második napon 9 cm-t tesz meg, éjszaka 4 cm-t csúszik vissza, harmadik napon 6 cm-t mászik,
A képtárprobléma élőrökkel
Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Szakdolgozat A képtárprobléma élőrökkel Készítette: Torma Zsolt Matematika BSc Témavezető: Dr. Fodor Ferenc 2013 Tartalomjegyzék
K. Horváth Eszter, Szeged. Veszprém, július 10.
Szigeteljünk! Egy kutatási téma középiskolásoknak K. Horváth Eszter, Szeged Társszerzők (időrendi sorrendben): Németh Zoltán, Pluhár Gabriella, Barát János, Hajnal Péter, Szabó Csaba, Horváth Gábor, Branimir
Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal
Síklapú testek Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria Vlasta Szirovicza: Descriptive geometry Síklapú
+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93
. Mennyi az alábbi művelet eredménye? 4 + 4 : 5 : 5 + 8 07 9 A ) B ) C ) D ) E ) 9 9 9 9 9. Egy digitális órát (amely 4 órás üzemmódban működik) pontosan beállítottunk. Kiderült azonban, hogy egy nap átlagosan
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Véges ponthalmazok legrövidebb hálózatai Kábelrakás kis költséggel
Véges ponthalmazok legrövidebb hálózatai Bessenyei Mihály U.M. Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék (Szabó Gréta egyetemi hallgatóval közös munka alapján) Medve Matektábor, Pusztafalu,
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
Területi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl. kör, ellipszis, poligon) b) Minden belső pont kirajzolásával (kitöltött)
Grafikus primitívek kitöltése Téglalap kitöltése Poligon kitöltése Kör, ellipszis kitöltése Kitöltés mintával Grafikus primitívek kitöltése Területi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl.
Hasonlóság 10. évfolyam
Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.
Geometriai valo szí nű se g
Geometriai valo szí nű se g Szűk elméleti áttekintő Klasszikus valószínűség: Geometriai valószínűség: - 1 dimenzióban: - dimenzióban: - + dimenzióban: jó esetek összes eset jó szakaszok teljes szakasz
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
A Vonallánc készlet parancsai lehetővé teszik vonalláncok és sokszögek rajzolását.
11. Geometriai elemek 883 11.3. Vonallánc A Vonallánc készlet parancsai lehetővé teszik vonalláncok és sokszögek rajzolását. A vonallánc egy olyan alapelem, amely szakaszok láncolatából áll. A sokszög
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Programozási nyelvek 3. előadás
Programozási nyelvek 3. előadás Logo sokszög variációk Sokszög rekurzívan Az N oldalú sokszögvonal 1 oldalból és egy N-1 oldalú sokszögvonalból áll. eljárás reksokszög :n :hossz :szög előre :hossz balra
GEOMETRIA 1, alapszint
GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:
Egy negyedikes felvételi feladattól az egyetemi matematikáig
Egy negyedikes felvételi feladattól az egyetemi matematikáig Tassy Gergely Veres Péter Gimnázium, Budapest ELTE Matematikatanár-délután Kombinatorika és gráfelmélet a középiskolában 2015. február 18. I.
Láthatjuk, hogy az els szám a 19, amelyre pontosan 4 állítás teljesül, tehát ez lesz a legnagyobb. 1/5
D1. Egy pozitív egész számról az alábbi 7 állítást tették: I. A szám kisebb, mint 23. II. A szám kisebb, mint 25. III. A szám kisebb, mint 27. IV. A szám kisebb, mint 29. V. A szám páros. VI. A szám hárommal
Lapok száma: 1 Oldalarány: A/4 Lépésszám: 58. Szarvasbogár
1. Egy A/4-es lappal kezdünk. A sarkot hajtsuk oda-vissza. 2. A másik oldalt is tegyük ugyanezt. 3. Az alsó területen is végezzük el az élképzéseket. 4. A felső részt hajtsuk az alsóra. laszlo.papp@openorigami.net
MEMO (Middle European Mathematical Olympiad) Szoldatics József, Dunakeszi
Szoldatics József: MEMO MEMO (Middle European Mathematical Olympiad) Szoldatics József, Dunakeszi A feladatmegoldó szemináriumon első részében egy rövid beszámolót fognak hallani a 010. szeptember 9. és
A skatulya-elv Béres Zoltán (Szabadka, Zenta)
A skatulya-elv Béres Zoltán (Szabadka, Zenta) Ez a 205. november 28-i komáromi előadás kibővített, javított, újraszerkesztett és megoldásokkal ellátott feladatsora Alapfeladatok. Van 4 skatulyám és 5 gyufaszálam.
Hajnal Péter. Bolyai Intézet, TTIK, SZTE, Szeged április 8.
Fibonacci- számok és tányérok Hajnal Péter Bolyai Intézet, TTIK, SZTE, Szeged 2017. április 8. A Fibonacci-sorozat A Fibonacci-sorozat Rekurzív definíció F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n 1 + F n 2. A Fibonacci-sorozat
Vektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
Ramsey-féle problémák
FEJEZET 8 Ramsey-féle problémák "Az intelligens eljárást az jellemzi, hogy még a látszólag megközelíthetetlen célhoz is utat nyit, megfelelő segédproblémát talál ki és először azt oldja meg." Pólya György:
Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria
GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak
Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
Erd os-szekeres-t ıpus u t etelek konvex lemezekre
Erdős-Szekeres-típusú tételek konvex lemezekre Fejes Tóth Gábor, Rényi Intézet f(n) a legkisebb természetes szám, amelyre teljesül, hogy bármely f(n) általános helyzetű pont között a síkon van n, amelyek
Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely
Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,