Gráfelméleti feladatok programozóknak

Átírás

1 Gráfelméleti feladatok programozóknak Nagy-György Judit 1. Lehet-e egy gráf fokszámsorozata 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6? 2. Lehet-e egyszer gráf fokszámsorozata (a) 3, 3, 4, 4, 6? (b) 0, 1, 2, 2, 2, 5? 3. Van-e olyan egyszer gráf, amelynek nincs két azonos fokú csúcsa? És ha nem tesszük fel, hogy egyszer? 4. Egy egyszer G gráf komplementere G = (V (G), ( V 2) \ E(G)). Két egyszer gráf izomorf, ha van csúcshalmazaik között bijekció, amelyre teljesül, hogy két csúcs pontosan akkor szomszédes, ha a képeik is azok. (a) Írjuk le az össze négycsúcsú egyszer gráfot, amelyek izomorfak komplementerükkel! (b) Van-e olyan 7-csúcsú egyszer gráf, amely izomorf komplementerével? 5. Lehet-e egy gráf (a) 1-reguláris (minden csúcsának foka 1)? (b) 2-reguláris (minden csúcsának foka 2)? Ha igen, írjuk le az ilyen gráfokat, ha nem, miért nem? 6. Milyen feltételek mellett létezik n csúcsú n-reguláris gráf? Mikor lesz egyszer egy ilyen gráf? 7. Legyen G egy n csúcsú, d-reguláris gráf. Hány éle van G-nek? Mit mondhatunk n és d paritásáról? 1

2 8. * G gráf élgráf ja L(G) = (V (L(G)), E(L(G))), ahol V (L(G)) = E(G) és E(L(G)) = {ef : e és f szomszédos élek G-ben}. Legyen G egy d- reguláris, egyszer gráf. Hány éle van L(G)-nek? 9. * Egy gráf átlag foka d. Igazoljuk, hogy el lehet hagyni csúcsokat (a rájuk illeszked élekkel együtt) a gráfból úgy, hogy a megmaradó gráfban minden csúcs foka legalább d/ Adjunk olyan gráfot, amelyben minden csúcs foka legalább 2, de nincs benne kör! 11. Egy n csúcsú fa minden fokszáma 1 vagy 3. Hány levele van? 12. Adjuk meg az összes fát, amelynek pontosan 2 levele van! 13. Mutassuk meg, hogy ha egy fában van d fokú csúcs, akkor legalább d levele van! 14. Hány levele lehet legfeljebb egy (a) n csúcsú fának? (b) n csúcsú erd nek? 15. Hány éle van egy n csúcsú, c komponens erd nek? 16. Igazoljuk, hogy ha G egy fa, akkor páros gráf! 17. Egy fa Prüfer-kódja alapján hogyan adjuk meg a fokszámsorozatát? 18. Milyen fa Prüfer-kódja áll csupa különböz számból? 19. Milyen fa Prüfer-kódja tartalmaz pontosan két számot? 20. Adott egy fokszámsorozat. Mikor lehet ez fa fokszámsorozata? Ha lehet, hogyan realizálhatjuk a Prüfer-kód segítségével? 21. Válasszunk egyet az összes n csúcsú csúcscímkézett fa közül véletlenül (uniform módon). (a) Mennyi a levelek számának várható értéke? (b) Mennyi a valószín sége, hogy utat kapunk? (c) Mennyi a valószín sége, hogy csillagot kapunk? 2

3 22. Számozzuk meg K n éleit és vegyük ki az n 1. és n. csúcsot összeköt élet. Hány feszít fája van az így kapott gráfnak? 23. Tudjuk, hogy egy gráfban van izolált csúcs. Következik-e ebb l, hogy a gráf nem összefügg? 24. Lehet-e összefügg gráf fokszámsorozata 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3? 25. Igazoljuk, hogy minden összefügg (legalább 2 csúcsú) gráfban van olyan csúcs, amely elhagyása után is összefügg marad a gráf. 26. Lehet-e kétszeresen élösszefügg gráf fokszámsorozata 1, 2, 2, 3, 3, 3? 27. Igaz-e, hogy ha egy összefügg gráf fokszámsorozata csak páros számokból áll, akkor (a) kétszeresen élösszefügg? (b) kétszeresen összefügg? 28. Mit mondhatunk arról a gráfról, aminek minden éle elvágó él (híd)? 29. Van-e olyan gráf, amelyben minden csúcs elvágó csúcs? 30. Egy G gráfban van Hamilton-kör. Mit mondhatunk G magasabb összefügg ségér l? 31. Egy Hamilton-kört tartalmazó gráfból k csúcsot elhagyva hány komponens keletkezhet? 32. Lehet-e egy gráf valamely körének minden csúcsa elvágó csúcs? 33. Ha egy összefügg gráfból elhagyunk egy elvágó csúcsot, hány komponensre eshet szét? 34. Legyen G egy gráf, u, v két csúcsa. (a) Adjunk polinom idej algoritmust, amely megmondja az u-t és v-t szétválasztó minimális vágás méretét! (b) Adjunk polinom idej algoritmust, amely megmondja a minimális vágás méretét! 3

4 35. Mutassuk meg, hogy ha egy k-szorosan összefügg gráfból egy csúcsot elhagyunk, akkor (k 1)-szeresen összefügg gráfot kapunk! 36. Mutassuk meg, hogy ha egy k-szorosan összefügg gráfból egy élet elhagyunk, akkor (k 1)-szeresen élösszefügg gráfot kapunk! 37. Igaz-e, hogy ha egy k-szorosan összefügg gráfból egy élet elhagyunk, akkor (k 1)-szeresen összefügg gráfot kapunk? 38. Igaz-e, hogy ha egy k-szorosan élösszefügg gráfból egy csúcsot elhagyunk, akkor (k 1)-szeresen élösszefügg gráfot kapunk? 39. k tetsz leges pozitív egész. Adjunk olyan gráfot, aminek legalább k + 1 csúcsa van, k-szorosan élösszefügg, de nem kétszeresen összefügg! 40. Igazoljuk, hogy ha egy gráfnak legalább két csúcsa van és k-szorosan élösszefügg, akkor minden csúcsának foka legalább k. Igaz-e fordítva? 41. Mutassuk meg, hogy ha G egy k-szorosan élösszefügg gráf, amelynek részgráfja K m klikk, akkor a klikk összehúzásával nyert gráf is k-szorosan élösszefügg marad! 42. G gráf élösszefügg ségi paramétere k, ha k-szorosan élösszefügg, de nem (k + 1)-szeresen élösszefügg. (a) Igazoljuk, hogy G élösszefügg ségi paramétere k pontosan akkor, ha minimális vágásának mérete k. (b) Adjunk polinom idej algoritmust, amely megadja G élösszefügg ségi paraméterét! 43. Adjunk polinom idej algoritmust, amely megmondja egy input gráfról, kétszeresen összefügg -e! 44. Mit mondhatunk egy k-szorosan összefügg gráf fokszámairól? 45. Határozzuk meg a legnagyobb k számot, amelyre k-összefügg (a) K n, (b) C n, (c) K n,m (n m), 4

5 (d) a Petersen-gráf, (e) az oktaédergráf, (f) a dodekaédergráf, (g) d dimenziós kockagráf, (h) az a gráf, amelyet a teljes bináris fa leveleinek szintjére vett tükrözéssel kapunk. Mit mondhatunk a fenti gráfok élösszefügg ségér l? 46. Mutassuk meg, hogy egy legalább 2 csúcsú k-szorosan élösszefügg gráf élgráfja k-szorosan összefügg! Fordítva igaz-e az állítás? 47. Igaz-e, hogy (a) bármely er sen összefügg irányított gráf irányításának elhagyásával összefügg gráfot kapunk? (b) bármely összefügg gráfnak van olyan irányítása, amely mellett er sen összefügg lesz? (c) bármely kétszeresen összefügg gráfnak van olyan irányítása, amely mellett er sen összefügg lesz? 48. Irányított gráfban igaz-e, hogy ha van egy v csúcson átmen irányított körséta, akkor van v-n átmen irányított kör? 49. Igaz-e, hogy ha egy irányított gráf minden csúcsának ki- és befoka is legalább 1, akkor er sen összefügg? 50. Van-e olyan irányított gráf, amely minden csúcsának nagyobb a befoka, mint a kifoka? 51. Legyen G irányított gráf, amelyben nincs irányított kör, pontosan egy 0 befokú és pontosan egy 0 kifokú csúcsa van. Igaz-e, hogy G irányítását elhagyva összefügg gráfot kapunk? 52. Egy fának hány olyan irányítása van, amelyben (a) minden csúcs befoka 1? (b) egy kivétellel minden csúcs befoka 1? 5

6 (c) minden csúcs befoka 0 vagy 1? 53. Mutassuk meg, hogy ha egy fa minden élét duplázzuk, egyiket egyik, másikat másik irányba irányítjuk, akkor a kapott irányított gráf minimális er sen összefügg lesz! Igaz-e, hogy minden minimális er sen összefügg irányított gráf megkapható így? 54. Hány éle van legalább és lehet legfeljebb egy n csúcsú minimálisan er sen összefügg irányított gráfnak? 55. Mi a kapcsolat a maximális párosítás mérete és a maximális vágás mérete között egy gráfban? Többet mondhatunk-e, ha a gráf egyszer? 56. Ha egy gráfban van m méret párosítás, mit mondhatunk az élgráfjáról? 57. Mi lesz két párosítás uniója? 58. Igaz-e, hogy egy 2-reguláris egyszer gráfban mindig van teljes párosítás? 59. Bináris fában van-e teljes párosítás? 60. Van-e olyan fa, amiben van teljes párosítás? Ha igen, adjuk meg a teljes párosítások számát! 61. * Mutassuk meg, hogy ha egy n csúcsú egyszer gráfban minden csúcs foka legalább n/2, akkor van benne olyan párosítás, amely legfeljebb egy csúcsot nem fed le! 62. Mutassuk meg, hogy ha egy gráfban veszünk két különböz méret párosítást, akkor van olyan út a gráfban, amely élei felváltva az egyik illeve a másik párosításból valók, és a nagyobb méret párosításból több élet tartalmaz (javító út)! 63. Adjuk meg a maximális párosítás méretét abban az egyszer gráfban, amely csúcsai a sakktábla mez i, két csúcs között akkor van él, ha ha egyikr l a másikra lehet lépni (a) királlyal (b) futóval (c) huszárral! 64. Tekintsük a következ G n gráfot: K n,n -b l hagyjunk el egy teljes párosítást. (a) Adjuk meg G 4 teljes párosításainak számát! (b) Adjuk meg G n teljes párosításai számának paritását! 6

7 65. Mi a maximális párosítás mérete (ν) a következ gráfokban? (a) K n, (b) C n, (c) K n,m, (d) n csúcsú csillag, (e) 3D kockagráf, (f) 2k 1 mélység teljes bináris fa, (g) Petersen gráf. Ahol van teljes párosítás, ott adjuk meg a teljes párosítások számát! Ahol nincs, mutassunk Tutte-akadályt (páros gráfokban K nig-akadályt)! 66. Legyen G egy páros gráf két egyforma méret színosztállyal és X egy K nig-akadály benne. Mutassunk egy Tutte-akadályt a gráfban (mivel nincs teljes párosítás, lennie kell)! 67. Duplázzuk meg C 2n éleit! Mennyi lesz az így kapott gráf teljes párosításainak száma? 68. Hányféleképp választhatunk ki egy maximális méret párosítást az n hosszú körb l (C n )? 69. Adjuk meg ν(t n,k )-t, ahol T n,k a k részes Turán-gráf! 70. Adjunk olyan páros sok csúcsú nem páros gráfot, amelyben nincs teljes párosítás! 71. Adjunk olyan 3-reguláris gráfot, amelyben nincs teljes párosítás! ( Segítség: Petersen tétele szerint ha egy 3-reguláris gráfban nincs elvágó él, akkor van benne teljes párosítás.) 72. Igazoljuk, hogy ha M egy tetsz leges párosítás G gráfban, akkor van G- ben olyan maximális méret párosítás, amely lefedi az M által lefedett csúcsokat! 73. Mutassuk meg, hogy páros gráfokra futtatva az Edmonds-algoritmust, a zsugorító lépésre nincs szükség! 7

8 74. * Mutassuk meg, hogy ha egy G egy n csúcsú k-összefügg gráf, ahol n 2k, akkor van benne k méret párosítás! 75. Mutassuk meg, hogy ha G páros sok csúcsú gráf, amelyben van Hamiltonkör, akkor van benne legalább két teljes párosítás! Fordítva igaz-e? 76. Mutassuk meg, hogy ha egy 3-uniform gráfban van Hamilton-kör, akkor van benne legalább 3 teljes párosítás! Igaz-e fordítva, ha a gráf 2- összefügg? 77. Igaz-e, hogy ha egy páros sok csúcsú gráfban van Euler-körvonal, akkor van benne teljes párosítás? 78. Legyen G az az egyszer gráf, amelynek csúcsai egy 3 3-as sakktábla mez i, két csúcs akkor van összekötve, ha egyikr l másikra lehet lépni (a) bástyával (b) futóval (c) huszárral. Van-e Euler-körvonal az így kapot gráfban? 79. * Igazoljuk, hogy ha G egyszer gráf és van benne zárt Euler vonal, akkor L(G)-ben is van? Igaz-e fordítva? Igaz marad-e az állítás, ha nem tesszük fel G-r l, hogy egyszer? 80. Milyen feltételek mellett van egy gráfban nem zárt Euler-vonal? 81. Lehet-e híd nem zárt Euler-vonal kezd /utolsó éle? 82. Lehet-e nem zárt Euler-vonal kezd /utolsó éle olyan él, amely két páratlan fokú csúcsot köt össze? 83. Adjunk polinom idej algoritmust, amely meghatározza, mely élek lehetnek nem zárt Euler-vonal kezd élei egy gráfban! 84. * Adjunk lineáris idej algoritmust, amely ellen rzi, van-e nem zárt Euler-vonal a gráfban, és ha van, akkor visszaad egy élet, amely a kezd éle lehet! 85. Mikor van egy irányított gráfban irányított Euler-körvonal? 86. Hány élet kell behúzni a következ gráfokba, hogy legyen bennük Eulerkörvonal? (a) K n, 8

9 (b) C n, (c) K n,m, (d) n csúcsú csillag, (e) d dimenziós kockagráf, (f) 2k 1 mélység teljes bináris fa, (g) Petersen gráf, (h) Petersen gráf komplementere, (i) T n,k a k részes Turán-gráf. 87. Hogy változnak a válaszok az el z feladatban, ha csak olyan élet engedünk meg behúzni, amely valamely meglév éllel párhuzamos? 88. Egy összefügg gráfban k darab páratlan fokszámú csúcs van. Hány vonal fedi le biztosan az éleit? 89. * Oldjuk meg a kínai postás problémáját irányított gráfon! Igazoljuk is algoritmusunk helyességét! 90. Igaz-e, hogy ha egy gráfban van Euler-körvonal, akkor az élgráfjában van Hamilton-kör? Igaz-e fordítva (élgráfban a Hamilton-kör jelenthetie, hogy az eredeti gráfban van Euler-körvonal)? Mi a helyzet irányított gráf esetén? 91. Van-e Hamilton-út a Petersen-gráfban? Van-e Hamilton-kör a Petersengráfban? 92. A következ gráfok közül melyikben van Hamilton-út, illetve Hamiltonkör? K n, C n, K n,m, T n,k (k > 2) Turán gráf, Petersen gráf komplementere, d dimenziós kockagráf 93. Bejárható-e a sakktábla (a) királlyal (b) futóval (c)* huszárral (d) vezérrel úgy, hogy minden mez re pontosan egyszer lépünk? 94. Tudjuk, hogy egy gráfban van Hamilton-kör. Lehet-e benne elvágó él (híd)? És elvágó csúcs? 95. Adjunk szükséges feltételeket fokszámok segítségével a Hamilton-kör létezésére! 9

10 96. G páros gráf, amelyben van Hamilton-út. Mit mondhatunk G színosztályainak méretér l? 97. Igaz-e, hogy egy n csúcsú gráfban pontosan akkor van Hamilton-kör, ha az n 1 fokú csúcsok elhagyásával kapott gráfban is van? 98. Igaz marad-e a Dirac tétel, ha nem tesszük fel, hogy a gráf egyszer? 99. Adjunk olyan egyszer G gráfot, aminek minden csúcsának foka legalább V (G) /2 1, mégsincs benne Hamilon-kör! 100. * Bizonyítsuk be, hogy ha G egy n csúcsú páros gráf, amely színosztályai azonos méret ek, és minimális foka n +1, akkor G-ben van Hamilton-út 4 (Hamilton-kör)! 101. Van-e Hamilton-kör abban az egyszer gráfban, amely fokszámsorozata az alábbi? (a) 1, 2, 3,..., k 1, k, k, k + 1,..., 2k 1 (b) 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6 (c) 2k db k (d) k 1 majd 2k 1 db k + 1 (e) 2, majd 2k 1 db k (k páros) (f) 2, 2, majd 2k 4 db k majd 2 db 2k 2 (g) k + 1, k + 1, k + 2, k + 2,..., 2k, 2k, 2k 102. Egy gráf csúcsai az egészek 1-tól n-ig (n > 6), két csúcs akkor szomszédos, ha relatív prímek. Van-e Hamilton-kör ebben a gráfban? 103. Egy gráf csúcsai az egészek 1-tól 2n + 1-ig, két csúcs akkor szomszédos, különbségük legfeljebb n. Van-e Hamilton-kör ebben a gráfban? 104. Egy gráf csúcsai az egészek 1-tól 2n + 1-ig, két csúcs akkor szomszédos, különbségük nagyobb mint n. Van-e Hamilton-kör ebben a gráfban? 105. Egy gráf csúcsai az egészek 1-tól n-ig (n > 2), két csúcs akkor szomszédos, ha hányadosuk legfeljebb 3. Van-e Hamilton-kör ebben a gráfban? 10

11 106. Egy társaságban teljesül, hogy mindenki legfeljebb egy embert nem ismer. Érkezik két új tag, akik ismerik egymást és mindketten ismernek a társaságból is három-három embert. Van-e a gráfban Hamilton-kör? 107. Mutassuk meg, hogy az alábbiak teljesülnek! (a) A Dirac-tétel feltételének teljesülése esetén teljesül az Ore-tétel feltétele. (b) * Az Ore-tétel feltételének teljesülése esetén teljesül a Pósa-tétel feltétele. (c) A Pósa-tétel feltételének teljesülése esetén teljesül a Chvátal-tétel feltétele Legyen G egy 2n + 1 csúcsú egyszer gráf. Ha van benne (a) Hamilton-kör, következik-e, hogy G nem 2-színezhet? (b) Euler-körvonal, következik-e, hogy G nem 2-színezhet? (c) minden csúcsot páratlan sokszor érint körséta, következik-e, hogy G nem 2-színezhet? 109. Adjunk polinom idej algoritmust, amely eldönti az input gráfról, hogy 2-színezhet -e! 110. Hány jó 2-színezése van egy páros gráfnak? 111. Hány jó 3-színezése van egy n csúcsú fának? 112. Igaz-e, hogy minden gráf esetén van a csúcsoknak egy olyan sorrendje, amely mellett a mohó algoritmus optimálisan színez? 113. Igazoljuk, hogy a mohó algoritmus a T n,k Turán-gráfot minden csúcssorrend mellett optimálisan színezi! 114. Adjunk algoritmust, amely polinom id ben meghatározza az intervallumgráfok kromatikus számát! (Intervallumgráf csúcsai egy egyenesen kiválasztott intervallumok, két intervallum össze van kötve, ha metszetük nem üres.) 115. Adjuk meg a következ gráfok kromatikus számát! 11

12 (a) C 2k+1, (b) Csúcsai a sakktábla mez i, és 2 csúcsot pontosan akkor kössünk össze éllel, ha az egyikr l egy lépéssel el lehet jutni huszárral a másikra, (c) Csúcsai a sakktábla mez i, és 2 csúcsot pontosan akkor kössünk össze éllel, ha az egyikr l egy lépéssel el lehet jutni királlyal a másikra, (d) Csúcsai a sakktábla mez i, és 2 csúcsot pontosan akkor kössünk össze éllel, ha az egyikr l egy lépéssel el lehet jutni bástyával a másikra, (e) Csúcsai a sakktábla mez i, és 2 csúcsot pontosan akkor kössünk össze éllel, ha az egyikr l egy lépéssel el lehet jutni vezérrel a másikra, (f) Petersen-gráf, (g) Petersen-gráf komplementere, (h) d dimenziós kockagráf, (i) ikozaéder gráfja (csúcsai az ikozaéder csúcsai, élei az ikozaéder élei), (j) dodekaéder gráfja, (k) L(K n ) (n-klikk élgráfja) Mutassuk meg, hogy ha G síkgráf, akkor van legfeljebb ötödfokú csúcsa! (Tipp: alkalmazzuk Euler tételét) 117. Mutassuk meg, hogy ha G páros síkgráf, akkor van legfeljebb harmadfokú csúcsa! (Tipp: alkalmazzuk Euler tételét) 118. Síkgráf-e (a) K 5 élgráfja? (b) a Petersen-gráf? 119. Milyen d-re síkgráf a d dimenziós kockagráf? 120. Milyen n, k értékekre síkgráf a T n,k Turán-gráf? 121. Igaz-e, hogy ha G síkgráf, akkor az élgráfja is az? 12

13 122. * Igazoljuk, hogy ha G nem síkgráf, akkor az élgráfja sem az! 123. Igaz-e a Hadwiger-sejtés megfordítása (azaz ha egy gráf minorként tartalmaz k csúcsú klikket, akkor kromatikus száma legalább k)? 124. Van-e K n éleinek olyan irányítása, amely mellett nincs irányított Hamiltonút? (Tipp: alkalmazzuk a GallaiRoyVitover-tételt!) 125. Mit tudunk mondani egy gráf élgráfjának kromatikus számáról? 126. Igaz-e, hogy ha egy 3-reguláris gráfban van Hamilton-kör, akkor 3 az élkromatikus száma? Fordítva igaz-e? 127. Igaz-e, hogy ha egy 3-reguláris gráfban van teljes párosítás, akkor 3 az élkromatikus száma? 128. Mutassuk meg, hogy ha egy d-reguláris gráf élkromatikus száma pontosan akkor d, akkor van benne d diszjunkt teljes párosítás! 129. Adjunk alsó korlátot az m él, D maximális fokú gráfok maximális párosításának méretére! 130. Mennyi a következ gráfok élkromatikus száma? (a) Petersen-gráf (b) K 2n+1 (c) d dimenziós kockagráf 131. * Mutassuk meg, hogy χ e (K 2n ) = 2n 1! 132. Mutassuk meg, ha G összefügg és nem teljes gráf, akkor χ(g) χ e (G)! 133. Igazoljuk az alábbi összefüggéseket (ahol G egyszer gráf)! α a legnagyobb független csúcshalmaz, ω a legnagyobb klikk, ν a maximális párosítás mérete. (a) α(g) χ(g), (b) ω(g) D(G) + 1, (c) α(g) + ω(g) V (G) + 1 (milyen gráfokra teljesül egyenl ség?), (d) χ(g) + χ(g) 2 V (G) 1, ha V (G) > 1, 13

14 (e) χ(g) + χ(g) 2 V (G) 2, ha V (G) > 2, (f) * χ(g) + χ(g) 2 V (G) 3, ha V (G) > 3, (g) V (G) χ(g)α(g), (h) V (G) χ(g)χ(g), (i) 2 V (G) χ(g) + χ(g) (j) E(G) ( ) χ(g) 2, (k) E(G) χ e (G)ν(G) Igazoljuk az alábbi összefüggéseket! (a) Ha K egy klikk G-ben, akkor χ(g) K + χ(g K). (b) Ha K egy maximális klikk G-ben, akkor χ(g) K +χ(g K) 1. (c) * χ(g) + χ(g) V (G)