Matematika. Számonkérés. Írásbeli vizsga januárban. 1. konzultáció. Irodalom

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika. Számonkérés. Írásbeli vizsga januárban. 1. konzultáció. Irodalom"

Átírás

1 1 Matematika NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2002/2003. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (30) takach Számonkérés Írásbeli vizsga januárban Feladatok Elméleti kérdések Bizonyítások 1. konzultáció Gráfelmélet Alapfogalmak Euler-vonal Hamilton-kör Legrövidebb út Minimális feszítőfa Algoritmusok! Hozzárendelési feladat Folyamprobléma Irodalom F. S. Hillier és G. J. Lieberman. Bevezetés az operációkutatásba.

2 2 LSI Oktatóközpont, Budapest, Szükséges részek: 10. fejezet, azaz , oldal. A többi anyagrészhez: ld. tantárgy honlapja A gráf definíciója 1. DEFINÍCIÓ. Legyen V egy véges halmaz, E pedig V -beli rendezetlen elempárok véges rendszere. Ekkor a G=(V, E) párt gráfnak nevezzük. V elemei a gráf csúcsai, E elemei a gráf élei. Ha e = (v 1, v 2 ) egy él, akkor azt mondjuk, hogy az e él a v 1 és a v 2 csúcsokat köti össze. Egy labdarúgó tornán 6 csapat vesz részt. Ez a gráf azt írja le, hogy mely csapatok mérkőztek meg egymással az első négy fordulóban. V = {A, B, C, D, E, F } E = {(A, B), (A, C), (A, D), (A, F ), (B, C), (B, E), (B, F ), (C, D), (C, E), (D, E), (D, F ), (E, F )} Rendezetlen elempáron azt értjük, hogy nem teszünk különbséget a (v 1, v 2 ) és a (v 2, v 1 ) pár között, a rendszer pedig abban különbözik a halmaztól, hogy egy elem többször is szerepelhet benne. Gráfelméleti alapfogalmak 2. DEFINÍCIÓ. Egy gráf egy csúcsa izolált csúcs, ha nem indul ki belőle él. (W ) Többszörös élről beszélünk, ha két pontot több él köt össze.((y, V ) ) A hurokél önmagába visszatérő él, azaz két végpontja azonos.((x, X)) Az üres gráf csupa izolált pontokból álló gráf, azaz E =. Az egyszerű gráfok nem tartalmaznak sem hurokélet, sem többszörös élet.

3 3 Gráfelméleti alapfogalmak 3. DEFINÍCIÓ. A teljes gráfok olyan egyszerű gráfok, amelyekben bármely két különböző csúcs között vezet él. K n : n csúcsú teljes gráf. Egy G egyszerű gráf komplementere az a Ḡ gráf, amely teljes gráffá egészíti ki; tehát G és Ḡ csúcsai megegyeznek, továbbá két csúcs között pontosan akkor vezet él Ḡ-ben, ha G-ben nem vezet él. A G 1 = (V, E ) gráf a G = (V, E) gráf részgráfja, ha E E; tehát G 1 -et G-ből néhány él elhagyásával kapjuk. A G 1 és G 2 gráfok izomorfak, ha létezik a csúcsok között olyan bijekció, hogy két G 1 -beli csúcs között pontosan akkor vezet él, ha a megfelelő két G 2 -beli csúcs is össze van kötve. Síkgráfok 4. DEFINÍCIÓ. Egy gráf síkgráf, ha lerajzolható úgy a síkba, hogy élei csak a szögpontokban metszik egymást. G síkgráf, mert a vele izomorf H a síkba van rajzolva. Ha egy gráf lerajzolható a síkba, akkor lerajzolható úgy is, hogy minden éle egyenes szakasz legyen. (K)

4 4 Síkgráfok K 5 és K 3,3 nem rajzolhatók le a síkba. Az is belátható, hogy ha egy gráf nem rajzolható síkba, akkor K 5 vagy K 3,3 valahol "benne van" a gráfban. Fokszámok 5. DEFINÍCIÓ. Egy csúcs fokszáma a belőle kiinduló élek száma. Megjegyzés. Egy n-pontú teljes gráfban minden csúcs fokszáma n 1, és összesen ( ) n 2 élet tartalmaz. 6. TÉTEL. Egy gráf páratlan fokú csúcsainak száma páros. Bizonyítás. Felhasználjuk az alábbi segédtételt. 7. SEGÉDTÉTEL. Egy gráf csúcsai fokszámainak összege megegyezik az élek számának kétszeresével. Ezek után a tétel bizonyítása a következő: Jelölje a gráf csúcsait A 1,... A n, a megfelelő fokszámokat ρ(a 1 ),..., ρ(a n ). Tegyük fel, hogy ρ(a 1 ),..., ρ(a k ) páratlan számok, ρ(a k+1 ),..., ρ(a n ) párosak. A segédtétel szerint ρ(a 1 ) ρ(a n ) páros, így páros számokat elhagyva ρ(a 1 ) ρ(a k ) is páros lesz. Páratlan számok összege pedig csak akkor lehet páros, ha páros sok van belőlük. Fokszámok 8. TÉTEL. Legyen G egy n-csúcsú egyszerű gráf, n 2. Ekkor van legalább két olyan csúcs, melyek fokszáma megegyezik. Bizonyítás. Minden egyes csúcs fokszáma 0, 1,..., n 1 lehet, vagyis n-féle. Egy 0-fokú csúcs izolált csúcs, egy (n 1)-fokú pedig minden másik csúccsal össze van kötve. Tehát nem lehet a gráfban egyszerre 0-fokú és (n 1)-fokú csúcs is, vagyis csak (n 1) féle lehet a fokszám. Ekkor a skatulya-elv szerint van két azonos fokszámú csúcs.

5 5 Gráfok bejárása 9. DEFINÍCIÓ. Sétán két csúcsot összekötő élsorozatot értünk. Speciális séták: vonal: olyan séta, melyben minden él legfeljebb egyszer szerepel (a csúcsok többször is szerepelhetnek). zárt vonal: olyan vonal, melynek kezdő és végpontja azonos. nyílt vonal: olyan vonal, melynek kezdő és végpontja különböző. út: minden csúcsot legfeljebb egyszer érintő séta. kör: olyan séta, melynek a kezdő és végpontja azonos, a többi csúcsot legfeljebb egyszer érinti. 10. DEFINÍCIÓ. Egy gráf összefüggő, ha bármely két csúcs között vezet út. Königsbergi hidak Eulertől megkérdezték Königsberg lakói, hogy miért nem tudnak átmenni a város hídjain úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer mentek át: Euler-vonal Melyik ábra (gráf) rajzolható le egy vonallal a ceruza felemelése nélkül?

6 6 A kukásautónak egy körzet minden utcáján végig kell mennie, és be kell gyűjteni a szemetet. Meg tudja-e ezt tenni úgy, hogy minden utcán csak egyszer megy végig? Euler-vonal 11. DEFINÍCIÓ. Euler-vonal: olyan vonal (séta), melyben minden él pontosan egyszer szerepel. Szükséges feltétel Euler-vonal létezésére: zárt Euler-vonal esetén minden pontba pont ugyanannyiszor megyünk be mint ki minden pont foka páros. Belátható, hogy ez elegendő is! 12. TÉTEL. Egy összefüggő gráfban pontosan akkor létezik zárt Euler-vonal, ha minden csúcs fokszáma páros. Egy összefüggő gráfban pontosan akkor létezik nyitott Euler-vonal az A csúcsból a B csúcsba, ha csak A és B fokszáma páratlan. Ha egy összefüggő gráfban a páratlan fokszámú csúcsok száma 2k, akkor a gráf k darab diszjunkt vonal egyesítése. Algoritmusok "Algoritmus" zárt Euler-vonal keresésére: Tetszőleges csúcsból kiindulva rajzolom fel a gráfot, ügyelve arra, hogy a le nem rajzolt rész összefüggő maradjon. "Algoritmus" nyílt Euler-vonal keresésére: Ugyanaz, mint a zártra, de a kiindulópont szükségszerűen az egyik páratlan fokú csúcs. Utazó ügynök probléma Egy ügynöknek meg kell látogatnia bizonyos városokat útja során (és végül haza kell térnie). Adott: mely városokból mely másik városokba van járat(közvetlen út) milyen költséggel tud eljutni egyik városból másikba (repülőjegy, autóút ára).

7 7 Cél: az utak összköltségét minimalizálni. Ez a feladat sok alkalmazás során felmerül, és csak bizonyos speciális esetekben ismeretesek jó algoritmusok a megoldására. Ha bármely két város közt, melyek között van összeköttetés, az 1 költségű, és az ügynöknek minden várost meg kell látogatnia, akkor a feladat a Hamilton-kör létezésére vezet. Hamilton-kör 13. DEFINÍCIÓ. A Hamilton-kör olyan kör, amely minden csúcson átmegy (szükségszerűen pontosan egyszer). A Hamilton-kör létezésére nem ismert egyszerű szükséges és elégséges feltétel, s ugyancsak nincs gyors algoritmus sem Hamilton-kör keresésére. Elégséges, de nem szükséges feltétel Hamilton-kör létezésére: 14. TÉTEL. Legyen G n-csúcsú egyszerű összefüggő gráf. Ha minden csúcs fokszáma legalább n/2, akkor a gráfban létezik Hamilton-kör. Hamilton-kör Szükséges, de nem elégséges feltétel Hamilton-kör létezésére: 15. TÉTEL. Ha egy G = (V, E) gráfban van Hamilton-kör, akkor bármely S V ponthalmaz esetén S pontjait és a belőlük kiinduló csúcsokat elhagyva a maradék gráfnak legfeljebb annyi össefüggő komponense van, mint S. Másképpen: Ha egy G = (V, E) gráfban létezik olyan S V ponthalmaz, hogy S pontjait és a belőlük kiinduló csúcsokat elhagyva a maradék gráfnak S -nál több össefüggő komponense van, akkor a gráfban nincs Hamilton-kör. Legrövidebb út keresése Alapfeladat: Adott egy összefüggő gráf, egy kezdő- és egy végső csúcs, valamint az élekhez rendelt távolságok. Keressük a legrövidebb utat a kezdő és a végső csúcs között. Figyelem! Nem a felhasznált élek számát kell minimalizálni, hanem a hosszaik összegét. Átfogalmazások: Az elemekhez rendelt számok jelképezhetnek költségeket illetve időtartamokat is. Ilyenkor a minimális költségű illetve a legkevesebb idő alatt bejárható utat keressük. Algoritmus. A gráf minden élére meghatározzuk a kezdőponttól oda vezető legrövidebb utat. A kezdőponttól mért távolságok szerint növekvő sorrendben vesszük a pontokat. 1. iterációs lépés: Meghatározzuk a kezdőponthoz legközelebbi pontot.

8 8 n. iterációs lépés: Meghatározzuk a kezdőponthoz n. legközelebbi pontot. Bemenet: A legközelebbi n 1 csúcs, beleértve a legrövidebb útvonalakat is. (Ezeket nevezzük megoldott pontoknak (beleértve a kezdeti pontot is), a többit megoldatlan pontnak mondjuk.) Jelöltek: minden megoldott ponthoz a legközelebbi megoldatlan pont (ha van ilyen). Döntés: minden jelöltre kiszámítjuk a jelölő kezdő távolság és a jelölt jelölő távolság összegét, és ezek közül a minimálisat választjuk. A jelölő csúcsot is feljegyezzük. A legrövidebb út: Ha az iterációban elérek a végső pontig, akkor készen vagyok. (Visszafejtés!) n Jelölő Jelölt Távolság Győztes Távolság Összeköttetés 1 O A 2 A 2 OA 2 O C 4 C 4 OC A B = 4 B 4 AB 4 A D = 9 B E = 7 E 7 BE C E = 8 5 A D = 9 B D = 8 D 8 BD E D = 8 D 8 ED 6 D T = 13 T 13 DT E T = 14 Visszafejtés Az összeköttetés oszlop tartalma: OA, OC, AB, BE, BD, ED, DT

9 9 Azaz OABEDT és OABDT a két legrövidebb út. Fák 16. DEFINÍCIÓ. Fának nevezzük az olyan összefüggő gráfokat, amikben nincs kör. A fák szükségszerűen egyszerű gráfok, hiszen a hurokél 1-hosszú kör, a többszörös él 2-hosszú kör. Fák jellemzése 17. TÉTEL. Legyen G egy n-csúcsú gráf. Ekkor a következő állítások ekvivalensek 1. G fa; 2. G összefüggő és n 1 éle van; 3. G összefüggő, de tetszőleges élét elhegyva már nem lesz összefüggő. 4. G-ben nincs kör, de egy tetszőleges új élet hozzávéve már lesz benne kör.

10 10 1. Feszítő fák 18. DEFINÍCIÓ. Legyen G egyszerű, összefüggő gráf. Az F fa a G gráf feszítő fája, ha F olyan részgráfja G-nek, mely a G minden csúcsát és bizonyos éleit tartalmazza. Minimális kifeszítő fa keresése Feladat: Adott egy n csúcsú, egyszerű összefüggő gráf, valamint az élekhez rendelt valós számok, amelyek az élek hosszai. Keressük azt a kifeszítő fát, amelyben az élek összhossza minimális. 1. ALGORITMUS (KRUSKAL-FÉLE MOHÓ ALGORITMUS): Rendezzük hosszuk szerint növekvő sorrendbe az éleket. Válasszunk ki sorban éleket, de olyan élet ne válasszunk ki, melynek kiválasztásával kör keletkezne. Az előző pontot ismételjük n 1-szer. 2. ALGORITMUS: ld. [HL], Ez szintén mohó algoritmus, de végig összefüggő részgráfot alkotnak a kiválasztott élek. Páros gráfok 19. DEFINÍCIÓ. Egy G = (V, E) gráfot páros gráfnak nevezünk, ha van olyan V = B J felbontás, hogy B J =, továbbá minden él egyik végpontja B-ben, a másik J-ben van. Jelölése: G = (B, J; E).

11 11 Vegyük észre, hogy ha B és J nem adott, akkor nem egyszerű feladat eldönteni, hogy a gráf páros-e. Hozzárendelési feladat páros gráfokban 20.DEFINÍCIÓ. A G = (B, J; E) páros gráf éleinek egy M halmaza lefedést (matchinget, független élrendszert, párosítást) alkot, ha nincs két olyan M-beli él, amelyeknek van közös végpontja. Egy csúcs lefedetlen az M élrendszerben, ha nem végpontja egyetlen M-beli élnek sem. Egy lefedés teljes lefedés, ha a gráf minden csúcsát lefedi. (Teljes lefedés csak akkor létezhet, ha B = J teljesül.) Javító útak 21. DEFINÍCIÓ. Adott egy M párosítás egy páros gráfban. Ha egy út felváltva tartalmaz M-hez tartozó és M-hez nem tartozó éleket, akkor alternáló útnak nevezzük. Egy alternáló út javító út (bővítő út), ha mindkét végpontja lefedetlen csúcs.

12 12 Javító útak Vegyük észre, hogy ha U egy bővítő út az M párosításra nézve, akkor az U M eggyel nagyobb elemszámú párosítás, mint M. Tehát az alternáló út M-hez tartozó éleit M-ből elhagyva, az M-hez nem tartozó éleit M-hez hozzávéve eggyel nagyobb elemszámú párosítást nyerünk. 22. TÉTEL. Egy páros gráf M lefedése akkor és csak akkor maximális elemszámú független élrendszer, ha nem létezik bővítő út a gráfban M-re nézve. Matching-algoritmus Adott egy G = (B, J; E) páros gráf, valamint egy M kiindulási párosítás (amely esetleg üres is lehet). M-ből kiindulva keresünk egy maximális elemszámú párosítást G-ben. Ha nincs lefedetlen csúcs B-ben, akkor M maximális párosítás, STOP. Ha van, akkor folytassuk a következő lépéssel. Keressünk egy bővítő utat, Ha találunk bővítő utat, akkor ennek segítségével bővítsük M-et, és folytassuk az első lépéssel. Ha nem találtunk bővítő utat, akkor M maximális elemszámú párosítás. Javító út keresése

13 13 Minden egyes i B csúcsra és (i, j) / M élre cimkézzük meg a (J-beli) j csúcsot i-vel. Minden egyes lefedett j J csúcsra cimkézzük meg a (B-beli) i csúcsot j-vel, ahol (i, j) M. Minden egyes J-beli lefedetlen csúcsra felírható egy alternáló út, amely a csúcsból indul ki, és mindig a cimkének megfelelően folytatódik. Ha egy út 0 cimkéhez ért, akkor az bővítő út. Éllefogások Annak megállapítása, hogy egy párosítás maximális elemszámú-e, történhet az alábbi tétel segítségével is. 23. DEFINÍCIÓ. A G = (V, E) gráf W V pontjai éllefogó ponthalmazt alkotnak, ha minden él legalább egyik végpontja W -beli. 24. TÉTEL. Egy páros gráfban tetszőleges párosítás elemszáma kisebb vagy egyenlő tetszőleges éllefogó ponthalmaz elemszámánál. Következésképpen ha M = W teljesül, akkor M maximális elemszámú párosítás, W pedig minimális elemszámú éllefogás. Hálózatok Alapfeladat: Adott egy gráf, minden élének mindkét irányú kapacitása, valamint két kitüntetett csúcs: a forrás és a nyelő. Keresünk egy maximális értékű megengedett folyamot (áramlást).

14 14 Szemléltetésképpen feltehetjük, hogy a hálózattal egy olajvezetékrendszert ábrázolunk. A kapacitások a vezeték vastagságát jelentik, vagyis azt, hogy egységnyi idő alatt mennyi olaj folyhat át azon a vezetékdarabon. A kérdés az, hogy egy adott hálózaton mennyi olaj folyhat át s-ből t-be. Szoktak beszélni úthálózatokról is, ahol a kapacitás az utak áteresztőképessége, és árukat kell eljuttatni a termelőtől a fogyasztókhoz. De beszlélhetünk számítógéphálózatokról és adatátviteli sávszélességről is. Folyamok 25. DEFINÍCIÓ. Folyamon a hálózat minden egyes éléhez rendelt számot értünk, amely azt mutatja, hogy mekkora az élen átáramló anyag mennyisége. Meg kell adni az áramlás irányát is. (Irányított gráf!) Megengedett folyamnak nevezünk egy olyan folyamot, ahol a forrásból csak kifelé, a nyelőbe csak befelé vezet áramlás, minden egyes egyéb csúcs esetén a kifolyó áramlások összege megegyezik a befolyók összegével, továbbá a egyik élen sem haladja meg az él kapacitását. 26. DEFINÍCIÓ. Egy út kapacitásán a rajta lévő minimális élkapacitást értjük. Algoritmus 1. Keresünk egy forrás nyelő utat pozitív kapacitással (c). Ha nincs ilyen út, akkor a jelenlegi folyam maximális. STOP! 2. Növeljük a folyamot c-vel ezen az úton. 3. Csökkentsük ezen az úton c-vel a kapacitást minden élen. Növeljük az ellenkező irányú úton a kapacitást c-vel minden élen. Folytassuk az 1. lépéssel.

15 15 Vágások Hogyan győződhetünk meg egyszerűen arról, hogy egy folyam maximális, azaz hogy nem tudunk további áramlást indítani s-ből t-be? 27. DEFINÍCIÓ. Egy vágás irányított élek olyan halmaza, amelyek minden forrás nyelő útból tartalmaz egy élet. Egy vágás értéke a hozzá tartozó élek kapacitásainak összege. 28. TÉTEL. Minden megengedett folyam értéke kisebb minden vágás értékénél. Sőt, a maximális folyamok(ok) értéke egyenlő a minimális vágás értékével. A tétel megkönnyíti az algoritmus 1. lépésében a döntést: ha úgy tűnik, hogy nincs már pozitív kapacitású forrás nyelő út, akkor megpróbálok keresni egy 0-értékű vágást. Ha van nulal értékű vágás, akkor biztos hogy nincs pozitív kapacitású forrás nyelő út. Ha úgy tűnik, hogy nincs nulal értékű vágás, akkor valószínűleg van pozitív kapacitású forrás nyelő út...

Gráfelméleti alapfogalmak

Gráfelméleti alapfogalmak 1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont

Részletesebben

Operációkutatás. 1. konzultációs hét. Irodalom. A gráf definíciója. NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.

Operációkutatás. 1. konzultációs hét. Irodalom. A gráf definíciója. NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2. Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 22/2. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 94 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.. (99)

Részletesebben

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,

Részletesebben

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3

Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3 Síkgráfok Kuratowski-tétel: egy gráf akkor és csak akkor síkba rajzolható gráf, ha nincs olyan részgráfja, ami a K 5 -el, vagy a K 3,3 -altopologikusan izomorf (homeomorf). Euler síkgráfokra vonatkozó

Részletesebben

SzA II. gyakorlat, szeptember 18.

SzA II. gyakorlat, szeptember 18. SzA II. gyakorlat, 015. szeptember 18. Barátkozás a gráfokkal Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Az előre megszámozott (címkézett) n darab pont közé hányféleképp húzhatunk be éleket úgy, hogy egyszerű gráfhoz

Részletesebben

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter

Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter 1 Fák Fákat akkor használunk, ha az adatok között valamilyen alá- és fölérendeltség van. Pl. könyvtárszerkezet gyökér (root) Nincsennek hurkok!!! 2 Bináris fák Azokat

Részletesebben

A számítástudomány alapjai

A számítástudomány alapjai A számítástudomány alapjai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Legszélesebb utak Katona Gyula Y. (BME SZIT) A számítástudomány

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

2. csoport, 8. tétel: Gráfok

2. csoport, 8. tétel: Gráfok Utolsó javítás: 2009. február 16. Áttekintés A gráfelmélet születése 1 A gráfelmélet születése 2 Csúcsok és élek Fokszámok Komplementer Izomorfia 3 Séták, utak, körök, összefüggőség Gráfbejárások Fagráfok

Részletesebben

Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra:

Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: C(T ) = (u,v) T c(u,v) Az F = (V,T) gráf minimális feszitőfája G-nek,

Részletesebben

Diszkrét Matematika GYAKORLAT, Levelező MSc hallgatók számára. 3. Feladatsor

Diszkrét Matematika GYAKORLAT, Levelező MSc hallgatók számára. 3. Feladatsor Diszkrét Matematika GYAKORLAT, Levelező MSc hallgatók számára 3. Feladatsor Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2011. november 2-ától 1. Párosítások gráfokban 1.1. Alapok 1. Feladat. (i) Bizonyítsuk be, hogy

Részletesebben

Alapfogalmak. Ha a gráf valamely két csúcsát egynél több él köti össze, akkor azt többszörös élnek nevezzük.

Alapfogalmak. Ha a gráf valamely két csúcsát egynél több él köti össze, akkor azt többszörös élnek nevezzük. Alapfogalmak A gráfelmélet a matematika tudományának viszonylag fiatal részterülete. Az első gráfelméleti probléma a XVIII. sz. elején lépett fel ennek megoldása Euler nevéhez fűződik. A Königsberg (mai

Részletesebben

Síkba rajzolható gráfok

Síkba rajzolható gráfok Síkba rajzolható gráfok Elmélet Definíció: egy G gráfot síkba rajzolható gráfnak nevezünk, ha az felrajzolható a síkra anélkül, hogy az élei metsszék egymást. Egy ilyen felrajzolását a G gráf síkbeli reprezentációjának

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak-1

Gráfelméleti alapfogalmak-1 KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Előadó: Hajnal Péter 2015 1. Egyszerű gráfok Nagyon sok helyzetben egy alaphalmaz elemei között kitűntetett

Részletesebben

1. Gráfmodellek. 1.1 Königsbergi hidak (Euler, 1736)

1. Gráfmodellek. 1.1 Königsbergi hidak (Euler, 1736) 1. Gráfmodellek 1.1 Königsbergi hidak (Euler, 1736) Probléma: Königsberg mellett volt egy Pregel nevû folyó, két szigettel. A folyó két partját és a szigeteket hét híd kötötte össze. Bejárhatjuk-e volt

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2010.03.2. 1. Jelölje B n azt a gráfot, melynek csúcsai az n hosszúságú 0 1 sorozatok, két sorozat akkor és csak akkor van összekötve éllel, ha pontosan egy vagy két helyen különböznek. Adjuk

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,

Részletesebben

Hálózati folyamok. Tétel: A maximális folyam értéke megegyezik a minimális vágás értékével.

Hálózati folyamok. Tétel: A maximális folyam értéke megegyezik a minimális vágás értékével. Hálózati folyamok Definíció: Legyen G = (V,E) egy irányított gráf, adott egy c: E R + {0} ún. kapacitásfüggvény, amely minden (u,v) ε E élhez hozzárendel egy nem negatív c(u,v) kapacitást. A gráfnak van

Részletesebben

Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)}

Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)} Mélységi keresés Ez az algoritmus a gráf pontjait járja be, eredményképpen egy mélységi feszítőerdőt ad vissza az Apa függvény által. A pontok bejártságát színekkel kezeljük, fehér= érintetlen, szürke=meg-

Részletesebben

Diszkrét matematika II. feladatok

Diszkrét matematika II. feladatok Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden

Részletesebben

Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra:

Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: C(T ) = (u,v) T c(u,v) Az F = (V,T) gráf minimális feszitőfája G-nek,

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1 Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2. előadás

Részletesebben

Gráfalgoritmusok és hatékony adatszerkezetek szemléltetése

Gráfalgoritmusok és hatékony adatszerkezetek szemléltetése Gráfalgoritmusok és hatékony adatszerkezetek szemléltetése Készítette: Bognár Gergő Témavezető: Veszprémi Anna Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Budapest,

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés)

Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés) Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Hálózatszámítási modellek

Hálózatszámítási modellek Hálózatszámítási modellek Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Óbudai Egyetem, Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar Villamosenergetikai Intézet HÁLÓZATBELI FOLYAM VAGY ÁRAMLÁS ÁLTALÁNOS PROBLÉMÁJA Általános feladat

Részletesebben

Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)}

Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)} Példa Adott egy n n-es sakktábla. Az (1,1) mezőn áll egy huszár. Határozzuk meg eljuthat -e az (u,v) mezőre, ha igen adjunk meg egy legkevesebb lépésből álló utat! Adjunk algoritmust, ami megoldja a feladatot.

Részletesebben

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja 2016/17 I. félév MATEMATIKA szóbeli vizsga 1 A szóbeli vizsga kötelező eleme a félév teljesítésének, tehát azok a diákok is vizsgáznak, akik a többi számonkérést teljesítették. A szóbeli vizsgán az alább

Részletesebben

30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK

30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK 30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK A gráfos alkalmazások között is találkozunk olyan problémákkal, amelyeket megoldását a részekre bontott gráfon határozzuk meg, majd ezeket alkalmas módon teljes megoldássá

Részletesebben

Hálózati folyamok. A használt fogalmak definiálása

Hálózati folyamok. A használt fogalmak definiálása Hálózati folyamok Hálózat A használt fogalmak definiálása Ez összesen 4 dologból áll: - Egy irányított G gráf - Ennek egy kitüntetett pontja, amit forrásnak hívunk és s-sel jelölünk - A gráf még egy kitüntetett

Részletesebben

Gráfelmélet jegyzet 2. előadás

Gráfelmélet jegyzet 2. előadás Gráfelmélet jegyzet 2. előadás Készítette: Kovács Ede . Fák Tétel. : A következők ekvivalensek a T gráfra: (i) T összefüggő, e E. T e már nem összefüggő (ii) T összefüggő és körmentes. (iii) x, y V T!

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

Feladatok. 7. Tíz rabló a kincseit egy több lakattal lezárható ládában gyűjti. Az egyes lakatokat egy-egy

Feladatok. 7. Tíz rabló a kincseit egy több lakattal lezárható ládában gyűjti. Az egyes lakatokat egy-egy Feladatok 1. Hányféleképpen állhat sorba n fiú és n lány úgy, hogy azonos neműek ne álljanak egymás mellett?. Hány olyan hétszámjegyű telefonszám készíthető, amiben pontosan két különböző számjegy szerepel,

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Gráfok színezése. BSc Szakdolgozat

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Gráfok színezése. BSc Szakdolgozat Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfok színezése BSc Szakdolgozat Készítette: Tóth Ádám Matematika BSc, Matematikai elemző szakirány Témavezető: Hermann György Doktorandusz, Számítógéptudományi

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

SzA X/XI. gyakorlat, november 14/19.

SzA X/XI. gyakorlat, november 14/19. SzA X/XI. gyakorlat, 2013. november 14/19. Színezünk és rajzolunk Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Mennyi a következő gráfok kromatikus száma: C 4, C 5, K 2,4, alábbi 2 gráf χ(c 4 ) = 2, páros hosszú

Részletesebben

A zsebrádiótól Turán tételéig

A zsebrádiótól Turán tételéig Jegyzetek egy matekóráról Lejegyezte és kiegészítésekkel ellátta: Meszéna Balázs A katedrán: Pataki János A gráfokat rengeteg életszagú példa megoldásában tudjuk segítségül hívni. Erre nézzünk egy példát:

Részletesebben

Hamilton-út, Hamilton-kör-1

Hamilton-út, Hamilton-kör-1 KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára Hamilton-út, Hamilton-kör Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. A Hamilton-út/kör fogalma Az Euler-vonal olyan vonal volt, amley hossza eléri

Részletesebben

Javító és majdnem javító utak

Javító és majdnem javító utak Javító és majdnem javító utak deficites Hall-tétel alapján elméletileg meghatározhatjuk, hogy egy G = (, ; E) páros gráfban mekkora a legnagyobb párosítás mérete. Ehhez azonban első ránézésre az összes

Részletesebben

Kombinatorika, 9 10. évfolyam

Kombinatorika, 9 10. évfolyam Kombinatorika, 9 10. évfolyam Surányi László Ábrák: Hraskó András 2014. február 28. 2 A kötet létrehozását 2008-tól 2010-ig a Fővárosi Közoktatásfejlesztési Közalapítvány támogatta Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 3. előadás Katona Gyula Y. (BME

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 9. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS

Részletesebben

5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus.

5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. 5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. Optimalis feszítőfák Egy összefüggő, irányítatlan

Részletesebben

Az optimális megoldást adó algoritmusok

Az optimális megoldást adó algoritmusok Az optimális megoldást adó algoritmusok shop ütemezés esetén Ebben a fejezetben olyan modellekkel foglalkozunk, amelyekben a munkák több műveletből állnak. Speciálisan shop ütemezési problémákat vizsgálunk.

Részletesebben

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni 1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni a) 5 db 8 cm hosszú, b) 8 db 5 cm hosszú cérnával? Megoldás:

Részletesebben

Algoritmuselmélet 18. előadás

Algoritmuselmélet 18. előadás Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok

Részletesebben

Polinomosztás. Összeállította: Bogya Norbert. Diszkrét matematika I.gyakorlat

Polinomosztás. Összeállította: Bogya Norbert. Diszkrét matematika I.gyakorlat Diszkrét matematika I. gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalom Elméleti bevezető 1 Elméleti bevezető 2 1. példa 2. példa 3. példa Elmélet I. Elméleti bevezető Definíció (polinom) p = a n x n +

Részletesebben

Gráfok színezése Diszkrét matematika 2009/10 sz, 9. el adás

Gráfok színezése Diszkrét matematika 2009/10 sz, 9. el adás Gráfok színezése Diszkrét matematika 2009/10 sz, 9. el adás A jegyzetet készítette: Szabó Tamás 2009. november 9. 1. Alapfogalmak Egy gráf csúcsait vagy éleit bizonyos esetekben szeretnénk különböz osztályokba

Részletesebben

Bonyolultságelmélet. Monday 10 th October, 2016, 17:44

Bonyolultságelmélet. Monday 10 th October, 2016, 17:44 Monday 10 th October, 2016, 17:44 NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes. NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes. Ötlet,,Értékválasztó

Részletesebben

Euler-formula, síkbarajzolható gráfok, szabályos testek

Euler-formula, síkbarajzolható gráfok, szabályos testek FEJEZET 5 Euler-formula, síkbarajzolható gráfok, szabályos testek "Minden emberi megismerés szemlélettel kezdődik, ebből fogalomalkotásba megy át és eszmékben végződik." I. Kant: A tiszta ész kritikája.

Részletesebben

26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA

26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA 26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA Az előző két fejezetben tárgyalt feladat általánosításaként a gráfban található összes csúcspárra szeretnénk meghatározni a legkisebb költségű utat. A probléma

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Mélységi keresés és alkalmazásai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 9. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

További forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék

További forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék További forgalomirányítási és szervezési játékok 1. Nematomi forgalomirányítási játék A forgalomirányítási játékban adott egy hálózat, ami egy irányított G = (V, E) gráf. A gráfban megengedjük, hogy két

Részletesebben

Ez is Hungaricum. Kovács Vera, Palotay Dorka, Pozsonyi Enik, Szabó Csaba január 27. ELTE

Ez is Hungaricum. Kovács Vera, Palotay Dorka, Pozsonyi Enik, Szabó Csaba január 27. ELTE Ez is ELTE 2013. január 27. Motiváció Tapasztalatok és célok A középiskolából kikerül diákok nagy része nem ismeri a gráfokat Vizsgálataink: A gráfok oktatásának mai helyzete Mi ennek az oka? A gráfok

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

Gyakorló feladatok ZH-ra

Gyakorló feladatok ZH-ra Algoritmuselmélet Schlotter Ildi 2011. április 6. ildi@cs.bme.hu Gyakorló feladatok ZH-ra Nagyságrendek 1. Egy algoritmusról tudjuk, hogy a lépésszáma O(n 2 ). Lehetséges-e, hogy (a) minden páros n-re

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

1. Előadás Lineáris programozás

1. Előadás Lineáris programozás 1. Előadás Lineáris programozás Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Operációkutatás Az operációkutatás az alkalmazott matematika az az ága, ami bizonyos folyamatok és

Részletesebben

Építésikivitelezés-Vállalkozás / 2: Gráftechnikai alapfogalmak VÁLLALKOZÁS. javított háttöltés

Építésikivitelezés-Vállalkozás / 2: Gráftechnikai alapfogalmak VÁLLALKOZÁS. javított háttöltés Elõadás:Folia201.doc VÁLLALKOZÁS ( tervezés - bonyolítás - változásmenedzsment ) ideiglenes földút monolit vb.támfal javított háttöltés új földtöltés régi töltés humusz teherbíró talaj Tevékenység Sz Megnevezés

Részletesebben

Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)}

Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)} Példa Adott egy sziget ahol 42 kaméleon lakik. A kaméleonok három színt vehetnek fel piros, kék és zöld. Ha két különböző színű kaméleon találkozik, akkor megijednek és mindkettő átváltoztatja a színét

Részletesebben

PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN

PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN CSIKVÁRI PÉTER Kivonat. Ebben a jegyzetben bebizonyítjuk Bondy és Simonovits következő tételét. Ha egy n csúcsú egyszerű gráf nem tartalmaz C k kört akkor az éleinek száma

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy

angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy Mohó algoritmusok angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy 1. feladat. Gazdaságos telefonhálózat építése Bizonyos városok között lehet direkt telefonkapcsolatot kiépíteni, pl. x és y város

Részletesebben

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel 5. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel Axióma: Bizonyítás: olyan állítás, amelynek igazságát bizonyítás nélkül elfogadjuk.

Részletesebben

349. amelyek közti útvonal Budapesten halad át. A Debrecen Siófok távolság 332 km, ez megegyezik

349. amelyek közti útvonal Budapesten halad át. A Debrecen Siófok távolság 332 km, ez megegyezik Alapfogalmak. Gráfok 6. a) A gráf egyszerû. komponensbôl áll, 7 pontja (ezek közül kettô izolált), 5 éle van. Az egyes csúcsok fokszámai rendre,,,,, 0, 0. b) A gráf komponensbôl áll. 8 pontja (egy izolált),

Részletesebben

A Szállítási feladat megoldása

A Szállítási feladat megoldása A Szállítási feladat megoldása Virtuális vállalat 201-2014 1. félév 4. gyakorlat Dr. Kulcsár Gyula A Szállítási feladat Adott meghatározott számú beszállító (source) a szállítható mennyiségekkel (transportation

Részletesebben

FELADATOK 1 A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY II. FÉLÉVÉHEZ (PROGRAMTERVEZŽ ÉS INFORMATIKUS BSC SZAKON)

FELADATOK 1 A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY II. FÉLÉVÉHEZ (PROGRAMTERVEZŽ ÉS INFORMATIKUS BSC SZAKON) FELADATOK 1 A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY II. FÉLÉVÉHEZ (PROGRAMTERVEZŽ ÉS INFORMATIKUS BSC SZAKON) ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-02-04 A 2. fejezet feladatai megoldva

Részletesebben

A gráffogalom fejlődése

A gráffogalom fejlődése A gráffogalom fejlődése ELTE Informatikai Kar, Doktori Iskola, Budapest Batthyány Lajos Gimnázium, Nagykanizsa erdosne@blg.hu a prezentáció kézirata elérhető: http://people.inf.elte.hu/szlavi/infodidact16/manuscripts/ena.pdf

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Gubancok. Hajnal Péter. SZTE, Bolyai Intézet

Gubancok. Hajnal Péter. SZTE, Bolyai Intézet Gubancok SZTE, Bolyai Intézet 2010 Bevezető feladat Három ház három kút feladat Adott a síkon három ház és három kút. Bevezető feladat Három ház három kút feladat Adott a síkon három ház és három kút.

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok

Gráfelméleti feladatok Gráfelméleti feladatok Az informatika elmélete A sorozat kötetei: Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok Bach Iván: Formális nyelvek Katona Recski Szabó: A számítástudomány alapjai Buttyán Vajda: Kriptográfia

Részletesebben

Hálózati elemzések az üzleti életben. Kovács Gyula Sixtep Kft.

Hálózati elemzések az üzleti életben. Kovács Gyula Sixtep Kft. Hálózati elemzések az üzleti életben Kovács Gyula Sixtep Kft. Hálózat kutatás rövid ismertetése Königsbergi hidak problémája Háttér: A probléma története, hogy a poroszországi Königsberg (most Kalinyingrád,

Részletesebben

KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára. Klikkek gráfokban-1. Definíció. Egy G gráfban egy K V(G) csúcshalmazt klikknek nevezünk, ha K

KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára. Klikkek gráfokban-1. Definíció. Egy G gráfban egy K V(G) csúcshalmazt klikknek nevezünk, ha K KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára Klikkek gráfokban Előadó: Hajnal Péter 2017 1. Az alapkérdés Emlékeztetünk egy a gráfok színezésénél tárgyalt fontos fogalomra: Definíció. Egy G gráfban

Részletesebben

Kereskedési rendszerek kétoldalú szerződésekkel

Kereskedési rendszerek kétoldalú szerződésekkel Kereskedési rendszerek kétoldalú szerződésekkel Fleiner Tamás, Jankó Zsuzsanna, Akihisa Tamura, Alexander Teytelboym 2017. június 16. MOK Fleiner Tamás, Jankó Zsuzsanna, Akihisa Tamura, Kereskedési Alexander

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Hierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal

Hierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal Hierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal Komjáthy Júlia Simon Károly Sztochasztika Tanszék Matematika Intézet Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem www.math.bme.hu/~komyju www.math.bme.hu/~simonk

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága Algoritmusok bonyolultsága 11. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm () 1 / 1 NP-telesség Egy L nyelv NP-teles, ha L NP és minden L NP-re L L. Egy Π döntési feladat NP-teles, ha Π NP és

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6.

Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6. Kombinatorika 9 10. évfolyam Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András 2015. december 6. A kötet létrehozását 2008-tól 2010-ig a Fővárosi Közoktatásfejlesztési Közalapítvány támogatta Technikai

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Navigáci. stervezés. Algoritmusok és alkalmazásaik. Osváth Róbert Sorbán Sámuel

Navigáci. stervezés. Algoritmusok és alkalmazásaik. Osváth Róbert Sorbán Sámuel Navigáci ció és s mozgástervez stervezés Algoritmusok és alkalmazásaik Osváth Róbert Sorbán Sámuel Feladat Adottak: pálya (C), játékos, játékos ismerethalmaza, kezdőpont, célpont. Pálya szerkezete: akadályokkal

Részletesebben

EÖTVÖS LÓRÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR SZAKDOLGOZAT. Bodor Andrea. Matematika BSc Tanári szakirány. Témavezető: Munkácsy Katalin

EÖTVÖS LÓRÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR SZAKDOLGOZAT. Bodor Andrea. Matematika BSc Tanári szakirány. Témavezető: Munkácsy Katalin EÖTVÖS LÓRÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR A nagy gráfok elmélete és tanításának lehetősége középiskolai szakkörben SZAKDOLGOZAT Bodor Andrea Matematika BSc Tanári szakirány Témavezető: Munkácsy

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben