Ramsey-féle problémák

Átírás

1 FEJEZET 8 Ramsey-féle problémák "Az intelligens eljárást az jellemzi, hogy még a látszólag megközelíthetetlen célhoz is utat nyit, megfelelő segédproblémát talál ki és először azt oldja meg." Pólya György: A probléma megoldás iskolája II. kötet, Tankönyvkiadó, Bp A Ramsey elméletről is írtak már több könyvet. Mi itt csupán kicsinyke kóstolóval tudunk szolgálni a Kedves Olvasónak. A Ramsey 1 típusú tételeket egyrészt úgy is szokták jellemezni, mint a Dirichlet-féle skatulya-elv általánosítását. Másrészt úgy is emlegetik, mint olyan tételt, amelyik azt mondja, hogy a világ nem lehet teljesen véletlen, bizonyos szabályosságoknak törvényszerűen meg kell jelenni. Az emberek között az ismeretséget kölcsönösnek tételezzük fel. Ha A ismeri B-t, akkor B is ismeri A-t. (Ez persze általában nem teljesül. Igen valószínű, hogy a Pápát ismerők között van olyan, akit a Pápa nem ismer.) Közismert az a feladat amelyik azt állítja, hogy hat ember között mindig találunk vagy 3 olyan embert, akik kölcsönösen ismerik egymást, vagy 3 olyat akik kölcsönösen nem ismerik egymást. A feladat egyik legrövidebb bizonyítása a következő gráfelméleti bizonyítás. Az embereket tekintsük egy hat pontú teljes K 6 gráf csúcspontjainak. A K 6 gráf csúcspontjait jelölje most rendre A, B, C, D, E, F. Az A ill. B csúcspontot összekötő élt színezzük pirosra, ha A és B kölcsönösen ismerik egymást. Ha A és B kölcsönösen nem ismerik egymást, akkor az őket összekötő élt színezzük zöldre. Válasszunk ki egy tetszőleges csúcsot, például E-t. Az E csúcsra illeszkedő 5 él közül biztosan lesz három egyszínű. Ugyanis az nem lehet, hogy zöld élből és piros élből is legfeljebb kettő volna, mert az azt jelentené, hogy E-re legfeljebb 4 él illeszkedik. Legyen a három egyszínű él piros színű, s fussanak E-ből rendre A, B, C-be. Ha az A, B, C csúcsokat összekötő élek közül egy is piros színű - például AB, akkor már kész vagyunk, mivel az E, A, B háromszög 1 Frank Plumpton Ramsey 1903.II.22-én született Cambridge-ben és meghalt 1930.I.19-én Londonban. Idős szüleinek negyedik gyermeke volt. Apja Arthur Stanley Ramsey a cambridge-i Magdalena Gollege elnöke volt és matematikát tanított. Érdekes megjegyezni, hogy Frank bátyja Canterbury püspöke lett. Tanulmányai befejezése után 1923-ban rövid ideig Bécsben is járt ben a King s College-ban kapott ösztöndíjat, s 1926-ban ugyanott kinevezték tanárrá. S később a King s College Matematikai Intézetének az igazgatója lett. Rövid élete alatt nem csak a matematika alapjairól írt, de publikált a közgazdaságtan és a filozófia területén is. 90

2 8. RAMSEY-FÉLE PROBLÉMÁK 91 F E F E A D A D B C B C 1. ábra. mindhárom éle piros. Azaz létezik egy (piros) egyszínű (monokromatikus) háromszögünk. Ha viszont az A, B, C csúcsokat összekötő élek egyike sem piros, akkor mindegyik zöld. Az viszont azt jelenti, hogy az A, B, C háromszög minden éle zöld színű, azaz monokromatikus. 2. ábra. Az előbbi feladat éles abban az értelemben, hogy 5 ember esetén már megeshet, hogy nincs sem 3 olyan közöttük, akik kölcsönösen ismernék egymást, s három olyan ember sem létezik közöttük, akik kölcsönösen nem ismernék egymást. Ismét a gráfelmélet nyelvére fordítva feladatunkat, arról van szó, hogy az öt csúcspontú K 5 teljes gráf éleit lehet úgy pirosra és zöldre színezni, hogy nem lesz sem olyan háromszöge, melynek minden éle piros, de olyan háromszöge sem lesz, amelynek minden éle zöld volna. A teljes K 5 gráfnak a 2. ábrán mellékelt színezése (mikor is két él-diszjunkt Hamilton-körre bontjuk és az egyik kört pirossal (folytonos vonallal), a másikat zölddel (szaggatott vonallal) színezzük, igazolja állításunkat. Szemléletes megfogalmazása a Ramsey-féle számoknak a következő: ha az n(m, k) pontú teljes K n(m,k) gráf éleit tetszés szerint pirosra vagy zöldre színezzük, akkor vagy lesz egy olyan részgráfja, amelynek minden éle piros színű és izomorf a teljes K m gráffal vagy lesz egy olyan zöld színű részgráfja, amely izomorf a K k teljes gráffal. Továbbá az n(m, k) 1 pontú teljes gráf K n(m,k) 1 éleinek van olyan színezése a piros illetve zöld színekkel, hogy nem létezik olyan piros színű részgráfja, amely izomorf volna a K m teljes m csúcspontú gráffal, s nem létezik olyan részgráfja sem, amelynek minden éle zöld és izomorf lenne a K k k csúcspontú teljes gráffal Definíció. Az n(m, k) számot Ramsey-számnak nevezzük, ha rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: (i) ha a G = (E, ϕ, V ) gráf csúcspontjainak a száma V n(m, k), akkor vagy G -nek van

3 92 8. RAMSEY-FÉLE PROBLÉMÁK egy m csúcspontú teljes részgráfja, vagy G komplementere tartalmaz egy k csúcspontú teljes gráfot, (ii) van olyan G = (E, ϕ, V ) gráf, melynek csúcspontjainak a száma V = n(m, k) 1 és G -nek nincs m pontú teljes részgráfja, és a komplementerének sincs k pontú teljes részgráfja. Az (ii) tulajdonsággal rendelkező gráfokat extrém gráf oknak nevezzük. Szemléletesebb megfogalmazása a Ramsey-féle számoknak a következő: ha az n(m, k) pontú teljes gráf éleit tetszés szerint pirosra vagy zöldre színezzük, akkor vagy egy piros színű teljes m gráfot, vagy egy zöld színű k teljes gráfot kapunk, továbbá az n(m, k) 1 pontú teljes gráf éleit piros illetve zöld színnel lehet úgy színezni, hogy sem piros színű teljes m csúcspontú, sem zöld színű teljes k csúcspontú gráfot nem tartalmaz Tétel. Ha m, k N, akkor n(m, k) = n(k, m). Bizonyítás: A színek felcserélésével adódik az állítás Tétel. Ha m, k N, akkor n(1, k) = n(m, 1) = 1, n(2, k) = k, n(m, 2) = m. Bizonyítás: Az egy pontból álló gráf nem létező élét egyaránt tekinthetjük pirosnak ill. zöldnek is. Ha a k pontú teljes gráfnak minden színe zöld, akkor tartalmaz egy zöld színű teljes gráfot, ha csak egy éle is piros, akkor tartalmaz egy 2 pontú teljes piros gráfot. Ha az m pontú teljes gráfnak minden éle piros, akkor tartalmaz egy piros színű teljes gráfot, ha csak egy éle is zöld, akkor tartalmaz egy 2 pontú teljes zöld gráfot Tétel. Ha n(, k) és n(m, k 1) létezik, akkor n(m, k) is létezik és n(m, k) n(, k) + n(m, k 1). Bizonyítás: Legyen adott a K n(m 1,k)+n(m,k 1) teljes gráf és élei tetszőlegesen színezve pirossal ill. zölddel, és legyen u valamely csúcspontja. Jelölje G 1 az u-ból induló piros élek és G 2 az u-ból induló zöld élek végpontjai által felfeszített részgráfjait K n(m 1,k)+n(m,k 1) -nek. Piros élek. G 1 G 2 u Zöld élek. 3. ábra. Legyen G 1 csúcspontjainak a száma n 1 és G 2 csúcspontjainak a száma n 2, ekkor n 1 + n = n(, k) + n(m, k 1) és vagy (I) n 1 n(, k) vagy (II) n 2 n(m, k 1) teljesül. Az (I) esetben G 1 vagy egy pontú teljes piros gráfot tartalmaz és G 1 -hez hozzávéve u-t és az u-ból G 1 -be futó, piros

4 8. RAMSEY-FÉLE PROBLÉMÁK 93 éleket K n(m 1,k)+n(m,k 1) -nek egy m pontú teljesen piros részgráfját kapjuk, ha G 1 -ben k pontú teljes zöld részgráfunk volt, akkor az nyilván részgráfja K n(m 1,k)+n(m,k 1) -nek is. Így az (I) esetben K n(m 1,k)+n(m,k 1) tartalmaz vagy egy m pontú teljes piros, vagy egy k pontú teljes zöld gráfot. A (II) esetben is teljesen hasonlóan belátható, hogy K n(m 1,k)+n(m,k 1) tartalmaz vagy egy m pontú teljes piros, vagy egy k pontú teljes zöld gráfot, s ezzel a bizonyítás kész. m + k Tétel (Erdős Pál 2 és Szekeres György). Ha m, k N, akkor n(m, k). Bizonyítás: k szerinti teljes indukcióval ( bizonyítunk. ) k = 1 esetén tetszőleges m-re n(m, 1) = 1 m a 8.2. Tétel szerint, és mivel 1, ezért ekkor az állítás igaz. Tételezzük fel, hogy az állításunk tetszőleges m-re igaz k = h 1 esetén, és bizonyítsuk ( k = h-ra. ) Ez utóbbi állítást 1 + h 2 m szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk, m = 1 esetén 1. Tegyük fel, hogy 1 1 ()-re már igaz az állítás, bizonyítsuk m-re. Ezek szerint tudjuk, hogy m + h 3 m + h 3 n(, h) és n(m, h 1). (i) m 2 A 8.3. Tétel szerint ekkor létezik n(m, k) és kisebb egyenlő, mint az n(, k) + n(m, k 1). Felhasználva az (i) becsléseket m + k 3 m + k 3 (m + k 3)! (m + k 3)! n(m, k) + = + m 2 (k 1)!(m 2)! (k 2)!()! = = (m + k 3)!( (k 1)!()! + k 1 m + k 2 (k 1)!()! ) = megkapjuk a tétel állítását. Legyenek r, q 1, q 2,..., q t egynél nagyobb vagy eggyel egyenlő egész számok Definíció. Az N(q 1, q 2,..., q t, r) általános Ramsey-szám, ha eleget tesz a következő feltételeknek: 1; Ha S N(q 1, q 2,..., q t, r), akkor bármilyen P r (S) = A 1 A 2... A t esetén létezik olyan i {1, 2,..., t}, és S S, hogy S = q i és hogy P r (S ) A i 2 Erdős Pál 1913.III.26-án született Budapesten és 1996.IX.20-án Warsóban eltávozott az élők sorából. Rendkívül sokat publikált több mint 1500 publikációja jelent meg. Nagyon közvetlen ember volt. Bárkivel (kivéve a fasisztákat), bármikor, bárhol szívesen beszélgetett matematikáról. Nagyon sok matematikussal írt közös cikket. Egyik legszínesebb, legvarázslatosabb egyénisége volt a XX. század matematikájának. Többek között Rényi Alfréddal 1959-ben kezdtek el publikálni egy 8 részes cikksorozatot, amellyel megalapozták a véletlen gráfok elméletét.

5 94 8. RAMSEY-FÉLE PROBLÉMÁK 2; Az N(q 1, q 2,..., q t, r)-nél kisebb szám nem rendelkezik az 1-es tulajdonsággal (azaz N(q 1, q 2,..., q t, r) a legkisebb olyan egész, amelyre az 1-es tulajdonság teljesül) Tétel. N(q 1, q 2,..., q t, 1) = q 1 + q q t t + 1. Megjegyzés. Az előbbiekben szereplő n(m, k) az N(m, k, 2) speciális esetnek felel meg. A P r (S) az S halmaz r elemű részhalmazainak a halmazát jelölte. A Ramsey-számok fogalmát a gráfok nyelvén is lehet általánosítani. Legyenek adottak tetszőleges G 1, G 2,..., G k véges egyszerű gráfok. Jelölje N(G 1, G 2,..., G k ) azt a legkisebb egész számot, amelyre teljesül az, hogy ha az N(G 1, G 2,..., G k ) csúcspontú teljes gráf K N(G1,G 2,...,G k ) éleit k színnel bárhogyan is színeztük ki, akkor valamely színre, mondjuk az i-re teljesül az, hogy a K N(G1,G 2,...,G k ) gráfnak van olyan G i részgráfja, amely izomorf G i -vel és minden éle az i színnel van színezve. Természetesen, ha a G 1, G 2,..., G k egyszerű gráfok rendjei rendre V (G 1 ) = n 1, V (G 2 ) = n 2,..., V (G k ) = n k, akkor N(G 1, G 2,..., G k ) N(K n1, K n2,..., K nk ), ahol K n1, K n2,..., K nk rendre az n 1, n 2,..., n k csúcspontú teljes gráfokat jelölte. Általában ekkor az N(K n1, K n2,..., K nk )-et röviden csak N(n 1, n 2,..., n k )-val vagy N(n 1, n 2,..., n k, 2) -vel jelölik.