Euler-formula, síkbarajzolható gráfok, szabályos testek

Átírás

1 FEJEZET 5 Euler-formula, síkbarajzolható gráfok, szabályos testek "Minden emberi megismerés szemlélettel kezdődik, ebből fogalomalkotásba megy át és eszmékben végződik." I. Kant: A tiszta ész kritikája. Feltételezzük, hogy a Kedves Olvasónak intuitíve elég pontos és korrekt fogalma van a síkgörbékről, bár korrekt és kellően általános görbe fogalommal, később differenciál-geometriai tanulmányaikban találkozni fognak. Megemlítjük például, hogy egy egyszerű zárt Jordan-görbe két diszjunkt tartományra bontja a síkot. Például: egy origó középpontú r sugarú K kör (melynek paraméteres alakja: P (x = r sin(t), y = r cos(t)), ill. implicit alakja: x + y = r ) egy az origót tartalmazó körlapra és az azt körül ölelő végtelen tartományra bontja a síkot. Egy G gráfot síkbarajzolhatónak mondunk, ha a gráf éleit lehet realizálni a síkban olyan vonalakkal, hogy bármely két élnek csak a G gráf csúcspontjaiban lévő végpontjai lehetnek közösek. 1. Euler-formula, gráfok síkbarajzolhatósága 1 T 1 1 T 1 T 3 T 5 T 4 T 5 T G 1 G T 4 1. ábra. Az 1. ábra azt mutatja, hogy a G 1 és G gráfok izomorfak, de a síkbarajzolásuk lényegesen különbözik. A G külső végtelen tartományát 6 él határolja, s G 1 -nek nincs hat él által határolt tartománya. A G 1 gráf T tartományát 4 él határolja {(, 3), (3, 4), (4, 5), (5, )}, G -nek viszont csak 3 ill. 6 éllel határolt tartományai vannak Tétel. Bármely G véges gráf realizálható a három dimenziós euklideszi térben. Bizonyítás: Legyen adott a G = (E, ϕ, V ) gráf. Vegyünk fel a térben egy t egyenest, az egyenesen n = V páronként különböző V i (i = 1,,..., n) pontot, és a t egyenesre illeszkedő q = E páronként különböző S i (i = 1,,..., q) síkot, és mindegyik síkban P i (i = 1,,..., q) 60

2 E m 5. EULER-FORMULA, GRÁFOK SÍKBARAJZOLHATÓSÁGA 61 pontot, olyat mely nem illeszkedik t-re. Ha az e t él a v i és a v j pontokat kötötte össze azaz ϕ(e t ) = (v i, v j ), akkor kössük össze a V i pontot P t -vel egy u egyenes szakasszal, s P t -t is V j -vel kösse össze egy w szakasz. Az e t élt az előbb megkonstruált V i -ből V j -be menő töröttvonal fogja reprezentálni. A konstrukció alapján nyilvánvaló, hogy az éleknek megfelelő töröttvonalak csak a gráf csúcsainak kijelölt V i pontokban találkozhatnak. S 1 S Sm V n V n-1 V n- P m V 4 P E 3 V 3 V P 1 E 1 V 1,t. ábra. A következőkben olyan egyszerű összefüggő síkbeli gráfokkal foglalkozunk, melyek ún. sokszöghálót alkotnak. Sokszöghálót alkotnak abban az értelemben, hogy felbonthatók olyan minimális körökre, melyek a belsejükben már nem tartalmaznak a gráfnak semmilyen pontját, e köröket fogjuk tartományoknak nevezni (vagy országoknak). A gráf minden csúcsának foka nagyobb mint kettő, bármely él pontosan két tartományt határol. Afrika térképéből a következő módon kaphatunk egy sokszöghálót. Ha Madagaszkárt mint szigetet figyelmen kívül hagyjuk, továbbá Lesotho-t sem ábrázoljuk, mivel a Dél-Afrikai Köztársaság belsejében fekszik, továbbá az országhatárokat és a tengerpartokat éleknek tekintjük. A gráf csúcspontjainak tekintjük azon pontokat, ahol legalább három él találkozik, akkor egy sokszöghálót kapunk. Egy-egy országnak megfelelő minimális kört (minimális abban az értelemben, hogy belseje nem tartalmazza a gráf semelyik csúcspontját) tartománynak, vagy országnak nevezzünk. Az Afrikát körülvevő tartományt végtelen tartománynak nevezzük.

3 6 5. EULER-FORMULA, SÍKBARAJZOLHATÓ GRÁFOK, SZABÁLYOS TESTEK 3. ábra. Térképészetben gyakran használt eljárás a sztereografikus projekció, mikor is egy G gömb és egy S sík pontjai között létesítünk egy megfeleltetést. Tételezzük fel, hogy a G gömbünk egy D pontban érinti a síkot. A D pont átellenes pontja legyen E (gondoljon a déli ill. az északi sarkra). A sík valamely P pontjának gömbi megfelelőjét P -t megkapjuk, ha a P -t E-vel összekötő egyenesnek vesszük a G gömbbel a metszéspontját. A sztereografikus projekcióval a síkon ábrázolhatunk egy gömbre rajzolt gráfot és fordítva, egy síkba rajzolt gráfot izomorf módon ábrázolhatunk a gömbön. E P P D S 4. ábra. Legyen a G = (E, ϕ, V ) gráf egy sokszöggráf, éleinek a számát q, csúcsainak számát n, tartományainak számát t, és komponenseinek a számát jelölje c. 5.. Tétel (Euler-formula). Ha G síkgráf, akkor n q + t = 1 + c. (EF) Megjegyzés. Ha G erdő, akkor t = 1, c = k, q = n k és nyilván igaz, hogy n (n k)+1 = 1 + k.

4 5. EULER-FORMULA, GRÁFOK SÍKBARAJZOLHATÓSÁGA 63 Bizonyítás: A G gráf élei száma szerinti teljes indukcióval bizonyítunk. Ha a G éleinek a száma q = 0, akkor a tartományok száma t = 1 és a komponensek száma ugyancsak n, azaz a csúcspontok számával egyenlő. Legyen az állítás igaz q = k-ra, s bizonyítsuk, hogy igaz q = k + 1-re is. Tegyük fel, hogy a k + 1-edik e él G-nek hídja. G = (G e)-re az indukciós feltevés miatt igaz az állítás. Továbbá n = n, q = q 1, t = t, c = c + 1 és az n q + t = 1 + c egyenlőségekből következik, hogy n q + t = 1 + c. T 1,e G 1 Az e él itt híd.,e T G Az e él,törlésével egy új tartomány jön létre,s kettõ régi megszûnik. 5. ábra. Ha e nem hídja G-nek, akkor tartalmazza őt G-nek K minimális köre, s e két tartomány határán fekszik. Ha töröljük e-t G-ből, akkor a tartományok száma 1-gyel csökken (t = t 1), a komponensek, csúcspontok száma (c = c, n = n) változatlan marad G = (G e)-ben, melyre az indukciós feltevésünk ismét igaz. Azaz n q + t = 1 + c, s az előbbiek miatt írható n (q 1) + (t 1) = 1 + c, s ezzel a bizonyítás kész. Legyen adott a síkon két párhuzamos egyenes e és f. Legyen v 0, v 1, v e egymás után következő 3 pontja, és f-nek három pontja u 0, u 1, u. A v 0, v 1, v pontokat házaknak, s az u 0, u 1, u pontokat kutaknak nevezzük. Azt a G gráfot, melynek a csúcsai az előbbi kutak ill. 6. ábra. házak és bármely kutat, bármely házzal él köt össze, a háromház-háromkút gráfnak mondunk. Gráfok síkbarajzolhatóságát nem befolyásolja, ha valamely élükön egy új másodfokú csúcspontot veszünk fel, vagy ha valamely két élét a gráfnak, amelyek ugyanarra a v másodfokú csúcsra illeszkedtek, egybeolvasszuk, s v-t töröljük. Az előbbi két transzformációt házi használatra, nevezzük topológikus bővítésnek illetve szűkítésnek.

5 64 5. EULER-FORMULA, SÍKBARAJZOLHATÓ GRÁFOK, SZABÁLYOS TESTEK 5.1. Definíció. A G gráfot a G gráffal topológikusan izomorf nak mondjuk, ha G-ből véges sok topológikus szűkítéssel ill. bővítéssel G -vel izomorf gráf állítható elő Tétel (G. Kuratowski, 1930). A G gráf akkor és csak akkor síkbarajzolható, ha nincs olyan részgráfja, amely topológikusan izomorf az ötszögpontú K 5 teljes gráffal, vagy a háromházháromkút K 3,3 gráffal. A K 5, s a K 3,3 gráfokat a fenti tétel kapcsán Kuratowski 1 -féle gráfoknak is szokták nevezni. A tételt nem bizonyítjuk. Az Euler-formula segítségével azonban könnyen bizonyítható, hogy a Kuratowski-féle gráfok nem síkbarajzolhatók Tétel. A Kuratowski-féle gráfok nem rajzolhatók síkba. Bizonyítás: Az Euler-formula szerint, ha K 5, K 3,3 síkbarajzolható, akkor t 5 = + q n = = 7, t 3,3 = + q n = = 5. Figyelembe véve, hogy K 5 egy-egy tartományát legalább 3 él határolja, és minden él pontosan két tartománynak a határa, ekkor 3t q egyenlőtlenségnek kellene teljesedni, ami itt 3 7 > 10 miatt nem igaz. K 3,3 -ról tudjuk, hogy páros gráf, s ezért nincs olyan köre, mely páratlan sok élt tartalmazna, ezért K 3,3 tartományait (a tartományok határai kört alkotnak) legalább 4 él határolja. Az előbbiek alapján K 3,3 éleinek a száma alulról becsülhető 4 t 3,3 1 = 10- zel, s ez ellentmond annak, hogy K 3,3 -nak csak 9 éle van. Síkba rajzolható G gráfokhoz sok esetben hasznos hozzárendelni egy G* duális gráfot a következő módon. G minden T i tartományában felveszünk egy u i pontot. Legyen e s olyan éle G-nek, mely a T i, T j tartományok határán fekszik, ekkor vezessen e s él u i -ból u j -be. Gyakorlás céljából ajánljuk a Kedves Olvasónak, rajzolja le a szabályos hatszög gráfjának duálisát. A 7. ábrán szaggatott vonallal rajzoltuk meg a G 1 ill. a G gráf duálisának az éleit. A duális gráfok csúcspontjait a tartományokban vettük fel és értelemszerűen U i -vel ill. U j-vel indexeltük. Megemlítjük itt még, hogy ha a k él által határolt tartományok számát ϕ k -val jelöljük, akkor egyrészt ϕ 1 = 0 (mivel sokszöggráfoknál kizártuk a hurokéleket), másrészt teljesedik a következő összefüggés. q = ϕ + 3ϕ 3 + 4ϕ kϕ k +... (D1) Ugyanis minden él pontosan két tartomány határán fekszik, s ezért a jobb oldali összeg pontosan az élek számának a kétszeresét adja. 1 Kazimierz Kuratowski 1896.II..-án született Varsóban, amely akkor még az Orosz Birodalomhoz tartozott, s elhunyt 1980.VI.18.-án Varsóban, Lengyelországban. Apja Varsó egyik legsikeresebb ügyvédje volt. 197-ben Lvovban nevezték ki egyetemi tanárnak. Ott együtt dolgozott Banach-kal, Steinhaus-szal stb. Megoldott több mértékelméleti problémát ben már Varsóban professzor, 1936-ban Princetonban közös cikket ír Neumann Jánossal. Lengyelország 1939-es megszállása után is Varsóban maradt s ott tevékenyen részt vett a lengyel ellenállási mozgalomban után Lengyelorszában elhalmozták elismerésekkel, és haláláig a lengyel matematikus társadalom vezető személyisége maradt.

6 5. SZABÁLYOS POLIÉDEREK U U 1 U 3 U 1 5 U U 4 U G 4 G 1 5 U 4 7. ábra.. Szabályos poliéderek "Az ilyen szemléltetés nagyon hasznos, mert az emberi értelem a mértani alakzatokat fogja fel a legkönnyebben." Descartes: Oeuvres, X old., Regulae ad directionemingenii, XII. szabály. A háromdimenziós euklideszi térben azokat a konvex poliédereket szokták szabályosnak nevezni, melyeknek az élei, élszögei és lapszögei egyenlőek. A poliéder élei és csúcsai olyan G szabályos síkgráfot alkotnak (az, hogy síkbarajzolhatóak, a sztereografikus projekcióval látható be), mely gráf minden csúcspontjának a foka egyenlő (egyenlő például r-rel) és minden tartományt ugyanannyi mondjuk h él határol. Továbbá G duálisa G* is szabályos. Jelölje a G szabályos poliéder csúcsainak, éleinek, tartományainak, a csúcsok fokszámát és a tartományokat határoló élek számát rendre n, q, t, r, h hasonlóan G* megfelelő adatai legyenek rendre n, q, t, r, h. A G gráf élei és a csúcspontok fokszámai között teljesül a q = rn, továbbá rn = ht. q-t és t-t kifejezve (i)-ből, adódik q = 1 rn és t = r n. Helyettesítsük q-t illetve t-t az (EF) h Euler-formulába. Azt kapjuk, hogy n(1 + r h 1 r) = (ii) vagy h-val végig szorozva n(h + r rh) = 4h mivel n és h pozitív egészek, ezért írható h + r hr > 0 illetve hr h r < 0 (v)-t szorzattá alakítva és rendezve, nyerjük (i) (iii) (iv) (h )(r ) < 4. (vi) A (vi) egyenlőtlenségnek h és r pozitív egész volta miatt csak véges sok megoldása van. Vannak olyan megoldások, melyekhez tartozó gráfok számunkra geometriai okok miatt érdektelenek. Például ha r =, akkor a gráf minden szögpontjában két él találkozik, azaz a G gráf kör, ha (v)

7 66 5. EULER-FORMULA, SÍKBARAJZOLHATÓ GRÁFOK, SZABÁLYOS TESTEK h =, akkor a csúcsok száma és a G ekkor a két szögpontból s az azokat összekötő tetszőleges számú élből áll. Az "érdekes" eseteket a következő táblázatba foglaltuk össze. r h n q t típus tetraéder kocka dodekaéder oktaéder ikozaéder A szabályos testek elég régóta ismertek. Platón Timaeus c. művében felsorolja az összes szabályos poliédert. A következő ábrák a szabályos testeket és síkba rajzolt gráfjaikat mutatják. 8. ábra.