Diszkrét matematika 1. estis képzés

Átírás

1 Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék tavasz

2 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 2. Címkézett gráfok Legyen G = (ϕ, E, V ) egy gráf, C e és C v halmazok az élcímkék, illetve csúcscímkék halmaza, továbbá c e : E C e és c v : V C v leképezések az élcímkézés, illetve csúcscímkézés. Ekkor a (ϕ, E, V, c e, C e, c v, C v ) hetest címkézett gráfnak nevezzük. Élcímkézett, illetve csúcscímkézett gráfról beszélünk, ha csak élcímkék és élcímkézés, illetve csak csúcscímkék és csúcscímkézés adott. Megjegyzés Címkézett gráf helyett a színezett gráf elnevezés is használatos.

3 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 3. Címkézett gráfok C e = R, illetve C v = R esetén élsúlyozásról és élsúlyozott gráfról, illetve csúcssúlyozásról és csúcssúlyozott gráfról beszélünk, és a jelölésből C e -t, illetve C v -t elhagyjuk. Egy G = (ϕ, E, V, w) élsúlyozott gráfban az E E élhalmaz súlya e E w(e). Algoritmus(Kruskal) Egy élsúlyozott gráf esetén az összes csúcsot tartalmazó üres részgráfból kiindulva minden lépésben vegyük hozzá a minimális súlyú olyan élt, amivel nem keletkezik kör.

4 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 4. Példa

5 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 5. Címkézett gráfok Tétel A Kruskal-algoritmus egy minimális súlyú feszítőerdőt határoz meg. Összefüggő gráf esetén minimális súlyú feszítőfát kapunk. Bizonyítás Később... Egy algoritmust mohó algoritmusnak nevezünk, ha minden lépésben az adódó lehetőségek közül az adott lépésben legkedvezőbbek egyikét választja. Megjegyzés A Kruskal-algoritmus egy mohó algoritmus.

6 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 6. Címkézett gráfok Megjegyzés A mohó algoritmus nem mindig optimális. Példa Keressünk minimális összsúlyú Hamilton-kört a következő gráfban. v 1 2 v v 2 v 2 3

7 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 7. Irányított gráfok A G = (ψ, E, V ) hármast irányított gráfnak nevezzük, ha E, V halmazok, V, V E = és ψ : E V V. E-t az élek halmazának, V -t a csúcsok (pontok) halmazának és ψ-t az illeszkedési leképezésnek nevezzük. A ψ leképezés E minden egyes eleméhez egy V -beli rendezett párt rendel. Elnevezés ψ(e) = (v, v ) esetén azt mondjuk, hogy v kezdőpontja, v pedig végpontja e-nek. Bármely G = (ψ, E, V ) irányított gráfból kapható egy G = (ϕ, E, V ) irányítatlan gráf úgy, hogy ψ(e) = (v, v ) esetén ϕ(e)-t {v, v }-nek definiáljuk. Ekkor azt mondjuk, hogy G a G egy irányítása.

8 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 8. Irányított gráfok Megjegyzés Az irányítatlan gráfokra definiált fogalmakat használni fogjuk irányított gráfok esetén is, mégpedig a megfelelő irányítatlan gráfra értve. Ha e e esetén ψ(e) = ψ(e ), akkor e és e szigorúan párhuzamos élek. Azon élek számát, amiknek a v csúcs kezdőpontja, v kifokának nevezzük, és deg + (v)-vel vagy d + (v)-vel jelöljük. Azon élek számát, amiknek a v csúcs végpontja, v befokának nevezzük, és deg (v)-vel vagy d (v)-vel jelöljük. Ha egy csúcs kifoka 0, akkor nyelőnek, ha a befoka 0, akkor forrásnak nevezzük.

9 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 9. Irányított gráfok Álĺıtás A G = (ψ, E, V ) irányított gráfra d + (v) = d (v) = E. v V v V A G = (ψ, E, V ) és G = (ψ, E, V ) irányított gráfok izomorfak, ha léteznek f : E E és g : V V bijektív leképezések, hogy minden e E-re és v V -re v pontosan akkor kezdőpontja e-nek, ha g(v) kezdőpontja f (e)-nek, és v pontosan akkor végpontja e-nek, ha g(v) végpontja f (e)-nek.

10 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 10. Irányított gráfok A G = (ψ, E, V ) irányított gráfot a G = (ψ, E, V ) irányított gráf irányított részgráfjának nevezzük, ha E E, V V és ψ ψ. Ekkor G-t a G irányított szupergráfjának hívjuk. Ha a G irányított részgráf mindazokat az éleket tartalmazza, melyek kezdőpontjai és végpontjai V -ben vannak, akkor G -t a V által meghatározott feszített irányított (vagy teĺıtett irányított) részgráfnak nevezzük. Ha G = (ψ, E, V ) irányított részgráfja a G = (ψ, E, V ) irányított gráfnak, akkor a G -nek a G-re vonatkozó komplementerén a (ψ E\E, E \ E, V ) gráfot értjük.

11 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 11. Irányított gráfok Ha G = (ψ, E, V ) egy irányított gráf, és E E, akkor a G-ből az E élhalmaz törlésével kapott irányított gráfon a G = (ψ E\E, E \ E, V ) irányított részgráfot értjük. Ha G = (ψ, E, V ) egy irányított gráf, és V V, akkor legyen E az összes olyan élek halmaza, amelyeknek kezdőpontja vagy végpontja valamely V -beli csúcs. A G-ből a V csúcshalmaz törlésével kapott irányított gráfon a G = (ψ E\E, E \ E, V \ V ) irányított részgráfot értjük.

12 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 12. Irányított gráfok A C n irányított ciklus a C n ciklus olyan irányítása, melyben az élek irányítása azonos (minden csúcs befoka és kifoka is 1). A P n irányított ösvény C n+1 -ból valamely él törlésével adódik. Az S n irányított csillag az S n csillag olyan irányítása, melyben a középső csúcs nyelő, az összes többi pedig forrás. Adott csúcshalmaznál az irányított teljes gráfban tetszőleges v és v különböző csúcsokhoz található pontosan egy olyan él, aminek v a kezdőpontja és v a végpontja. K n nem K n irányítása, sőt nem is egyszerű gráf, ha n > 1. Példák K 3 C 4 P 3 S 4

13 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 13. Irányított gráfok Legyen G = (ψ, E, V ) egy irányított gráf. A v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., v n 1, e n, v n sorozatot irányított sétának nevezzük v 0 -ból v n -be, ha v j V 0 j n, e k E 1 k n, ψ(e m ) = (v m 1, v m ) 1 m n. Ha v 0 = v n, akkor zárt irányított sétáról beszélünk, különben nyílt irányított sétáról. Ha az irányított sétában szereplő élek mind különbözőek, akkor irányított vonalnak nevezzük. Az előzőeknek megfelelően beszélhetünk zárt vagy nyílt irányított vonalról.

14 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 14. Irányított gráfok Ha az irányított sétában szereplő csúcsok mind különbözőek, akkor irányított útnak nevezzük. Egy legalább egy hosszú zárt irányított vonalat irányított körnek nevezünk, ha a kezdő- és végpont megyegyeznek, de egyébként az irányított vonal pontjai különböznek. Egy irányított gráfot erősen összefüggőnek nevezünk, ha bármely csúcsából bármely csúcsába vezet irányított út.

15 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 15. Irányított gráfok A G = (ψ, E, V ) irányított gráf esetén V elemeire vezessük be a relációt:

16 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 15. Irányított gráfok A G = (ψ, E, V ) irányított gráf esetén V elemeire vezessük be a relációt: v v pontosan akkor, ha G-ben vezet irányított út v-ből v -be, és v -ből is vezet irányított út v-be.

17 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 15. Irányított gráfok A G = (ψ, E, V ) irányított gráf esetén V elemeire vezessük be a relációt: v v pontosan akkor, ha G-ben vezet irányított út v-ből v -be, és v -ből is vezet irányított út v-be. A ekvivalenciareláció

18 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 15. Irányított gráfok A G = (ψ, E, V ) irányított gráf esetén V elemeire vezessük be a relációt: v v pontosan akkor, ha G-ben vezet irányított út v-ből v -be, és v -ből is vezet irányított út v-be. A ekvivalenciareláció (Miért?),

19 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 15. Irányított gráfok A G = (ψ, E, V ) irányított gráf esetén V elemeire vezessük be a relációt: v v pontosan akkor, ha G-ben vezet irányított út v-ből v -be, és v -ből is vezet irányított út v-be. A ekvivalenciareláció (Miért?), így meghatároz egy osztályozást V -n.

20 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 15. Irányított gráfok A G = (ψ, E, V ) irányított gráf esetén V elemeire vezessük be a relációt: v v pontosan akkor, ha G-ben vezet irányított út v-ből v -be, és v -ből is vezet irányított út v-be. A ekvivalenciareláció (Miért?), így meghatároz egy osztályozást V -n. A csúcsok egy adott ilyen osztálya által meghatározott feszített irányított részgráf az irányított gráf egy erős komponense.

21 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 15. Irányított gráfok A G = (ψ, E, V ) irányított gráf esetén V elemeire vezessük be a relációt: v v pontosan akkor, ha G-ben vezet irányított út v-ből v -be, és v -ből is vezet irányított út v-be. A ekvivalenciareláció (Miért?), így meghatároz egy osztályozást V -n. A csúcsok egy adott ilyen osztálya által meghatározott feszített irányított részgráf az irányított gráf egy erős komponense. Megjegyzés Az irányítatlan gráfokkal ellentétben nem feltétlenül tartozik az irányított gráf minden éle valamely erős komponenshez. Megjegyzés Nyilván egy irányított gráf akkor és csak akkor erősen összefüggő, ha minden csúcs ugyanabba az osztályba tartozik, azaz ha csak egyetlen erős komponense van.

22 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 16. Irányított gráfok Az irányított fa olyan irányított gráf, amely fa, és van egy csúcsa, amelynek befoka 0, továbbá az összes többi csúcs befoka 1. Azt a csúcsot, amelynek befoka 0 gyökérnek nevezzük. Az olyan csúcs, aminek a kifoka 0 a levél. Álĺıtás A gyökérből bármely adott csúcsba vezető egyetlen út egyben irányított út is. Bizonyítás Az út hossza szerinti TI: ha az út hossza n = 1, akkor azért lesz irányított út, mert a gyökér befoka 0. Tfh. n = k-ra teljesül az álĺıtás. Vegyünk egy olyan v csúcsot, amibe vezető út hossza k + 1. Az útból elhagyva v-t és a rá illeszkedő e élt egy k hosszú utat kapunk, amiről az indukciós feltevés értelmében tudjuk, hogy ir. út. v nem lehet e kezdőpontja, mert akkor az e-re illeszkedő másik csúcs befoka legalább 2 lenne.

23 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 17. Irányított gráfok A gyökérből egy adott csúcsba vezető út hosszát a csúcs szintjének hívjuk. A csúcsok szintjeinek maximumát az irányított fa magasságának nevezzük. ψ(e) = (v, v ) esetén azt mondjuk, hogy v a v gyereke, illetve v a v szülője. Ha két csúcsnak ugyanaz a szülője, akkor testvéreknek hívjuk őket. Bármely v csúcsra tekinthetjük azon csúcsok halmazát, amelyekhez vezet irányított út v-ből. Ezen csúcsok által meghatározott feszített irányított részgráfot (amely irányított fa, és v a gyökere) v-ben gyökerező irányított részfának nevezzük.

24 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 18. Irányított gráfok Algoritmus (Dijkstra) A G = (ψ, E, V, w) élsúlyozott irányított gráfról tegyük fel, hogy az élsúlyok pozitívak, s V és T V. (1) Legyen S =, H = {s} és f (s) = 0; minden más v csúcsra legyen f (v) =. (2) Ha T S vagy H =, akkor az algoritmus véget ér. (3) Legyen t H egy olyan csúcs, amelyre f (t) minimális. Tegyük át t-t S-be, és minden e élre, aminek kezdőpontja t, végpontja pedig v V \ S vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e f (t) + w(e) < f (v). Ha igen, akkor legyen f (v) := f (t) + w(e), és ha v / H, tegyük át v-t H-ba. Menjünk (2)-re. Tétel A Dijkstra-algoritmus a csúcshalmazon értelmez egy f : V R függvényt, amely t T esetén az adott s csúcsból a t csúcsba vezető irányított séták súlyainak a minimuma (, ha nincs ilyen séta).

25 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 19. Irányított gráfok Példa s v 1 1 v v v 4 s v 1 v v v 4 s v 1 v v v 4 S =, H = {s} S = {s}, H = {v 1, v 3 }

26 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 20. Irányított gráfok Példa s v 1 v v s v 1 v v s v 1 v v S = {s, v 3 } H = {v 1, v 2, v 4 } v 4 7 S = {s, v 3, v 4 } H = {v 1, v 2 } v 4 7 S = {s, v 3, v 4, v 1 } H = {v 2 } v 4

27 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 21. Irányított gráfok Bizonyítás NB.

28 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 22. Prüfer-kód

29 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 23. Síkgráfok Egy G gráfot síkgráfnak nevezünk, ha az felrajzolható a síkra anélkül, hogy az éleinek a csúcspontokon kívül lennének közös pontjai. Egy ilyen felrajzolását a G gráf síkbeli reprezentációjának is nevezzük. Megjegyzés Nem minden gráf ilyen, ellenben minden gráf R 3 -ben lerajzolható. A G gráf egy síkbeli reprezentációja esetén tartománynak nevezzük az élek által határolt síkidomot. Ez nem feltétlenül korlátos, ilyenkor külső tartományról beszélünk, egyébként pedig belső tartományról. Megjegyzés Egy belső tartomány valamely másik reprezentációban lehet külső tartomány is, de a tartományok száma nem függ a reprezentációtól.

30 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 24. Síkgráfok Példa v 1 v 2 e 2 e 1 e 4 e 3 v 3 v 4

31 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 24. Síkgráfok Példa v 1 v 2 v 1 v 4 e 2 e 1 e 2 e 3 e 4 e 1 e 4 v 3 v 4 e 3 v 3 v 2

32 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 24. Síkgráfok Példa v 1 v 2 v 1 v 4 e 2 e 1 e 2 e 3 e 4 e 1 e 4 v 3 v 4 e 3 v 3 v 2 Példa

33 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 25. Síkgráfok Tétel (Euler-formula) Egy G = (ϕ, E, V ) összefüggő síkgráf tetszőleges síkbeli reprezentációját tekintve, melyre t jelöli a tartományok számát, teljesül a következő összefüggés. E + 2 = V + t Bizonyítás (vázlat) Ha a gráfban van kör, annak egy élét törölve az általa elválasztott két tartomány egyesül, így a tartományok és élek száma is (vagyis az egyenlet mindkét oldala) 1-gyel csökken. Az eljárás ismétlésével fát kapunk, aminek 1 tartománya van, így teljesül rá az összefüggés (Miért?).

34 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 26. Síkgráfok Álĺıtás Ha a G = (ϕ, E, V ) egyszerű, összefüggő síkgráfra V 3, akkor Bizonyítás E 3 V 6. V = 3 esetén 2 ilyen gráf van: P 2 és C 3, amelyekre teljesül az álĺıtás. V > 3 esetén legalább 3 éle van a gráfnak (Miért?). Mivel G egyszerű, ezért minden tartományát legalább 3 él határolja, ezért a tartományok határán végigszámolva az éleket az így kapott érték legalább 3t. Mivel minden él legfeljebb két tartományt választ el, ezért 3t 2 E. Az Euler-formulát használva 3( E + 2 V ) 2 E, amiből kapjuk az álĺıtást. Megjegyzés A becslés nem összefüggő síkgráfok esetén is teljesül, hiszen élek hozzávételével összefüggő síkgráfot kaphatunk.

35 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 27. Síkgráfok Álĺıtás Ha G = (ϕ, E, V ) egyszerű síkgráf, akkor δ = min d(v) 5. v V Bizonyítás Feltehető, hogy V 3 (Miért?). Indirekt tfh. δ 6. Ekkor 6 V 2 E (Miért?), továbbá az előző álĺıtást használva 2 E 6 V 12, vagyis 6 V 6 V 12, ami ellentmondás. Megjegyzés Létezik 5-reguláris egyszerű síkgráf.

36 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 28. Síkgráfok Álĺıtás K 3,3 nem síkgráf. Bizonyítás Indirekt tfh. K 3,3 síkgráf, és jelöljük t-vel a síkbeli reprezentációiban a tartományok számát. Ekkor E = 9 és V = 6 miatt az Euler-formula alapján t = 5. Mivel egyszerű, páros gráf, így minden tartomány határa legalább 4 élt tartalmaz (Miért?), és minden él legfeljebb két tartomány határán van, ezért 4t 2 E, amiből adódik, ami ellentmondás. Álĺıtás K 5 nem síkgráf. Bizonyítás Indirekt tfh. K 5 síkgráf. E = 10 és V = 5, így az élszámra vonatkozó becslés alapján = 9, ami ellentmondás.

37 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 29. Síkgráfok A G és G gráfokat topologikusan izomorfnak nevezzük, ha az alábbi lépést, illetve a fordítottját alkalmazva, véges sok lépésben az egyikből a másikkal izomorf gráfot kaphatunk: egy másodfokú csúcsot törlünk, és a szomszédjait összekötjük egy éllel. Példa Tétel (Kuratowski) (NB) Egy egyszerű gráf pontosan akkor síkgráf, ha nincs olyan részgráfja, ami topologikusan izomorf K 5-tel vagy K 3,3-mal.

38 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 30. Gráfok színezése Szeretnénk egy térképet kiszínezni úgy, hogy a szomszédos régiók különböző színűek legyenek. A probléma megközeĺıtése gráfokkal: a régióknak felelnek meg a csúcsok. Két csúcs szomszédos, ha a megfelelő régióknak van közös határvonala. A térképnek megfelelő gráf síkgráf lesz. Tétel (Négyszíntétel) (NB) Minden síkgráf 4 színnel színezhető. Megjegyzés 1976-ban bizonyította Appel és Haken. Ez volt az első nevezetes sejtés, aminek a bizonyításához számítógépet is használtak lehetséges ellenpéldát ellenőriztek, 1200 órán keresztül futott a program.

39 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 31. Gráfok színezése Egy gráf egy csúcsszínezését jólszínezésnek nevezzük, ha a szomszédos csúcsok színe különböző. Egy gráf kromatikus száma az a legkisebb n természetes szám, amelyre jólszínezhető n színnel. Megjegyzés A kromatikus szám pontosan akkor 1, ha nincs éle a gráfnak, és ha 2 a kromatikus szám, akkor a gráf páros. A síkgráfok kromatikus száma legfeljebb 4.

40 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 32. Gráfok mátrixai Ha egy G = (ψ, E, V ) irányított gráf élei e 1, e 2,..., e n, csúcsai pedig v 1, v 2,..., v m, akkor az alábbi illeszkedési mátrix (vagy élmátrix) egyértelműen megadja a gráfot: 1, ha e j -nek v i kezdőpontja; a ij = 1, ha e j nem hurokél, és v i a végpontja; 0, egyébként. A megfelelő irányítatlan gráf élmátrixa az a ij elemekből áll. Példa v 2 e 1 v 3 e 2 e e 3 e 5 4 e v 6 1 v 4 e 9 e10 e e 8 7 v

41 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 33. Gráfok mátrixai A G irányított gráf csúcsmátrixában legyen b ij a v i kezdőpontú és v j végpontú élek száma. A megfelelő { irányítatlan gráf csúcsmátrixának elemeire: a vi -re illeszkedő hurokélek száma, ha i = j; b ij = a v i -re és v j -re is illeszkedő élek száma, egyébként. Példa v e 2 1 v 3 e 2 e e 3 e 5 4 e v 6 1 v e 9 4 e10 e 8 e v 5

42 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 34. Prüfer-kód Legyen adott egy F = (ϕ, E, V, w) csúcscímkézett fa, az egyes csúcsok címkéi 1 és n közötti különböző egész számok, ahol n = V. Töröljük az elsőfokú csúcsok közül a legkisebb sorszámút, és írjuk fel ennek szomszédjának a számát. A kapott fára (Miért fa?) folytassuk az eljárást, amíg már csak egy csúcs marad, mégpedig az n címkéjű (Miért?). A sorozat n 1-edik tagja szükségképpen n, ezért ez elhagyható. A kapott n 2 hosszú sorozat az F fa Prüfer-kódja. Példa 1 2 A Prüfer-kód: (9)

43 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 35. Prüfer-kód Algoritmus (Prüfer-kódból fa készítése) Legyen a Prüfer-kód p 1, p 2,..., p n 2, p n 1 = n. Legyen a kódban nem szereplő legkisebb sorszám s 1. Ha s i -t már meghatároztuk, akkor legyen s i+1 az a legkisebb sorszám, amely különbözik az alábbiaktól: s 1, s 2,..., s i ; p i+1, p i+2,..., p n 2, p n 1 = n. Ilyennek mindig lennie kell, mert n lehetőségből legfeljebb n 1 számút nem engedünk meg. Az n csúcsot tartalmazó üres gráfból kiindulva minden i-re (1 i n 1) megrajzoljuk az s i és p i csúcsokra illeszkedő élt.

44 Gráfelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés tavasz 36. Prüfer-kód ; ; ; ; ; ; ;9 Példa