Algebra gyakorlat, 2. feladatsor, megoldásvázlatok
|
|
- Gusztáv Halász
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Algebra gyakorlat, 2. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) (1 2)(2 3)(3 4)(4 5) = ( ). b) Az állítás például k szerinti indukcióval könnyen belátható, az igazságtartalma közvetlenül is ellen rizhet : a jobboldalon a jobbról balra szorzás miatt x 1 az x 2 - be megy az (x 1 x 2 ) ciklus miatt, x 2 az x 3 -ba megy az (x 2 x 3 ) ciklus miatt, stb. Végül az x k 1 az x k -ba megy az (x k 1 x k ) ciklus miatt, majd x k az (x k 1 x k ) ciklus miatt el ször az x k 1 -be, majd az (x k 1 x k 2 ) ciklus miatt el ször az x k 2 -be, stb. végül az (x 2 x 1 ) ciklus miatt az x 1 -be. Tehát a jobboldal valóban az x 1... x k ciklust adja meg. c) Az (ab) transzpozíció páratlan permutáció, hiszen az a és b cserél dik (1 inverzió), valamint minden a < k < b inverzióban ál a csere utánl a-val és b-vel is, ezen utóbbi inverziók száma tehát páros. Az 5. feladat segítségével beláthattuk volna máshogy is: legyen g egy olyan permutáció, ami 1-et a-ba, 2-t b-be viszi, ekkor az 5. feladat alapján (ab) = g(12)g 1, vagyis sg (ab) = sg (g) sg (12) sg ( g 1) = sg (12). Tehát minden transzpozíciónak azonos az el jele, az (12)-é pedig 1, hisz egyetlen inverzió van. d) Permutáció rendjét a diszjunkt ciklusokra vett felbontásból lehet legegyszer bben megállapítani: a rend megegyezik a diszjunkt ciklusok hosszainak legkisebb közös többszörösével. Vagyis o (g) = [4, 3] = 12, o (h) = [2, 3, 2] = 6, o (gh) = 8, o (g 1 ) = o (g) = 12. ) A permutáció paritását, vagy más néven el jelét a következ képp lehet kiszámolni legegyszer bben: páros hosszú ciklus páratlan permutáció, páratlan hosszú ciklus páros permutáció. Így sg(g) = 1, sg(h) = 1, sg(gh) = 1, sg(g 1 ) = sg(g) = 1. e) Nem áll el. Ugyanis a hármas ciklusok páros permutációk, szorzatuk is páros permutáció, de az (12) páratlan permutáció. f ) Az alábbi ciklusszerkezetek fordulnak el S 5 -ben, a hozzújuk tartozó rendek: id : 1 (ab) : 2 (ab)(cd) : 2 (abc) : 3 (abc)(de) : 6 (abcd) : 4 (abcde) : 5. g) Van, pl. (12)(34567). 2. a) Ha 2 rendje 8 Z p -ben, akkor 28 1 (mod p), vagyis p = 255. Most 255 = = , vagyis p csak 3, 5, 17 valamelyike lehet. A p = 3 vagy p = 5 esetekben a 2-nek legfeljebb 2 illetve 4 különböz hatványa lehet, hiszen Z 3 = 2, Z 5 = 4. (Egyébként ellen rizhet, hogy Z 3 -ben o(2) = 2, Z 5 -ben o(2) = 4.) A p = 17 viszont jó lesz: a 8 jó kitev, ezért o(2) 8. Ha tehát o(2) 8 lenne, akkor o(2) 4 teljesülne, de 2 4 = 16 1 (mod 17). Utóbbi érvelésb l az is látszik, hogy 15 osztói nem lehetnek jók, hiszen ha p 15, akkor 2 4 = 16 1 (mod p), vagyis ekkor o(2) 4 lenne. b) Ha 3 rendje 5 Z p -ben, akkor 35 1 (mod p), vagyis p = 242. Most 242 = = , vagyis p csak 11 lehet. (Ha p = 2, akkor Z 2 egyetlen eleme az egységelem, aminek rendje 1.) Viszont p = 11 jó is: az 5 jó kitev je a 3-nak Z 11-ben az el bb látottak alapján, így o(3) 5. Tehát o(3) { 1, 5 }, és o(3) 1 miatt o(3) = 5. 1
2 2 c) Ha 2 rendje 6 Z p -ben, akkor 26 1 (mod p), vagyis p = 63. Most 63 = = 3 2 7, vagyis p csak 3, 7 valamelyike lehet. A p = 3 esetben a 2-nek legfeljebb 2 különböz hatványa lehet, hiszen Z 3 = 2. A p = 7 eset szintén nem jó, mert 2 3 = 8 1 (mod 7), vagyis Z 7 -ben o(2) 3, és így a 2 rendje nem lehet a) Az egységelem rendje minden csoportban 1. Az egész számok csoportjában minden egyéb elem rendje végtelen. A (Z n, +) csoportban o (k) = n/ (n, k). A C csoportban a primitív n-edik egységgyökök rendje n, a többi elem rendje végtelen, így az R csoportban 1 rendje 1, a -1 rendje 2, a többi elem rendje végtelen. A Z 5 csoportban o (2) = o (3) = 4, o (4) = 2. A Z 8 csoportban az egységelem kivételével minden elem másodrend (Klein csoport). A D 3 csoportban a forgatások rendje 3 (két darab), a tükrözések rendje 2 (három darab). A D 4 csoportban a két 90 -os forgatás rendje 4, a 180 -os forgatás rendje 2, a tükrözések rendje 2 (négy darab). A D 6 csoportban a két 60 -os forgatás rendje 6, a két 120 -os forgatás rendje 3, a 180 -os forgatás rendje 2, a tükrözések rendje 2 (hat darab). Az S 3 szimmetrikus csoportban a hármas ciklusok rendje 3 (két darab), a kettes ciklusok rendje 2 (három darab). Az A 4 alternáló csoportban a hármas ciklusok rendje 3 (nyolc darab), a két diszjunkt kettes ciklus szorzataként el álló permutációk rendje 2 (három darab). Végül, a kvaterniócsoportban az 1 rendje 1, a 1 rendje 2, a többi elem rendje 4. b) El adáson szerepelt, hogy (Z 4, +) Z 5 Z 8. El bbire az izomora például a ϕ : (Z 4, +) Z 5, g 2 g (mod 5). Továbbá, Z 5 és Z 8 nem izomofak, mert utóbbiban nincs negyedrend elem, míg Z 5 -ben van. A D 6 és A 4 nem izomorf, mert nem stimmelnek az elemrendek (az izomora pedig meg rizné ket): míg D 6 -ban hét másodrend elem van, addig A 4 -ben csak három. Másképpen: D 6 -ban van hatodrend elem, míg A 4 -ben nincs. A kvaterniócsoport nem izomorf a D 4 -gyel, mert nem stimmelnek az elemrendek: pl. Q-ban csak egy másodrend elem van, míg D 4 -ben öt. A D 3 és az S 3 csoportok izomorfak. A D 3 csoport a szabályos háromszög szimmetria csoportja, melynek elemei permutálják a háromszög csúcsait. Számozzuk meg a háromszög csúcsait az 1, 2, 3 számokkal, és tekintsük a ( ) ϕ : D 3 S 3, g g(1) g(2) g(3) hozzárendelést. Könny ellen rizni, hogy ϕ bijektív és homomorzmus, tehát izomorzmus. c) Ciklikus lesz (Z 4, +) (generátora pl. 1), Z 5 (generátora pl. 2), (Z, +) (generátora pl. 1). A többi csoport nem ciklikus, a többség azért, mert már nem is kommutatív. Z 8 -ben nincs negyedrend elem, végül R egy végtelen csoport, amiben van másodrend elem, de az egyetlen végtelen ciklikus csoportban (azaz (Z, +)-ban) nincs másodrend elem. 4. a) A feladat valójában azt mondja, hogy minden S n -beli permutációt felírhatunk az (12), (23), (34),..., (n 1 n) permutációk alkalmas szorzataként. Tegyük fel, hogy n darab könyvünk van felrakva egy polcra. A jótündér (k 1 k) alakú ciklusokat tud alkalmazni, hiszen ez pont úgy permutálja a könyveket, hogy
3 megcseréli a k 1. és a k. könyvet egymással. Így a feladat azt jelenti, hogy a könyvek tetsz leges sorrendjéb l kiindulva, azokat tetsz leges másik sorrendbe átpakolhatja a jótündér úgy, hogy mindig csak két egymás mellett lev t cserél meg. Ez viszont világos: a jótündér megkeresi azt a könyvet, amit az els helyen volt, majd néhány szomszédos cserével a helyére viszi. Ezután megkeresi azt, amit a második helyen volt, azt is egyesével el reviszi, stb. (n darab könyv esetén legfeljebb n 1 + n = n(n 1)/2 cserét kell végeznie, ez b ven belefér, miel tt kivirradna.) b) A feladat most azt mondja, hogy minden S n -beli permutációt felírhatunk az (1 2), (1 3), (1 4),..., (1 n) permutációk alkalmas szorzataként. Tegyük fel, hogy n darab könyvünk van felrakva egy polcra. A jótündér testvére (1 k) alakú ciklusokat tud alkalmazni, hiszen ez pont úgy permutálja a könyveket, hogy megcseréli az els és a k. könyvet egymással. Így a feladat azt jelenti, hogy a könyvek tetsz leges sorrendjéb l kiindulva, azokat tetsz leges másik sorrendbe átpakolhatja a jótündér testvére úgy, hogy mindig csak az els könyvet cseréli egy másikkal. Tehát: megkeresi a legutolsó helyre való könyvet, és azt kicseréli az els könyvvel (ezzel az els helyre kerül), majd a hátsó könyvvel cserélve az utolsó könyv a helyére kerül. Ezt követ en ugyanezt megteszi az utolsó el tti helyre való könyvvel, stb. (n darab könyv esetén legfeljebb 2n 1 cserét kell végeznie, ez b ven belefér, miel tt kivirradna.) 5. Általában, ha a h S n az i-t a j-be viszi, akkor ghg 1 S n a g(i)-t a g(j)-be viszi. Valóban: ghg 1 (g(i)) = g(h(i)) = g(j). Így már könny kiszámolni ghg 1 -et: egyszer en a h felírásában az összes elemre rá kell alkalmazni g-t. Speciálisan, h és ghg 1 ciklusszerkezete mindig ugyanaz. A felsorolt példákban ghg 1 értékei sorban: (1543), (543) (21), (23451). (Vessük össze a mátrixoknál tanult bázistranszformációval! Ott a báziscsere egy alkalmas konjugálásnak felel meg. Itt más sorrendben felírva az { 1, 2,..., n } elemeit (g adja meg a másik sorrendet) szintén egy konjugálásnak felel meg. ) 6. Másolva az el adáson a permutáció rendjér l tanultakat: ϕ (1 G ) = ϕ (1 G G1 G ) = ϕ (1 G ) Hϕ (1 G ), amit (ϕ (1 G )) 1 -zel egyszer sítve H-ban kapjuk, hogy 1 H = ϕ (1 G ). Hasonlóan, 1 H = ϕ (1 G ) = ϕ ( g Gg 1) = ϕ (g) Hϕ ( g 1), vagyis ϕ (g 1 ) jó inverznek H-ban ϕ (g)-hez. Az inverz egyértelm sége miatt ϕ (g 1 ) éppen ϕ (g) inverze H-ban. 7. Tetsz leges nem nulla determinánsú A, B mátrixra ellen rizni kell a det(a B) = det(a) det(b) összefüggést. Ez az ún. determinánsok szorzástétele, ami szerepelt korábban lineáris algebrából. 8. A b elem az a sorában éppen az a 1 b oszlopban szerepel, hiszen a(a 1 b) = (aa 1 )b = = b. Ha a b elem az x 1 és az x 2 oszlopban is szerepelne, akkor ax 1 = h = ax 2 -t balról egyszer sítve a 1 -zel kapnánk, hogy x 1 = x 2. Oszlopokra az állítás analóg módon látható be. 3
4 4 9. A Z n rendje ϕ (n). A Lagrange tétel következménye, hogy elem rendje osztja a csoport rendjét, így a 7 rendjét úgy könny meghatározni, hogy ϕ (n) osztói közt megkeressük a legkisebb k kitev t, melyre 7 k 1 mod n teljesül. A 7 rendje Z 8 -ben 2, Z 12-ben 2, Z 16 -ben 2, Z 20 -ben 4, Z 24 -ben 2, Z 27 -ben 9, Z 32-ben ghg 1 = (247) (38) (56). 11. Permutáció rendjét a diszjunkt ciklusokra vett felbontásból lehet legegyszer bben megállapítani: a rend megegyezik a diszjunkt ciklusok hosszainak legkisebb közös többszörösével. Eszerint o(g) = (4, 3) = 12, o(h) = (2,3,2) = 6, o(g 2 h) = (4,4) = 4, o(hg 2 ) = (4, 4) = 4, o(hg) = (8) = 8, o(g 1 hg) = (3,2,2) = 6, o(h 1 gh) = (3, 4) = 12, o(g 1 h 1 gh) = (6, 2) = 6, o(h 1 g 1 hg) = (6,2) = 6. A permutáció paritását, vagy más néven el jelét a következ képp lehet kiszámolni legegyszer bben: páros hosszú ciklus páratlan permutáció, páratlan hosszú ciklus páros permutáció. Ennek alapján sg(g) = 1, sg(h) = 1, sg(g 2 h) = 1. Felhasználva, hogy az sg : S n {±1} függvény homomorzmus, könny kiszámolni egy szorzat el jelét, hiszen csak az el jeleket kell összeszorozni. sg(hg 2 ) = 1 ( 1) 2 = 1, sg(hg) = 1 ( 1) = 1, sg(g 1 hg) = ( 1) 1 ( 1) = 1, sg(h 1 gh) = 1 ( 1) 1 = 1, sg(g 1 h 1 gh) = ( 1) 1 ( 1) 1 = 1, sg(h 1 g 1 hg) = 1 ( 1) 1 ( 1) = A (Z 5, +), (Z 6, +), (Z 12, +) és (Z, +) ciklikusak, generátoruk az 1. A Z, Z 5, Z 6, Z 7 és Z 9 szintén ciklikusak. Ugyanis Z = { 1, 1 } generátora 1, Z 5 egy generátora 2, Z 6 generátora 5, Z 7 egy generátora 3, valamint Z 9 egy generátora 2. A Z 8 négyelem csoport, de minden eleme másodrend. A Q, R és GL 2 (Q) csoportok végtelenek, de van másodrend elemük, tehát nem lehetnek (Z, +)-szal izomorfak (egyébként GL 2 (Q) nem is kommutatív, a ciklikus csoportok pedig azok). Végül a (Q, +) és (C, +) csoportokról közvetlenül ellen rizhet, hogy nem generálhatóak egyetlen elemmel. 13. A mátrixszorzás asszociativitása szerepelt lineáris algebrából, az egységmátrix az egységelem. Amit ellen rizni kell, hogy a felsorolt mátrixok közül bármely kett szorzata is benne van Q-ban, ez megtehet. A kvaterniócsoport egy másik szokásos megadása a következ (ez szerepelt az el adáson). A felírt mátrixok helyett rendre a ±1, ±i, ±j, ±k elemekkel számolunk, ez megad egy izomorát a két csoport között (a m velettartás könnyen ellen rizhet ). Az ennek megfelel Cayley táblázat: (Rövidítve, az el jelekkel a szokásos módon bánunk, azaz + + = = +, + = + =.) Q 1 i j k 1 1 i j k i i 1 k j j j k 1 i k k j i Ha t egy, a szabályos n-szöget helybenhagyó tükrözés, f pedig a szabályos n-szög középpontja körüli 2π/n szög forgatás, akkor D n = { 1, f,..., f n 1, t, ft,..., f n 1 t }. Itt f rendje n, f k rendje a hatvány rendjéb l n/ (n, k), valamit tf k rendje 2.
5 15. A 7 csak 7-es ciklusok rendje lehet S 10 -ben. A hat rend elemek azon permutációk, melyek diszjunkt ciklusokra való felbontásában csak 1-es, 2-es, 3-as és 6-os ciklusok szerepelnek, melyek legkisebb közös többszöröse 6. Az egyes ciklusfelbontásokra egyegy példa: (123456), (123456)(78), (12356)(78)(910), (123456)(789), (12)(345), (12)(345)(67), (12)(345)(67)(89), (12)(345)(678), (12)(345)(67)(8910). 16. S 8 -ban nincs 11 és 13-ad rend elem, ezekben ugyanis szükségszer en lennie kell 11 illetve 13 hosszú ciklusoknak. Nincs 14 rend elem sem, mert egy ilyen vagy egy 14-es ciklus, vagy diszjunkt 2-es és 7-es ciklusok szorzata. A többi elemrendre van példa: 10 : (12)(345), 12 : (123)(4567), 15 : (123)(45678). ( ) Másodrend elemre példa. Ha A harmadrend, akkor A = I, amib l (A I)(A 2 + A + I) = 0. Ha tehát A karakterisztikus polinomja ( ) x 2 + x + 1, akkor 0 1 A 2 + A + I = 0, vagyis A 3 = I. Ilyen mátrix például A =. 1 1 Végül, ha B 5 = I, akkor legyen k(x) a B karakterisztikus polinomja, ekkor B gyöke k(x)-nek is és az x 5 1 polinomnak is, így gyöke a legnagyobb közös osztójuknak is. Mivel x 5 1 = (x 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1), és x 1 és x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 irreducibilis, ezért (k(x), x 5 1) = 1 vagy (k(x), x 5 1) = x 1 (ne felejtsük el, hogy k(x) másodfokú). El bbi nem lehet, mert annak a polinomnak nem gyöke B. Utóbbinak pedig csak a B = I mátrix gyöke, aminek viszont a rendje A 6-ot nem tudjuk olyan pozitív egészek összegeként felbontani, melyek legkisebb közös többszöröse 12, így S 6 -ban nincs 12-edrend elem. Viszont S 7 -ben van, például (1234)(567). A 12-edrend elemek S 7 -ben azon elemek, melyek el állnak egy négyes és egy hármas (diszjunkt) ciklus szorzataként. Az ilyenek száma ( ) 7 4! 4 4 3! 3 = 420. (Vegyük észre, hogy ha rögzítünk k elemet, akkor éppen k! darab különböz k-as ciklus k képezhet bel lük.) 19. n 9 esetén lesz S n -ben 14-ed rend elem, n 7 esetén lesz S n -ben 7-ed rend elem, n 49 esetén lesz S n -ben 49-ed rend elem, n 10 esetén lesz S n -ben 30-ad rend elem. 20. Képzeljünk az üres mez helyére 16-t, ekkor minden kongurációnak kölcsönösen egyértelm en megfelel egy S 16 -beli permutáció. Minden f S 16 permutációhoz jelölje i f és j f a megfelel kongurációban az üres mez (16-os) sor- és oszlopindexét, és tekintsük a P (f) = ( 1) i f +jf sgf függvényt. Nyilván P (f) = ±1, és a P értéke nem változik meg egy tolás alkalmával. Valóban, egyrészt egy tolás során a sor- vagy oszlopindex pontosan 1-gyel változik, ami egy ( 1)-gyel való szorzást jelent P (f)-en. Másrészt az f permutáció megszorzódik 5
6 6 egy alkalmas (k l) cserével, ahol k az üres mez pozíciója, l pedig azon mez pozíciója, amit az üres helyre tolunk. Mivel egy csere páratlan, ezért ez is egy ( 1)-gyel való szorzást eredményez P (f)-en, így annak értéke egy tolás során valóban nem változik. Viszont P (id) = 1, de P ((14 15)) = 1, így az egyik állapotból a másik nem érhet el tologatások segítségével.
24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)
24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 4. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 4. feladatsor, megoldásvázlatok 0. Ha G egy véges csoport, akkor nyilván csak véges sok részcsoportja van. Legyen most G végtelen. Ha van végtelen rend g G elem, akkor g (Z, +), aminek
RészletesebbenPermutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
RészletesebbenMM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) 1. Ismétlés február 8.február Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük)
MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2007.05.11) 1. Ismétlés február 8.február 15. 1.1. Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük) (1) Egy csoport rendelkezhet egynél több egységelemmel. (2) Bármely két háromelem
RészletesebbenMM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )
MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend
Részletesebben13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste
13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a
Részletesebben1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Permut aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Permutációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév 1. Definíció. Permutációnak nevezzük egy nemüres (véges) halmaz önmagára való bijektív leképezését. 2. Definíció. Az {1, 2,...,
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben1. Mellékosztály, Lagrange tétele
1. Mellékosztály, Lagrange tétele 1.1. Definíció. Legyen (G, ) csoport, H G részcsoport és g G tetszőleges elem. Ekkor a {gh h H} halmazt a H részcsoport g elem szerinti baloldali mellékosztályának nevezzük
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenÁtrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.
Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 8. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 8. feladatsor, megoldásvázlatok 1. Jelölje I az (x 2 + 1 ideált. Most az x + I R[x]/(x 2 + 1 négyzete (x + I 2 x 2 + I 1+x 2 +1+I 1+I, hiszen x 2 +1 I. Így ( x+i(x+i (x+i 2 1+I. Tehát
RészletesebbenMTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak
MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 1. Csoportelméleti alapfogalmak 1.1. Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) (Z 2 ; ), (2) (Z 2 ; +), (3) (R \ { 1}; ),
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenAlgebra jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak. Horváth Gábor
Algebra jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak Horváth Gábor Debreceni Egyetem 2016 Tartalomjegyzék Bevezetés 5 1. M veletek, algebrai struktúrák 6 2. A csoportelmélet alapjai 11 2.1. Homomorzmusok,
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
Részletesebben10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...
1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................
Részletesebbenn =
15. PÉLDÁK FÉLCSOPORTOKRA ÉS CSOPORTOKRA 1. Az R 3 tér vektorai a derékszög½u koordinátarendszerben az a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) alakban adottak az a 1 ; a 2 ; a 3 2 R valós számokkal. A vektoriális szorzás
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenKomplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenMBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT ÁPRILIS 26.
MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT 2015. ÁPRILIS 26. 1. Lineáris algebra, csoportok definíciója 1.1. Feladat. (Közösen megbeszéltük) Adjunk meg olyan ϕ lineáris transzformációját a síknak, amelyre
RészletesebbenCsoportok II március 7-8.
Csoportok II 2014 március 7-8. 1. Mellékosztályok 2. Lagrange tétele 3. Kompatibilis osztályozás, kongruenciareláció 4. Normálosztó, faktorcsoport 5. Konjugálás 6. Homomorfizmus, homomorfiatétel 7. Permutációcsoportok
RészletesebbenSztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
RészletesebbenSzámelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
Részletesebben1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
Részletesebben5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két
Részletesebben1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
RészletesebbenWaldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
Részletesebben1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
RészletesebbenPolinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu
Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenDiszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenLineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval
RészletesebbenKomplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)
RészletesebbenFüggvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
Részletesebben1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
Részletesebbenalakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha ,, és. ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: Gépi számhalmaz:
1. A lebegőpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegőpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl)
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenWaldhauser Tamás szeptember 8.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. szeptember 8. Tematika Komplex számok, kanonikus és trigonometrikus alak. Moivre-képlet, gyökvonás, egységgyökök, egységgyök rendje, primitív egységgyökök.
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenEgy kis csoportos elmélet
Egy kis csoportos elmélet Molnár Attila 1. Röviden és tömören és keveset... 1. Definíció (Csoport). Egy G halmaz csoport, ha értelmezett rajta egy művelet, melyre teljesül, hogy Asszociatív: Van neutrális
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenKomplex számok algebrai alakja
Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenFFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenZárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenFejezetek az algebrából jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak
Fejezetek az algebrából jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak Horváth Gábor Debreceni Egyetem 2016. május 10. Tartalomjegyzék Bevezetés 4 1. Sylow részcsoportok 5 1.1. Hatás...............................
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével
Részletesebben1. A Horner-elrendezés
1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =
Részletesebben5 = hiszen és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: 3 7 ( 2) = (példa vége). 7 5 = 8. det 6.
A pivotálás hasznáról és hatékony módjáról Adott M mátrixra pivotálás alatt a következ½ot értjük: Kijelölünk a mátrixban egy nemnulla elemet, melynek neve pivotelem, aztán az egész sort leosztjuk a pivotelemmel.
RészletesebbenHHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
RészletesebbenHalmazelméleti alapfogalmak
Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris
RészletesebbenMegoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23
Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet
Részletesebben