Dobó Andor. Az elliptikus geometriának a Riemann-féle (gömbi) modellje lényegesen különbözik a Dobóféle

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Dobó Andor. Az elliptikus geometriának a Riemann-féle (gömbi) modellje lényegesen különbözik a Dobóféle"

Átírás

1 Dobó Andor Az elliptikus liptikus geometria két modelljér elljéről A Dobó-Topa-féle elliptikus (görbült) téridő-elmélet az elliptikus geometria alkalmazásán alapszik. Éppen ezért fontos e geometriának két alapvető (standard) modelljét közelebbről és precízebben megismerni. Ebben a dolgozatban ezzel a problémával foglalkozunk, és az esetleges félreértések elkerülése végett tisztázzuk értelmezésüket 1, mivel szerves részét kell, hogy képezzék a jövő fizikájának. * Az elliptikus geometriának a Riemann-féle (gömbi) modellje lényegesen különbözik a Dobóféle modelltől. A Riemann-féle elliptikus modell a gömbfelületen értelmezi az elliptikus geometriát. Lényeges tulajdonsága, hogy a Hilbert-féle axiómarendszerben két helyen eltérést mutat. Nevezetesen a párhuzamossági és a rendezési axiómában. (Lásd: [1], [2].) Az előbbi esetben azt föltételezzük, hogy a sík bármely két egyenese mindig metszi egymást; az utóbbi esetben a rendezés axiómáit a ciklikus rendezés axiómáival cseréljük föl, pótoljuk. E szerint minden egyenesen megadható a pontoknak egy ciklikus elrendezése úgy, hogy a négy különböző A, B, C, D pontra az (ABCD), (ACBD), (ABDC) elrendezések egyike álljon fenn. Az (ABCD) ciklikus elrendezés szemléletesen azt fejezi ki, hogy az egyenesen az A, C pontpár elválasztja egymástól a B, D pontpárt. (Lásd még [2], 340., illetve 355. o.) A Riemann-féle gömbi modellben az elliptikus sík (közönséges) félgömbfelületre van leképezve olyan módon, hogy a gömb átellenes pontjait egyetlen pontnak tekintjük. Ezáltal kapjuk az egyszeres Riemann-féle elliptikus geometriát. (Lásd: [1], [2] és [3] 3. lábjegyzet.) 1 A tárgyalás során a [3]-ban közöltekre támaszkodunk, ugyanis az ebben foglaltakra alapozta Dobó és Topa az elméleti fizikai vonatkozású vizsgálatait, amelyek végül is Einstein speciális relativitáselméletének teljes cáfolásához vezettek. Ez a nemeuklideszi geometriára alapozott építkezés olyan új szemléletet von magával, amelynek eredményeit nem könnyű megérteni. Elsajátítása a fizika törvényeinek mélyebb megismeréséhez nélkülözhetetlennek bizonyul. Erre szükség van már csak azért is, mert az Einstein elméletét népszerűsítő irodalom számos helyen igen pontatlan a túlhaladottságáról nem is beszélve! (Ezzel szemben az az általánosan elfogadott vélemény, hogy Einstein elméletének komponensei ma már a fizika szilárd, jól megerősített pilléreiként funkcionálnak. Ezért is duzzadt hatalmasra a mindhalálig hűséges-szervilis einsteiniánusok tábora!) 1

2 Az elliptikus sík geodetikus szakaszainak és szögeinek projektív metrikában mért mérőszámai a megfelelő gömbi szakaszok és szögek gömbi metrikában (gömbháromszögtanban, más néven szférikus trigonometriában) mért mérőszámaival egyenlők. 2 (Lásd még [2], 355. o.) A félgömbfelületet úgy kell elképzelnünk, hogy az egyenlítő (határoló főkör) kerületének pontosan az egyik felét (például elölről nézve a bal oldalra esőt) a modell részének tekintjük; a másik fele (a jobb oldalra eső) már nem tartozik a modellhez. (Itt minden, ami szemben van, elölről nézést jelent, és fordítva!) Ezáltal érjük el, hogy a megadott félgömbi modellben a teljes egyenes hossza mindig félkörívnyi legyen. Ha P a modellhez tartozó egyenlítő kerülete felének egy tetszésszerinti pontja, akkor P-nek az átellenes P párja nem tartozik a félgömb felületéhez. Ezek szerint a félegyenlítő egyik végpontja (A) a modellhez tartozik, a másik végpontja (az átellenes A ) már nem. Ha a gömbi idom a határoló körön (egyenlítőn) túlnyúlik, akkor a kívülre eső pontokat az átellenesekkel pótoljuk. Ezek már a tekintetbe vett félgömbre esnek. Ebből adódóan a szakaszok felmérését, vagy két pont geodetikus összekötését a félgömbi modellben határvonal nem zavarja meg. (Lásd még [1], o.) A gömbnek síkra való leképezését sztereografikus projekciónak nevezzük. (Lásd: [2], 395. o.) A projektív síkgeometria axiómái teljesülnek a gömbmodellben! (Behatóbban lásd még [15], o.) A Dobó-féle elliptikus modell a hiperbolikus sík Cayley-Klein-féle modelljéből van származtatva 3 amit az euklideszi sík kör alakú tartományaként állítunk elő azáltal, hogy az abban szereplő k görbületi paramétert k=r/i-nek választjuk, ahol i 2 =-1. (Lásd még a [3]-ban 2 Főkör a gömb metszete a középponton átmenő síkkal. Az elliptikus sík egyenesei a félgömb főköreibe, a síkbeli szögek a félgömb főköríveinek szögébe mennek át. Szakasz a gömbfelület két pontját összekötő főkörív kisebbik íve! A szögek értelmezése és mérése egyformán (azonosan) történik a két Riemann-féle elliptikus geometriában, azaz: két egyenes (főkör) szögén a rajtuk átfektetett síkok hajlásszögét értjük. Bár Riemann már 1854-ben fölfedezte az elliptikus geometriát, az erről (is) szóló dolgozata azonban csak halála után, 1867-ben jelent meg. Cayley 1859-ben ismerte fel a (róla elnevezett) kettősviszony logaritmusán alapuló távolságdefiníciót, aminek fölhasználásával Klein 1869-ben megalkotta a hiperbolikus geometria kúpszeletre épített modelljét, amely ma kettejük nevét viseli. 3 A szakirodalomban sem a k görbületi paraméterű hiperbolikus, sem az R görbületi paraméterű elliptikus Cayley-Klein-féle modell nem található abban a formában, ahogyan azt [3] tárgyalja. (Ezért nincs értelme azt a szakirodalomban keresni! Lásd még: [11].) A C-K modell általánosítható, ha a kör helyett a projektív sík egy tetszőleges kúpszeletének a belsejét választjuk alaphalmaz gyanánt. Ezáltal az elliptikus modell is általánosabbá válik, amiből kifolyólag számos érdekes és hasznos felismerésre juthatunk ami bővíti a felhasználás lehetséges körét, növeli az alkalmazás sikerének esélyét. Különösen akkor, ha hiperbolikus térben élünk, és annak egy síkjában fekvő geometriai alakzatokat (idomokat) vizsgálunk. (Részletesebben lásd: [6].) 2

3 közölt és alkalmazott technikát!) Ekkor a hiperbolikus síkon értelmezett trigonometrikus összefüggések elliptikus síkon értelmezett trigonometrikus összefüggésekbe mennek át. Példaként tekintsük a hiperbolikus koszinusztételt, amely szerint: (1) ch =ch ch sh sh cosγ. A k=r/i választás esetén, figyelembe véve, hogy (2) chx i=cosx; shx i=i sinx a (3) cos =cos cos +sin sin cosγ összefüggéshez, vagyis az elliptikus koszinusztételhez jutunk. Ez a származtatási mód is bizonyítja és alátámasztja, hogy Dobó és Topa elméleti fizika területére eső matematikai vizsgálatai jól megalapozottnak tekinthető. A továbbiakban közöltek ezt majd még inkább megerősítik. A párhuzamossági szög alakulása a Dobó-féle modellben A [3]-ban tárgyalt kör alapú Cayley-Klein modellben a ρ(0, P)=d hiperbolikus mértékben mért párhuzamossági távolsághoz tartozó β párhuzamossági (elpattanási) szögre nézve: (4) cosβ= δ =th. (Ebből adódóan β valós szám!) Ez a C-K modellben teljesülő hiperbolikus párhuzamossági axióma következményeként adódik. (Lásd még: [4] 375, 379, 387. o.) Az r=k választással (5) cosβ= δ Ha k=r i (i 2 =-1), akkor 3

4 (6) cosβ= δ = δ i=z, ahol z=0 δ i. Mivel (főágbeli arcusfüggvénnyel számolva) (7) arccosz=i ln+! 1#=i ln$i % δ + &1+ δ! '(, ezért (8) β=arccos δ i=i ln% δ + &1+ δ! '+ π! ; vagyis β értéke ( hagyományos /elliptikus) komplex szám. (Valós értéket csak akkor vesz fel, ha R ; ekkor β π/2 és így a modell euklideszivé simul!) Ez azt a nyilvánvaló tényt fejezi ki, hogy a Dobó-féle (R-et is tartalmazó) modellben (sem a két Riemann-féle elliptikus modellben) nem létezik valós párhuzamossági (elpattanási) szög, ugyanakkor párhuzamos egyenesek sem léteznek. Ebben az esetben is a tiszta képzetes sugarú kör határa nem tartozik a síkhoz! (Lásd még alább d) pont.) Azért kellett az átellenes (gömbi) pontpárokat egyetlen pontnak tekinteni, hogy az egyszeres elliptikus geometria síkjában is két egyenesnek miként az euklideszi síkban mindössze egyetlen metszéspontja legyen. Az euklideszi síkon két pontnak csak egy összekötő egyenese van. A gömb két átellenes pontján át (folytonosan) végtelen sok főkör (geodetikus vonal) halad át. Míg a kétszeres elliptikus geometria síkjában két egyenes mindig két (átellenes) pontban metszi egymást, az euklideszi síkon két egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van. Ide vonatkozóan további eligazítások és hasznos tudnivalók találhatók [1]-, [2]-, [5]- és [7]- ben. A gömbi leképezést, a Gauss-féle görbület fogalmát behatóan tárgyalja [1], s ennek kapcsán bemutatja a gömb tizenegy alapvető tulajdonságát, aminek az általános felületelmélet szempontjából is jelentősége van. 4

5 Az egyszeres és kétszeres 4 elliptikus geometria alapján a geometria fizikai alkalmazása esetenként bonyolultabbnak bizonyul, és számos vonatkozásban ez az út nehezebben járható; ezért ha lehet jobb elkerülni a sikertelen próbálkozásokat. (Ez vonatkozik a Poincaré-féle hiperbolikus modellre is, ahol a geodetikus vonalak az alapkörre merőleges körívek!) Sebességösszeadás a Dobó-féle elliptikus geometriában Legyen γ=π-α, ahol α a v és u sebességek által bezárt szög. A [3] szerint (9), - =tg, / - =tg, 0 - =tg, ahol d, a, b elliptikus távolságban mért háromszög oldalait jelöli, c a fénysebesség. Felhasználva a (10) cosx = (11) sinx= azonosságokat, valamint a sebességek (9) alatti kifejezéseit az elliptikus koszinusztétel (3) alatti alakja alapján a sebességek összeadására nézve a (12) w= & 0 6 3/ 6 33!0 / -9:α3; < = >? 1B < = =w α >? 6-9:α összefüggéshez jutunk, ahol (13) 0 <1, / 0 / <1, amiből kifolyólag cosα<1. Ha most R=1, akkor (13) folytán u<c, v<c; vagyis ebben az esetben c határsebesség. Ha pedig (12)-ben α=0, akkor (14) w 0= 03/ 1B < = >? 6. 4 Jelző az elnevezéseknél arra utal, hogy a modellben két különböző egyenesnek hány közös (metszés)pontja van! (Lásd még: [10].) Napjainkra a geometria fölépítésére már számos egymástól erősen eltérő módszer ismeretes. Ilyenek az elemi, a projektív, a csoportelméleti, a differenciálgeometriai stb. módszerek. 5

6 Ha ρ(o, P) = d, akkor mivel tg <1, ezért < π, vagyis d korlátos. Ennélfogva a modell D egyenesei és így a mozgás pályái véges hosszúságúak. Ha R=k i, akkor (14) a (15) w 0= 03/ 13 < = E? 6 alakba megy át. Nyilván w 0>w 0, továbbá (16) 03/ 1B < = 0B/ >? 6 13 < =, >? 6 ami u=c választással szintén tehát nemcsak hiperbolikus esetben nem egyezik Einstein II. posztulátumával! (A [8]-ban, Székely László előszavában közöltek szerint:» Einstein tévedett, Einsteinnek nem volt igaza bombasztikus formulával fölbukkanó, szenzációhajhászó művek mind fizikailag, mind pedig filozófiailag dilettáns alkotások.«) Ez azt jelenti, hogy Einstein matematikája nem vált be; jól, kifogástalanul nem használható hiábavalónak bizonyult a sztárolás, amit hívei érthetően nem ismernek el! A (14) alatti összefüggés az alábbiak szerint is származtatható. Miután cos(γ)= -cos(α), és ha α=0, akkor cos(0)=1, ezért az elliptikus koszinusztétel szerint: (17) cos =cos cos sin sin = cos +. Ebből következik, hogy (18) = +, és így (19) tg =tg + = 45G > 345H > 1B45 G > 45H >, ahol (20) tg tg <1. 6

7 A (19)-ből már (9)-re való tekintettel a (14) alatti összefüggés következik. Ez a származtatási mód tg( ) helyett th( ) függvénnyel számol hiperbolikus geometria esetére, és így (15)-re nézve is alkalmazható! Ezek szerint (18) azt fejezi ki, hogy ha A, C, B egy (elliptikus vagy hiperbolikus) egyenes egymás után következő pontjai, és az egyenes A és B pontjának távolsága d AB, akkor értelemszerűen: (21) d JK =d JL +d LK. Míg a C-K elliptikus modellben az egyenesek véges hosszúak, a hiperbolikus modellben végtelen hosszúak. * Vegyük észre, hogy a projektív geometriai alapokon tárgyalt hiperbolikus és elliptikus geometria metrikája azonos tőről fakad (a kettősviszony logaritmusán alapszik) mégis a végső formájuk egymástól eltérő. Hiperbolikus modell esetében a metrikát area tangens hiperbolikus, elliptikus modellnél arcus tangens formula fejezi ki. A tárgyalás során ezekre fontos szerep hárul. Bolyai János hiperbolikus geometriai modellje nem épült kifejezetten és szigorúan metrikára. Az APPENDIX-ben két pont távolságfüggvénye nem lelhető fel. Az egyenes, a párhuzamos egyenes, az ultraparalel egyenes egyenlete, két pont távolságának formulája stb. Dávid Lajos ( ) APPENDIX-et magyarázó [14] könyvében található. Ez a könyv 1944 augusztusában Kolozsváron, a Minerva kiadásában készült el, de a háború miatt már nem került forgalomba. (A nyomda raktárából kiszállításra váró könyvek pedig egyenesen a zúzdába kerültek!) Dávid Lajos a debreceni ( ), majd a kolozsvári ( ) egyetemen volt egyetemi tanár után hangadó körök nyomására kirekesztették a tudományos életből! A Bolyai geometria területén végzett munkásságát leminősítették! A tudományok doktora fokozat elnyerésére irányuló kérelmét elutasították! Az újjászervezett Akadémia hamar megmutatta, hogyan kell a hatalmat érdekfüggően gyakorolni.. Egyébként Dávid Lajos volt a Debreceni Tudományegyetem első matematika professzora! 7

8 MEGJEGYZÉSEK: a) Jaglom [5] könyvének függelékében kilenc C-K-féle síkgeometriát tárgyal. Ezek között van a Bolyai-féle hiperbolikus és a Riemann-féle elliptikus geometria is. A hiperbolikus geometriát kapcsolatba hozza Einstein speciális relativitáselméletével. Jaglom a k=1, c=1 választással él, és így nála (22) v=thd (a / - =th helyett, ahol / <1.) - Azért, hogy igazolja Einsteinnek azt a posztulátumát, miszerint a fénysebesség minden inerciarendszerben ugyanakkora, a d hiperbolikus távolságot a 0 d intervallumon értelmezi. Ebből kifolyólag (lásd [5] 350. o.) th(d) 1 ugyanis ha d=, akkor th( )=1, és így v 1; ami valóban Einstein (második) posztulátumának fönnállását bizonyítja; hiszen ekkor (ha v=c=1) (23) w 1 0= 1±0 1±0 =1. Mivel a C-K hiperbolikus modellben a sík a h kör belső pontjaiból áll (lásd [3]), a sík egyenesei pedig ennek a körnek a nyílt húrjai, ezért 0< δ <1 folytán (következés- képpen) d< ; és v=1=c esetén kell, hogy k>1 legyen így a Dobó-féle tárgyalás szerint: (24) w 0= 1±0 1± < E 6 1, ami arra utal, hogy az inerciarendszerek nem egyenrangúak, az éter pedig létezik! (Einstein szerint: az általános relativitáselmélet értelmében a tér éter nélkül elképzelhetetlen ; lásd [8], 158. o. Erről azonban a fizikusok nem vesznek tudomást!) b) Jaglom könyvében a Riemann-féle elliptikus geometriához azáltal jutunk, hogy rögzítünk egy előre fölvett (adott) egyenesen kívüli O pontot, majd az egyenes A és B pontjának elliptikus távolságát (a közönséges) AOB szöggel mérjük. (Lásd [5], 331. o.) Jól látható és kivehető, hogy ez a tárgyalási mód már alapjában eltérést mutat a Dobó-féle tárgyalástól. (És ez így van jól!) 8

9 c) Fontos és jellemző tulajdonsága a C-K-féle kör-modellnek, hogy benne a geodetikus vonalak egyenesek. A [3]-ban tárgyalt hiperbolikus modell esetében a kúpszelet egyenlete: (25) x! +y! k! =0, vagyis az abszolút alakzat k sugarú kör; ezen helyezkednek el a húrok végpontjai. Elliptikus kör-modell esetében az abszolút alakzat (25) alapján az (26) x! +y! +R! =0 képzetes sugarú kör, mikor is k=r i. (Az egyenesek itt is az (x; y) sík egyenesei!) A matematikai szakirodalomban a nemeuklideszi geometriák modelljének bemutatása és tárgyalása a k=1 és R=1 választás mellett történik, ezáltal és így váltak ismeretessé. Ez is oka annak, hogy a C-K-féle kör-modell alkalmazása nem vált be a fizikában. (Hozzáteszem, hogy az elliptikus változat korábbi fizikai alkalmazásáról én nem tudok!) Hogy adott esetben melyik geometriát kell (lehet) alkalmazni, azt a mozgás ( eredő sebességek ) jellege (és így k vagy R érvényre jutása, dominálása) határozza meg, dönti el 5 ; végső fokon a tapasztalat. (Lásd még: [9].) d) A kanonikus egyenletek alapján a kúpszeletek mindegyike másodrendű görbe. (A kör is a kúpszeletek közé tartozik!) A (26) alatti másodrendű görbe valójában nem kúpszelet. Ezt az egyenletet egyetlen valós pont koordinátái sem elégítik ki; ami akkor is áll, ha a homogén koordinátás x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 =0 egyenletre térünk át. Szemlélet szempontjából (26) üres alakzat, amelyhez (valós) ideális pont ( végtelen távoli pont ) sem tartozik. A C-K-féle modellben, vagy a Poincaré-féle modellben ideális pontot alkotnak a határgörbére illeszkedő, vagy az azon kívül eső pontok. Párhuzamos egyenesekhez azonos ideális pont tartozik. Az ideális térelemeknek (ilyen még a végtelen távoli egyenes, végtelen távoli sík ) fontos szerepük van a geometriában. Általuk az illeszkedési és metszési tételek egyöntetűbben fogalmazhatók meg! Ennek révén például a két egyenes vagy metszi egymást, vagy párhuzamos kijelentést az alábbi helyettesíti (váltja fel): Két egyenes 5 Ebben a kérdésben alapvetően eltérő véleményen vagyunk Topával. 9

10 mindig metszi egymást; párhuzamosság esetén a közös ideális pontjukban. (Lásd: [2], o.) Az ideális térelemekkel bővített síkot projektív síknak nevezzük. Ennek az euklideszi síkkal szembeni jellegzetes sajátossága, hogy bármely két egyenesének van közös pontja. A projektív geometriában a közönséges és ideális pontokat egyenértékűeknek tekintjük! Itt azonban a közönséges távolságfogalom nem vihető át az ideális pontokra. A [2]-ben homogén koordinátákkal van kifejezve az elliptikus és hiperbolikus geometria metrikája! Komplex számok halmazához (számsíkhoz) egyetlen ideális pontot nevezetesen a szimbólummal jelölt pontot csatoljuk. (Ez a végtelennek nevezett, -nel jelölt szám a gömbfelület északi pólusához van rendelve!) Ezáltal a komplex számokat a Riemann-féle számgömbön ábrázolhatjuk; aminek számos előnye van. (Így pl. az, hogy a számsík a gömbbel topologikusan ekvivalenssé válik. Lásd: [2], 186, 379. o.) Számos ideális térelemek bevezetésére alapozott tétel található [12]-ben. (Lásd: o.) A projektív geometria is fölépíthető az euklideszi geometriától függetlenül, a projektív sík és tér [13]-ban található axiómarendszere alapján. (Lásd: o. Önálló felépítésben lásd még [4], o.) E helyt nem volt célunk részletesebben tárgyalni a projektív geometriára alapozott nemeuklideszi geometriákat. Inkább csak a figyelmet akartuk fölhívni, e kiegészítéssel is láttatni szerettük volna, hogy a geometriának mennyire hasznos fizikai alkalmazásai lehetnek. Ezt a lehetőséget is meg kell ragadni akkor, amikor a gondolatvilágunkban messzebbre akarunk látni. Ez a foghíjas irodalom miatt nem lesz könnyű feladat. e) Vizsgálataink során csupán síkra szorítkoztunk, de már ebből is látható, hogy a projektív geometria a matematikának nem könnyű fejezete. Az eredményeket nem rutinszerűen, nem módszeresen alkalmazott analitikus eljárásokkal, hanem sok ihletre, leleményességre, ötletre támaszkodva, építkezve kapjuk. A projektív geometria az ötletek tárháza, aminek révén tételeit elegáns és frappáns módon bizonyíthatjuk. 10

11 (Mivel nagyon sikamlós, ezért könnyen elcsúszhatunk rajta.) Megalkotója Jean-Victor Poncelet ( ) francia matematikus, hadmérnök-tábornok volt. 6 A 36 akadémia tagjává választott (Einstein szerint szikrázó elméjű és mély gondolkodású ) francia matematikus, Henri Poincaré véleménye, fölfogása volt, hogy: A geometria semmit sem mond a valóságos dolgokról, csak az a geometria, amelybe a fizikai törvényeket is beleértjük. Én is megpróbáltam, igyekeztem a geometriát a fizika számára hasznossá, használhatóvá tenni. Ma már talán elmondhatom, hogy egy kicsit ez sikerült is! Az meg, hogy mások hogyan vélekednek erről, egyáltalán nem érdekel! Immunissá tett a sok áltudományos okoskodó, a fizikát laikusan népszerűsítő, dilettánsan művelő szaktekintély, a magyarázó filozófusokkal együtt Láttam, megtapasztaltam, hogy úgy matematikai, mint fizikai szempontból valóban sok ad hoc szerű gondolatot igényel alkalmazáskor a geometriai modell megválasztása (konstruálása), és a fizikai törvényeknek ebbe való beágyazása. Azért, hogy a természet viselkedését, a világ szüntelen alakulását jobban megértsük és reálisabban megismerjük, ezt az utat ha tetszik, ha nem kénytelenek vagyunk választani, bejárni, föltárni. Hogy ez a kutatói tevékenységünk minél sikeresebb legyen, nagyon célratörően és tudatosan az egyetemi tanterveket is az eddigieknél sokkal jobban ehhez kellene igazítani! Ez azonban, sajnos, nem látszik egyhamar megvalósíthatónak, így a természet világára vonatkozó ismereteink szakszerű bővítése az elvárhatónál hosszabban fog végbemenni, bekövetkezni ideértve a filozófiai fölfogásunkat is. Ma még ott tartunk, hogy túlzás nélkül ki lehet tenni a táblát: A REFORMÁLÁS IDEJE ALATT AZ OKTATÁS TUDOMÁNYTALANÍTÁSA ZAVARTALANUL FOLYIK! Budapest, január 2. 6 A projektív geometria szigorú felépítését Poncelet a napóleoni hadsereg tisztjeként szaratovi orosz fogsága idején 1822-ben fejezte be. Fő műve (Értekezés az alakzatok projektív tulajdonságairól) életében teljes elutasításra talált, s csak halála után 15 évvel jelent meg könyv formájában. 11

12 HIVATKOZÁSOK [1] D. Hilbert - S. Cohn-Vossen: Szemléletes geometria (Gondolat, Budapest, 1982.) [2] Matematikai kislexikon: Főszerkesztő: Dr. Farkas Miklós (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979.) [3] Dobó Andor: Projektív metrikáról (Kézirat, Budapest, június 20.) [4] Reiman István: A geometria és határterületei (Gondolat, Budapest, 1986.) [5] I. M. Jaglom: Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat, Budapest, 1985.) [6] Moussong Gábor: A hiperbolikus geometria modellje (Bolyai-Emlékkönyv, Vince Kiadó.) [7] G. Vrănceanu: A Riemann-féle geometria, Bolyai János élete és műve (Állami Tudományos Könyvkiadó, Bukarest, 1953.) [8] A. Einstein: Éter és relativitáselmélet, Albert Einstein válogatott írásai (Typotex, Budapest, 2010.) [9] Dobó Andor - Topa Zsolt: Ki mondja meg, mi dönti el, mi az igazság? (Kézirat, Budapest, december 15.) [10] Kálmán Attila: Nemeuklideszi geometriák elemei (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.) [11] Dobó Andor: Mi a jelentősége a k=r választásnak? (Kézirat, Budapest, december 15.) [12] Hajós György: Bevezetés a geometriába (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.) [13] Pelle Béla: Geometria (Tankönyvkiadó, Budapest, 1979.) [14] Dávid Lajos: Bolyai-geometria az APPENDIX alapján (Minerva, Kolozsvár, 1944.) [15] Neumann Mária: A tér szerkezete és a lehetséges geometriák (Megjelent Modell és valóság c. könyvben, Facla Könyvkiadó, Temesvár, 1982.) 12

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Még egyszer a Cayley-Klein modellről

Még egyszer a Cayley-Klein modellről Még egyszer a Cayley-Klein modellről (Apróságok II.) Az [1]-ben, a 3. pontban részletesen ismertettem a hiperbolikus sík Cayley-Klein-féle modelljét. Az ott leírtakat most több vonatkozásban is helyesbítem,

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Geometriai alapok Felületek

Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Koordináta-rendszerek

Koordináta-rendszerek Koordináta-rendszerek Térkép: a Föld felszín (részletének) ábrázolása síkban Hogyan határozható meg egy pont helyzete egy síkon? Derékszögű koordináta-rendszer: a síkban két, egymást merőlegesen metsző

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió Bevezetés Pímszámok A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió prímszám. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. április 8. Néhány definíció. 1 A klasszikus számelméleti. p N prím, ha a p a = ±1,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS OPTIKA Geometriai optika Snellius Descartes-törvény A fényhullám a geometriai optika szempontjából párhuzamos fénysugarakból áll. A vákuumban haladó fénysugár a geometriai egyenes fizikai megfelelője.

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra 1 A kvadratrixról A kvadratrix más néven triszektrix nevű síkgörbéről az [ 1 ] és [ 2 ] munkákban is olvashatunk. A keletkezéséről készített animáció itt tekinthető meg: http://hu.wikipedia.org/wiki/kvadratrix#mediaviewer/file:quadratrix_animation.gif

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

1. Trigonometria. 1.1. Bevezetés

1. Trigonometria. 1.1. Bevezetés . Trigonometria.. Bevezetés Elöljáróban csak annyit: A szögekkel ideje lenne megtanulni rendesen számolni. Láttuk: Két vektor, vagy ha úgy tetszik, két erő összege igen kényes arra, hogy az összegzendők

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Beregszászi István Programozási példatár

Beregszászi István Programozási példatár Beregszászi István Programozási példatár 2 1. fejezet 1. laboratóriumi munka 1.1. Matematikai kifejezések Írja fel algoritmikus nyelven a megadott kifejezést megfelelő típusú változók segítségével! Figyeljen

Részletesebben

A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról

A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról A vágás, ill. a forgácsolás célja: anyagi részek egymástól való elválasztása. A vágás, ill. a forgácsolás hagyományos eszköze: a kés. A kés a v haladási irányhoz

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 0. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 40 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA 11. évfolyam osztályozóvizsga/javítóvizsga témakörei

MATEMATIKA 11. évfolyam osztályozóvizsga/javítóvizsga témakörei MATEMATIKA 11. évfolyam osztályozóvizsga/javítóvizsga témakörei 1.félév I. Kombinatorika, gráfok Permutációk, variációk Ismétlés nélküli kombinációk Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög Gráfok pontok,

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 13. mérés: Molekulamodellezés PC-n. 2008. április 29.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 13. mérés: Molekulamodellezés PC-n. 2008. április 29. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 13. mérés: Molekulamodellezés PC-n Értékelés: A beadás dátuma: 2008. május 6. A mérést végezte: 1/5 A mérés célja A mérés célja az

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. május 6. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. május 6. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Geometriai algoritmusok

Geometriai algoritmusok Geometriai algoritmusok Alapfogalmak Pont: (x,y) R R Szakasz: Legyen A,B két pont. Az A és B pontok által meghatározott szakasz: AB = {p = (x,y) : x = aa.x + (1 a)b.x,y = aa.y + (1 a)b.y),a R,0 a 1. Ha

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA 1. A kinematika és a dinamika tárgya. Egyenes onalú egyenletes mozgás a) Kísérlet és a belőle leont köetkeztetés b) A mozgás jellemző grafikonjai

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Célok, feladatok Fejlesztési terület Ismeretanyag. A kilencedik osztályos tananyagra támaszkodva egy nyílt végű feladat megoldása, megbeszélése.

Célok, feladatok Fejlesztési terület Ismeretanyag. A kilencedik osztályos tananyagra támaszkodva egy nyílt végű feladat megoldása, megbeszélése. Matematika 10. első kötet Témák Az óra témája (tankönyvi 1. Bevezető óra (101. Ismerkedés a tankönyvvel 2. Nyílt végű feladat: Szálloda tervezése (102. 3. Matematikai logika: Igaz vagy hamis (103. 4. Matematikai

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek.

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek. Mozgások dinamikai leírása A dinamika azzal foglalkozik, hogy mi a testek mozgásának oka, mitől mozognak úgy, ahogy mozognak? Ennek a kérdésnek a megválaszolása Isaac NEWTON (1642 1727) nevéhez fűződik.

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben