Dobó Andor. Az elliptikus geometriának a Riemann-féle (gömbi) modellje lényegesen különbözik a Dobóféle

Átírás

1 Dobó Andor Az elliptikus liptikus geometria két modelljér elljéről A Dobó-Topa-féle elliptikus (görbült) téridő-elmélet az elliptikus geometria alkalmazásán alapszik. Éppen ezért fontos e geometriának két alapvető (standard) modelljét közelebbről és precízebben megismerni. Ebben a dolgozatban ezzel a problémával foglalkozunk, és az esetleges félreértések elkerülése végett tisztázzuk értelmezésüket 1, mivel szerves részét kell, hogy képezzék a jövő fizikájának. * Az elliptikus geometriának a Riemann-féle (gömbi) modellje lényegesen különbözik a Dobóféle modelltől. A Riemann-féle elliptikus modell a gömbfelületen értelmezi az elliptikus geometriát. Lényeges tulajdonsága, hogy a Hilbert-féle axiómarendszerben két helyen eltérést mutat. Nevezetesen a párhuzamossági és a rendezési axiómában. (Lásd: [1], [2].) Az előbbi esetben azt föltételezzük, hogy a sík bármely két egyenese mindig metszi egymást; az utóbbi esetben a rendezés axiómáit a ciklikus rendezés axiómáival cseréljük föl, pótoljuk. E szerint minden egyenesen megadható a pontoknak egy ciklikus elrendezése úgy, hogy a négy különböző A, B, C, D pontra az (ABCD), (ACBD), (ABDC) elrendezések egyike álljon fenn. Az (ABCD) ciklikus elrendezés szemléletesen azt fejezi ki, hogy az egyenesen az A, C pontpár elválasztja egymástól a B, D pontpárt. (Lásd még [2], 340., illetve 355. o.) A Riemann-féle gömbi modellben az elliptikus sík (közönséges) félgömbfelületre van leképezve olyan módon, hogy a gömb átellenes pontjait egyetlen pontnak tekintjük. Ezáltal kapjuk az egyszeres Riemann-féle elliptikus geometriát. (Lásd: [1], [2] és [3] 3. lábjegyzet.) 1 A tárgyalás során a [3]-ban közöltekre támaszkodunk, ugyanis az ebben foglaltakra alapozta Dobó és Topa az elméleti fizikai vonatkozású vizsgálatait, amelyek végül is Einstein speciális relativitáselméletének teljes cáfolásához vezettek. Ez a nemeuklideszi geometriára alapozott építkezés olyan új szemléletet von magával, amelynek eredményeit nem könnyű megérteni. Elsajátítása a fizika törvényeinek mélyebb megismeréséhez nélkülözhetetlennek bizonyul. Erre szükség van már csak azért is, mert az Einstein elméletét népszerűsítő irodalom számos helyen igen pontatlan a túlhaladottságáról nem is beszélve! (Ezzel szemben az az általánosan elfogadott vélemény, hogy Einstein elméletének komponensei ma már a fizika szilárd, jól megerősített pilléreiként funkcionálnak. Ezért is duzzadt hatalmasra a mindhalálig hűséges-szervilis einsteiniánusok tábora!) 1

2 Az elliptikus sík geodetikus szakaszainak és szögeinek projektív metrikában mért mérőszámai a megfelelő gömbi szakaszok és szögek gömbi metrikában (gömbháromszögtanban, más néven szférikus trigonometriában) mért mérőszámaival egyenlők. 2 (Lásd még [2], 355. o.) A félgömbfelületet úgy kell elképzelnünk, hogy az egyenlítő (határoló főkör) kerületének pontosan az egyik felét (például elölről nézve a bal oldalra esőt) a modell részének tekintjük; a másik fele (a jobb oldalra eső) már nem tartozik a modellhez. (Itt minden, ami szemben van, elölről nézést jelent, és fordítva!) Ezáltal érjük el, hogy a megadott félgömbi modellben a teljes egyenes hossza mindig félkörívnyi legyen. Ha P a modellhez tartozó egyenlítő kerülete felének egy tetszésszerinti pontja, akkor P-nek az átellenes P párja nem tartozik a félgömb felületéhez. Ezek szerint a félegyenlítő egyik végpontja (A) a modellhez tartozik, a másik végpontja (az átellenes A ) már nem. Ha a gömbi idom a határoló körön (egyenlítőn) túlnyúlik, akkor a kívülre eső pontokat az átellenesekkel pótoljuk. Ezek már a tekintetbe vett félgömbre esnek. Ebből adódóan a szakaszok felmérését, vagy két pont geodetikus összekötését a félgömbi modellben határvonal nem zavarja meg. (Lásd még [1], o.) A gömbnek síkra való leképezését sztereografikus projekciónak nevezzük. (Lásd: [2], 395. o.) A projektív síkgeometria axiómái teljesülnek a gömbmodellben! (Behatóbban lásd még [15], o.) A Dobó-féle elliptikus modell a hiperbolikus sík Cayley-Klein-féle modelljéből van származtatva 3 amit az euklideszi sík kör alakú tartományaként állítunk elő azáltal, hogy az abban szereplő k görbületi paramétert k=r/i-nek választjuk, ahol i 2 =-1. (Lásd még a [3]-ban 2 Főkör a gömb metszete a középponton átmenő síkkal. Az elliptikus sík egyenesei a félgömb főköreibe, a síkbeli szögek a félgömb főköríveinek szögébe mennek át. Szakasz a gömbfelület két pontját összekötő főkörív kisebbik íve! A szögek értelmezése és mérése egyformán (azonosan) történik a két Riemann-féle elliptikus geometriában, azaz: két egyenes (főkör) szögén a rajtuk átfektetett síkok hajlásszögét értjük. Bár Riemann már 1854-ben fölfedezte az elliptikus geometriát, az erről (is) szóló dolgozata azonban csak halála után, 1867-ben jelent meg. Cayley 1859-ben ismerte fel a (róla elnevezett) kettősviszony logaritmusán alapuló távolságdefiníciót, aminek fölhasználásával Klein 1869-ben megalkotta a hiperbolikus geometria kúpszeletre épített modelljét, amely ma kettejük nevét viseli. 3 A szakirodalomban sem a k görbületi paraméterű hiperbolikus, sem az R görbületi paraméterű elliptikus Cayley-Klein-féle modell nem található abban a formában, ahogyan azt [3] tárgyalja. (Ezért nincs értelme azt a szakirodalomban keresni! Lásd még: [11].) A C-K modell általánosítható, ha a kör helyett a projektív sík egy tetszőleges kúpszeletének a belsejét választjuk alaphalmaz gyanánt. Ezáltal az elliptikus modell is általánosabbá válik, amiből kifolyólag számos érdekes és hasznos felismerésre juthatunk ami bővíti a felhasználás lehetséges körét, növeli az alkalmazás sikerének esélyét. Különösen akkor, ha hiperbolikus térben élünk, és annak egy síkjában fekvő geometriai alakzatokat (idomokat) vizsgálunk. (Részletesebben lásd: [6].) 2

3 közölt és alkalmazott technikát!) Ekkor a hiperbolikus síkon értelmezett trigonometrikus összefüggések elliptikus síkon értelmezett trigonometrikus összefüggésekbe mennek át. Példaként tekintsük a hiperbolikus koszinusztételt, amely szerint: (1) ch =ch ch sh sh cosγ. A k=r/i választás esetén, figyelembe véve, hogy (2) chx i=cosx; shx i=i sinx a (3) cos =cos cos +sin sin cosγ összefüggéshez, vagyis az elliptikus koszinusztételhez jutunk. Ez a származtatási mód is bizonyítja és alátámasztja, hogy Dobó és Topa elméleti fizika területére eső matematikai vizsgálatai jól megalapozottnak tekinthető. A továbbiakban közöltek ezt majd még inkább megerősítik. A párhuzamossági szög alakulása a Dobó-féle modellben A [3]-ban tárgyalt kör alapú Cayley-Klein modellben a ρ(0, P)=d hiperbolikus mértékben mért párhuzamossági távolsághoz tartozó β párhuzamossági (elpattanási) szögre nézve: (4) cosβ= δ =th. (Ebből adódóan β valós szám!) Ez a C-K modellben teljesülő hiperbolikus párhuzamossági axióma következményeként adódik. (Lásd még: [4] 375, 379, 387. o.) Az r=k választással (5) cosβ= δ Ha k=r i (i 2 =-1), akkor 3

4 (6) cosβ= δ = δ i=z, ahol z=0 δ i. Mivel (főágbeli arcusfüggvénnyel számolva) (7) arccosz=i ln+! 1#=i ln$i % δ + &1+ δ! '(, ezért (8) β=arccos δ i=i ln% δ + &1+ δ! '+ π! ; vagyis β értéke ( hagyományos /elliptikus) komplex szám. (Valós értéket csak akkor vesz fel, ha R ; ekkor β π/2 és így a modell euklideszivé simul!) Ez azt a nyilvánvaló tényt fejezi ki, hogy a Dobó-féle (R-et is tartalmazó) modellben (sem a két Riemann-féle elliptikus modellben) nem létezik valós párhuzamossági (elpattanási) szög, ugyanakkor párhuzamos egyenesek sem léteznek. Ebben az esetben is a tiszta képzetes sugarú kör határa nem tartozik a síkhoz! (Lásd még alább d) pont.) Azért kellett az átellenes (gömbi) pontpárokat egyetlen pontnak tekinteni, hogy az egyszeres elliptikus geometria síkjában is két egyenesnek miként az euklideszi síkban mindössze egyetlen metszéspontja legyen. Az euklideszi síkon két pontnak csak egy összekötő egyenese van. A gömb két átellenes pontján át (folytonosan) végtelen sok főkör (geodetikus vonal) halad át. Míg a kétszeres elliptikus geometria síkjában két egyenes mindig két (átellenes) pontban metszi egymást, az euklideszi síkon két egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van. Ide vonatkozóan további eligazítások és hasznos tudnivalók találhatók [1]-, [2]-, [5]- és [7]- ben. A gömbi leképezést, a Gauss-féle görbület fogalmát behatóan tárgyalja [1], s ennek kapcsán bemutatja a gömb tizenegy alapvető tulajdonságát, aminek az általános felületelmélet szempontjából is jelentősége van. 4

5 Az egyszeres és kétszeres 4 elliptikus geometria alapján a geometria fizikai alkalmazása esetenként bonyolultabbnak bizonyul, és számos vonatkozásban ez az út nehezebben járható; ezért ha lehet jobb elkerülni a sikertelen próbálkozásokat. (Ez vonatkozik a Poincaré-féle hiperbolikus modellre is, ahol a geodetikus vonalak az alapkörre merőleges körívek!) Sebességösszeadás a Dobó-féle elliptikus geometriában Legyen γ=π-α, ahol α a v és u sebességek által bezárt szög. A [3] szerint (9), - =tg, / - =tg, 0 - =tg, ahol d, a, b elliptikus távolságban mért háromszög oldalait jelöli, c a fénysebesség. Felhasználva a (10) cosx = (11) sinx= azonosságokat, valamint a sebességek (9) alatti kifejezéseit az elliptikus koszinusztétel (3) alatti alakja alapján a sebességek összeadására nézve a (12) w= & 0 6 3/ 6 33!0 / -9:α3; < = >? :@αa6 1B < = =w α >? 6-9:α összefüggéshez jutunk, ahol (13) 0 <1, / 0 / <1, amiből kifolyólag cosα<1. Ha most R=1, akkor (13) folytán u<c, v<c; vagyis ebben az esetben c határsebesség. Ha pedig (12)-ben α=0, akkor (14) w 0= 03/ 1B < = >? 6. 4 Jelző az elnevezéseknél arra utal, hogy a modellben két különböző egyenesnek hány közös (metszés)pontja van! (Lásd még: [10].) Napjainkra a geometria fölépítésére már számos egymástól erősen eltérő módszer ismeretes. Ilyenek az elemi, a projektív, a csoportelméleti, a differenciálgeometriai stb. módszerek. 5

6 Ha ρ(o, P) = d, akkor mivel tg <1, ezért < π, vagyis d korlátos. Ennélfogva a modell D egyenesei és így a mozgás pályái véges hosszúságúak. Ha R=k i, akkor (14) a (15) w 0= 03/ 13 < = E? 6 alakba megy át. Nyilván w 0>w 0, továbbá (16) 03/ 1B < = 0B/ >? 6 13 < =, >? 6 ami u=c választással szintén tehát nemcsak hiperbolikus esetben nem egyezik Einstein II. posztulátumával! (A [8]-ban, Székely László előszavában közöltek szerint:» Einstein tévedett, Einsteinnek nem volt igaza bombasztikus formulával fölbukkanó, szenzációhajhászó művek mind fizikailag, mind pedig filozófiailag dilettáns alkotások.«) Ez azt jelenti, hogy Einstein matematikája nem vált be; jól, kifogástalanul nem használható hiábavalónak bizonyult a sztárolás, amit hívei érthetően nem ismernek el! A (14) alatti összefüggés az alábbiak szerint is származtatható. Miután cos(γ)= -cos(α), és ha α=0, akkor cos(0)=1, ezért az elliptikus koszinusztétel szerint: (17) cos =cos cos sin sin = cos +. Ebből következik, hogy (18) = +, és így (19) tg =tg + = 45G > 345H > 1B45 G > 45H >, ahol (20) tg tg <1. 6

7 A (19)-ből már (9)-re való tekintettel a (14) alatti összefüggés következik. Ez a származtatási mód tg( ) helyett th( ) függvénnyel számol hiperbolikus geometria esetére, és így (15)-re nézve is alkalmazható! Ezek szerint (18) azt fejezi ki, hogy ha A, C, B egy (elliptikus vagy hiperbolikus) egyenes egymás után következő pontjai, és az egyenes A és B pontjának távolsága d AB, akkor értelemszerűen: (21) d JK =d JL +d LK. Míg a C-K elliptikus modellben az egyenesek véges hosszúak, a hiperbolikus modellben végtelen hosszúak. * Vegyük észre, hogy a projektív geometriai alapokon tárgyalt hiperbolikus és elliptikus geometria metrikája azonos tőről fakad (a kettősviszony logaritmusán alapszik) mégis a végső formájuk egymástól eltérő. Hiperbolikus modell esetében a metrikát area tangens hiperbolikus, elliptikus modellnél arcus tangens formula fejezi ki. A tárgyalás során ezekre fontos szerep hárul. Bolyai János hiperbolikus geometriai modellje nem épült kifejezetten és szigorúan metrikára. Az APPENDIX-ben két pont távolságfüggvénye nem lelhető fel. Az egyenes, a párhuzamos egyenes, az ultraparalel egyenes egyenlete, két pont távolságának formulája stb. Dávid Lajos ( ) APPENDIX-et magyarázó [14] könyvében található. Ez a könyv 1944 augusztusában Kolozsváron, a Minerva kiadásában készült el, de a háború miatt már nem került forgalomba. (A nyomda raktárából kiszállításra váró könyvek pedig egyenesen a zúzdába kerültek!) Dávid Lajos a debreceni ( ), majd a kolozsvári ( ) egyetemen volt egyetemi tanár után hangadó körök nyomására kirekesztették a tudományos életből! A Bolyai geometria területén végzett munkásságát leminősítették! A tudományok doktora fokozat elnyerésére irányuló kérelmét elutasították! Az újjászervezett Akadémia hamar megmutatta, hogyan kell a hatalmat érdekfüggően gyakorolni.. Egyébként Dávid Lajos volt a Debreceni Tudományegyetem első matematika professzora! 7

8 MEGJEGYZÉSEK: a) Jaglom [5] könyvének függelékében kilenc C-K-féle síkgeometriát tárgyal. Ezek között van a Bolyai-féle hiperbolikus és a Riemann-féle elliptikus geometria is. A hiperbolikus geometriát kapcsolatba hozza Einstein speciális relativitáselméletével. Jaglom a k=1, c=1 választással él, és így nála (22) v=thd (a / - =th helyett, ahol / <1.) - Azért, hogy igazolja Einsteinnek azt a posztulátumát, miszerint a fénysebesség minden inerciarendszerben ugyanakkora, a d hiperbolikus távolságot a 0 d intervallumon értelmezi. Ebből kifolyólag (lásd [5] 350. o.) th(d) 1 ugyanis ha d=, akkor th( )=1, és így v 1; ami valóban Einstein (második) posztulátumának fönnállását bizonyítja; hiszen ekkor (ha v=c=1) (23) w 1 0= 1±0 1±0 =1. Mivel a C-K hiperbolikus modellben a sík a h kör belső pontjaiból áll (lásd [3]), a sík egyenesei pedig ennek a körnek a nyílt húrjai, ezért 0< δ <1 folytán (következés- képpen) d< ; és v=1=c esetén kell, hogy k>1 legyen így a Dobó-féle tárgyalás szerint: (24) w 0= 1±0 1± < E 6 1, ami arra utal, hogy az inerciarendszerek nem egyenrangúak, az éter pedig létezik! (Einstein szerint: az általános relativitáselmélet értelmében a tér éter nélkül elképzelhetetlen ; lásd [8], 158. o. Erről azonban a fizikusok nem vesznek tudomást!) b) Jaglom könyvében a Riemann-féle elliptikus geometriához azáltal jutunk, hogy rögzítünk egy előre fölvett (adott) egyenesen kívüli O pontot, majd az egyenes A és B pontjának elliptikus távolságát (a közönséges) AOB szöggel mérjük. (Lásd [5], 331. o.) Jól látható és kivehető, hogy ez a tárgyalási mód már alapjában eltérést mutat a Dobó-féle tárgyalástól. (És ez így van jól!) 8

9 c) Fontos és jellemző tulajdonsága a C-K-féle kör-modellnek, hogy benne a geodetikus vonalak egyenesek. A [3]-ban tárgyalt hiperbolikus modell esetében a kúpszelet egyenlete: (25) x! +y! k! =0, vagyis az abszolút alakzat k sugarú kör; ezen helyezkednek el a húrok végpontjai. Elliptikus kör-modell esetében az abszolút alakzat (25) alapján az (26) x! +y! +R! =0 képzetes sugarú kör, mikor is k=r i. (Az egyenesek itt is az (x; y) sík egyenesei!) A matematikai szakirodalomban a nemeuklideszi geometriák modelljének bemutatása és tárgyalása a k=1 és R=1 választás mellett történik, ezáltal és így váltak ismeretessé. Ez is oka annak, hogy a C-K-féle kör-modell alkalmazása nem vált be a fizikában. (Hozzáteszem, hogy az elliptikus változat korábbi fizikai alkalmazásáról én nem tudok!) Hogy adott esetben melyik geometriát kell (lehet) alkalmazni, azt a mozgás ( eredő sebességek ) jellege (és így k vagy R érvényre jutása, dominálása) határozza meg, dönti el 5 ; végső fokon a tapasztalat. (Lásd még: [9].) d) A kanonikus egyenletek alapján a kúpszeletek mindegyike másodrendű görbe. (A kör is a kúpszeletek közé tartozik!) A (26) alatti másodrendű görbe valójában nem kúpszelet. Ezt az egyenletet egyetlen valós pont koordinátái sem elégítik ki; ami akkor is áll, ha a homogén koordinátás x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 =0 egyenletre térünk át. Szemlélet szempontjából (26) üres alakzat, amelyhez (valós) ideális pont ( végtelen távoli pont ) sem tartozik. A C-K-féle modellben, vagy a Poincaré-féle modellben ideális pontot alkotnak a határgörbére illeszkedő, vagy az azon kívül eső pontok. Párhuzamos egyenesekhez azonos ideális pont tartozik. Az ideális térelemeknek (ilyen még a végtelen távoli egyenes, végtelen távoli sík ) fontos szerepük van a geometriában. Általuk az illeszkedési és metszési tételek egyöntetűbben fogalmazhatók meg! Ennek révén például a két egyenes vagy metszi egymást, vagy párhuzamos kijelentést az alábbi helyettesíti (váltja fel): Két egyenes 5 Ebben a kérdésben alapvetően eltérő véleményen vagyunk Topával. 9

10 mindig metszi egymást; párhuzamosság esetén a közös ideális pontjukban. (Lásd: [2], o.) Az ideális térelemekkel bővített síkot projektív síknak nevezzük. Ennek az euklideszi síkkal szembeni jellegzetes sajátossága, hogy bármely két egyenesének van közös pontja. A projektív geometriában a közönséges és ideális pontokat egyenértékűeknek tekintjük! Itt azonban a közönséges távolságfogalom nem vihető át az ideális pontokra. A [2]-ben homogén koordinátákkal van kifejezve az elliptikus és hiperbolikus geometria metrikája! Komplex számok halmazához (számsíkhoz) egyetlen ideális pontot nevezetesen a szimbólummal jelölt pontot csatoljuk. (Ez a végtelennek nevezett, -nel jelölt szám a gömbfelület északi pólusához van rendelve!) Ezáltal a komplex számokat a Riemann-féle számgömbön ábrázolhatjuk; aminek számos előnye van. (Így pl. az, hogy a számsík a gömbbel topologikusan ekvivalenssé válik. Lásd: [2], 186, 379. o.) Számos ideális térelemek bevezetésére alapozott tétel található [12]-ben. (Lásd: o.) A projektív geometria is fölépíthető az euklideszi geometriától függetlenül, a projektív sík és tér [13]-ban található axiómarendszere alapján. (Lásd: o. Önálló felépítésben lásd még [4], o.) E helyt nem volt célunk részletesebben tárgyalni a projektív geometriára alapozott nemeuklideszi geometriákat. Inkább csak a figyelmet akartuk fölhívni, e kiegészítéssel is láttatni szerettük volna, hogy a geometriának mennyire hasznos fizikai alkalmazásai lehetnek. Ezt a lehetőséget is meg kell ragadni akkor, amikor a gondolatvilágunkban messzebbre akarunk látni. Ez a foghíjas irodalom miatt nem lesz könnyű feladat. e) Vizsgálataink során csupán síkra szorítkoztunk, de már ebből is látható, hogy a projektív geometria a matematikának nem könnyű fejezete. Az eredményeket nem rutinszerűen, nem módszeresen alkalmazott analitikus eljárásokkal, hanem sok ihletre, leleményességre, ötletre támaszkodva, építkezve kapjuk. A projektív geometria az ötletek tárháza, aminek révén tételeit elegáns és frappáns módon bizonyíthatjuk. 10

11 (Mivel nagyon sikamlós, ezért könnyen elcsúszhatunk rajta.) Megalkotója Jean-Victor Poncelet ( ) francia matematikus, hadmérnök-tábornok volt. 6 A 36 akadémia tagjává választott (Einstein szerint szikrázó elméjű és mély gondolkodású ) francia matematikus, Henri Poincaré véleménye, fölfogása volt, hogy: A geometria semmit sem mond a valóságos dolgokról, csak az a geometria, amelybe a fizikai törvényeket is beleértjük. Én is megpróbáltam, igyekeztem a geometriát a fizika számára hasznossá, használhatóvá tenni. Ma már talán elmondhatom, hogy egy kicsit ez sikerült is! Az meg, hogy mások hogyan vélekednek erről, egyáltalán nem érdekel! Immunissá tett a sok áltudományos okoskodó, a fizikát laikusan népszerűsítő, dilettánsan művelő szaktekintély, a magyarázó filozófusokkal együtt Láttam, megtapasztaltam, hogy úgy matematikai, mint fizikai szempontból valóban sok ad hoc szerű gondolatot igényel alkalmazáskor a geometriai modell megválasztása (konstruálása), és a fizikai törvényeknek ebbe való beágyazása. Azért, hogy a természet viselkedését, a világ szüntelen alakulását jobban megértsük és reálisabban megismerjük, ezt az utat ha tetszik, ha nem kénytelenek vagyunk választani, bejárni, föltárni. Hogy ez a kutatói tevékenységünk minél sikeresebb legyen, nagyon célratörően és tudatosan az egyetemi tanterveket is az eddigieknél sokkal jobban ehhez kellene igazítani! Ez azonban, sajnos, nem látszik egyhamar megvalósíthatónak, így a természet világára vonatkozó ismereteink szakszerű bővítése az elvárhatónál hosszabban fog végbemenni, bekövetkezni ideértve a filozófiai fölfogásunkat is. Ma még ott tartunk, hogy túlzás nélkül ki lehet tenni a táblát: A REFORMÁLÁS IDEJE ALATT AZ OKTATÁS TUDOMÁNYTALANÍTÁSA ZAVARTALANUL FOLYIK! Budapest, január 2. 6 A projektív geometria szigorú felépítését Poncelet a napóleoni hadsereg tisztjeként szaratovi orosz fogsága idején 1822-ben fejezte be. Fő műve (Értekezés az alakzatok projektív tulajdonságairól) életében teljes elutasításra talált, s csak halála után 15 évvel jelent meg könyv formájában. 11

12 HIVATKOZÁSOK [1] D. Hilbert - S. Cohn-Vossen: Szemléletes geometria (Gondolat, Budapest, 1982.) [2] Matematikai kislexikon: Főszerkesztő: Dr. Farkas Miklós (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979.) [3] Dobó Andor: Projektív metrikáról (Kézirat, Budapest, június 20.) [4] Reiman István: A geometria és határterületei (Gondolat, Budapest, 1986.) [5] I. M. Jaglom: Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat, Budapest, 1985.) [6] Moussong Gábor: A hiperbolikus geometria modellje (Bolyai-Emlékkönyv, Vince Kiadó.) [7] G. Vrănceanu: A Riemann-féle geometria, Bolyai János élete és műve (Állami Tudományos Könyvkiadó, Bukarest, 1953.) [8] A. Einstein: Éter és relativitáselmélet, Albert Einstein válogatott írásai (Typotex, Budapest, 2010.) [9] Dobó Andor - Topa Zsolt: Ki mondja meg, mi dönti el, mi az igazság? (Kézirat, Budapest, december 15.) [10] Kálmán Attila: Nemeuklideszi geometriák elemei (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.) [11] Dobó Andor: Mi a jelentősége a k=r választásnak? (Kézirat, Budapest, december 15.) [12] Hajós György: Bevezetés a geometriába (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.) [13] Pelle Béla: Geometria (Tankönyvkiadó, Budapest, 1979.) [14] Dávid Lajos: Bolyai-geometria az APPENDIX alapján (Minerva, Kolozsvár, 1944.) [15] Neumann Mária: A tér szerkezete és a lehetséges geometriák (Megjelent Modell és valóság c. könyvben, Facla Könyvkiadó, Temesvár, 1982.) 12