Dobó Andor. Az elliptikus geometriának a Riemann-féle (gömbi) modellje lényegesen különbözik a Dobóféle

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Dobó Andor. Az elliptikus geometriának a Riemann-féle (gömbi) modellje lényegesen különbözik a Dobóféle"

Átírás

1 Dobó Andor Az elliptikus liptikus geometria két modelljér elljéről A Dobó-Topa-féle elliptikus (görbült) téridő-elmélet az elliptikus geometria alkalmazásán alapszik. Éppen ezért fontos e geometriának két alapvető (standard) modelljét közelebbről és precízebben megismerni. Ebben a dolgozatban ezzel a problémával foglalkozunk, és az esetleges félreértések elkerülése végett tisztázzuk értelmezésüket 1, mivel szerves részét kell, hogy képezzék a jövő fizikájának. * Az elliptikus geometriának a Riemann-féle (gömbi) modellje lényegesen különbözik a Dobóféle modelltől. A Riemann-féle elliptikus modell a gömbfelületen értelmezi az elliptikus geometriát. Lényeges tulajdonsága, hogy a Hilbert-féle axiómarendszerben két helyen eltérést mutat. Nevezetesen a párhuzamossági és a rendezési axiómában. (Lásd: [1], [2].) Az előbbi esetben azt föltételezzük, hogy a sík bármely két egyenese mindig metszi egymást; az utóbbi esetben a rendezés axiómáit a ciklikus rendezés axiómáival cseréljük föl, pótoljuk. E szerint minden egyenesen megadható a pontoknak egy ciklikus elrendezése úgy, hogy a négy különböző A, B, C, D pontra az (ABCD), (ACBD), (ABDC) elrendezések egyike álljon fenn. Az (ABCD) ciklikus elrendezés szemléletesen azt fejezi ki, hogy az egyenesen az A, C pontpár elválasztja egymástól a B, D pontpárt. (Lásd még [2], 340., illetve 355. o.) A Riemann-féle gömbi modellben az elliptikus sík (közönséges) félgömbfelületre van leképezve olyan módon, hogy a gömb átellenes pontjait egyetlen pontnak tekintjük. Ezáltal kapjuk az egyszeres Riemann-féle elliptikus geometriát. (Lásd: [1], [2] és [3] 3. lábjegyzet.) 1 A tárgyalás során a [3]-ban közöltekre támaszkodunk, ugyanis az ebben foglaltakra alapozta Dobó és Topa az elméleti fizikai vonatkozású vizsgálatait, amelyek végül is Einstein speciális relativitáselméletének teljes cáfolásához vezettek. Ez a nemeuklideszi geometriára alapozott építkezés olyan új szemléletet von magával, amelynek eredményeit nem könnyű megérteni. Elsajátítása a fizika törvényeinek mélyebb megismeréséhez nélkülözhetetlennek bizonyul. Erre szükség van már csak azért is, mert az Einstein elméletét népszerűsítő irodalom számos helyen igen pontatlan a túlhaladottságáról nem is beszélve! (Ezzel szemben az az általánosan elfogadott vélemény, hogy Einstein elméletének komponensei ma már a fizika szilárd, jól megerősített pilléreiként funkcionálnak. Ezért is duzzadt hatalmasra a mindhalálig hűséges-szervilis einsteiniánusok tábora!) 1

2 Az elliptikus sík geodetikus szakaszainak és szögeinek projektív metrikában mért mérőszámai a megfelelő gömbi szakaszok és szögek gömbi metrikában (gömbháromszögtanban, más néven szférikus trigonometriában) mért mérőszámaival egyenlők. 2 (Lásd még [2], 355. o.) A félgömbfelületet úgy kell elképzelnünk, hogy az egyenlítő (határoló főkör) kerületének pontosan az egyik felét (például elölről nézve a bal oldalra esőt) a modell részének tekintjük; a másik fele (a jobb oldalra eső) már nem tartozik a modellhez. (Itt minden, ami szemben van, elölről nézést jelent, és fordítva!) Ezáltal érjük el, hogy a megadott félgömbi modellben a teljes egyenes hossza mindig félkörívnyi legyen. Ha P a modellhez tartozó egyenlítő kerülete felének egy tetszésszerinti pontja, akkor P-nek az átellenes P párja nem tartozik a félgömb felületéhez. Ezek szerint a félegyenlítő egyik végpontja (A) a modellhez tartozik, a másik végpontja (az átellenes A ) már nem. Ha a gömbi idom a határoló körön (egyenlítőn) túlnyúlik, akkor a kívülre eső pontokat az átellenesekkel pótoljuk. Ezek már a tekintetbe vett félgömbre esnek. Ebből adódóan a szakaszok felmérését, vagy két pont geodetikus összekötését a félgömbi modellben határvonal nem zavarja meg. (Lásd még [1], o.) A gömbnek síkra való leképezését sztereografikus projekciónak nevezzük. (Lásd: [2], 395. o.) A projektív síkgeometria axiómái teljesülnek a gömbmodellben! (Behatóbban lásd még [15], o.) A Dobó-féle elliptikus modell a hiperbolikus sík Cayley-Klein-féle modelljéből van származtatva 3 amit az euklideszi sík kör alakú tartományaként állítunk elő azáltal, hogy az abban szereplő k görbületi paramétert k=r/i-nek választjuk, ahol i 2 =-1. (Lásd még a [3]-ban 2 Főkör a gömb metszete a középponton átmenő síkkal. Az elliptikus sík egyenesei a félgömb főköreibe, a síkbeli szögek a félgömb főköríveinek szögébe mennek át. Szakasz a gömbfelület két pontját összekötő főkörív kisebbik íve! A szögek értelmezése és mérése egyformán (azonosan) történik a két Riemann-féle elliptikus geometriában, azaz: két egyenes (főkör) szögén a rajtuk átfektetett síkok hajlásszögét értjük. Bár Riemann már 1854-ben fölfedezte az elliptikus geometriát, az erről (is) szóló dolgozata azonban csak halála után, 1867-ben jelent meg. Cayley 1859-ben ismerte fel a (róla elnevezett) kettősviszony logaritmusán alapuló távolságdefiníciót, aminek fölhasználásával Klein 1869-ben megalkotta a hiperbolikus geometria kúpszeletre épített modelljét, amely ma kettejük nevét viseli. 3 A szakirodalomban sem a k görbületi paraméterű hiperbolikus, sem az R görbületi paraméterű elliptikus Cayley-Klein-féle modell nem található abban a formában, ahogyan azt [3] tárgyalja. (Ezért nincs értelme azt a szakirodalomban keresni! Lásd még: [11].) A C-K modell általánosítható, ha a kör helyett a projektív sík egy tetszőleges kúpszeletének a belsejét választjuk alaphalmaz gyanánt. Ezáltal az elliptikus modell is általánosabbá válik, amiből kifolyólag számos érdekes és hasznos felismerésre juthatunk ami bővíti a felhasználás lehetséges körét, növeli az alkalmazás sikerének esélyét. Különösen akkor, ha hiperbolikus térben élünk, és annak egy síkjában fekvő geometriai alakzatokat (idomokat) vizsgálunk. (Részletesebben lásd: [6].) 2

3 közölt és alkalmazott technikát!) Ekkor a hiperbolikus síkon értelmezett trigonometrikus összefüggések elliptikus síkon értelmezett trigonometrikus összefüggésekbe mennek át. Példaként tekintsük a hiperbolikus koszinusztételt, amely szerint: (1) ch =ch ch sh sh cosγ. A k=r/i választás esetén, figyelembe véve, hogy (2) chx i=cosx; shx i=i sinx a (3) cos =cos cos +sin sin cosγ összefüggéshez, vagyis az elliptikus koszinusztételhez jutunk. Ez a származtatási mód is bizonyítja és alátámasztja, hogy Dobó és Topa elméleti fizika területére eső matematikai vizsgálatai jól megalapozottnak tekinthető. A továbbiakban közöltek ezt majd még inkább megerősítik. A párhuzamossági szög alakulása a Dobó-féle modellben A [3]-ban tárgyalt kör alapú Cayley-Klein modellben a ρ(0, P)=d hiperbolikus mértékben mért párhuzamossági távolsághoz tartozó β párhuzamossági (elpattanási) szögre nézve: (4) cosβ= δ =th. (Ebből adódóan β valós szám!) Ez a C-K modellben teljesülő hiperbolikus párhuzamossági axióma következményeként adódik. (Lásd még: [4] 375, 379, 387. o.) Az r=k választással (5) cosβ= δ Ha k=r i (i 2 =-1), akkor 3

4 (6) cosβ= δ = δ i=z, ahol z=0 δ i. Mivel (főágbeli arcusfüggvénnyel számolva) (7) arccosz=i ln+! 1#=i ln$i % δ + &1+ δ! '(, ezért (8) β=arccos δ i=i ln% δ + &1+ δ! '+ π! ; vagyis β értéke ( hagyományos /elliptikus) komplex szám. (Valós értéket csak akkor vesz fel, ha R ; ekkor β π/2 és így a modell euklideszivé simul!) Ez azt a nyilvánvaló tényt fejezi ki, hogy a Dobó-féle (R-et is tartalmazó) modellben (sem a két Riemann-féle elliptikus modellben) nem létezik valós párhuzamossági (elpattanási) szög, ugyanakkor párhuzamos egyenesek sem léteznek. Ebben az esetben is a tiszta képzetes sugarú kör határa nem tartozik a síkhoz! (Lásd még alább d) pont.) Azért kellett az átellenes (gömbi) pontpárokat egyetlen pontnak tekinteni, hogy az egyszeres elliptikus geometria síkjában is két egyenesnek miként az euklideszi síkban mindössze egyetlen metszéspontja legyen. Az euklideszi síkon két pontnak csak egy összekötő egyenese van. A gömb két átellenes pontján át (folytonosan) végtelen sok főkör (geodetikus vonal) halad át. Míg a kétszeres elliptikus geometria síkjában két egyenes mindig két (átellenes) pontban metszi egymást, az euklideszi síkon két egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van. Ide vonatkozóan további eligazítások és hasznos tudnivalók találhatók [1]-, [2]-, [5]- és [7]- ben. A gömbi leképezést, a Gauss-féle görbület fogalmát behatóan tárgyalja [1], s ennek kapcsán bemutatja a gömb tizenegy alapvető tulajdonságát, aminek az általános felületelmélet szempontjából is jelentősége van. 4

5 Az egyszeres és kétszeres 4 elliptikus geometria alapján a geometria fizikai alkalmazása esetenként bonyolultabbnak bizonyul, és számos vonatkozásban ez az út nehezebben járható; ezért ha lehet jobb elkerülni a sikertelen próbálkozásokat. (Ez vonatkozik a Poincaré-féle hiperbolikus modellre is, ahol a geodetikus vonalak az alapkörre merőleges körívek!) Sebességösszeadás a Dobó-féle elliptikus geometriában Legyen γ=π-α, ahol α a v és u sebességek által bezárt szög. A [3] szerint (9), - =tg, / - =tg, 0 - =tg, ahol d, a, b elliptikus távolságban mért háromszög oldalait jelöli, c a fénysebesség. Felhasználva a (10) cosx = (11) sinx= azonosságokat, valamint a sebességek (9) alatti kifejezéseit az elliptikus koszinusztétel (3) alatti alakja alapján a sebességek összeadására nézve a (12) w= & 0 6 3/ 6 33!0 / -9:α3; < = >? 1B < = =w α >? 6-9:α összefüggéshez jutunk, ahol (13) 0 <1, / 0 / <1, amiből kifolyólag cosα<1. Ha most R=1, akkor (13) folytán u<c, v<c; vagyis ebben az esetben c határsebesség. Ha pedig (12)-ben α=0, akkor (14) w 0= 03/ 1B < = >? 6. 4 Jelző az elnevezéseknél arra utal, hogy a modellben két különböző egyenesnek hány közös (metszés)pontja van! (Lásd még: [10].) Napjainkra a geometria fölépítésére már számos egymástól erősen eltérő módszer ismeretes. Ilyenek az elemi, a projektív, a csoportelméleti, a differenciálgeometriai stb. módszerek. 5

6 Ha ρ(o, P) = d, akkor mivel tg <1, ezért < π, vagyis d korlátos. Ennélfogva a modell D egyenesei és így a mozgás pályái véges hosszúságúak. Ha R=k i, akkor (14) a (15) w 0= 03/ 13 < = E? 6 alakba megy át. Nyilván w 0>w 0, továbbá (16) 03/ 1B < = 0B/ >? 6 13 < =, >? 6 ami u=c választással szintén tehát nemcsak hiperbolikus esetben nem egyezik Einstein II. posztulátumával! (A [8]-ban, Székely László előszavában közöltek szerint:» Einstein tévedett, Einsteinnek nem volt igaza bombasztikus formulával fölbukkanó, szenzációhajhászó művek mind fizikailag, mind pedig filozófiailag dilettáns alkotások.«) Ez azt jelenti, hogy Einstein matematikája nem vált be; jól, kifogástalanul nem használható hiábavalónak bizonyult a sztárolás, amit hívei érthetően nem ismernek el! A (14) alatti összefüggés az alábbiak szerint is származtatható. Miután cos(γ)= -cos(α), és ha α=0, akkor cos(0)=1, ezért az elliptikus koszinusztétel szerint: (17) cos =cos cos sin sin = cos +. Ebből következik, hogy (18) = +, és így (19) tg =tg + = 45G > 345H > 1B45 G > 45H >, ahol (20) tg tg <1. 6

7 A (19)-ből már (9)-re való tekintettel a (14) alatti összefüggés következik. Ez a származtatási mód tg( ) helyett th( ) függvénnyel számol hiperbolikus geometria esetére, és így (15)-re nézve is alkalmazható! Ezek szerint (18) azt fejezi ki, hogy ha A, C, B egy (elliptikus vagy hiperbolikus) egyenes egymás után következő pontjai, és az egyenes A és B pontjának távolsága d AB, akkor értelemszerűen: (21) d JK =d JL +d LK. Míg a C-K elliptikus modellben az egyenesek véges hosszúak, a hiperbolikus modellben végtelen hosszúak. * Vegyük észre, hogy a projektív geometriai alapokon tárgyalt hiperbolikus és elliptikus geometria metrikája azonos tőről fakad (a kettősviszony logaritmusán alapszik) mégis a végső formájuk egymástól eltérő. Hiperbolikus modell esetében a metrikát area tangens hiperbolikus, elliptikus modellnél arcus tangens formula fejezi ki. A tárgyalás során ezekre fontos szerep hárul. Bolyai János hiperbolikus geometriai modellje nem épült kifejezetten és szigorúan metrikára. Az APPENDIX-ben két pont távolságfüggvénye nem lelhető fel. Az egyenes, a párhuzamos egyenes, az ultraparalel egyenes egyenlete, két pont távolságának formulája stb. Dávid Lajos ( ) APPENDIX-et magyarázó [14] könyvében található. Ez a könyv 1944 augusztusában Kolozsváron, a Minerva kiadásában készült el, de a háború miatt már nem került forgalomba. (A nyomda raktárából kiszállításra váró könyvek pedig egyenesen a zúzdába kerültek!) Dávid Lajos a debreceni ( ), majd a kolozsvári ( ) egyetemen volt egyetemi tanár után hangadó körök nyomására kirekesztették a tudományos életből! A Bolyai geometria területén végzett munkásságát leminősítették! A tudományok doktora fokozat elnyerésére irányuló kérelmét elutasították! Az újjászervezett Akadémia hamar megmutatta, hogyan kell a hatalmat érdekfüggően gyakorolni.. Egyébként Dávid Lajos volt a Debreceni Tudományegyetem első matematika professzora! 7

8 MEGJEGYZÉSEK: a) Jaglom [5] könyvének függelékében kilenc C-K-féle síkgeometriát tárgyal. Ezek között van a Bolyai-féle hiperbolikus és a Riemann-féle elliptikus geometria is. A hiperbolikus geometriát kapcsolatba hozza Einstein speciális relativitáselméletével. Jaglom a k=1, c=1 választással él, és így nála (22) v=thd (a / - =th helyett, ahol / <1.) - Azért, hogy igazolja Einsteinnek azt a posztulátumát, miszerint a fénysebesség minden inerciarendszerben ugyanakkora, a d hiperbolikus távolságot a 0 d intervallumon értelmezi. Ebből kifolyólag (lásd [5] 350. o.) th(d) 1 ugyanis ha d=, akkor th( )=1, és így v 1; ami valóban Einstein (második) posztulátumának fönnállását bizonyítja; hiszen ekkor (ha v=c=1) (23) w 1 0= 1±0 1±0 =1. Mivel a C-K hiperbolikus modellben a sík a h kör belső pontjaiból áll (lásd [3]), a sík egyenesei pedig ennek a körnek a nyílt húrjai, ezért 0< δ <1 folytán (következés- képpen) d< ; és v=1=c esetén kell, hogy k>1 legyen így a Dobó-féle tárgyalás szerint: (24) w 0= 1±0 1± < E 6 1, ami arra utal, hogy az inerciarendszerek nem egyenrangúak, az éter pedig létezik! (Einstein szerint: az általános relativitáselmélet értelmében a tér éter nélkül elképzelhetetlen ; lásd [8], 158. o. Erről azonban a fizikusok nem vesznek tudomást!) b) Jaglom könyvében a Riemann-féle elliptikus geometriához azáltal jutunk, hogy rögzítünk egy előre fölvett (adott) egyenesen kívüli O pontot, majd az egyenes A és B pontjának elliptikus távolságát (a közönséges) AOB szöggel mérjük. (Lásd [5], 331. o.) Jól látható és kivehető, hogy ez a tárgyalási mód már alapjában eltérést mutat a Dobó-féle tárgyalástól. (És ez így van jól!) 8

9 c) Fontos és jellemző tulajdonsága a C-K-féle kör-modellnek, hogy benne a geodetikus vonalak egyenesek. A [3]-ban tárgyalt hiperbolikus modell esetében a kúpszelet egyenlete: (25) x! +y! k! =0, vagyis az abszolút alakzat k sugarú kör; ezen helyezkednek el a húrok végpontjai. Elliptikus kör-modell esetében az abszolút alakzat (25) alapján az (26) x! +y! +R! =0 képzetes sugarú kör, mikor is k=r i. (Az egyenesek itt is az (x; y) sík egyenesei!) A matematikai szakirodalomban a nemeuklideszi geometriák modelljének bemutatása és tárgyalása a k=1 és R=1 választás mellett történik, ezáltal és így váltak ismeretessé. Ez is oka annak, hogy a C-K-féle kör-modell alkalmazása nem vált be a fizikában. (Hozzáteszem, hogy az elliptikus változat korábbi fizikai alkalmazásáról én nem tudok!) Hogy adott esetben melyik geometriát kell (lehet) alkalmazni, azt a mozgás ( eredő sebességek ) jellege (és így k vagy R érvényre jutása, dominálása) határozza meg, dönti el 5 ; végső fokon a tapasztalat. (Lásd még: [9].) d) A kanonikus egyenletek alapján a kúpszeletek mindegyike másodrendű görbe. (A kör is a kúpszeletek közé tartozik!) A (26) alatti másodrendű görbe valójában nem kúpszelet. Ezt az egyenletet egyetlen valós pont koordinátái sem elégítik ki; ami akkor is áll, ha a homogén koordinátás x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 =0 egyenletre térünk át. Szemlélet szempontjából (26) üres alakzat, amelyhez (valós) ideális pont ( végtelen távoli pont ) sem tartozik. A C-K-féle modellben, vagy a Poincaré-féle modellben ideális pontot alkotnak a határgörbére illeszkedő, vagy az azon kívül eső pontok. Párhuzamos egyenesekhez azonos ideális pont tartozik. Az ideális térelemeknek (ilyen még a végtelen távoli egyenes, végtelen távoli sík ) fontos szerepük van a geometriában. Általuk az illeszkedési és metszési tételek egyöntetűbben fogalmazhatók meg! Ennek révén például a két egyenes vagy metszi egymást, vagy párhuzamos kijelentést az alábbi helyettesíti (váltja fel): Két egyenes 5 Ebben a kérdésben alapvetően eltérő véleményen vagyunk Topával. 9

10 mindig metszi egymást; párhuzamosság esetén a közös ideális pontjukban. (Lásd: [2], o.) Az ideális térelemekkel bővített síkot projektív síknak nevezzük. Ennek az euklideszi síkkal szembeni jellegzetes sajátossága, hogy bármely két egyenesének van közös pontja. A projektív geometriában a közönséges és ideális pontokat egyenértékűeknek tekintjük! Itt azonban a közönséges távolságfogalom nem vihető át az ideális pontokra. A [2]-ben homogén koordinátákkal van kifejezve az elliptikus és hiperbolikus geometria metrikája! Komplex számok halmazához (számsíkhoz) egyetlen ideális pontot nevezetesen a szimbólummal jelölt pontot csatoljuk. (Ez a végtelennek nevezett, -nel jelölt szám a gömbfelület északi pólusához van rendelve!) Ezáltal a komplex számokat a Riemann-féle számgömbön ábrázolhatjuk; aminek számos előnye van. (Így pl. az, hogy a számsík a gömbbel topologikusan ekvivalenssé válik. Lásd: [2], 186, 379. o.) Számos ideális térelemek bevezetésére alapozott tétel található [12]-ben. (Lásd: o.) A projektív geometria is fölépíthető az euklideszi geometriától függetlenül, a projektív sík és tér [13]-ban található axiómarendszere alapján. (Lásd: o. Önálló felépítésben lásd még [4], o.) E helyt nem volt célunk részletesebben tárgyalni a projektív geometriára alapozott nemeuklideszi geometriákat. Inkább csak a figyelmet akartuk fölhívni, e kiegészítéssel is láttatni szerettük volna, hogy a geometriának mennyire hasznos fizikai alkalmazásai lehetnek. Ezt a lehetőséget is meg kell ragadni akkor, amikor a gondolatvilágunkban messzebbre akarunk látni. Ez a foghíjas irodalom miatt nem lesz könnyű feladat. e) Vizsgálataink során csupán síkra szorítkoztunk, de már ebből is látható, hogy a projektív geometria a matematikának nem könnyű fejezete. Az eredményeket nem rutinszerűen, nem módszeresen alkalmazott analitikus eljárásokkal, hanem sok ihletre, leleményességre, ötletre támaszkodva, építkezve kapjuk. A projektív geometria az ötletek tárháza, aminek révén tételeit elegáns és frappáns módon bizonyíthatjuk. 10

11 (Mivel nagyon sikamlós, ezért könnyen elcsúszhatunk rajta.) Megalkotója Jean-Victor Poncelet ( ) francia matematikus, hadmérnök-tábornok volt. 6 A 36 akadémia tagjává választott (Einstein szerint szikrázó elméjű és mély gondolkodású ) francia matematikus, Henri Poincaré véleménye, fölfogása volt, hogy: A geometria semmit sem mond a valóságos dolgokról, csak az a geometria, amelybe a fizikai törvényeket is beleértjük. Én is megpróbáltam, igyekeztem a geometriát a fizika számára hasznossá, használhatóvá tenni. Ma már talán elmondhatom, hogy egy kicsit ez sikerült is! Az meg, hogy mások hogyan vélekednek erről, egyáltalán nem érdekel! Immunissá tett a sok áltudományos okoskodó, a fizikát laikusan népszerűsítő, dilettánsan művelő szaktekintély, a magyarázó filozófusokkal együtt Láttam, megtapasztaltam, hogy úgy matematikai, mint fizikai szempontból valóban sok ad hoc szerű gondolatot igényel alkalmazáskor a geometriai modell megválasztása (konstruálása), és a fizikai törvényeknek ebbe való beágyazása. Azért, hogy a természet viselkedését, a világ szüntelen alakulását jobban megértsük és reálisabban megismerjük, ezt az utat ha tetszik, ha nem kénytelenek vagyunk választani, bejárni, föltárni. Hogy ez a kutatói tevékenységünk minél sikeresebb legyen, nagyon célratörően és tudatosan az egyetemi tanterveket is az eddigieknél sokkal jobban ehhez kellene igazítani! Ez azonban, sajnos, nem látszik egyhamar megvalósíthatónak, így a természet világára vonatkozó ismereteink szakszerű bővítése az elvárhatónál hosszabban fog végbemenni, bekövetkezni ideértve a filozófiai fölfogásunkat is. Ma még ott tartunk, hogy túlzás nélkül ki lehet tenni a táblát: A REFORMÁLÁS IDEJE ALATT AZ OKTATÁS TUDOMÁNYTALANÍTÁSA ZAVARTALANUL FOLYIK! Budapest, január 2. 6 A projektív geometria szigorú felépítését Poncelet a napóleoni hadsereg tisztjeként szaratovi orosz fogsága idején 1822-ben fejezte be. Fő műve (Értekezés az alakzatok projektív tulajdonságairól) életében teljes elutasításra talált, s csak halála után 15 évvel jelent meg könyv formájában. 11

12 HIVATKOZÁSOK [1] D. Hilbert - S. Cohn-Vossen: Szemléletes geometria (Gondolat, Budapest, 1982.) [2] Matematikai kislexikon: Főszerkesztő: Dr. Farkas Miklós (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979.) [3] Dobó Andor: Projektív metrikáról (Kézirat, Budapest, június 20.) [4] Reiman István: A geometria és határterületei (Gondolat, Budapest, 1986.) [5] I. M. Jaglom: Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat, Budapest, 1985.) [6] Moussong Gábor: A hiperbolikus geometria modellje (Bolyai-Emlékkönyv, Vince Kiadó.) [7] G. Vrănceanu: A Riemann-féle geometria, Bolyai János élete és műve (Állami Tudományos Könyvkiadó, Bukarest, 1953.) [8] A. Einstein: Éter és relativitáselmélet, Albert Einstein válogatott írásai (Typotex, Budapest, 2010.) [9] Dobó Andor - Topa Zsolt: Ki mondja meg, mi dönti el, mi az igazság? (Kézirat, Budapest, december 15.) [10] Kálmán Attila: Nemeuklideszi geometriák elemei (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.) [11] Dobó Andor: Mi a jelentősége a k=r választásnak? (Kézirat, Budapest, december 15.) [12] Hajós György: Bevezetés a geometriába (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.) [13] Pelle Béla: Geometria (Tankönyvkiadó, Budapest, 1979.) [14] Dávid Lajos: Bolyai-geometria az APPENDIX alapján (Minerva, Kolozsvár, 1944.) [15] Neumann Mária: A tér szerkezete és a lehetséges geometriák (Megjelent Modell és valóság c. könyvben, Facla Könyvkiadó, Temesvár, 1982.) 12

Segítség és útmutatás az eligazodáshoz

Segítség és útmutatás az eligazodáshoz Segítség és útmutatás az eligazodáshoz (Apróságok IV.) Mivel nem könnyű eligazodni az euklideszi geometria és a hiperbolikus geometria tulajdonságai és állításai között, ezért az [1]-ben, [2]-ben és [3]-ban

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest. 2015. június 20.

Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest. 2015. június 20. A görbületek világa 1 Kristály Sándor Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest 2015. június 20. 1 Az MTA Bolyai János Kutatói Ösztöndíj által támogatott kutatás. Eukleidészi világnézet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

ÖSSZEHASONLÍTÓ GEOMETRIA BEVEZETÉS

ÖSSZEHASONLÍTÓ GEOMETRIA BEVEZETÉS Nagyné Kondor Rita ÖSSZEHASONLÍTÓ GEOMETRIA BEVEZETÉS Az élő, korszerű matematikaoktatás legfontosabb feladata, hogy önálló gondolkozásra, a döntéshelyzetek megismerésére és megoldására nevelje a fiatalokat.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Az R 3 tér geometriája. Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Az R 3 tér geometriája. Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális vektorok:

Részletesebben

választással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi.

választással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi. Egy kis számmisztika Az elmúlt másfél-két évben elért kutatási eredményeim szerint a fizikai téridő geometriai jellege szerint háromosztatú egységet alkot: egymáshoz (a lokális éterhez mért v sebesség

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Még egyszer a Cayley-Klein modellről

Még egyszer a Cayley-Klein modellről Még egyszer a Cayley-Klein modellről (Apróságok II.) Az [1]-ben, a 3. pontban részletesen ismertettem a hiperbolikus sík Cayley-Klein-féle modelljét. Az ott leírtakat most több vonatkozásban is helyesbítem,

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez 1 A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez A síkmértani szerkesztések között van egy kedvencünk: a szabályos n - szög közelítő szerkesztése. Azért vívta ki nálunk ezt az előkelő helyet, mert nagyon

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Geometriai axiómarendszerek és modellek

Geometriai axiómarendszerek és modellek Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Az Yff pontok vizsgálata különböző geometriákban

Az Yff pontok vizsgálata különböző geometriákban Az Yff pontok vizsgálata különböző geometriákban Szakdolgozat Paulik Rita Matematika BSc, Matematika tanári szakirány Témavezető: Dr. Rózsahegyiné Vásárhelyi Éva egyetemi docens Konzulens: Lénárt István

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

1. A komplex számok ábrázolása

1. A komplex számok ábrázolása 1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az

Részletesebben

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A TANTÁRGY ADATLAPJA

A TANTÁRGY ADATLAPJA A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeş-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika Kar 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika Int 1.4 Szakterület

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Kártyázzunk véges geometriával

Kártyázzunk véges geometriával Kártyázzunk véges geometriával Bogya Norbert Bolyai Intézet Egyetemi tavasz, 2016 Tartalom Dobble Véges geometria Dobble újratöltve SET Kérdések Hogy tudunk ilyen kártyákat konstruálni? 8 helyett más

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató A hármas és háromszoros integrál Definició A fizikai meggondolások előzményeként jutunk el a hármas integrál következő értelmezéséhez. Legyen értelmezve

Részletesebben

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

A projektív geometria alapjai. Kovács Zoltán

A projektív geometria alapjai. Kovács Zoltán A projektív geometria alapjai Kovács Zoltán előadásvázlat, 2003 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés, homogén koordináták az euklidészi síkon 2 2. A projektív sík 5 3. Projektív transzformációk 8 4. Centrális

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Összehasonlító vizsgálatok a gömb és a sík geometriájában

Összehasonlító vizsgálatok a gömb és a sík geometriájában Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikatanítási és Módszertani Központ Összehasonlító vizsgálatok a gömb és a sík geometriájában Körzőrózsák és hozzáírt körsorozatok Szakdolgozat

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Egy feladat megoldása Geogebra segítségével

Egy feladat megoldása Geogebra segítségével Egy feladat megoldása Geogebra segítségével A következőkben a Geogebra dinamikus geometriai szerkesztőprogram egy felhasználási lehetőségéről lesz szó, mindez bemutatva egy feladat megoldása során. A Geogebra

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Egy geometriai szélsőérték - feladat

Egy geometriai szélsőérték - feladat 1 Egy geometriai szélsőérték - feladat A feladat: Szerkesztendő egy olyan legnagyobb területű háromszög, melynek egyik csúcsa az a és b féltengelyeivel adott ellipszis tetszőlegesen felvett pontja. Keresendő

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

A Michelson-Morley kísérlet gyökeres átértékelése

A Michelson-Morley kísérlet gyökeres átértékelése A Michelson-Morley kísérlet gyökeres átértékelése Az [1]-ben több évnyi irányvesztett bolyongás után végre sikerült rálelni a Dobó-féle dimenziótlan k D (vagy a vele lényegileg egyenértékő, modellünkben

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

PROJEKTIV GEOMETRIA JEGYZET. Geometria Tanszék

PROJEKTIV GEOMETRIA JEGYZET. Geometria Tanszék PROJEKTIV GEOMETRIA JEGYZET Készítette: Osztényi József Geometria Tanszék Projektív geometria 2 I. BEVEZETÉS A geometria tudománya azzal kezdődött, hogy a tapasztalati tárgyakból absztrakcióval megalkották

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben