A GEOMETRIAI PARADIGMAVÁLTÁS HATÁSA

Átírás

1

2 A GEOMETRIA FORRADALMA 1831-ben jelent meg Bolyai Farkas Tentamen c. munkája 1. köt. függelékeként Bolyai János( ) 26 oldalas munkája Appendix címmel. Létrehozta a Bolyai-féle abszolút és a Bolyai- Lobacsevszkij féle hiperbolikus geometriát. A GEOMETRIAI PARADIGMAVÁLTÁS HATÁSA Az axiomatikus gondolkodás terén elért eredményei révén átalakította a matematikai gondolkodás egészét. Utat nyitott a 20. századi fizika elméletei előtt, melyek gyökeresen változtatták meg a világképünket. Hatásaként újra kellett gondolni a matematikai logika alapjait, az egész tudományról vallott addigi elképzelésünket.

3 A legrégebbi geometria (jelentése: földmérés) az ősi földművelő társadalmakban (Egyiptom, Babilónia stb.) gyakorlati jellegű volt, tapasztalati írások és állítások formájában élt. Egységes rendszerbe foglalása, elméleti tudománnyá fejlesztése Euklidész (kb. Kr. e ) 13 kötetből álló Elemek (Sztoikheia) c. tudományos munkája. 9 axiómát és 5 posztulátumot fogalmazott meg. Közülük az 5. posztulátum (későbbi kiadásban 11. axióma): Legyen megengedett: ha egy egyenes két másikat úgy metsz, hogy az egyik oldalán lévő belső szögek összege két derékszögnél kisebb, akkor a metsző egyenesnek azon az oldalán a másik két egyenes metszi egymást. Az 5. posztulátumot az Elemek legrégebbi kritikusai a többi alaptételhez viszonyítva nem találták elég szemléletesnek. A metszés ugyanis kellően nagy távolságok esetén tapasztalással nem állapítható meg.

4 Euklidész a maradék axiómarendszerből levezette, hogy a síkon, egy egyeneshez bármely kívüle levő ponton át legalább egy párhuzamos egyenes húzható. Azt azonban, hogy csak egy ilyen egyenes van, nem tudta a levezetni, ezért egészítette ki rendszerét az 5. posztulátummal. Indirekt úton, az 5. axióma tagadásából kiinduló következtetések során próbáltak ellentmondásra jutni, s ezzel az axióma igaz voltát bizonyítani Saccheri (1733) és Lambert (1786), de publikált bizonyítási kísérleteikben nem jutottak belső logikai ellentmondásra. Mérföldkőnek tekinthetjük a 19. század elején Kant A tiszta ész kritikája (1781) c. munkáját, amely felgyorsította a geometria alapjaival való foglalkozást. Szerinte a geometria az a tudomány, amely a tér tulajdonságait szintetikusan és a priori meghatározza. Kant és követői szerint a világ euklideszi, emberi elme más szerkezetű térre még csak nem is gondolhat. Gauss 1817-ben már meg volt győződve arról, hogy az 5. posztulátum független a másik 4 axiómától és látni kezdte a kibontakozó geometriai új világ körvonalait. 19. sz. elején a matematikusok egy elegáns bizonyításra vártak, amely megmutatja, hogy a párhuzamossági axióma levezethető a többiből. De nem ez történt.

5 Bolyai János és tőle függetlenül Lobacsevszkij a párhuzamossági axiómát annak tagadásával helyettesítették. Az e egyeneshez egy külső pontból több olyan egyenes húzható az e és a P által meghatározott síkban, amelyek e-t nem metszik. Következményeit vizsgálva ez a helyettesítés nem vezetett ellentmondáshoz, így egy új geometria született. Ebben a geometriában a párhuzamosságot a következőképpen értelmezzük: A PB és a QA egyenesek párhuzamosak, mert a PQ egyenes ugyanazon az oldalán vannak és nincs közös pontjuk. A QPB szögtérben haladó P-n átmenő minden egyenes metszi a QA-t. Az első négy axiómából levezethető állítások, fogalmak, tételek rendszerét abszolút geometriának nevezzük. A jelölt szögek összege: a) a BAM + ABN = 180º, vagy b) a BAM + ABN < 180º. az a) esetben az euklideszi geometriát kapjuk, a b) esetben a Bolyai-Lobacsevszkij-féle hiperbolikus geometriát.

6 A hiperbolikus geometriára elsőként az olasz Beltrami (1868) adott modellt. Azt vizsgálta, hogy létezik-e a 3-dimenziós euklidészi térben olyan felület, amelynek geometriája a felületen hiperbolikus. A modell az ún. pszeudoszféra, amely a traktrix forgásfelülete. Az egyeneseknek a geodetikus vonalak, a szögnek ezen vonalak alkotta szög, távolságnak a geodetikus ívhossz felel meg. A modellmódszerrel megalkotva a nemeuklidészi geometria modelljét az euklidészi geometriában csak a nemeuklidészi geometria relatív ellentmondás-mentességét sikerült bizonyítani. Hilbert 1899-ben alkotta meg az euklidészi geometria korszerű és szabatos axiómarendszerét.

7 1854-ben Bernhard Riemann ( ) A geometria alapjául szolgáló hipotézisekről c. munkájában egy újabb geometria, az elliptikus geometria lehetőségét mutatta meg. Ezen geometria egyenesei a gömbi főkörök, azaz olyan körívek, amelyek egy, a gömb középpontján átmenő sík és a gömbfelszín metszésvonalaként kaphatók meg. Nem léteznek párhuzamosok, és a háromszög szögeinek összege nagyobb 180 foknál. Így a XIX. század vége felé közeledve már három geometria is látókörben volt. Elliptikus Hiperbolikus Euklidészi tér Kérdés: egy, a hétköznapi tapasztalatoknak látszólag ellentmondó, de következetes matematikai elméletnek (nem-euklideszi geometriák) lehet-e köze a valósághoz?

8 Bolyai kéziratban megmaradt tételében megsejtette a gravitáció és a tér szerkezetének kapcsolatát: a nehézkedés törvénye is szoros összeköttetésben, folytatásban tetszik (mutatkozik) az űr természetével, valójával, milyenségével. Azt, hogy a fizikai kölcsönhatás meghatározhatja a geometriai értelemben vett tér szerkezetét Riemann mutatta ki. Ezen összefüggések megismerése vezetett Einstein általános relativitáselméletének kidolgozásához. Eszerint a tömegek közelében (ahol a gravitációs hatás jelentkezik) a geometriai tér szerkezete változik meg. Einstein relativitáselmélete szerint a tér és az idő nem abszolútak, hanem viszonylagosak, a fizikai leírást tekintve összekapcsoltak Bebizonyította, hogy a testek a téridőt görbítik meg, így a nem-euklideszi geometria a fizikai térnek egy jobb megközelítését adja. Felismerése: a görbült téridőben a magukra hagyott testek a lehető leg-egyenesebb vonalakon mozognak, de ez nem mindig lesz egyenes!

9 Einstein (1915) pontosan megadta, hogyan görbítik meg a testek a téridőt. Eddington az 1919-es napfogyatkozásnál szemléletesen igazolta, hogy a Nap mellett elhaladó fénysugár elhajlik, ezért a csillag más helyen látható, mint a tényleges helye. Einstein gravitációs elméletének ma már több kísérleti bizonyítékát ismerjük: a fénysugarak elhajlása a Nap és a csillagok közelében mellett a vöröseltolódás jelensége a nagyobb tömegű anyagok színképében, továbbá a Merkúr perihéliumának elfordulása.

10 MATEMATIKA, FIZIKA, FILOZÓFIA Bolyai szerint a tudományokat a módszer és a rendszer tekintetében is tökéletesíteni kell. Ehhez a tudomány lényegét el kell választani a változó, időleges elemektől. Bolyai az Üdvtan c. enciklopédikus munkájában törekedett egy tökéletes tudományos nyelv létrehozására. Bolyainál a matematika a természet leírásának eszköze szerepét tölti be. A világ megértéséhez szükséges, hogy ez a leírás tökéletes legyen.. Melyik geometria az, amely a világegyetemben érvényes? Bolyai szerint végtelen sok ellentmondásmentes hiperbolikus nemeuklideszi geometria létezik, de hogy mi valósul meg a természetben, az a priori előzetesen nem eldönthető. A Természet ugyanis objektív, az embertől független törvények alapján működik, míg a különböző geometriák emberi alkotások. Bolyainál a fizikus nincs elkötelezve egyetlen matematikai elmélet mellett sem, szabadon választhat közöttük, amikor a fizikai világ leírásának eszközéül használja ben Domáldon született kézirattöredékében írja: minthogy azt tartottam, hogy a természetet nem szabad kényszeríteni, a természetet nem szabad ábrándok szülte agyrémek szerint formálni, hanem akarnunk kell ésszerűen és természetes módon az igazságot, vagy magát a természetet látni, és hogy meg kell elégednünk a lehető legjobb tárgyalással. Az Üdvtan etikájában olvashatjuk: A szabadság az értelmes létezés tenyészete, ahol a munkának és a gondolkodásnak nincs ember támasztotta akadálya.

11 A 20. század elejére bebizonyosodott, hogy a világ nagyban és kicsiben nem úgy működik, mint közepes méretekben. Felmerült a kérdés, hogy a felhalmozott tudományos ismereteket mennyiben tekinthetjük igaznak? Ennek vizsgálatára létrejött a tudományfilozófia, mint új filozófiai diszciplína Célja: hogy megalapozza a bizonyosságot, az empíriára és logikára alapozva egységes, tökéletesített tudomány kidolgozása. A TUDOMÁNYOK TEORETIZÁLÁSA Egységes, normatív tudomány eszménye; A természettudomány mintaként történő felfogása; Logikai, módszertani, ismeretelméleti kérdések előtérbe kerülése; Fő jellemzői (Suppe alapján): Racionalitás, objektivitás, unicitás, reprezentáció, individualitás elve. A logikai empirizmus főbb képviselői: Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein, a Bécsi Kör, Karl Popper.

12 Alapvető fordulat a kuhni tudománykép (Tudományos forradalmak struktúrája (1962), mely szerint az egymást váltó paradigmákban a racionalitás többféle normarendszere lehet érvényes. Ezzel filozófiai értelemben az abszolút, örök, szükségszerű, egyetlen és időtlen Igazság a nemeuklideszi geometriák mintájára adta át helyét az alternatíváknak, a pluralizmusnak, a választás szabadságának. Napjainkig a tudománnyal foglalkozó munkák nagy száma gyűlt össze, a tudományfilozófiák sokféle irányzata jellemző. Bebizonyosodott, hogy az empirikus tudományokban sem a tartalom, sem a módszer nem igazolható úgy, ahogyan episztemológusok generációi megpróbálták igazolni azt. Annak a vizsgálatához, hogy tudományok tökéletesítése kapcsán milyen tudománykép alakult ki a napjainkra Bolyai János által is vizsgált matematika, fizika, filozófia vonatkozásában gyakorló magyar kutatókkal készítettem riportokat.

13 Napjainkra nyilvánvalóvá vált, hogy tudományos elméleteink csak bizonyos korlátok között érvényesülnek. A tudomány a világ egyes jelenségeinek vizsgálatát, magyarázatát vállalhatja csak fel, nem pedig a világ egészének magyarázatát. Nem a matematika, hanem a tudományokban használt matematikai apparátus az, ami bizonyos határok között leírja a természet rendjét. A század eleji redukcionizmus után napjainkra a szintetikus, holisztikus megközelítési mód, a nyitott, dinamikus tudománymodell vált közös jellemzővé. Az Univerzum alapvető tulajdonsága, hogy saját önszerveződése kapcsán képes létrehozni a komplex formák és struktúrák gazdag sokszínűségét. A világ bonyolult rendszereinek kialakulásában és működésében a véletlen elemek megjelenésétől nem tekinthetünk el. A mikroméretű bizonytalanságok magukban hordozzák a jövőbeli különböző lehetőségek megvalósulását. Az ún. kaotikus jelenségek a tudományban a természetről alkotható azon kép elvesztését jelentik, miszerint a világ kiszámítható, és egy egészen új gondolkodásmód kezdetét jelentheti.

14 Összevetve Bolyai Jánosnak az emberi tudásról alkotott elképzelését a természetkutatók által vallott tudományképpel egyértelművé válik,, hogy Bolyai korát messze megelőzve megsejtette a tudományok egészéről vallott mai elképzelésünket. Az élet kimeríthetetlen számú és szabad szemmel többnyire már láthatatlannak tűnő mintázatait csak újabb és újabb, Bolyai felfedezéséhez mérhető világok zárjainak nyitját megtalálva ismerhetjük meg. Láthattuk, hogy Bolyai János egy ilyen kulcsot megtalálva nemcsak a geometriában, de a tudomány egyéb területein is milyen óriási perspektívát nyitott meg fejlődés számára. Új törvényekkel, túl a szűk egen, új végtelent nyitottam én eszemnek; király gyanánt, túl minden képzeten kirabolván kincsét a képtelennek nevetlek, mint Istennel osztozó, vén Euklides, rab törvényhozó. (Babits Mihály: Bolyai)