Az általános relativitáselmélet logikai alapjai

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az általános relativitáselmélet logikai alapjai"

Fruzsina Kelemenné
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Intro SpecRel AccRel GenRel Az általános relativitáselmélet logikai alapjai MTA Rényi Intézet/NKE GR100 konferencia,

2 Intro SpecRel AccRel GenRel S.R. G.R.

3 Intro SpecRel AccRel GenRel S.R. G.R. SpecRel GenRel

4 Intro SpecRel AccRel GenRel S.R. G.R. SpecRel AccRel GenRel

5 Intro SpecRel AccRel GenRel Szóhasználat (változás) Euklidesz/Einstein/... Hilbert/Tarski/... Posztulátumok Axiómák Axiómák

6 Intro SpecRel AccRel GenRel Einstein eredeti posztulátumai (1905): Relativitás elve: A fizikai törvények ugyanazok minden inerciális megfigyelő számára. Fény posztulátum: Van olyan inerciális megfigyelő, aki számára a fényjelek minden irányban ugyanakkora sebességgel terjednek.

7 Intro SpecRel AccRel GenRel Einstein eredeti posztulátumai (1905): Relativitás elve: A fizikai törvények ugyanazok minden inerciális megfigyelő számára. Fény posztulátum: Van olyan inerciális megfigyelő, aki számára a fényjelek minden irányban ugyanakkora sebességgel terjednek. Köv.: A fénysebesség minden inerciális megfigyelő számára minden irányban ugyanakkora.

8 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Tételek SpecRel

9 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Tételek Logikai nyelv: { B, IOb, Ph, Q, +,,, W } B W Q, +,,, IOb Ph B Fizikai objektumok (próbatestek) IOb Inerciális megfigyelők Ph Fényjelek Q Mennyiségek (idő, távolság) +, és összeadás, szorzás és rendezés W Világképreláció (6 argumentumú reláció)

10 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Tételek W(m, b, x, y, z, t) Az m megfigyelő a b próbatestet az x, y, z, t téridő pontban koordinátázza. m t b b x, y, z, t x y A b próbatest világvonala az m megfigyelő szerint: wline m (b) = { x, y, z, t Q 4 : W(m, b, x, y, z, t)} Az m megfigyelő szerint az x, y, z, t pontban látott esemény: ev m ( x, y, z, t ) = {b B : W(m, b, x, y, z, t)}

11 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Tételek Axióma [ AxPh ]: Fő axiómák A fénysebesség minden inerciális megfigyelő számára minden irányban ugyanakkora. m t ȳ p time( x, ȳ) 2 x y x space 2 ( x, ȳ) ( [ ( m IOb(m) c c > 0 xȳ p [ Ph(p) W(m, p, x) W(m, p, ȳ) ] space 2 ( x, ȳ) = c 2 time( x, ȳ) 2 )])

12 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Tételek Axióma [ AxPh ]: Fő axiómák A fénysebesség minden inerciális megfigyelő számára minden irányban ugyanakkora. Axióma [ AxOf ]: A mennyiségek struktúrája Q; +,, egy rendezett test. Racionális számok: Q, Q( 2), Q( 3), Q(π),... Kiszámítható számok, Szerkeszthető számok, Algebrai valós számok: A, Valós számok: R, Hiperracionális számok: Q, Hipervalós számok: R, stb.

13 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Tételek Axióma [ AxPh ]: Fő axiómák A fénysebesség minden inerciális megfigyelő számára minden irányban ugyanakkora. Axióma [ AxOf ]: A mennyiségek struktúrája Q; +,, egy rendezett test. Axióma [ AxEv ]: Az inerciális megfigyelők ugyanazokat az eseményeket (próbatestek találkozásait) koordinátázzák.

14 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Tételek Axióma [ AxSm ]: Egyszerűsítő axiómák Az inerciális megfigyelők ugyanazokat a mértékegységeket használják. Axióma [ AxSf ]: Az inerciális megfigyelők a saját vonatkoztatási rendszerükhöz képest nem mozognak. SpecRel SpecRel = AxPh + AxOf + AxEv + AxSf + AxSm

15 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Tételek Tétel: (Andréka Madarász Németi, 1998) SpecRel Bármely két inerciális megfigyelő m és k világképe között az áttéréstranszformáció egy Poincaré transzformáció. k k m világképe k világképe Köv.: SpecRel { Mozgó órák lelassulnak., Mozgó méterrudak megrövidülnek., stb.

16 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák TwP AccRel

17 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák TwP A logikai nyelv ugyanaz. B W Q, +,, IOb Ph Ob B Fizikai objektumok (próbatestek) IOb Inerciális megfigyelők Ph Fényjelek Q Mennyiségek W Világképreláció (6 argumentumú reláció) Megfigyelő: Ob(k) def xyzt b W(k, b, x, y, z, t)

18 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák TwP Axióma [ AxCmv ]: Minden megfigyelő, világvonalának minden pillanatában lokálisan olyannak látja a világot, mint egy inerciális megfigyelő. k Ob x m IOb k Ob x wline k (k) m IOb d x w mk = L d x w mk = Id, ahol def ε > 0 δ > 0 ȳ ȳ x δ w mk (ȳ) L(ȳ) ε ȳ x.

19 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák TwP Tétel: (Sz.G., 2004) SpecRel + AxCmv + Q, +,, = R TwP SpecRel + AxCmv + Th(R) TwP Szia fiam! Ikerparadoxon TwP

20 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák TwP Tétel: (Sz.G., 2004) SpecRel + AxCmv + Q, +,, = R TwP SpecRel + AxCmv + Th(R) TwP m k k

21 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák TwP Axiómaséma [ CONT ]: Ha egy megfigyelhető jelenség megváltozik, akkor van egy olyan időpont, ahol ez a változás bekövetkezett. Racionális számok: Q, Q( 2), Q( 3), Q(π),... Kiszámítható számok, Szerkeszthető számok, Algebrai valós számok: A, Valós számok: R, Hiperracionális számok: Q, Hipervalós számok: R, stb.

22 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák TwP Tétel: (Madarász Németi Sz.G., 2006) Axióma [ AxCmv ]: SpecRel + AxCmv + CONT TwP Minden megfigyelő, világvonalának minden pillanatában lokálisan olyannak látja a világot, mint egy inerciális megfigyelő. Axiómaséma [ CONT ]: Ha egy megfigyelhető jelenség megváltozik, akkor van egy olyan időpont, ahol ez a változás bekövetkezett. AccRel AccRel = SpecRel + AxCmv + CONT + AxEv + AxSf + AxDiff

23 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Teljesség EFE GenRel

24 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Teljesség EFE A logikai nyelv ugyanaz. B W Q, +,, IOb Ph Ob B Fizikai objektumok (próbatestek) IOb Inerciális megfigyelők Ph Fényjelek Q Mennyiségek W Világképreláció (6 argumentumú reláció) Megfigyelő: Ob(k) def xyzt b W(k, b, x, y, z, t)

25 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Teljesség EFE Az axiómák szintjén legyen minden megfigyelő egyenrangú. (Einstein) AxPh AxEv AxSf AxSm AxCmv AxDiff AxPh AxEv AxSf AxSm Például: AxPh, AxCmv AxPh.

26 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Teljesség EFE Axióma [ AxPh ]: Bármely fényjel pillanatnyi sebessége 1 a kibocsátás pillanatában, a fényjelet kibocsátó megfigyelő szerint. m p x

27 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Teljesség EFE GenRel GenRel=AxPh +AxEv +AxSf +AxSm +AxDiff+AxOf+CONT AccRel SpecRel GenRel

28 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Teljesség EFE Tétel: (Andréka Madarász Németi Sz.G., 2013) GenRel teljes a Lorentz sokaságokra nézve. M ψ i ψ k Q d w ik Q d ψ j Q d w ij w jk

29 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Teljesség EFE Einstein egyenletek: R ij 1 2 Rg ij=t ij

30 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Teljesség EFE Einstein egyenletek: R ij 1 2 Rg ij=t ij Definíció vagy Axióma?

31 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Teljesség EFE Einstein egyenletek: R ij 1 2 Rg ij=t ij Definíció vagy Axióma? Nincs lényeges különbség...

32 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Teljesség EFE Miért nem tétel?

33 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Teljesség EFE Miért nem tétel? Lehetne tétel is! (más úton haladva) Például: Hilbert-hatás + variációs elvek Einstein egyenletek

34 Intro SpecRel AccRel GenRel Nyelv Axiómák Teljesség EFE Ax : R ij 1 2 Rg ij = T ij SpecRel def T ij = R ij 1 2 Rg ij G.R. Köszönöm a figyelmet! Thm : R ij 1 2 Rg ij = T ij

Hasonló dokumentumok

(Természetesen, nem lesz ilyen sok kérdés feladva a vizsgán!) Hogy szól a relativitási elv a lehető legjobb megfogalmazásban?

Próba vizsgakérdések (A téridő fizikájától a tér és idő metafizikájáig) (Természetesen, nem lesz ilyen sok kérdés feladva a vizsgán!) Hogy szól a relativitási elv a lehető legjobb megfogalmazásban? Mit