2. A tantárgy tartalma Előadás Az axiomatikus módszer a matematikában. A geometria axiomatikus megalapozásáról.

Átírás

1 Tantárgy neve Geometria I Tantárgy kódja MTB1015 Meghirdetés féléve 1 Kreditpont 4k Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel (tantárgyi kód) MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kovács Zoltán Tantárgyfelelős beosztása Főiskolai tanár Tantárgy neve Geometria II Tantárgy kódja MTB1016 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 4k Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel (tantárgyi kód) MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kovács Zoltán Tantárgyfelelős beosztása Főiskolai tanár 1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései A hallgatók kapjanak naív betekintést az axiomatikus módszerről az euklideszi geometria axiomatikus felépítésén keresztül. Legyen biztos ismeretük az euklideszi geometria alapfogalmairól, a geometriai transzformációkról. Kapjanak átfogó képet a mérték geometriai szemléletű megalapozásáról. Fontos cél a szabadvektorok vektorterének geometriai megalapozása, majd az analitikus módszer elméleti és gyakorlati alkalmazása A gyakorlaton szilárdítsák meg és rendszerezzék az elemi euklideszi geometriáról középiskolában tanultakat. 2. A tantárgy tartalma Előadás Az axiomatikus módszer a matematikában. A geometria axiomatikus megalapozásáról. Az abszolút sík és tér rövid axiomatikus felépítése a metrikus axiómarendszer segítségével. Illeszkedési, folytonossági, rendezési, egybevágósági axiómák. A bevezethető fontosabb fogalmak (között van reláció, szakasz, konvex halmaz, félegyenes, szög, nevezetes szögpárok, félsík, féltér, szögtartomány, egybevágó szakaszok, szögek, háromszögek) és tételek (félegyenes koordinátázás, szakaszfelmérés, háromszögek egybevágóságának alapesetei, háromszög-egyenlőtlenség, oldalak és szögek összehasonlítása a háromszögben). A párhozamosság problémája, a párhuzamosság elegendő feltételei, a párhuzamos egzisztencia. A párhuzamossági axióma és fontosabb ekvivalensei, Euklidesz V. posztulátuma. Fejezetek az euklideszi geometriából. Párhuzamos térelemek. Egybevágóságok. Tengelyes tükrözés, tengelyes tükrözések kompozíciója, az egybevágóságok fixponttétele és alaptétele a síkban. Az egybevágóságok osztályozása a síkban. Az analóg térbeli tételek. Hasonlóságok a síkban és térben, osztályozásuk. A szabadvektorok terének geometriai konstrukciója.

2 A terület- és térfogatmérés geometriai megalapozása. Sokszögek területmérése, síkbeli ponthalmaz mérhetősége, néhány nevezetes síkidom területe. A térfogatmérő függvény, néhány nevezetes poliéder és a gömb térfogata. Az n-dimenziós affin tér, egyenesek, síkok, hipersíkok. Lineáris és affin transzformációk. Az affin transzformációk főtétele, a csatolt lineáris automorfizmus. Affin transzformációk fixponttétele. Euklideszi vektorterek és metrikus geometriák. Ortogonális transzformációk és izometriák, az izometriák főtétele. A projektív geometria alapjai. Homogén koordináták alkalmazása, a projektív sík és analitikus modellje. Desargues tétele. Projektív transzformációk, főtétel, fixponttétel. A kettősviszony, Papposz tétel. Kúpszeletek projektív geometriája. Normálforma tételek vektorterek és euklideszi vektorterek lineáris transzformációira. A kúpszeletek euklideszi és projektív osztályozása. Kúpszeletek metszése, kúpszeletek meghatározása 5 ponttal. A geometriák projektív nézőpontból. Az erlangeni program vázlatos ismertetése. A Caylei- Klein modell, a Klein-féle részcsoport. Gyakorlat A háromszög-geometria elemei. Nevezetes egyenlőtlenségek, nevezetes pontok, vonalak, körök. A körgeometria elemei. Alapfogalmak, érintő, érintőnégyszög, húrnégyszög. A pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal, hatványpont. Geometriai szerkesztések. Szerkesztések körzővel és vonalzóval, alapszerkesztések, racionális műveletek, gyökvonás, aranymetszés, a szabályos ötszög és tízszög szerkesztése. Néhány nevezetes probléma vázlatos tárgyalása. Egybevágósági és hasonlósági transzformációk alkalmazása elemi feladatok megoldásában. Tengelyes tükrözések szorzatának vizsgálata. Sokszögek, az egyszerű sokszögek szögösszege, nevezetes sokszögek és jellemzésük. Konvex poliéderek, Euler poliédertétele, szabályos testek. Az inverzió és alkalmazásai. A Poincaré-féle körmodell. Inverzív geometria. Projektív geometria, számolás homogén koordinátákkal. Kúpszeletekkel kapcsolatos szerkesztések. 3. Évközi ellenőrzés módja A gyakorlaton két zárthelyi dolgozat, melyek együttes eredményének legalább 50%-osnak kell lennie a sikeres gyakorlati jegy megszerzéséhez. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai Nincs külső szakmai gyakorlat.

3 5. A kötelező ill. ajánlott irodalom Kötelező irodalom: 1. Hajós György: Bevezetés a geometriába. Tankönyvkiadó, Budapest, Kovács Zoltán: Geometria. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, Kovács Zoltán: Projektív geometria. zeus.nyf.hu/~kovacsz. 4. Reiman István: A geometria és határterületei. TypoTeX, Budapest, Ajánlott irodalom 5. Coxeter : A geometriák alapjai (2. kiadás). Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Hatshorne: Geometry: Euclid and beyond. Springer, Moise : Elementary Geometry from an Advanced Standpoint (3rd ed.) Addison_Wesley, Martin: The foundations of geometry and the non-euclidean plane. Springer, Reiman István: Fejezetek az elemi geometriából. TypoTeX, Radó Ferenc Orbán Béla: A geometria mai szemmel. Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár- Napoca, Radó Ferenc Orbán Béla: A geometria mai szemmel. Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár- Napoca, Ryan, P.: Euclidean and non-euclidean Geometry. Cambridge University Press, Cambridge, A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása A tantárgy nem igényel speciális felszerelést.

4 Mintafeladatsor Geometria I-A A feladatsor pontértéke 72, de 60 pont számít 100%-nak. Tételek és definíciók kimondása (3 3pt) 1. A vonalzó axióma. A távolságfüggvény két lehetséges interpretációja a Descartes modellben. 2. A félsík axióma. Félsík megadása a Descartes modellben. 3. Szakasz, félegyenes és szögvonal definíciója. 4. Legendre I. és II. szögtétele, az abszolút külső szög tétel. 5. Euklidész V. posztulátuma, s két ezzel ekvivalens állítás. 6. Mikor nevez két szakaszt, szöget, háromszöget, alakzatot egybevágónak? 7. Osztályozza a tér egybevágósági transzformációit! A felsorolt transzformációkat definiálja is. 8. Irányított szakasz és szabadvektor fogalma, a szabadvektorok összeadása. Tételek bizonyítása (6 6pt) 9. Szemléltesse a Cayley Klein modellben: a.) HPP; b.) Két párhuzamos egyenesnek nem feltétlenül van közös merőleges transzverzálisa; c.) A párhuzamos egzisztencia tétel bizonyítása. 10. A szakaszfelmérés tétele. 11. A külső szög egyenlőtlenség (abszolút térben). 12. Az SsA kongruencia-állítás. 13. Három tengelyes tükrözés szorzata, ha a tengelyek egy pontra illeszkednek. 14. A párhuzamos szelők tétele. 15. A háromszögek hasonlóságának alapesetei. 16. Két tengelyes tükrözés szorzatának felcserélhetősége. (A bizonyításhoz szükséges lemma kimondásával.)

5 Mintafeladatsor, Geometria I-B A feladatsor pontértéke 72, de 60 pont számít 100%-nak. Tételek és definíciók kimondása (3 3pt) 1. A vonalzó axióma. A távolságfüggvény két lehetséges interpretációja a Descartes modellben. 2. Mikor nevezünk két háromszöget egybevágónak? A kongruencia axióma. Miért teljesül a kongruencia axióma a Descartes modellben? 3. Definiálja a következő fogalmakat, s adja meg, hogy milyen axiómákra van szükség a definícióhoz: szögvonal, konvex szögtartomány, hegyesszög. 4. Interpretálja a merőlegességet a Cayley - Klein modellben. Vizsgálja két párhuzamos egyenes közös merőleges transzverzálisának létezését. 5. A párhuzamosság elegendő feltételei abszolút síkban. Mit tud ezen feltételek szükségességéről? Válaszát a Cayley - Klein modellel támassza alá. 6. Mondja ki a sík egybevágóságainak fixponttételét és alaptételét. 7. A sík egybevágóságainak osztályozása. Definiálja a tételben szereplő speciális egybevágóságokat! 8. Hasonlósági transzformáció fogalma, a hasonlóságok alaptétele és fixponttétele. Tételek bizonyítása (6 6pt) 9. Egyenes és háromszög kölcsönös helyzetére vonatkozó két tétel folytonosan rendezett illeszkedési síkon. (Pasch és tsa.) 10. A keresztszakasz tétel. (A... = P int AOB irányban.) 11. Legendre I. szögtétele 12. Az SSS kongruencia állítás. 13. A szakaszfelező merőleges (egyenes), mint ponthalmaz. 14. A nagyobb oldallal/szöggel szemben nagyobb szög/oldal van egyenlőtlenség síkra vonatkozó tükrözés kompozíciójának vizsgálata. (Vázlatosan.) 16. A szabad tengelyválasztás tételei.

6 Mintafeladatok Geometria II-A 1. Végtelen távoli pont és affin párhuzamosság fogalma projektív síkon. 2. Projektív transzformáció fogalma. A projektív transzformációk alaptétele. 3. Kettősviszony fogalma és visszavezetése osztóviszonyra. 4. A másodrendű görbék projektív osztályozása. 5. A Klein-féle részcsoport leírása. 6. Határozza meg az y = 1/x hiperbola végtelen távoli pontjait. 7. Adott egy centrális kollineáció tengelye, centruma és egy megfelelő pontpár. Legyen valamennyi megadott elem közönséges. Szerkessze meg az eltűnési egyenest!

7 Mintafeladatok Geometria II-B 1. Az affin transzformációk fixponttétele. 2. Normálforma tételek önadjungált és ortogonális transzformációkra. 3. Kettősviszony fogalma és visszavezetése osztóviszonyra. 4. A másodrendű görbék meghatérozása öt ponttal. 5. A vonalzó axióma a Cayley-Klein modellben. 6. Határozza meg az y = x 2 parabola végtelen távoli pontját. 7. Adott egy centrális kollineáció tengelye, centruma és egy megfelelő pontpár. Legyen valamennyi megadott elem közönséges. Szerkessze meg a végtelen távoli egyenes képét!