Szakdolgozat. Geodetikusok görbületének és torziójának vizsgálata a Sol homogén 3-geometriában. Virosztek Dániel. Konzulens:

Átírás

1 Szakdolgozat Geodetikusok görbületének és torziójának vizsgálata a Sol homogén 3-geometriában Virosztek Dániel Konzulens: Dr. Szilágyi Brigitta adjunktus Geometria Tanszék, BME Matematika Intézet BME 211

2 The importance of manifolds in modern mathematics can not be overemphasized. (S. S. CHERN, 1967.) 2

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 5 2. Sokaságok Topologikus sokaságok Sima sokaságok Riemann-geometriák Előzmények Vektortéren értelmezett tenzorok A deriváció mint algebrai fogalom Sima sokaság érintőtere és koérintőtere Sima sokaságon értelmezett függvények Kovariáns deriválás Párhuzamosság és geodetikus görbe A belső szorzás Szemi-Riemann-sokaságok Riemann-sokaságok Zenei izomorfizmus A Riemann-sokaság Levi-Civita kovariáns deriválása Riemann-sokaság geodetikusának differenciálegyenlete A Riemann-geometria különböző motivációi Homogén geometriák A Sol geometria Bevezetés a Sol geometriába Parametrizált görbe görbületének és torziójának számolása háromdimenziós, homogén Riemann-térben A Sol geodetikusainak görbülete, torzója Speciális kezdeti feltételek: a v= eset Speciális kezdeti feltételek: az u= eset

4 5. Összefoglalás Függelék A görbületet és torziót számoló algortitmusok A metrikus térre jellemző mennyiségeket számoló algoritmusok

5 1. fejezet Bevezetés A dolgozat központi témája a háromdimenziós, homogén Riemann-sokaságok objektumainak vizsgálata, különös tekintettel a Sol tér geodetikusaira. A szakdolgozat első felében a vizsgálathoz használt fogalmak bemutatásakor az alaposság egy lényeges szempont volt. Ez az áttekintés érinti például a sokaságokat: a topologikus sokaság felől közelítünk a Riemann-sokaság felé, és legbővebben a Riemann-sokaságokkal foglalkozunk. Definiáljuk és a Riemann-geometria megértéséhez szükséges mélységben tárgyaljuk a tenzorokat és a a derivációkat, utóbbi vizsgálatakor a hangsúlyt a kovariáns deriválásra helyezzük. Bevezetjük az érintőtér, a koérintőtér fogalmát és a Riemann-geometriákra jellemző, a metrikus tenzorból származtatható mennyiségeket, például a Christoffel-szimbólumokat, a Riemann-tenzort, a Ricci-tenzort. A kovariáns deriválás segítségével definiáljuk a geodetikus görbét, és levezetjük annak differenciálegyenletét. A háromdimenziós, homogén geometriákról szólva ismertetjük a Thurston-sejtést, amelyet G. I. Perelman igazolt a közelmúltban, és amely miatt a Sol geometria különösen izgalmas számunkra. Az alapfogalmak áttekintésekor a teljességre törekszünk, és ahol lehet, a bevezetett struktúrát példákkal motiváljuk (például a sima sokaságok, a kovariáns deriválás vagy a szemi-riemann sokaságok tárgyalásakor). Ugyanakkor ez a felépítés már terjedelmi okokból sem lehet igazán részletes. A különböző témákat az új eredmények megértéséhez szükséges mélységben vizsgáljuk. Az érintett témákat részletesebben felsoroljuk az Összefoglalásban. A háromdimenziós, homogén Riemann-sokaságok közül ebben a dolgozatban a Sol geometriával foglalkozunk, ez tekinthető a dolgozat másik pillérének. A Sol tér a Thurston-sejtésben szereplő nyolc kitüntetett homogén háromgeometria egyike. Bár metrikus alaptenzora egyszerűnek tűnik, megértése korántsem az. Erről tanúskodnak J. R. Weeks szavai is, melyeket a Sol geometriáról szóló fejezet mottójának választottam. 5

6 A Sol tér geodetikusainak differenciálegyenlet-rendszere a legáltalánosabb kezdeti feltételekkel elliptikus integrálra vezet. Jelen dolgozatban azokkal az esetekkel foglalkozunk, amikor a geodetikus kezdetiérték-problémájńak megoldása elemi függvények véges kompozíciója. A geodetikus görbéknek kiszámoljuk a görbületét és ellenőrizzük, hogy a torziójuk eltűnik. A számolásokat minden esetben a függelék A görbületet és torziót számoló algortitmusok című alfejezetében olvasható kód segítségével végezzük. Szilágyi Brigitta és Bölcskei Attila Frenet Formulas and Geodesics in Sol geometry című dolgozatának ([8]) tárgyalási módját követve a geodetikusok öt, lényegében különböző típusát vizsgáljuk. Ezek az esetek a különböző kezdeti feltételek, azaz - szemléletesebben szólva - irányok alapján különülnek el. Az 1., 2. és 5. esetben a [8] eredményeit rekonstruáljuk. A 3. és a 4. esetben új, általános görbületfüggvény születik, amely a speciális t= esetben (azaz az origóban) visszaadja a [8]-ban kiszámolt görbületet. Eredményeinket két új tételben foglaljuk össze. Erről a témáról írt dolgozatunk a Studies of the University of Zilina folyóirat 211/25. számában jelenik meg. Az Összefoglalásban néhány továbblépési lehetőséget is megemlítünk. 6

7 2. fejezet Sokaságok Sokaságokon topologikus tereket értünk, amelyektől különböző tulajdonságokat követelünk meg (például azt, hogy Hausdorff-terek legyenek), és amelyeket különböző stuktúrákkal látunk el, tulajdonságokkal ruházunk fel. Ilyen tulajdonság például a lokális hasonlóság az euklideszi térrel, mellyel a topologikus térből az euklideszi térbe képező homeomorfizmusok megadásával gazdagítjuk a topologikus teret. A sokaságok ismertetésekor adódik egy természetesnek tűnő rend, amely az egyszerűbb (kevesebb struktúrával rendelkező) terek felől halad a bonyolultabb (több struktúrával ellátott) sokaságok felé. Ez a sorrend annyiban önkényes, hogy a legritkább esetben egyezik meg a megismerés sorrendjével, hiszen a talán legkorábban megismert R n tér számtalan struktúrával rendelkezik, például az R n sima sokaság, sőt Riemann-sokaság, ráadásul homogén Riemann-sokaság, és a sor folytatható Topologikus sokaságok A külonböző sokaságok közül a legalapvetőbb, azaz a legszegényesebb sokaság a topologikus sokaság. Definíció (Topologikus sokaság). Egy (X, τ X ) topologikus teret n dimenziós topologikus sokaságnak (röviden n-sokaságnak) nevezünk, ha teljesíti a következő feltételeket: 1. (X, τ X ) megszámlálható bázisú, 2. (X, τ X ) Hausdorff-féle topologikus tér, azaz x, y X x V x τ X, y V y τ X : V x V y =, 3. (X, τ X ) minden pontjának van egy környezete, amely homeomorf R n -nel. (Ezt a tulajdonságot úgy is meg lehet fogalmazni, hogy X lokálisan euklideszi tér.) 7

8 A továbbiakban az (X, τ X ) topologikus sokaságot röviden X-szel fogom jelölni, s a topológia csak akkor lesz feltüntetve, ha lényeges. Definíció (Koordináta-térkép). Az (U, φ) párt az X topologikus sokaság egy koordináta-térképének nevezzük, ha U az X egy nyílt részhalmaza és φ : U V homeomorfizmus, ahol V az R n egy nyílt részhalmaza. A topologikus sokaság definíciója szerint minden p X ponthoz létezik egy (U, φ) koordináta-térkép, melyre p U. Ha ráadásul φ(p) = R n is teljesül, akkor az (U, φ) térképet p-középpontú térképnek nevezzük. Ha adott egy (U, φ) térkép, akkor az U-t minden x U esetén x koordináta-környezetének hívjuk. A φ homeomorfizmust lokális koordináta-leképezésnek, komponenseit (melyeket (φ 1,..., φ n )-nel jelölünk, és a φ(p) =: (φ 1 (p),..., φ n (p)) egyenlőséggel definiálunk) lokális koordináták nak nevezzük Sima sokaságok A topologikus sokaság struktúra kevés ahhoz, hogy az analízis eszközeivel vizsgáljuk a sokaságot, azaz például egy a sokaságon értelmezett függvény deriváltját definiáljuk és számoljuk, a sokaság görbéinek olyan R 3 -ban megszokott mennyiségeit definiáljuk és számoljuk, mint a görbület és a torzió, vagy egyszerűen a sebesség. Kézenfekvőnek tűnik például egy topologikus sokaságon értelmezett függvény differenciálhatóságát úgy definiálni, hogy egy f : U X R függvény pontosan akkor deriválható, ha az f ξ 1 : ξ(u) R n R függvény differenciálható, ahol ξ a megfelelő koordináta-leképezés. A következő példából azonban az derül ki, hogy ez a definíció nem független a koordináta-leképezéstől. Példa. Tekintsük az R topologikus teret a standard, euklideszi metrika indukálta topológiával, és ennek a ξ : R R, s ξ(s) := s 3 koordináta-leképezését. Most U = R, így ξ(u) = R. Ugyanennek a térnek tekintsük egy másik koordinátaleképezését, ez legyen az R identitása. Ekkor az f : (R, τ std ) R, x f(x) := 2x topologikus sokaságon értelmezett függvény az előbbi koordináta-leképezéssel számolva nem differenciálható (hiszen f ξ 1 : R R, r f ξ 1 (r) = 2r 1/3 a -ban nem deriválható), míg az utóbbit használva igen. Ezért, hogy a sokaságon kalkulust lehessen csinálni, a sokaság és az euklideszi tér között kapcsolatot teremtő homeomorfizmusoktól további szép tulajdonságokat követelünk meg. 8

9 Definíció (Átmenet-leképezés). Legyen X egy n dimenziós topologikus sokaság, és legyenek (U, ξ), (V, η) olyan koordináta-térképek, melyekre U V. Ekkor az η ξ 1 : ξ (U V ) η (U V ) leképezést átmenet-leképezésnek hívjuk. Mivel az átmenet-leképezés homeomorfizmusok kompozíciója, így maga is homeomorfizmus. Két koordináta-térkép definíció szerint C -kompatibilis egymással, ha U V =, vagy az η ξ 1 leképezés diffeomorfizmus, ráadásul sima leképezés, vagyis η ξ 1 és ξ η 1 is végtelenszer differenciálható. Azaz mindkét leképezésre igaz, hogy tetszőleges rendű parciális deriváltja létezik. A definíció értelmes, hiszen az η ξ 1 átmenet R n egy nyílt részhalmazáról R n egy nyílt részhalmazára képez, így a differenciálhatóság értelmezve van, és a klasszikus többváltozós analízis eszközeivel ellenőrizhető. Egy, a sima sokaság irányába tett lépés, ha a topologikus sokaság atlaszát definiáljuk. Definíció (Atlasz). Koordináta-térképek egy {(U α, ξ α )} α I rendszerét az X topologikus sokaság egy atlaszának hívjuk, ha α I U α X. Egy topologikus tér egy atlaszát sima atlasznak hívjuk, ha tetszőleges két koordináta-térképe C -kompatibilis. Egy sima atlasz anonban még nem elég a sima sokaság definiálásához, hiszen elképzelhető, hogy különböző atlaszok ugyanazt a sima struktúrát határozzák meg, azaz két különböző atlasszal számolva ugyanazok a függvények bizonyulnak simának. (A sima szót az egész dolgozatban végtelenszer differenciálható értelemben használjuk.) Példa. Tekintsük ismét az (R, τ std ) topologikus teret, ennek egyik atlasza legyen az R identitása, a másik atlasz pedig {(U k, ξ k )} k Z, ahol U k = (k 3, k + 3) és ξ 4 4 k = Id Uk. Látható, hogy mindkét esetben azok lesznek a topologikus sokaságon értelmezett sima függvények, amelyek a hagyományos értelemben simák. Ezért bevezetjük a maximális atlasz fogalmát. Definíció (Maximális atlasz). Egy X topologikus sokaság A = {(U α, ξ α )} α I sima atlasza maximális, ha nem létezik A-t szigorúan tartalmazó sima atlasz. Azaz ha A maximális, akkor minden térkép, amely nem A-beli, valamely A-beli térképekkel nem C -kompatibilis. Maximális atlasz segítségével már lehet sima sokaságot definiálni. Definíció (Sima sokaság). Legyen X egy n dimenziós topologikus sokaság. Ekkor X egy maximális atlaszát X egy sima struktúrájának nevezzük. Az (X, A) párt, ahol A az X sokaság egy maximális atlasza, sima sokaságnak hívjuk. 9

10 3. fejezet Riemann-geometriák 3.1. Előzmények A Riemann-geometria nagy apparátussal dolgozik, azaz nemtriviális matematikai fogalmak és eszközök egész sorának ismeretére van szükségünk egy Riemann-sokaság vizsgálatakor. Ezért következzék egy rövid, csak definíciókat és a matematikai objektum néhány alapvető tulajdonságát tartalmazó áttekintése a később felhasználandó fogalmaknak Vektortéren értelmezett tenzorok A Riemann-sokaságok vizsgálatában fontos szerepük van a tenzoroknak, például a sima sokaságot egy tenzormező teszi Riemann-sokasággá. Mivel ebben a dolgozatban valós sokaságokat vizsgálunk, ezért csak a véges dimenziós, valós vektortereken értelmezett tenzorokkal fogunk foglalkozni. Legyen V egy véges dimenziós, valós vektortér, és tekintsük a V téren ható lineáris funkcionálok (kovektorok) terét, azaz V duális terét, amelyet a továbbiakban V jelöl. Ekkor tenzorok különböző fajtáit definiálhatjuk. Definíció (Kovariáns k-tenzor). Egy F : V k R multilineáris leképezést, ahol V k a V tér önmagával vett k-szoros direkt szorzata, kovariáns k-tenzor-nak nevezünk. Jelöljük a V -n értelmezett kovariáns k-tenzorok terét T k (V )-vel. Például egy Riemann-struktúra kovariáns 2-tenzor. Teljesen hasonlóan definiálhatók a kontravariáns tenzorok. Definíció (Kontravariáns l-tenzor). Egy F : (V ) l R multilineáris leképezést, ahol (V ) l a V tér l. direkt hatványa, kontravariáns l-tenzornak nevezünk. A kontravariáns l-tenzorok terét T l (V ) jelöli. 1

11 Vegyes típusú tenzorok is használatosak a Riemann-geometriában. Definíció (Vegyes típusú tenzor). Egy F : V k (V ) l R multilineáris leképezést ( k ) l -típusú (másképpen: k-kovariáns, l-kontravariáns) tenzornak nevezünk. A ( ) k l -típusú tenzorok terét jelöljük T k l (V )-vel. Tenzorok szorzatát is természetes módon tudjuk definiálni. Általában a V tér elemeit X-szel fogjuk jelölni, a V tér elemeit pedig ω-val. Az Einstein-konvenciónak megfelelően a vektorokat alsó, a kovektorokat fölső indexszel fogjuk indexelni, továbbá ha egy index alsó és felső indexként is megjelenik egy kifejezésben, akkor arra szummázunk. Definíció (Tenzorszorzat). Legyen F Tj i (V ) és G Tl k (V ). Ekkor az F G T i+k j+l (V ) tenzorszorzatot a következő egyenlőség definiálja: F G ( ω 1,..., ω j+l, X 1,..., X i+k ) = = F ( ω 1,..., ω j, X 1,..., X i ) G ( ω 1,..., ω l, X 1,..., X k ). Az áttekintés egyik fő célja, hogy bevezethessük egy általános ( k l) -típusú tenzor nyomát, amelynek motivációja lehet például, hogy egy Riemann-sokaság Riccitenzora a Riemann-féle görbületi tenzor nyoma. Egy V véges dimenziós vektortér önmagára történő lineáris leképezésének a nyoma ismert. Könnyen látható, hogy a T 1 1 (V ) tér azonosítható a V tér endomorfizmus-félcsoportjával, ha tekintjük a Φ : End(V ) T 1 1 (V ), A ΦA leképezést, melyet a ΦA(ω, X) := ω(ax) egyenlőség definiál. Így ( 1 1) típusú tenzoroknak már tudjuk definiálni a nyomát: T r : T 1 1 (V ) R, F T r(f ) := tr(φ 1 (F )), ahol tr a szokásos, endomorfizmusokon értelmezett nyomfüggvény. Mivel egy endomorfizmus nyoma (a sajátértékek összege) bázisfüggetlen, így a T 1 1 (V )-n az imént értelmezett nyomfüggvény is bázisfüggetlen. Ezekután már tudjuk tetszőleges ( k l) -típusú tenzor (k 1, l 1) nyomát - amely egy ( k 1 l 1) típusú tenzor lesz - a következőképpen értelmezni: a T r : Tl k (V ) T k 1 (V ), F T rf l 1 leképezést úgy definiáljuk, hogy a T rf ( ω 1,..., ω l 1, X 1,..., X k 1 ) érték legyen az F ( ω 1,..., ω l 1,, X 1,..., X k 1, ) tenzor nyoma. A definíció pontosan azért értelmes, mert F ( ω 1,..., ω l 1,, X 1,..., X k 1, ) T 1 1 (V ). 11

12 A deriváció mint algebrai fogalom Definíció (Deriváció). Legyen A egy F test vagy gyűrű fölötti algebra. Ekkor egy D : A A leképezést derivációnak nevezünk, ha a következő feltételek teljesülnek: 1. D(X + Y ) = D(X) + D(Y ) ( X, Y A), 2. D(f X) = f D(X) ( f F, X A), 3. D(X Y ) = D(X) Y + X D(Y ) ( X, Y A). Az első két feltétel azt mondja ki, hogy D-nek F -lineárisnak kell lennie, a harmadik feltétel pedig az általánosított Leibniz-szabály. Könnyen meggondolható, hogy az absztrakt algebra deriváció-fogalma általánosítása az egyváltozós valós analízisből ismert deriválásnak, ahol a deriválás művelet a mindenhol differenciálható R R függvények R test fölötti algebráján hat Sima sokaság érintőtere és koérintőtere Amennyiben a sima sokaság egy R 3 -ba ágyazott felület, úgy az érintőtér nagyon is konkrét. Azonban a sima sokaság - mint a definíciójából is kiolvasható - ennél jóval tágabb fogalom, ezért szükségünk van az érintőtér egy absztraktabb definíciójára. Legyen M egy n-dimenziós sima sokaság, és legyen p M tetszőleges. Ekkor a sima sokaság p pontbeli T p M érintőterének két ekvivalens, de eltérő szemléletet tükröző meghatározása is létezik. Definíció (Érintőtér 1). T p M az M sokaság p pontján áthaladó görbék ekvivalenciaosztályainak halmaza, ahol két görbe pontosan akkor ekvivalens, ha p pontbeli sebességük - azaz a deriváltjuk a p pontban - megegyezik. Definíció (Érintőtér 2). Tekintsük a C (M)-beli függvények p-beli csíráinak R fölötti algebráját. Az ezen ható derivációk halmaza az M tér p-beli érintőtere, azaz T p M elemei az iránymenti deriválások. Definíciótól függetlenül a p egy U környezetén értelmezett lokális koordináták meghatározzák T p M egy (kanonikus) bázisát: B = { i : i {1,..., n}} T p M, ahol i = x i, azaz a bázist a parciális deriválások alkotják. A koérintőtér az érintőtér duális tere, vagyis az éritőtéren ható lineáris funkcionálok tere. A p ponthoz tartozó koérintőteret T p M-vel jelöljük. 12

13 Sima sokaságon értelmezett függvények A sima sokaságon értelmezett sima függvényeket és vektormezőket a koordinátaleképezések segítségével definiáljuk, vagyis a 2.2. alfejezetben már előrevetített technikával. Definíció (Sima függvény). Az f : M R függvényt simának mondjuk, ha p M pontra az f ξp 1 deriválható. : U R n R függvény a ξ 1 (p) U pontban végtelenszer Definíció (Sima vektormező). Vezessük be a T M = p M T p M jelölést. Ekkor az X : M T M vektormezőt, melyet egyértelműen fel tudunk írni X = X i i alakban, hiszen a parciális deriválások az érintőtér egy bázisát alkotják, simának nevezzük, ha az X i : M R függvények simák ( i {1,, n}). Tehát függvények és vektormezők simaságát a koordináta-leképezéseken keresztül definiáljuk, azonban a következő példából tisztán fog látszani, hogy sokaságon értelmezett vektormező párhuzamosságát nem lehet ennyire természetes módon a koordináta-leképezések segítségével megadni még abban az egyszerű esetben sem, ha a sima sokaság egy R 3 -ba ágyazott felület, például a kétdimenziós gömb. A párhuzamos vektormező azért is különösen fontos fogalom, mert ennek a segítségével lehet a párhuzamos eltolást sima sokaságon értelmezni. Definíció (Párhuzamos eltolás). Legyen M egy sima sokaság és γ : R [a, b] M egy sima reguláris görbe, ahol p := γ(a), p := γ(b) és legyen v T p M tetszőleges. Ekkor egyértelműen létezik olyan X : [a, b] T M párhuzamos vektormező, melyre X(a) = v. Ezesetben az X(b) =: v T p M vektort a v vektor γ görbe menti párhuzamos eltoltjának nevezzük. Következzék tehát a példa! Példa (Hogyan ne definiáljunk párhuzamos vektormezőt?). Legyen az M sima sokaság egy reguláris felület az R 3 -ba ágyazva, amelyet ξ 1 i : U i R 2 R 3 immerziók határoznak meg. Kézenfekvő definíciónak tűnik, hogy az X : M T M sima vektormező párhuzamos, ha az X i : U i R 2 R 2 vektormező konstans minden i {1,..., n}-re. Az X i leképezést a ξ 1 i (ξ i (p)) X i (ξ i (p)) = X(p) egyenlőség egyértelműen meghatározza, hiszen a ξ 1 i derivált leképezés mindenhol injektív, mert ξ i immerzió. Így tetszőleges γ i (t) U i reguláris görbe esetén d (X dt i(γ i (t))) =. 13

14 Most tekintsük az S 2 = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1} kétdimenziós gömböt a következő két térképpel: ( ) x ξ 1 : S 2 \ {(,, 1)} R 2 : (x, y, z) S 2 z + 1, y R 2, z + 1 ( ) x ξ 2 : S 2 \ {(,, 1)} R 2 : (x, y, z) S 2 z 1, y R 2. z 1 A ξ 1 sztereogafikus projekció értelmezési tartományából csak a déli sarok marad ki, míg a ξ 2 projekció csak az északi sarkot nem képzi le sehova, így ez a két térkép atlaszt alkot, mely maximális atlasszá egészíthető ki. Így adott az S 2 sima struktrúrája. Ekkor az S 2 -t meghatározó immerziók: ( ξ1 1 2u (u, v) = 1 + u 2 + v, 2v u 2 + v, 1 ) (u2 + v 2 ) u 2 + v 2 és ( ξ2 1 (u, v) = így a két térkép közti átmenetleképezés 2u 1 + u 2 + v, 2v u 2 + v, u2 + v u 2 + v 2 ξ 1 ξ 1 2 (u, v) = ξ 2 ξ 1 1 (u, v) = éppen az euklideszi sík inverziója. ( u u 2 + v 2, ). ) v u 2 + v 2 Megmutatjuk, hogy nem létezik olyan X : S 2 T S 2 triviálistól különböző vektormező, amely kielégítené a párhuzamosság imént megfogalmazott naiv definícióját. Legyen γ(t) egy S 2 \ {(,, 1), (,, 1)}-beli reguláris görbe, X T (S 2 ) egy sima (nem azonosan nulla) vektomező. Tegyük fel indirekt, hogy X-ből szarmaztatott X 1 : U 1 = R 2 R 2 és X 2 : U 2 = R 2 R 2 vektormező konstans (abban az értelemben, ahogyan a példa elején definiáltuk). Azaz feltesszük, hogy X 1 (ξ 1 (γ(t))) const 1 (t) és X 2 (ξ 2 (γ(t))) const 2 (t), ahol const 1 és const 2 két tetszőleges, nemnulla vektor, hiszen X nem azonosan nulla. Ekkor egyrészt X(γ(t)) = ξ 1 1 (ξ 1 (γ(t))) X 1 (ξ 1 (γ(t))) = ξ 1 2 (ξ 2 (γ(t))) X 2 (ξ 2 (γ(t))), (3.1.1) másrészt, alkalmazva a láncszabályt a ξ2 1 = ξ1 1 ( ) ξ 1 ξ2 1 azonosságra, arra jutunk, hogy ξ2 1 (ξ 2 (γ(t))) = ξ1 1 (ξ 1 (γ(t))) [ ] ξ 1 ξ2 1 (ξ2 (γ(t))). (3.1.2) 14

15 Így (3.1.2)-t (3.1.1)-be helyettesítve kapjuk, hogy ξ1 1 (ξ 1 (γ(t))) X 1 (ξ 1 (γ(t))) = ξ1 1 (ξ 1 (γ(t))) [ ] ξ 1 ξ2 1 (ξ2 (γ(t))) X 2 (ξ 2 (γ(t))). (3.1.3) Mivel a ξ1 1 leképezés immerzió, így (3.1.3)-ból következik, hogy X 1 (ξ 1 (γ(t))) = [ ] ξ 1 ξ2 1 (ξ2 (γ(t))) X 2 (ξ 2 (γ(t))). (3.1.4) Deriváljuk most ezt az egyenletet t szerint! A jobb oldalon álló szorzatra alkalmazzuk a mátrix értékű fügvényekre is érvényes Leibniz-szabályt: d dt (X 1 (ξ 1 (γ(t)))) = d ( ( ) ξ1 ξ2 1 (ξ2 (γ(t))) ) X 2 (ξ 2 (γ(t))) + dt + ( ) ξ 1 ξ2 1 (ξ2 (γ(t))) d dt (X 2 (ξ 2 (γ(t)))). X 1 és X 2 a feltevés szerint konstans vektormezők, így = d ( ( ) ξ1 ξ2 1 (ξ2 (γ(t))) ) X 2 (ξ 2 (γ(t))). (3.1.5) dt ( [ ] Az ellentmondáshoz elég belátni, hogy d dt ξ1 ξ2 1 (ξ2 (γ(t))) ) mindig reguláris, hiszen egy nullátoól különböző vektor reguláris leképezés általi képe nem lehet a nullvektor. A regularitás pedig abból adódik, hogy így és d du d dv ( ξ 1 ξ 1 2 ) (u, v) = ( v 2 u 2 2uv (u 2 +v 2 ) 2 (u 2 +v 2 ) 2 2uv u 2 v 2 (u 2 +v 2 ) 2 (u 2 +v 2 ) 2 ( ( ( )) ξ1 ξ2 1 2 (u, v) = (u 2 + v 2 ) 3 ( ( ( )) ξ1 ξ2 1 2 (u, v) = (u 2 + v 2 ) 3 ) u 3 3uv 2 3u 2 v v 3 3u 2 v v 3 u 3 + 3uv 2 3u 2 v v 3 u 3 + 3uv 2 u 3 + 3uv 2 3u 2 v + v 3 Legyen a ξ 2 (γ(t)) görbe sebessége abban a pontban, ahol a deriváltat tekintjük V nagyságú, és zárjon be a koordinátatengelyekkel α szöget. Ekkor d dt ( ( ) ξ1 ξ2 1 (ξ2 (γ(t))) ) = d du = A ( ( u 3 3uv 2) cos(α) + ( 3u 2 v v 3) sin(α) ( 3u 2 v v 3) cos(α) ( u 3 3uv 2) sin(α) ( ( ξ1 ξ2 )) V 1 d cos α+ dv, ) ) ( ( ξ1 ξ2 )) V 1 sin α = ( 3u 2 v v 3) cos(α) ( u 3 3uv 2) sin(α) ( 3uv 2 u 3) cos(α) + ( v 3 3u 2 v ) sin(α) ahol A = 2V. (u 2 +v 2 ) 3 Könnyen ellenőrizhető, hogy ennek a mátrixnak a determinánsa 4V 2, így (u 2 +v 2 ) 3 sehol sem tűnik el. Megjegyezhetjük még, hogy u 2 + v 2 pontosan azért, mert a feltevés szerint a γ(t) görbe elkerüli a sarkokat.. ), 15

16 A probléma megoldása a kovariáns deriválás fogalmának bevezetése. Látni fogjuk, hogy egy sima sokaságon többféle kovariáns deriválás létezik, és alapvető mennyiségek és tulajdonságok (görbület, torzió, párhuzamosság) sora függ a kovariáns deriválástól. Azaz például a vektormező párhuzamosságát csak egy adott kovariáns deriválásra nézve tudjuk értelmezni és hasonlóan: nem egy sima sokaságnak van görbülete és torziója, hanem egy rajra értelmezett kovariáns deriválásnak. Az, hogy mégis beszélhetünk egy Riemann-sokaság görbületi és torziótenzoráról, annak a következménye, hogy egy metrikus tenzorral ellátott sokaságnak létezik egy kitüntetett kovariáns deriválása, és ennek a görbületét, torzióját szokás azonosítani a Riemann-tér görbületével és torziójával. Ezzel a kitüntetett deriválással a alfejezetben foglalkozunk részletesebben Kovariáns deriválás Jelöljük az M sima sokaságon értelmezett sima függvények halmazát F (M)-mel, az ugyanezen sokaságon értelmezett sima vektormezők halmazát T (M)-mel. Ekkor F (M) gyűrű a sima függvények ponontonkénti összeadásával és szorzásával, míg T (M) F (M)-modulus, ugyanúgy, ahogy az R n -en értelmezett sima vektormezők tere modulus az R n -en értelmezett sima függvények gyűrűje felett. Most tekintsünk egy : T (M) T (M) T (M) leképezést, és X, Y T (M) esetén a (X, Y ) helyett alkalmazzuk inkább a X Y jelölést! Definíció (Kovariáns deriválás). Az imént bevezetett leképezés kovariáns deriválás az M sima sokaságon, ha a következő négy egyenlőség teljesül minden f, g F (M), X, X, Y, Y T (M) esetén: 1. X+X Y = X Y + X Y, 2. X (Y + Y ) = X Y + X Y, 3. fx Y = f X Y, 4. X (gy ) = (Xg)Y + g X Y. Azaz a kovariáns deriválás az első változójában lineáris, a második változójában additív, de nem homogén. A X Y vektormezőt az Y vektormező X szerinti kovariáns deriváltjának nevezzük. Ezt a terminológiát húzza alá a első argumentumának elhelyezése. Adódik a kérdés, hogy a kovariáns deriválás fogalmát milyen ismert fogalom ihlethette. Ellenőrizzük, hogy az R n -ben megszokott vektormező vektormező szerinti deriválása kielégíti a fenti négy derfiniáló egyenlőséget, azaz a kovariáns deriválás tekinthető a valós vektoranalízisből ismert deriválás általánosításának. 16

17 Példa. Legyen X : R n R n és Y : R n R n két sima vektormező, azaz X = X i E i, Y = Y j E j, ahol X i, Y j sima függvények (i, j {1,..., n}). Ekkor D X Y = ( X i E i, grad(y j ) )E j = (X i ( i Y j ))E j. Ebből az alakból jól látható, hogy D mindkét változójában additív. Most ellenőrizzük a 3. és a 4. tulajdonságot! Legyenek f, g : R n R sima függvények. Ekkor és D f X Y = (f X i ( i Y j ))E j = f (X i ( i Y j ))E j = f D X Y, D X (g Y ) = (X i ( i (g Y j )))E j = (X i ((g i Y j ) + ( i g Y j )))E j = (X i g i Y j )E j +(X i i g Y j )E j = g D X Y +( X, grad(g) Y j )E j = g D X Y +(Xg)Y. Ebből a számolásból közvetlenebbül látszik, hogy a kovariáns deriválás negyedik definiáló egyenlősége a Leibniz-szabály. Definíció (Christoffel-szimbólumok). Legyen az M sima sokaság egy kovariáns deriválása. Ekkor a i j = Γ k ij k azonossággal definiált Γ k ij együtthatókat Christoffel-szimbólumoknak nevezzük. Ha a kovariáns deriválásra mint ( 2 1) típusú tenzorra tekintünk, akkor mondhatjuk azt, hogy Γ k ij a kovariáns deriválás tenzor ( i, j, ω k ) T M T M T M báziselemen felvett értéke. Tehát a Christoffel szimbólumok függenek attól, hogy melyik kovariáns deriválást tekintjük, és fordítva: ha adottak a {Γ k ij} n i,j,k=1 sima függvények az M n-dimenziós sima sokaságon, akkor egyértelműen meghatároznak egy kovariáns deriválást. Definíció (Torzió). Legyen az M sima sokaság egy kovariáns deriválása, ekkor a τ : T (M) T (M) T (M), (X, Y ) τ(x, Y ) := X Y Y X [X, Y ] leképezést ( ( 2 1) -típusú tenzormezőt) a torziótenzorának nevezzük, ahol [X, Y ] az X és Y vektormezők Lie-zárójele, amelyet alább definiálunk. Definíció (Lie-zárójel). Legyenek X és Y sima vektormezők az M sima sokaságon. Ekkor Lie-zárójelüket a következő egyenlőség definiálja: [X, Y ] f := X(Y f) Y (Xf) f C (M), azaz [X, Y ] := (X j j Y i Y j j X i ) i. 17

18 Egy kovariáns deriválśt torziómentesnek nevezünk, ha a hozzátartozó torziótenzor azonosan nulla. Könnyű látni, hogy az R n -ben szokásos vektormező vektormező szerinti deriválása (melyről az imént láttuk, hogy kovariáns deriválása az (R n, std) sima sokaságnak) torziómentes. Definíció (Görbület). Legyen az M sima sokaság kovariáns deriválása, ekkor az R : T (M) T (M) T (M) T (M), (X, Y, Z) R(X, Y )Z := X Y Z Y X Z [X,Y ] Z leképezést ( ( 3 1) -típusú tenzormezőt) a görbületi tenzorának hívjuk. Ezt a tenzort Riemann-görbületnek is szokás nevezni Párhuzamosság és geodetikus görbe A kovariáns dereiválás fogalmának bevezetése után már tudjuk a párhuzamos vektormezőt és ezen keresztül a geodetikus görbét definiálni. Definíció (Párhuzamos vektormező). Legyen az M sima sokaság egy kovariáns deriválása, γ : [a, b] M egy sima, reguláris ív és X : M T M egy sima vektormező. Azt mondjuk, hogy az X párhuzamos a γ ív mentén a kovariáns deriválásra nézve, ha az X γ ív menti kovariáns deriváltja (azonosan) nulla. Vektormező ív menti kovariáns deriváltján az ív deriváltja (mint vektormező) szerinti kovariáns deriváltját értjük. Ezzel a definícióval értelmet nyert a párhuzamos eltolás korábbi definíciója. Egy kovariáns deriválással ellátott sima sokaság geodetikus görbéi azon görbék, amelyekre eltűnik a sebesség sebesség szerinti kovariáns deriváltja. Következzék a precízebb definíció. Definíció (Geodetikus görbe). Legyen az M sima sokaság egy kovariáns deriválása és γ : [a, b] M egy reguláris görbéje az M sima sokaságnak. Ekkor, ha a γ : [a, b] T M érintő vektormező párhuzamos a γ görbe mentén, akkor a γ görbét geodetikus (vagy autoparalell) görbének nevezzük. A fenti definíció szigorúan véve az autoparalell görbe definíciója, a geodetikus görbe (kevéssé formális megfogalmazásban) az a görbe, amely két elegendően közeli pont között minimális ívhosszal rendelkezik. Azonban szemi-riemann-terekben ez a két fogalom egybeesik. 18

19 A belső szorzás Geodetikusok görbülete és torziója A belső szorzást most a megszokottnál tágabban értelmezzük, mivel nem követeljük meg a pozitív definitséget. Definíció (Belső szorzás). Legyen V egy lineáris tér az F test felett. Ekkor egy B : V V F nem elfajuló (azaz v V elemre B(v, v) ), szimmetrikus, bilineáris funkcionált belső (skaláris) szorzásnak nevezünk Szemi-Riemann-sokaságok A Riemann-sokaságok vizsgálata előtt definiálunk egy általánosabb sokaságosztályt, a szemi-riemann sokaságok osztályát. Egy sima sokaság akkor válik szemi-riemann-sokasággá, ha minden pontjához hozárendelünk egy belső szorzást, amely a sima sokaságon simán változik. Precízebben megfogalmazva: legyen M egy sima sokaság, és minden p M pontra a T p M érintőtéren legyen adott egy olyan g p : T p M T p M R belső szorzás, hogy bármely X, Y : M T M sima vektormezők esetén a p g p (X(p), Y (p)) függvény sima. Ekkor a g : p g p hozzárendelést (az M sokaságon értelmezett) belső szorzásnak, az (M, g) párt szemi-riemann sokaságnak nevezzük. Első látásra furcsának tűnhet, hogy a szemi-riemann geometria definíciója alpján nem feltétlenül pozitív definit skaláris szorzással ellátott sima sokaságok is szemi- Riemann sokaságok. A következő példa magyarázhatja, hogy miért ilyen általános a definíció. Példa (Indefinit skaláris szorzással ellátott szemi-riemann sokaság). A Lorentztranszformáció az R 4 (amelyet tekinthetünk téridőnek is) egy egyparaméteres transzformációcsoportja, amely a következőképpen hat: t x y z L v t x y z := 1 1 v2 c 2 L v : R 4 R 4 1 v c 2 v 1 1 v2 c 2 1 v2 c 2 t x y z. (A leképezés egyetlen valós paraméterét v-vel jelöljük.) 19

20 A (ds) 2 = (c dt) 2 +(dx) 2 +(dy) 2 +(dz) 2 ívelemnégyzet tetszőleges v R esetén az L v transzformációra nézve invariáns metrika, hiszen a dt dt dx dy := L dx v dy dz dz jelölést használva (ds ) 2 = (c dt ) 2 + (dx ) 2 + (dy ) 2 + (dz ) 2 = ( = ) dt dx dy dz c dt dx dy dz = ( = 1 v c ) 1 v 2 1 c dt dx dy dz v2 1 c 2 v2 c v2 1 c 2 1 v c 2 dt 1 v 1 dx 1 v2 1 c 2 v2 c 2 dy = 1 v2 dz c 2 = (c dt) 2 + (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 = (ds) 2. Azaz egy indefinit ívelem négyzet bizonyult invariáns metrikának egy természetes transzformációcsoportra nézve. Az L v transzformációt lehet úgy is interpretálni, mint egy leképezést, amely a téridő egy eseményének koordinátáihoz hozzárendeli ugyanezen esemény egy, az eredeti rendszerhez képest v sebességgel mozgó rendszerbeli koordinátáit. Az R 4 a kanonikus sima struktúrájával és ezzel az invariáns belső szorzással ellátva Lorentz-sokaság. (Ha egy szemi-riemann sokaság metrikájának egyetlen negatív sajátértéke van, akkor Lorentz-sokaságnak hívjuk.) 2

21 3.2. Riemann-sokaságok Geodetikusok görbülete és torziója A Riemann-geometria az R 3 -ba ágyazott felületek differenciálgeometriájából fejlődött ki, annak általánosítása. Egy S R 3 felület érintővektorainak a hosszát könnyen lehet értelmezni, hiszen az S felület valamely p pontjához tartozó T p S érintőtéren definiálhatunk egy skaláris szorzást úgy, hogy ha u, v T p S, akkor az u, v belső szorzat legyen ezen vektoroknak az R 3 -beli (euklideszi) skalárszorzata. Ezzel a definícióval az S felületi görbéinek hosszát, és a felületi görbék által bezárt szögét is értelmezni lehet (az R 3 -ben szokásos módon). Ezután a motiváció után következzék az általánosítás. Definíció (Riemann-struktúra). Legyen M egy n-dimnenziós sima sokaság. Ekkor egy g leképezést, amely minden p M ponthoz hozzárendel egy, a sima sokaság p pontjához tartozó T p M érintőtéren értelmezett pozitív definit belső szorzást, Riemann-metrikának (vagy Riemann-struktúrának) nevezünk, ha teljesíti a következő simasági feltételt: bármely X, Y : M T M sima vektozmező esetén a p g p (X(p), Y (p)) sima sokaságon értelmezett fügvény sima. Ezzel a simasági feltétellel ekvivalens, hogy tetszőleges p M és (U, φ) : p U M koordinátatérkép esetén a p g ij (p) := g p ( i (p), j (p)) függvény sima U-n ( i, j {1,..., n}). Azaz a Riemann-sokaság annyiban különbözik a szemi- Riemann-sokaságtól, hogy a pozitív definitséget is megköveteljük a belső szorzástól, amellyel ellátjuk a sima sokaságot. A Riemann-metrika segítségével lehet definiálni egy természetes leképezést a Riemann-sokaság érintőterének és koérintőterének elemei között. Sőt, látni fogjuk, hogy különböző típusú tenzorok is megfeleltethetőek egymásnak. Ezek a leképezések a zenei izomorfizmusok Zenei izomorfizmus Legyen M egy g metrikával ellátott Riemann-sokaság. Ekkor azt a leképezést, amely a T M érintőtér egy X eleméhez hozzárendeli az X-szel való skaláris szorzás funkcionált, (a zenei módosítójelre utalva) bé leképezésnek hívjuk, és az X (Y ) := g(x, Y ) azonossággal definiáljuk. Ezt a T M T M hozzárendelést indexlehúzásnak is szokás nevezni. Az indexlehúzás, azaz a bé leképezés inverze az indexfelemelés, azaz a kereszt leképezés (amely nevét szintén a zenei módosítójel után kapta). A kereszt leképezés egy T M T M hozzárendelés, amely minden érintőtéren ható funkcionálhoz hozzárendeli az őt reprezentáló vektort. 21

22 Azaz az indexfelemelés definiáló azonossága: g(ω, Y ) = ω (Y ) Y T M. Hasonlóan lehet definiálni a zenei izomorfizmusokat általánosabb tenzorokra is. A : Tl+1 k T k+1, F F leképezést az F ( X 1,..., X k+1, ω 1,..., ω l) := F ( X 1,..., X k, Xk+1, ω 1,..., ω l) l azonosság definiálja, a : T k+1 l T k l+1, F F leképezést pedig az összefüggés. F ( X 1,..., X k, ω 1,..., ω l, ω l+1) := F ( X 1,..., X k, (ω 1 ), ω 2,..., ω l+1) A Riemann görbületi tenzor tisztán kovariáns alakját a ( 3 1) -típusú görbületi tenzorból nyerjük indexlehúzással A Riemann-sokaság Levi-Civita kovariáns deriválása A kovariáns deriválás bevezetésekor már említettük, hogy egy metrikával ellátott sokaságnak létezik egy kitüntetett kovariáns deriválása. Ezt értelemszerűen a metrika fogja meghatározni. Definíció (Metrikus kovariáns deriválás). Legyen M egy Riemann-sokaság, amelyet a g metrikával látunk el, és az M sokaság egy kovariáns deriválása. Azt mondjuk, hogy a metrikus, ha minden γ : [a, b] M reguláris görbe esetén a görbe menti π γ : T γ(a) M T γ(b) M párhuzamos eltolás a ( ) T γ(a) M, g γ(a) vektortérnek egy izometrikus leképezése a ( ) T γ(b) M, g γ(b) vektortérre. Ezzel a definícióval ekvivalens, hogy egy kovariáns deriválás pontosan akkor metrikus, ha a metrikus tenzor kovariáns deriváltja eltűnik. A definíció és így a definíciót követő állítások is szemi-riemann sokaságokra is érvényesek. Most következzék a beharangozott egzisztencia és unicitás tétel! Tétel. Egy (M, g) Riemann-sokaságnak egyértelműen létezik metrikus és torziómentes kovariáns deriválása. 22

23 A metrikus és torziómentes kovariáns deriválást Levi-Civita kovariáns deriválásnak hívjuk. A tétel technikás és hosszadalmas bizonyításának ismertetése helyett megmutatjuk, hogyan származtatható a Levi-Civita deriválás a sokaság metrikájából. (A függelék A metrikus térre jellemző mennyiségeket számoló algoritmusok fejezete tartalmazza azt a kódot, amely a Prgramozási feladat 3 tárgy keretében készült és többek között a Christoffel szimbólumokat, azaz magát a metrikus kovariáns deriválást számolja a metrikus tenzorból.) Először tekintsük a metrikusság egy szükséges és elégséges feltételét! Tétel (Metrikusság ekvivalens megfogalmazása). Legyen az (M, g) Riemannsokaság egy kovariáns deriválása. A pontosan akkor metrikus, ha a Z X, Y = Z X, Y + X, Z Y egyenlőség minden X, Y, Z T (M) sima vektormező esetén teljesül. Bizonyítás. Legyen az M sokaság egy metrikus kovariáns deriválása, x M és γ : [, b] M egy olyan reguláris görbe, melyre γ () = Z(x) teljesül. Ekkor = Z(x) X, Y = γ () X, Y = lim ɛ X γ(ɛ), Y γ(ɛ) X γ(), Y γ( ɛ lim ɛ = X γ(ɛ), Y γ(ɛ) π γx γ(), π γ Y γ() = ɛ + lim ɛ X γ(ɛ) π γ X γ(), Y γ(ɛ) ɛ Y γ(ɛ) π γ Y γ(), π γ X γ() ɛ = γ ()X, Y (x) + X(x), γ ()Y = Z(x) X, Y (x) + X(x), Z(x) Y. = = Vagyis ennek a Leibniz-szabály formáját követő azonosságnak a teljesülése szükséges feltétele a kovariáns deriválás metrikusságának. Most az elégségességet bizonyítjuk, így tegyük fel, hogy Z X, Y = Z X, Y + X, Z Y X, Y, Z T (M). Legyen γ : [a, b] M egy reguláris görbe, melyre γ(a) = x, γ(b) = x és X, Y : [a, b] T M azok a párhuzamos vektormezők γ mentén, melyekre v, w T x M esetén X(a) = v, Y (a) = w teljesül. Ekkor a t X(t), Y (t), t [a, b] függvény konstans, ugyanis a deriváltja azonosan nulla. Ez a feltett azonosság alapján belátható Z = γ választással és az X, Y vektormezők párhuzamosságát kihasználva. Ekkor viszont a v = X(b), w = Y (b) vektorokra teljesül, hogy v, w x = v, w x, vagyis a párhuzamos eltolás a γ mentén egy T x M T x M izometria, azaz a kovariáns deriválás metrikus. 23

24 Most ellenőrizzük, hogy a kovariáns deriválás torziómentességéből következik a Christoffel-szimbólumok szimmetriája! Lemma. A kovariáns deriválás pontosan akkor torziómentes, ha Γ k ij = Γ k ji minden i, j, k {1,..., n} esetén. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy T (X, Y ) X, Y T (M). Legyen most X = X i i és Y = Y j j. Ekkor = T (X, Y ) = X i i Y = Y j j Y j j X i i ( (X i i Y j ) j (Y j j X i ) i ) = = X i ( i Y j j ) Y j ( j X i i ) ( (X i i Y j ) j (Y j j X i ) i ) = [ = X i (Y j Γ k ij k ) + X i ( i Y j ) j ] [ Y j (X i Γ k ji k ) + Y j ( j X i ) i ] (X i i Y j ) j + (Y j j X i ) i = X i Y j Γ k ij k Y j X i Γ k ji k. Ez az egyenlőség csak akkor teljesül tetszőleges X, Y T (M) vektormezőre, ha Γ k ij = Γ k ji i, j, k {1,..., n}. A fenti számolás alapján Christoffel-szimbólumok szimmetriájából nyilvánvalóan következik a torziómentessége. A kovariáns deriválás metrikusságának egy harmadik, ekvivalens megfogalmazása az, hogy metrikus, ha a metrikus tenzor kovariáns deriváltja eltűnik, azaz ha k g ij = minden i, j, k {1,..., n} esetén. Egy F ( 2 ) -típusú tenzormező kovariáns deriváltját a következőképpen számoljuk: k F ij = k F ij Γ l ikf lj Γ l jkf il. Ezek alapján megmutatjuk, hogy az (M, g) Riemann-sokaság metrikus és torziómentes kovariáns deriválásának Christoffel-szimbólumai hogyan számolhatóak a metrikus tenzorból. Legyen az (M, g) tér Levi-Civita kovariáns deriválása. torziómentes, így Γ k ij = Γ k ji i, j, k {1,..., n}. metrikus, így azaz k g ij Γ l ikg lj Γ l jkg il = i, j, k {1,..., n}, i g mj = Γ l mig lj + Γ l jig ml j g mi = Γ l mjg li + Γ l ijg ml és m g ij = Γ l img lj Γ l jmg il. Ha a három egyenletet összeadjuk, és a Γ k ij = Γ k ji azonosságból adódó egyszerűsítéseket elvégezzük, azt kapjuk, hogy i g mj + j g mi m g ij = 2Γ l ijg ml. 24

25 Így ahol Tehát 1 2 gkm ( i g mj + j g mi m g ij ) = 1 2 gkm ( 2Γ l ijg ml ), 1 2 gkm ( 2Γ l ijg ml ) = Γ l ij δ k l = Γ k ij. Γ k ij = 1 2 gkm ( i g mj + j g mi m g ij ). (3.2.1) A felső indexekkel ellátott g a metrikus tenzor inverzét jelöli, ebből adódik, hogy g km g ml = δ k l Riemann-sokaság geodetikusának differenciálegyenlete A kitüntetett kovariáns deriválás megismerése után természetesnek tűnik a definíció, hogy egy Riemann sokaság γ görbéjét pontosan akkor hívjuk geodetikusnak, ha a Levi-Civita deriválásra nézve autoparalell, azaz a γ vektormező párhuzamos a γ görbe mentén. Párhuzamosságnak pedig a kovariáns derivált eltűnését neveztük, így egy γ : R I M reguláris görbe pontosan akkor geodetikus, ha kielégíti a γ(t) γ(t) = differenciálegyenletet. Ennek az egyenletnek egy közismertebb alakját kapjuk, ha lokális koordinátákat használunk. Legyen γ(t) = (γ 1 (t),..., γ n (t)), és innentől kezdve a paramétert nem jelöljük. Ekkor γ = γ i i, így az egyenlet a γ γ = γ i i γ i i = γ i γ j Γ k ij k + γ ( i i γ j) j = alakot ölti. Azaz k együtthatója minden k {1,..., n} esetén eltűnik, vagyis γ i γ j Γ k ij + γ ( i i γ k) =. Vegyük észre, hogy az összeg második tagja a láncszabály alapján éppen a γ k függvény t szerinti deriváltja. (A γ k, mely a γ görbe mentén van csak értelmezve, skalármezővé terjeszthető ki, és a γ k (γ(t)) függvényre alkalmazzuk a láncszabályt.) Tehát γ ( i i γ k) ( = ) d dt γ k = γ k, így eljutottunk a differenciálegyenlet jól ismert alakjához: γ k + γ i γ j Γ k ij = A Riemann-geometria különböző motivációi A Riemann-sokaságokról szóló bevezetőben szó volt arról, hogy a Riemann-geometriára úgy is lehet tekinteni, mint a felületelmélet általánosítására. Ennek megfelelően az R 3 -ba ágyazott felületeknél csak egy kicsit általánosabb objektumok is 25

26 Riemann-geometriák. Könnyen meggondolható, hogy tetszőleges φ : U R k R n (n k) immerzió esetén a graph(φ) R n topologikus tér (az R n -ből örökölt altér-topológiával) Riemann-geometria, ha a J T J metrikus tenzorral látjuk el, ahol J a φ leképezés Jacobi-mátrixa. Tehát a Riemann-sokaságok egyik családja az R n tér (hiper)felületei. Egy másik jellemző csoportját a Riemann-geometriáknak úgy nyerjük, hogy egy sima sokaságon (például R n -en) tekintünk egy transzformációcsoportot, megkeressük az (esetleg helyfüggő, pozitív definit) invariáns ívelemnégyzetet (amely minden transzformációra nézve invariáns) és ezzel a metrikával ellátjuk a sima sokaságot. Ekkor a transzformációcsoport elemei az így nyert Riemann-geometria izometriái lesznek. Ha ráadásul egy olyan T R transzformációcsoport invariáns metrikáját találtuk meg, amely az M sima sokaságon úgy hat, hogy minden x, y M esetén létezik tr T R, hogy tr(x) = y, akkor homogén geometriát nyertünk Homogén geometriák Definíció. Egy G geometria homogén, ha minden x, y G esetén létezik f izometria, hogy f(x) = y. Például az R n tér, az S 1, S 2 gömbök (és persze a magasabb dimenziós gömbök is) látványosan homogén geometriával rendelkeznek. A Riemann-geometriák megjelenése előtt minden ismert geometria homogén volt. Az utóbbi évek legjelentősebb homogén geometriákkal kapcsolatos eredménye G. I. Perelman bizonyítása, amely Thurston geometrizációs sejtését igazolta, azaz megmutatta, hogy minden kompakt háromsokaság, amely egy adott topologikus struktúrával rendelkezik, egyszerű háromsokaságok összege, ahol az egyszerű háromsokaságok mindegyike a következő nyolc homogén Riemann-geometria valameyikének metrikáját hordozza: E 3, H 3, S 3, S 2 R, H 2 R, SL(2, R), Nil és Sol ([5], [6], [7]). 26

27 4. fejezet A Sol geometria 4.1. Bevezetés a Sol geometriába This (the Sol geometry) is the real weird. Unlike the previous geometries, Solve geometry isn t even rotationally symmetric. I don t know any good intrinsic way to understand it. (J. R. WEEKS) [9] A Sol geometriát az R R 2 féldirekt szorzaton csoportstruktúra megadásával nyerjük. Homogén koordinátázást használva és egy rögzített origót (O(1,,, )) választva az (1, x, y, z) eltolást (jobbról) hattatva a Sol geometria (1, a, b, c) pontrjára a következő pontot kapjuk : 1 x y z ( ) 1 a b c e z e z = 1 ( ) 1 x + ae z y + be z z + c. (4.1.1) Ez az eltoláscsoport egy invariáns metrikát határoz meg, amely a következőképpen fejezhető ki az ívelemnégyzetek nyelvén tetszőleges (1, x, y, z) pontban ([1],[11]): (ds) 2 = (dx) 2 e 2z + (dy) 2 e 2z + (dz) 2. (4.1.2) Vagyis a Sol geometria metrikus tenzor-mezeje: e 2z g ij = e 2z. (4.1.3) 1 27

28 4.2. Parametrizált görbe görbületének és torziójának számolása háromdimenziós, homogén Riemanntérben A Frenet Formulas and Geodesics in Sol geometry című dolgozatban ([8]) Szilágyi Brigitta és Bölcskei Attila megadta a parametrizált görbék görbületének és torziójának kiszámolására szolgáló formulákat. (Ezek a formulák az R 3 -ban megszokott Frenet-formulák általánosításai.) Legyen r(t) = (x(t), y(t), z(t)) egy tetszőleges parametrizált görbe. Ekkor κ(t) = ṙ(t) 3 ṙ(t), ṙ(t) ṙ(t), r(t) r(t), ṙ(t) r(t), r(t), (4.2.1) ṙ(t), ṙ(t) ṙ(t), r(t) ṙ(t),... r (t) τ(t) = P r(t), ṙ(t) r(t), r(t) r(t),... ṙ(t), ṙ(t) r (t)... r (t), ṙ(t)... r (t), r(t)... r (t),... r (t) r(t), ṙ(t) ahol P = D ṙ(t) 12 ṙ(t), r(t) r(t), r(t), (4.2.2) és D a következő determinánst jelöli: ẋ(t) ẏ(t) ż(t) D = ẍ(t) ÿ(t) z(t) x (t) y... (t) z (t) Itt t tetszőleges paraméter, a görbe nem feltétlenül ívhossz-paraméterezésű. Természetesen ezek a formulák tetszőleges homogén metrikával ellátott térben érvényesek, nemcsak a Sol geometriában. Használatuk csupán a metrikus alaptenzor ismeretét feltételezi. A tér metrikája határozza meg a kifejezésekben szereplő belső szorzatokat A Sol geodetikusainak görbülete, torzója A alfejezetben levezettük egy általános Riemann-sokaság geodetikusának differenciálegyenlet-rendszerét. Ha a γ k + γ i γ j Γ k ij =, k {1,..., n} egyenletrendszerbe a Sol térre jellemző Christoffel-szimbólumokat helyettesítjük, a következő 28

29 formulát kapjuk: ẍ + 2ẋż = ÿ 2ẏż = (4.3.1) z e 2z (ẋ) 2 + e 2z (ẏ) 2 =. Keressük a Sol tér origóból induló geodetikus görbéit, azaz azokat a geodetikusokat, amelyek kielégítik a következő kezdeti feltételeket: = x() = y() = z(), ẋ() = u, ẏ() = v, ż() = w, u 2 + v 2 + w 2 = 1. A [8] tárgyalási módját követve öt, lényegében különböző esetet fogunk vizsgálni. Az esetek (melyek az u, v és w értékek alapján különülnek el) a következők: 1. u, v, < w = 1 u 2 v 2 < 1, 2. u, v, w =, 3. v =, < w = 1 u 2 < 1, 4. u =, < w = 1 v 2 < 1, 5. u =, v =, w = 1. Ezen kezdetiérték-problémák részletes megoldása a [8]-ban olvasható, jelen dolgozatban csak a végeredményt, vagyis a geodetikus görbék paraméterezését ismertetjük. Az előbbi esetszétválasztást követve a geodetikusokat az alábbi alakban írhatjuk fel: 1. x(t) = u t e 2z(τ) dτ, y(t) = v t e2z(τ) dτ, dz z(t) pedig a dt = ± szétválasztható differenciálegyenlet megoldása, amely nem elemi 1 u 2 e 2z v 2 e 2z függvény. 2. x(t) = ut, y(t) = vt, z(t) =. 3. x(t) = u sinh t cosh t+w sinh t, y(t) =, z(t) = ln (cosh t + w sinh t). 29

30 4. x(t) =, sinh t y(t) = v, cosh t w sinh t z(t) = ln (cosh t w sinh t). 5. x(t) =, y(t) =, z(t) = t. Geodetikusok görbülete és torziója Ezen geodetikus görbéknek számoltuk a görbület- és torziófüggvényeit. Az 1., 2. és 5. esetben a [8] eredményeit rekonstruáltuk. A 3. és a 4. esetben új, általános görbületfüggvény született, amely a speciális t= esetben (azaz az origóban) visszaadja a [8]-ban kiszámolt görbületet. (A számolásokat minden esetben a függelék A görbületet és torziót számoló algortitmusok című alfejezetében olvasható kód segítségével végeztük. A görbület- és torziófüggvények meghatározása kézzel rendkívül hosszadalmas.) Speciális kezdeti feltételek: a v= eset Emlékezzünk, hogy ezesetben a geodetikus görbe paraméterezése: sinh t x(t) = u cosh t + w sinh t y(t) = (4.3.2) z(t) = ln (cosh t + w sinh t). Ha alkalmazzuk az általános görbületszámoló formulát, azt kapjuk, hogy κ 3 (t) = [ ] (1 + ω 2 ) cosh 2t + 2ω sinh 2t 1 ω 2, (cosh t + ω sinh t) 3 amely átírható az következő, talán szemléletesebb alakba. Tétel. A háromdimenziós, homogén Sol tér (4.3.2) alakban felírt geodetikusainak görbülete a alábbi formula segítségével számítható: κ 3 (t) = 4 1 ω 2 [ ((1 + ω)e t ) 2 + ((1 ω)e t ) 2 ((1 + ω)e t + (1 ω)e t ) 3 (A κ alsó indexe az vizsgált eset számára utal.) Ez az általános képlet az origóban (t=-ban): ]. (4.3.3) κ 3 () = 1 w 2 (1 + ω 2 ). (4.3.4) 3

31 Speciális kezdeti feltételek: az u= eset Ez az eset a 3. eset duálisa. A geodetikus görbe paraméterezett alakja: x(t) = sinh t y(t) = v cosh t w sinh t z(t) = ln (cosh t w sinh t). (4.3.5) A korábbi metódust követve a görbületre a κ 4 (t) = 1 ω 2 [ (1 + ω 2 ) cosh 2t 2ω sinh 2t (cosh t ω sinh t) 3 összefüggés adódik. A 3. esethez hasonlóan ezt a függvényt is átírhatjuk egy másik alakba. Tétel. A háromdimenziós, homogén Sol tér (4.3.5) alakban felírt geodetikusainak görbülete a alábbi formula segítségével számítható: A görbület az origóban: κ 4 (t) = 4 1 ω 2 [ ((1 ω)e t ) 2 + ((1 + ω)e t ) 2 ((1 ω)e t + (1 + ω)e t ) 3 Vegyük észre, hogy általában is igaz, hogy ] ]. (4.3.6) κ 4 () = 1 w 2 (1 + ω 2 ). (4.3.7) κ 3 (t, ω) = κ 4 (t, ω) = κ 3 ( t, ω) = κ 4 ( t, ω), és ebből már következik, hogy a 3. és 4. esetben a görbületek megegyeznek a t = -ban. Ellenőriztük még, hogy a vizsgált geodetikusok (a 2-5. esetek görbéi) torziómentesek. 31

32 5. fejezet Összefoglalás A dolgozatban a a Sol háromdimenziós, homogén Riemann-sokaság geodetikusait vizsgáltuk, és új görbületfüggvényeket határoztunk meg. A geodetikus görbék vizsgálatához használt apparátus nemcsak a Sol térben alkalmazható, hanem tetszőleges Riemann-metrikával ellátott térben is. Ennek megfelelően a Curvature and Torsion of Geodesics in three Homogeneous Riemannian 3-Geometries című dolgozatunkban ([12]) nemcsak a szakdolgozatban ismertetett, a Sol térre vonatkozó eredmények szerepelnek, hanem a Nil és az SL(2, R) térben érvényes megfelelő formulák is. Utóbbiak a némely dolgozatokra fennálló diszjunktsági követelmények miatt nem kerültek be a szakdolgozatba. A dolgozat célja az eredmények ismertetésén túl, hogy a sokaságok elméletének egy olyan áttekintését adja, amely márcsak terjedelmi okokból sem teljes, ám a számolások során felszínre bukkanó (vagy a számolások mélyén megbúvó) matematikai fogalmakat korrekt módon definiálja, és esetleg példákkal plasztikussá teszi. Az elméleti áttekintést tartalmazó részekben a legritkább esetben használtam egyetlen irodalmat, így ezek a fejezetek hivatkozást is csak elvétve tartalmaznak. Ezért itt, az összefoglalásban szertném jelezni, hogy melyik témakör tárgyalására melyik irodalom volt a legnagyobb hatással. A második fejezetben a legáltalánosabb sokaság felől közelítünk a Riemanngeometriák felé, definíciókon és példákon keresztül ([1]). A harmadik fejezet első felében a Riemann-geometria apparátusának felépítésén dolgozunk. Bevezetjük a vektortéren értelmezett tenzorokat ([2]), a derivációt, sokaság érintőterét és annak duálisát ([2]), a sokaságon értelmezett függvényeket, a kovariáns deriválást ([4]) és a belső szorzást. Ezután a szemi-riemann sokaságokon keresztül a Riemannsokaságokig jutunk el ([3]), ahol értelmezve van a zenei izomorfizmus ([2]), létezik egy kitüntetett (Levi-Civita deriválásnak hívott) kovariáns deriválás ([4]). Ennek alapján felírjuk a geodetikusok differenciálegyenletét általános Riemann-sokaság esetén, majd átvezetésként a homogén geometriákba, a Riemann-geometria két moti- 32