Feketetest sugárzás. E = Q + W + W sug. E = Q + W + I * dt. ELTE II. Fizikus, 2005/2006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Hıtan (XI.

Átírás

1 ELTE II. Fizikus, 2005/2006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Hıtan 0-. (XI ) Feketetest sugárzás A sugárzás egy újfajta energia transzport (W sug. ), ahol I * = S da, ρ t w j w, t w A kontinuitási egyenletbıl: + div = + div S = 0 (Tér energia sőrőség(w)) E = Q + W + W sug. E = Q + W + I * dt w W * ( + div S ) dv = 0 = S d A = I t t ill. annak az integrálja:, továbbá, ahol S = E H és W = ( ED + HB) dv. 2

2 Kirchoff törvény hısugárzásra: (R- reflexió; T- transzmisszió; S - szórás; A - abszorbció) E(T) az emisszivitás, A(T) az abszobció (R + T + A =, sıt T = 0 ). E(T) /A(T) = E' /A' = E af (T) E (T ) I 2 (-A (T )) I I (-A 2 (T 2 )) T I 2 E 2 (T 2 ) T 2 ; A= (absz. f. test) (Hıtan I. fıtétele) I = E + R I 2 = E ( T ) + I2( A ( T )) ; ( T ) + I ( A ( T )) I2 = E2 + R2I = E Egyensúlyban az I energiaáram kiegyenlítıdik I I I = E = E E = A 2 ( T ) + I ( A ( T ) ( T ) + I ( A ( T ) ( T ) ( T ) E ( T ) ( T ) 2 ; ( T ) K( ) 2 = = Ea. f. = T A2 Az emissziós és abszorbciós együttható hányadosa anyagfüggetlen (univerzális). A fajlagos mennyiséget /a sugárzási sőrőséget/ kifejezve: Radiometrikus I * : Sugárzási áram /sug. teljesítm. Φ e / [Watt] J: Sugárzás erısség /intenzitás I e / [W/sterad] N : Sugárzás sőrőség [ W/sterad /m 2 ] N = di * /(ds n dω) /Ω - látószög [sterradián] / S n - a fényforrás felülete norm. komp.) 2

3 A Stefan - Boltzman törvény: N AF = σ T 4 σ - Stefan - Boltzman állandó: x 0-8 [W/srad /m 2 /K 4 ] Spektrálisan általánosítva a Kirchoff törvényt: λ 0 λ 2 E(λ, T)dλ = E(λ 2 -λ, T), a (λ 2 -λ ) hullámhossztartományban sugárzott teljesítmény. E(λ, T) dλ = E(T) az integrális emisszivitás, a teljes spektrumtartományban sugárzott teljesítmény. Igaz a részletes egyensúly elve: Az egyensúlynak minden frevencián (hullámhosszon) "be kell állnia". (T.f.h. /indirekte/, hogy nem igaz. Ekkor tegyünk be a rendszerbe egy frekvenciafüggést mutató tükröt /R(λ)-t /, az így nyert energia 00%-ban munkavégzésre használható az izoterm környezet "rovására"!) Kirchoff törvény általánosan: E(λ, T) /A(λ,T) = E'(λ,T) /A'(λ,T) = E a.f. (λ, T) (Hıtan II. fıtétele) 3

4 Spektrálisan adódik még a Wien féle eltolódási törvény: λ max T = 2884 µm K (Wien állandó) detektor I λ T m prizma T k (λ/dλ) T h absz. fekete test infra λ (üreg) σ = 2π 5 k 4 ; λ max T = hc 5h 3 c k 4

5 Planck (900) E(λ, T) = c ' λ -5 / (e c"/λt -) E(ν, T) dν = Z(ν) ē(ν, T) dν = dn ē(ν, T) Z(ν) = 8π ν 2 / c 3 ē(ν, T) = h ν / (e hν/kt -) (c', c" nem független) csak egy új állandó van h - a Panck állandó: Js. (A Stefan - Boltzman és a Wien féle állandó összefügg /lsd.:fent/ ) Fitt:) Rayleigh -Jeans törvény (ekvipartició): ē(ν, T) = kt (h ν << kt : távoli infra ) /UV katasztrófa/ 2) Wien törvény (Maxwell - Boltzman levágás) ē(ν, T) = h ν e -hν/kt (h ν >> kt : UV, röntgen ) Planck: az oszcillátor energiája nem lehet tetszıleges, csak diszkrét értékeket vehet fel (0, hν, 2 hν, 3 hν,...). Einstein (96): nemcsak az oszcillátor energiája kvantált, hanem a fény energiája is kvantált! (Fentebb ν tetszıleges) (A vonalas színképnél a ν nem tetszıleges). 5

6 A foton (A fényrészecske) Foton gáz Ideális gáz Állapotegyenletek: pv = E /3 pv = 2 E /3 fénynyomás gáznyomás Lebegyev: p = 2 g v = 2 (S/c 2 ) v p = 2 w = 2 E /V Statisztikusan /gáz/ (/6): p = 2 g x v x p = F/A = (/A)(2p x /dt) n (½v x dt) A p = ⅓ E /V p = n (p x v x ) = n (⅓pv) = ⅔ E /V E fot. = hν = hc/λ = pc E gáz = ½ mv 2 = ½ pv Relativisztikusan: E = c m 2 o c 2 + p 2 m o = 0 m o 0 (p << m o c, nem rel.) E fot. = pc E gáz m o c 2 + p 2 /2m o 6

7 A fundamentális egyenlet és a Maxwell reláció segítségével: ( E/ V) T = T( S/ V) T - p = T( p/ T) V - p 3p = E / V (3/2)p = E/V foton gázra: p(t) = [E/V](T) = Φ(T) ideális gázra: ( E/ V) T = 0 (Kirchoff törv. - Carnot anyag) (Gay-Lussac kisérlet) (E/V) T = ( E / V) T T( p/ T) V - p = 3 p T( p/ T) V - p = 0 T( p/ T) V = 4 p/t (p/t) = áll. = Ψ(V) 4 p = (σ /3) T p/t = n R /V E = σ T 4 V E = 3/2 n RT = (3/2) N kt (Stefan-Boltzman törvény) (n = N/L ; R = L k) 7

8 Entrópia, kémiai potenciál ds = (/T) de + (p/t) dv ds = (/T)[4σ T 3 V dt + σ T 4 dv] + (σ T 3 /3)dV ds = 4σ T 2 V dt + (4σ T 3 /3) dv ( S/ T) V = 4σ T 2 V ; S = 4/3 σ T 3 V + Ψ(V) ( S/ V) T = 4/3σ T 3 ; S = 4/3 σ T 3 V + Φ(T) S foton = (4/3) σ T 3 ' V + S o S id.gáz = n( S o " + C V lnt + R lnv) S foton = (4/3) E /T = 4 pv /T adiabata (S = áll.): T 3 V = áll. (TV κ- = áll.) T C V V R = áll. κ- = /3 ; κ foton = 4/3 κ- = R /C V = 2/3 ; κ id.gáz = 5/3 G = E - TS + pv = 0 = µ N µ foton = 0! A fotonok ( frekvencia szerinti) keveredése nem jár entópia növekedéssel! A fotonok szuperponálódnak, bozonok. Nincs részecske szám n megmaradás, mint a fermionoknál. 8

9 Wien gondolat E(V, T) = E(ν, T, V) dν = S B V T 4 (= σ termod. V T 4 = 4/c σ sug. V T 4 ). E /V = u(ν, T) dν = U/V = w(t) ( = 4/c K(ν, T) dν). E(ν, T, V) dν = ē(ν, T) Z(ν) dν = ē(ν, T) dn Adiabatikus tágítás fotongázra A dt ν E,V p, T v ν' Doppler eltolódást okoz! dv d E + pdv = TdV + 3VdT = ds = 0 (adiab.) () dν = -ν (2 v /c) (Doppler eff.) (2) V = c A dt (dt legyen!) (3) dv = v A dt (3') p = (σ /3)T 4 = w/3 (Áll. egy.) (4) E = σ T 4 V (Áll. egy.) (4') S = (4/3) E/T (Áll. egy.) (4") E(ν,T,V)= u(ν+dν,t+dt)(v+dv) -u(ν,t)(v) { de!; E(ν,T,V)dν = E} (5) dν /ν = (- 2v /c) </6> = </6> (2v A dt) / (cadt) = </6> (2 dv) /V (3 -ból) dν /ν = - dv/3v, amely tovább egyenlı: = dt/t (6), tehát ln ν = lnt + áll. ; (ν /T) = áll. (S = áll.!) de = - pdv = (σ /3)T 4 (3V) dν /ν = E dν /ν (E /ν) = áll. (, 4, 6- ból) a) E/V = u(ν, T)dν = σ T 4 ( /T 3 ) u(ν, T) d(ν /T) = = (ν /T) 3 [u(ν, T) /ν 3 ] d(ν /T) = σ = áll. u(ν, T) /ν 3 =Ψ(ν /T). u(ν, T)= ν 3 Ψ(ν, T) b) E(ν,T,V) = {u(ν,t) dv + V[( u/ ν) T dν + ( u/ T) ν dt]} (5- bıl) 0 = {u(ν,t) (/3)[ ν( u/ ν) T + T( u/ T) ν ]}dv (, 6-ból), tehát 3u = ν( u/ ν) T + T( u/ T) ν, amibıl szintén: u(ν,t)= ν 3 Ψ(ν /T) adódik. 9

10 Planck gondolat Raleigh-Jeans Wien (ν /T) << (ν /T) >> Ψ(ν /T) = a(ν /T) - b(ν /T) Ψ(ν /T) = C e E = N ē ; E ν = N ν ē ν ; E(T, V) = E(ν, T, V) dν = d E ν = d N(ν, T, V) ē(ν, T, V)= Z(ν)ē ν dν Z(ν) = (8πV/c 3 )ν 2 u(ν, T) = a'ν 2 kt (= a'ν 3 (kt/ν)) u(ν, T) = C'ν 3 e ē(ν, T) = kt ē(ν, T) = D ν e 0 b(ν /T) b(ν /T) Ekvipartició tétel M.- Boltzman faktor (levágás) ( S/ E) = /T T= ē/k ln ē ν = ln(dν) - b(ν /T) A továbbiakban: e = E ν /N, s = S ν /N,...! ( s / e) = /T = k/e ( s / e) = /T = [ln(dν) -lne] /bν -( 2 s / e 2 ) = k /e 2 = α /e 2 -( 2 s / e 2 ) = ( /bν) /e = β /e Planck -( 2 s / e 2 ) = β /[e + (β /α )e 2 ] = β /(e + e 2 /e P ) e >> e Planck (= α /β = hν) e << e Planck (= α /β) a négyzetes tag dominál, a lineáris tag dominál

11 ( s / e) = /T = ( 2 s / e 2 ) de = β ln[{e + (α/β)} /e] + γ exp(/βt) = [ +β /(αe)] exp(γ /β) E ν = N[ hν / (e hν/kt -)]. /kisérlet/ 2. E ν = N hν p(ν/t) /Ψ(ν /T) = p(hν/kt) - /p valószínőség/ 3. E ν /N = ē ν = E ν = N [ hν / (e hν/kt -)] e S ν = N k [(+p) ln(+p) - p lnp] hν hν kt = [ n( hν )] n n e e nhν kt nhν kt ; e n,ν = n (hν) /n = 0,, 2,../ kvantumos az energia + Boltzmann valószínőség (exp(-e/kt))