ELTE II. Fizikus 2005/2006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Optika 8. (X. 5)

Átírás

1 N j=1 d ELTE II. Fizikus 005/006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Optika 8. (X. 5) Interferencia II. Többsugaras interferencia Diffrakciós rács, elhajlás rácson Hullámfront osztás d sinα α A e = A j e i(π/λo) ns j ns = d sinα I e = I 1 sin {N(π d sinα/λ o )} sin (π d sinα/λ o ) j-dik d sinα = n λ o n = 0, + 1,, 3, 4 I 1 = I 1rés ; I e ~ N I 1! /α 0/ Energia megmaradás: ~N? Az I(α) félérték szélessége:~1/n A felbontás: λ/λ ~1/N (Hullámhossz diszperzió) 1

2 .. ϑ.... d Bragg reflexió Amplitudó osztás Gyengén tükrözı (periódikus) síkokon többszörös reflexió konstruktív interferenciában. d sinϑ = nλ koherens fény félig áter. tükör l I e ~ N I o Alkalmazások: atomelrendezıdésvizsgálata /röntgen diffrakció/, akusztooptika Michelson interferométer tükör l megfigyelı Amplitudó osztásos, kétsugaras interferencia (amplitudó osztás: evaneszcens hullámmal, vékony párologtatott fémréteg) Hosszmérés, fénysebesség mérés, Foucault A e = A 1 (e i(π/λo)l + e i(π/λo) l ) I e I o (1 + cos{(π/λo) (l - l )}) Relativitáselmélet.

3 Fabry Perrot interferométer d R = 99.8 %, R'= 98% T F.P. =99 % "A tükör nem tükröz, hanem átereszt!" Üregrezonátor Alkalmazások: -Színszőrık -Selényi kisérlet d t r 6 E o e i3 ϕ t r 4 E o e i ϕ t r E o e i1 ϕ tr E o tre o t E o E o te o ϕ= (π/λ o ) ns = =(π/λ o ) d t = T= 1-R= 1-r ; T = 1+R -R I e T = T I o (1+ R -R cos ϕ) I e T = I o 1 + (4R/T ) sin ( ϕ/) E e = t E o + t r E o e i ϕ + t r 4 E o e i ϕ +... = t E o (1+ r e i1 ϕ + r 4 e i ϕ + r 6 e i3 ϕ +...) 1+q + q +q =1/(1- q) E e = t E o 1- r e i ϕ I e = t 4 <E o > (1+ r 4 - r cos ϕ) 3

4 Antireflexiós réteg n n' n" t 1 r 1 r t t 1 r 1 r 3 e i3 ϕ' t 1 r 1 r e i ϕ' t 1 r e i ϕ' t 1 r 1 r t 1 r r 1 t 1 E o d hordozó I e refl = (r1 +r - r 1 r cos( ϕ') I o [1+r 1 r - r 1 r cos( ϕ') ] r 1 = -(n-n')/n+n') ; r = (n'-n")/n'+n") ϕ' = (π/λ o ) ns= (π/λ o ) n'd = π; cos( ϕ')= -1! I e refl. / I o = (r 1 + r ) [1+ r 1 r ] d = λ o /4n' ; n' = n n" = (n' - nn") [n' + nn"] 4

5 Fraunhoffer leírások (síkhullám) Kétdimenziós rács (elhajlás) k a sinα α a x x sinα k k sinα A rés egy közbensı x pontjában az áteresztés: -τ(x) = 1, ha átenged, -τ(x) = 0, ha nem enged át. A ϕ(x) fázisszög is helyfüggı: ϕ = (π/λ o ) x sinα = k x x k x = (π/λ o ) sinα = k (A folytonos leírást megtartjuk. Késıbb lehet majd féligáteresztést is kezelni: τ(x)= 0.5). A = τ(x) e i ϕ(x) dx = τ(x) e i k x x dx komplex amplitudó Intenzitás I A a ikx ika ikx e e 1 A = e dx = = ; ik ik A 0 1 cos ka = k a 0 sin = 4 A ( ka / ) = a k ika ika e 1 e 1 1 e = = ik ik sin ( ka / ) = a ( ka / ) ika e k ika + 1 sin ( πa sinα / λ) ( πa sinα / λ) 5

6 Három dimenzióban: k be Optikai rács r a b k ki fény forrás ernyı kondenzor (film, CCD kamera,..) k be = k be = k a = k be r / k, b = k ki r / k s = a + b = (k be - k ki ) r /k s = (λ/π) (k be - k ki ) r ϕ= (π /λ) s = (k be - k ki ) r A = τ(r) e i ϕ(r) d 3 r = A = τ(r) e i (k be k ki ) r dv Szóráserısség Fókuszban az elhajlási kép Spektrálisan analizáljuk a fényforrást. Emissziós ill. abszorbciós spektrum. Látható, UV, infravörös. a rács fókusz Leképezési törvény: 1/f =1/k + 1/t Fraunhoffer féle párhuzamos sugarakat t= ; a lencse végesbe (a fókuszba) képezi le: k = f. 6

7 Fresnel problémák Nem korrekt a síkhullám közelítés, ha a tárgy vagy a kép nem végtelen távol van. Ekkor gömbhullámokkal kell leírni a jelenségeket, az irányok mellett a távolságok is lényegesek. Ez a leírás emiatt jóval bonyolultabb, hiszen több paraméter szükséges a jellemzéshez. Fraunhoffer elhajlás Fresnel elhajlás Párhuzamosak a sugarak (síkhullám) Nem párhuzamos sugarak (gömbhullám) A diffrakció képtávolsága (k) végtelen, A képtávolság (k) véges, α látószög nagy, de α kicsi!. /A kép a lencsével a végesbe leképezhetı!/ α) Egyrés Egyrés (Fraunhoffer) Egy rés (Fresnel) szögfüggés α α t = k =, α nagy (k' véges) t véges k véges, α kicsi 7

8 β) Két rés Két rés (Fraunhoffer) Két rés (Fresnel) α α t = k =, α nagy (k' véges) t véges k véges, α kicsi 8

9 A Fresnel integrál Interferáló gömbhullámok összege az eredı (nem burkoló). (Amplitudó összegzés) R= R o + r r r<< D r << R o D r A(r) R R o φ A(R o ) = C dr A(r) e ikr /R P (megfigyelési pont) (R=R o +r) R= R o {1+r R o +r } R o ikr= ikr o -i k r + i ½ kr /R o (R o /R o R/R = k/k) Közelítések: Fraunhoffer Fresnel a) A(R o ) Fresnel = C e ikr o /R o dr A(r) e i½ kr /R o (közelrıl, merılegesen k r = 0) b) A(R o ) Fraunhoffer = C dr A(r) e -i k r (messzirıl, ferdén R o ) 9

10 a) Fresnel integrálok : A(R o ) Fresnel rés = e ikro /R o dr A(r) e i½ kr /Ro z z Fresnel F(z) = o dx z e i½ πx = o dx cos(½πx )+ o dx sin(½πx ) z Egy rés (Fraunhoffer) C(z) S(z) E gy rés (Fresnel) Ernyı k 1 k 0 (fókuszsík) α 1 α o Fourier optika b) Fraunhoffer integrál a A(R o ) rés Fraun. =A o /a o dx e -i (k x) sinα =A o [e -i k a sinα -1]/(-i ka sinα) A Fresnel leírás a Maxwell egyenlet megfelelı közelítése (Kirchoff). A monokromatikus stacionárius hullám egyenletet a rés nyitott felületének határán illeszti, az akadály felülete marginális. A fı effektus a hullámfront kivágása. 10

11 Inkoherens forrás leképezése /felbontás/ Még egy pontszerő fényforrás képe is kiterjedt, és e kiterjedés nı ha a leképezı lencse (D átmérıjő rés) nyilását csökkentjük (hiszen elhajlás van a réseken). Azaz egy fénypont képe a lencse nyílásának Fraunhofer féle elhajlási képe. A fókuszsíkban két fényforrás (P 1, P ) eltérése (d) legalább egy elhajlási rend kell. diafragma n s 1 P 1 s D d α P T K f fókusz Az elsı elhajlási minimum iránya (1D) α: a sinα = λ (= λ o / n) Kör alakú résre (D): D sinα = 1. λ D tgθ = f A felbontás: d /f = tgα sinα = 1. λ /D d = 1. f λ /D = 1. λ /tgθ 11

12 Abbé elmélet Fourier optika Periodikus (nem világító) tárgy leképezése hullám elmélet szerint: 1. A tárgyon a fényhullámok szóródnak és ezek interferenciája létrehoz egy elhajlási képet.. A leképezı eszköz (lencse) a különbözı irányban szórt hullámokat (elhajlási rendeket) újraegyesíti. Ezen interferenciák eredıje a tárgyról keletkezı kép. Fraunhoffer közelítés (1 dimenzióban) A(R o ) Fraunhoffer = C dr A(r) e -i k r Periodikus kép Rács leképezése (még a lencse leképezése elıtt! merıleges beesésnél /k o y/ és R o = (R o,ϑ ) R o! Periodikus tárgy: A(r) = f(x) = f(x+d) Ernyı 0.rend 1.rend (fókuszsík) y k1 ϑ Lencse ko Periodikus tárgy d x Fourier optika 1

13 A(r) = f(x) = f(x+d) ½Nd A(R o )= A(ϑ) = dx f(x) e -i k x x -½Nd = dx f(x) e -i k sinϑ x ½d Interferencia esetén: d sinϑ = n λ k sinϑ = n π/d ½d A(ϑ) = N dx f(x) e -i nπx/d = N n -½d f(x) n. Fourier komponense ( n ) I(ϑ)=A(ϑ) N n (Ha nincs interferencia: I(ϑ) =0, mert az integrandus oszcillál). Rács (Fraunhoffer) elhajlási rend n k ϑ ϑ k x Fókuszsík 13

14 T Diffr. sík Lencse tárgy kereszt lézer fókusz rács Ernyı diffrakciós kép képsík Elhajlási rendek kitakarása 0 1 diffr. diafragma képsík diffr. diafragma képsík komplementer viselkedés! 14