Relativisztikus pont-mechanika

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Relativisztikus pont-mechanika"

Alfréd Varga
4 évvel ezelőtt
Látták:

1 Relativisztikus pont-mechanika Balog János MTA Wigner FK RMI, Budapest Pont-mechanika és kauzalitás, no-interaction tétel Relativisztikus és prediktív mechanika Kanonikus relativisztikus mechanika Ruijsenaars-Schneider modellek (1 + 1 dim) Fizikai alkalmazások SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március 13.

2 Kauzalitás és pont-mechanika Relativisztikus részecskefizika = relativisztikus kvantumtérelmélet (QFT) Relativisztikus pont-mechanika: szükséges / lehetséges? Dirac ( 49): három lehetséges formalizmus (nem bizonyította, hogy konzisztensek) instant form : pillanatszerű távolhatás Thomas, Havas, Foldy,... SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március 13. 1

3 Figure 1: Ha az egyik részecske mozgásállapotát az A téridő pontban megváltoztatjuk, erről a másik részecske legkorábban a B téridőpontban értesülhet, a hatás nem terjedhet pillanatszerűen az egyidejű B o téridő pontba. SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március 13. 2

4 Currie, Jordan, Sudarshan 63, Leutwyler 65 no-interaction tétel szokásos kanonikus nechanika: {x i a} r a=1 Hamilton-függvény: H(x, p) {p i a} r a=1kanonikus változók további 9 Poincaré generátor, melyek geometriailag hatnak a részecske-koordinátákon (világvonal-feltétel WLC) Csak szabad részecskerendszer a megoldás! Currie 66, Hill 67 {x i a} koordináták kanonikusságát kell csak feladni Currie-Hill (CH) egyenletek 80-as évek: Todorov, Komar, Samuel, Sudarshan, Mukunda... konkrét konstrukciók (Hamiltoni redukció) dimenziós példák SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március 13. 3

5 Pont-mechanika (M) x µ : téridő koordináták µ = 0, 1, 2, 3 x i : tér koordináták i = 1, 2, 3 x 0 = ct {x i a(t)} r a=1 r-részecske trajektóriák alternatív leírás: {x µ a(τ a )} x 0 a(τ a ) ct dx 0 a dτ a > 0 fázistér: ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ m ) pont-mechanikai rendszer: {x i a(t; ξ)} függvények SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március 13. 4

6 Példák: természetes fázistér: y i a = x i a(0) v i a = ẋ i (0) [6r] szórási problémák: {ȳa, i v a} i [6r] { x i a (t) ( ȳa i + v at )} i = 0 lim t absztrakt fázistér: {p A, q A } A = 1, 2,..., f [2f] SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március 13. 5

7 Relativisztikus pont-mechanika (RM) Poincaré transzformáció: x µ = A µ + L µ νx ν L µ νl µω = η νω 10 generátor: {Ĥ, ˆP i, ˆL i, ˆK i } kommutációs relációk: [Ĥ, ˆP i ] = 0 [Ĥ, ˆL i ] = 0 [Ĥ, ˆK i ] = ˆP i [ˆL i, ˆP j ] = ɛ ijm ˆPm [ˆL i, ˆL j ] = ɛ ijm ˆLm [ˆL i, ˆK j ] = ɛ ijm ˆKm [ ˆP i, ˆP j ] = 0 [ ˆP i, ˆK j ] = 1 c 2 δ ij Ĥ [ ˆK i, ˆK j ] = 1 c 2 ɛ ijm ˆLm SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március 13. 6

8 {x µ a(τ a )} r a=1 X(ξ) részhalmaz téridőben Poincaré transzformált trajektóriák: Λ(g; X) : Λ ( g 2 ; Λ(g 1 ; X) ) = Λ(g 2 g 1 ; X) Relativisztikus mechanika Létezik L(g; ξ): Poincaré hatása a fázistéren X ( L(g; ξ) ) = Λ ( g; X(ξ) ) Csoporthatás: X ( L(g 2 ; L(g 1 ; ξ) )) = Λ ( g 2 ; X ( L(g 1 ; ξ) )) = Λ ( g 2 ; Λ(g 1 ; ξ) ) = Λ(g 2 g 1 ; ξ) = X ( L(g 2 g 1 ; ξ) ) L ( g 2 ; L(g 1 ; ξ) ) = L(g 2 g 1 ; ξ) SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március 13. 7

9 x i a = A i + L i jx j a + L io x o a x o a = A o + L o jx j a + L oo x o a argumentum: x o a = ct a x o a = ct x i a( t; L(g, ξ) ) = A i + L i jx j a(t a ; ξ) + L io ct a A o + L o jx j a(t a ; ξ) + L oo ct a = ct for infinitesimal transformations: g = 1 + ε A T A + O(ε 2 ) A µ α µ L µ ν δ µ ν + λ µ ν t a t + σ a ε A ˆQA x i a(t) = α i + λ i jx j a(t) + σ a ẋ i a(t) + λ io ct α o + λ o jx j a(t) + cσ a + λ oo ct = 0 SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március 13. 8

10 időeltolás ε A ˆQA = α o Ĥ/c α i = λ µ ν = 0 σ a = α o /c α o Ĥx i a = α o ẋ i a Ĥx i a = ẋ i a téreltolás ε A ˆQA = α j ˆPj α o = λ µ ν = 0 σ a = 0 α j ˆPj x i a = α i ˆP j x i a = δ ij forgás ˆL j x i a = ɛ jik x k a SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március 13. 9

11 Lorentz boost ε A ˆQA = u j ˆKj α µ = λ i j = 0 λ j o = λo j = u j /c σ a = u j x j a/c 2 u j ˆKj x i a = u k x k aẋ i a/c 2 + u i t ˆK j x i a = 1 c 2 x j aẋ i a + δ ij t SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március

12 Világvonal feltételek (WLC) y i a = x i a(0) v i a = ẋ i a(0) µ i a = ẍ i a(0) Ĥy i a = v i a Ĥv i a = µ i a ˆP i y k a = δ ik ˆL i y k a = ɛ ikl y l a ˆK i y k a = 1 c 2 y i av k a ˆP i v k a = 0 ˆL i v k a = ɛ ikl v l a ˆK i v k a = δ ik 1 c 2 v i av k a 1 c 2 y i aµ k a SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március

13 Prediktív mechanika (PM) Természetes fázistér (6r dimenziós) ξ : {ya, i va} i trajektóriák: x i a(t; y, v) x i a(0; y, v) = ya i ẋ i a(0; y, v) = va i gyorsulás: ẍ i a(t; y, v) Newtoni egyenletek: ( ) ẍ i a(t) = µ i a x(t), ẋ(t) dinamika: Ĥ = a { v i a y i a } + µ i a(y, v) va i SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március

14 Prediktív relativisztikus mechanika (PRM) Poincaré generátorok: ˆP i = a ˆL i = ɛ ijk ˆK i = a a y i a { y k a y j a { 1 c 2 y i av k a y k a } + va k va j + ( δ ik 1 c 2 v i av k a 1 c 2 y i aµ k a ) v k a } Poincaré Lie algebra relációk: megszorítások a µ i a gyorsulásokra eltolás: forgás: µ i a csak a relatív távolságoktól függhet µ i a a vektor-változók vektoriális függvénye SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március

15 [Ĥ, ˆK i ] = ˆP i Currie-Hill (CH) egyenletek b { µ i a v k b + 1 c 2 (x k a x k b)v j b µ i a x j b + 1 c 2 (x k a x k b)µ j b µ i a v j b 1 c 2 v k b v j b µ i a v j b } + 2 c 2 v k aµ i a + 1 c 2 µ k av i a = 0 PRM-1 PRM-2 {H, P i, L i, K i } mennyiségek léteznek fázistéren szimplektikus struktúra (Poisson zj) Ĥ = {H,... } ˆPi = {P i,... } etc. SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március

16 Kanonikus relativisztikus mechanika (CRM) szimplektikus struktúra a fázistéren 10 Poincaré generátor adott: {H, P i, L i, K i } {ya} i trajectória változók adottak Világvonal feltételek teljesülnek: {P i, y k a} = δ ik {L i, y k a} = ɛ ikl y l a {K i, y k a} = 1 c 2 y i a{h, y k a} SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március

17 Ruijsenaars-Schneider modellek dimenziós toy modellek dim Poincaré: {H, P} = 0 {H, K} = P {P, K} = H/c 2 WLC: {P, x a } = 1 {K, x a } = x a {H, x a }/c 2 RS Ansatz: kanonikus változók: {q a, θ b } = δ ab a, b = 1, 2,... r Poincaré generátorok: H = mc 2 a chθ a V a P = mc a shθ a V a K = 1 c q a a V a = b a f(q a q b ) f > 0 ps fv SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március

18 {H, P} = m2 c 3 2 a q a b a f 2 (q a q b ) = 0 megoldás: f 2 (q) = a + b p(q) Weierstrass függvény degenerált (speciális) esetek: f(x) = 1 + W (x) W (x) = g 2 x 2 γ 2 sh 2 ωx γ 2 sin 2 ωx type I (rac.) type II (hip.) type III (trig.) SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március

19 Trajektória változók: Q a (x; q, θ) = exp{x ˆP } q a a = 1, 2,..., r monoton: dq a (x) dx < 0 egyértelmű: Q a (x a ) = 0 nem kanonikus! {x a, x b } 0 SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március

20 Fizikai alkalmazások klasszikus elektronelmélet (Feynman-Wheeler/Rohrlich) Kompakt kettős rendszerek ált. rel.-ben (gravitációs hullámforrás) Futamase-Itoh Blanchet et al. Damour-Jaranowski-Schäfer (pontszerűnek tekinthető) 2 fekete lyuk vagy neutroncsillag mozgásegyenletek poszt-newtoni (1/c 2 ) kifejtésben: 3, 3 1/2 rend (legújabban 4 rend) CH egyenletek (poszt-newtoni kifejtésben) teljesülnek regularizálással kapcsolatos nemegyértelműség 3. PN rendben a Poincaré szimmetria megkövetelésével oldható fel SZTE Elméleti Fizikai Tanszék szeminárium, március

Hasonló dokumentumok

Lagrange és Hamilton mechanika

Lagrange és Hamilton mechanika Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája