A Landauer szemléletmód

Átírás

1 rész I A Landauer szemléletmód A Landauer elmélet alapvet üzenete hogy egy nanoszerkezetben mért vezet képesség direkt kapcsolatban áll a nanoszerkezet kvantummechanikai szórási tulajdonságaival. Ebben a fejezetben röviden felelevenítjük Landauer gondolatmenetét. El ször is képzeljünk el két töltés tartály-t amelyek között egy kis δµ kémiai potenciál különbség van. Kösse össze ezt a két tartályt egy ideális egydimenziós vezeték. Ekkor a vezetéken meginduló δi áram a következ alakot ölti δi = ev n δµ. (1) E Itt v az elektronok sebessége, e az elektron töltése illetve n/ E a vezeték állapot s r sége. Az állapots r séget hullámszám térben kifejezve kapjuk hogy: n E = n k k E = 1 1 2π v. (2) Tehát az áram kifejezése a δi = e e2 δµ = δv, (3) h h alakra egyszer södik. Ha az ideális vezeték egy szórási tartományon keresztül köti össze a két töltés tartályt akkor a töltések csak valamilyen T transzmissziós valószín séggel tudnak eljutni a célig. Azaz az áram δi = e2 T δv (4) h alakú lesz. Ebb l a kifejezésb l le tudjuk olvasni a kis feszültségek esetén mért vezet képességet: G = e2 T. (5) h Ez a Landauer formula. Ha a szórási tartomány-t egy S szórás mátrixal jellemezzük aza akkor a transzmissziós valószín ség és a szórásmátrix transzmissziós amplitúdói közt az ismert T = i,j t i,j 2 = Tr(t t) (6) kapcsolat áll fenn. rész II Egy dimenziós diszkrét szórásprobléma Ebben a fejezetben a legegyszer bb egy dimenziós szórásproblémákat fogjuk vizsgálni egy diszkrét rácson. A probléma megoldását Green függvények segítségével keressük. El ször egy végtelen lánc Green függvényét számítjuk ki majd ebb l megfelel peremfeltételek segítségével felírjuk a félvégtelen lánc Green függvényét. A félvégtelen lánc Green függvényének birtokában megoldunk néhány alapvet szórásproblémát. 1. Végtelen és félvégtelen lánc Green függvénye Kezdjük a Schrödinger egyenlettel: (EÎ Ĥ)Ψ = 0 (7) Tegyük fel hogy a vizsgált rendszer egy egydimenziós lineáris lánc ɛ 0 on-site energiával és γ hoppingal és a rácsállandóval. Kiírva (7)-t kapjuk hogy ɛ 0 ψ p γψ p+1 γψ p 1 = Eψ p. (8) Tegyük fell hogy a hullámfüggvény síkhullám alakban kereshet ψ p = e i kap. (9) Itt k a hullámszám. Átskálázva a rendszer hosszát 1/a-val új hullámszámot vezethetünk be k = ka. Behelyettesítve a fenti ansatz-ot (8)-be kapjuk a E = ɛ 0 2γ cos(k) (10)

2 2 diszperziós relációt, illetve a csoportsebességet v = 1 E k = 1 2γ sin(k). (11) A továbbiakban fontos szerepe lesz a (7) Schrödinger egyenlethez tartozó Green függvénynek. A Green függvény deníciója: (EÎ Ĥ)Ĝ = Î. (12) Tehát Ĝ egy, operátor mint maga Ĥ. Vegyük észre hogy a Green függvény egyes oszlopai (mátrix reprezentációban) egy (7)-hez hassonló Schrödinger egyenletet elégítenek ki egy forrás tag jelenlétében (Ez folytonos esetben egy Dirac delta potenciálnak felel meg). Számítsuk ki a (8)-hez tartozó Green függvényt! A Green egyenlet erre a problémára az (E ɛ 0 )G p,q + γ(g p+1,q + G p 1,q ) = δ pq (13) alakot ölti. Amint ezt fentebb is említettük ez az egyenlet nem más mint egy Schrödinger egyenlet egy forrástag jelenlétében. Keressük (13) megoldását a forrásból kiinduló síkhullám alakjában. (Vegyük észre, ez nem a legáltalánosabb alak... kereshetnénk a megoldást a forrás felé propagáló síkhullám alakjában is. De err l majd kés bb.) Legyen tehát G p,q = A e ik(p q) p q G p,q = A + e +ik(p q) p q. (14) Vegyük észre hogy ez az ansatz kielégíti a (13) Green egyenletet ha q p. Az A ± eggyütthatókat a Green függvény q = p-beli folytonosságából és a Green egyenlet q = p helyen történ kielégítéséb l határozzuk meg. Egyszer behelyettesítéssel kapjuk a folytonossági kritériumból hogy A + = A = A. (15) A (13) Green egyenlet a (14) ansatz-al pedig a következ alakot ölti: Behelyettesítve a (10) diszperziós relációt ez tovább alakítható (E ɛ 0 )A + 2γAe ik = 1. (16) 2Aγ cos(k)a + 2γAe ik = Aγ(e ik e ik ) = Ai2γ sin(k) = Ai v = 1. (17) Az utolsó lépésben (11) alapján helyettesítettük be a csoport sebességet. Ezzel a végtelen egy dimenziós lánc Green függvénye a G p,q = i v eik p q (18) kompakt alakot ölti. Ez a probléma retardált Green függvénye, ha a pontforrástól kiinduló síkhullámok helyett a pontforrás felé haladó síkhullámokat tételezünk fel, akkor egy hasonló kifelyezéshez jutunk G A p,q = i v e ik p q, (19) ez a probléma avanzsált Green függvénye. A továbbiakban csak a retardált Green függvényt fogjuk használni, s ezért elhagyjuk a retardált jelz t. Ezután szükségünk lesz egy félvégtelen lánc Green függvényére. Ezt a végtelen lánc Green fügvényéb l származtatjuk. Vegyük észre hogy ha a (18) Green függvényhez hozzá adunk egy hullámfüggvényt ami teljesíti a (8) Schrödinger egyenletet akkor a kapott objektum szintén teljesíteni fogja a Green egyenletet. Keressük tehát egy olyan lánc Green függvényét melyb l az p p 0 rácspontok hiányoznak a következ alakban: G l p,q = G p,q + φ p0,q p (20) Mivel retardált Green függvényt keresünk a φ p0,q p hullámfüggvényt a φ p0,q p = Be ikp (21) alakú. A B együtthatót a G l p 0,q = 0, q p 0 peremfeltétel kielégítésével tudjuk meghatározni, azaz Tehát a keresett együttható és keresett hullámfüggvény pedig 0 = G l p 0,q = i v eik(p0 q) + Be ikp0. (22) B = i v eik(2p0 q), (23) φ p0,q p = i v e ik(p 2p0+q). (24) A Green függvény a lánc utolsó pontján a következ egyszer alakra hozható a (11) csoportsebesség segítségével G l p 0 1,p 0 1 = i v + i v eik2 = eik (e ik e ik ) = eik 2iγ sin(k) γ. (25) Ennek az eredménynek, amint kés bb látni fogjuk, fontos gyakorlati jelent sége van.

3 2. A szórásprobléma Green függvénye I q II 1. ábra. Szórás probléma két vezetékkel (I és II). A nyilak a q pontban történ gerjesztés hatására kiinduló hullámokat ábrázolják. Ebben a fejezetben két egydimenziós vezeték (I és II) közötti szórásprobléma Green függvényét fogjuk meghatározni szórási hullámfüggvények segítségével. A probléma geometriai elrendezését az 1. ábrán láthatjuk. Válaszuk mind a két vezetékben a koordináta rendszert úgy hogy be tartsanak és az els koordináta a 0 legyen. Legyen továbbá mind a két vezeték egydimenziós lánc ɛ β on-site energiával és γ β hoppingal. Mind a két vezetékben külön külön bevezethetünk a szórási tartomány felé illetve a szórási tartománytól távolodó állapotokat. Jelölje ezeket wp β±, ahol β {I, II}, + a szórási tartomány felé haladó illetve a szórási tartománytól távolodó állapotnak felel meg. Ezek ahogy azt fennt látuk síkhullám alakúak melyeket leosztunk a hozzájuk tartozó csoportsebesség gyökével, hogy egységnyi részecske uxust képviseljenek, azaz w β± p = e±ikp. (26) v β k Ezekb l felépíthetjük a rendszerben jelen lév szórási hullámfüggvények komponenseit a vezetékekben az alábbi módon: φ β p p α = δ α,β wp α+ + S α,β wp α. (27) Itt bevezettük az S α,β szórás mátrixot. Mivel a wp β± hullámfüggvények uxus normáltak ezért a szórási mátrix unitér. A szórási mátrix diagonális elemei a reexiós r β,β = S β,β, az o-diagonális elemei pedig a transzmissziós t α,β = S α,β szórási amplitúdók. Keressük a szórásprobléma Green függvényét a következ alakban: illetve G p,q = A s φ II p φ I q p q, q I, G p,q = A s φ I pφ II q p q, vagy p II, q I, (28) G p,q = B s φ I pφ II q p q, q II, G p,q = B s φ II p φ I q p q, vagy p I, q II. (29) Az A s és B s együtthatókat a (12) Green egyenlet p = q beli kielégítéséb l tudjuk meghatározni. Határozzuk meg el ször A s -t! A kielégítend Green egyenlet a következ alakot ölti: (E ɛ I )A s φ II p φ I p + γ I A s (φ II p 1φ I p + φ I p+1φ II p ) = 1. (30) Kihasználva hogy a φ β p szórási hullámfüggvények a Schördinger egyenlet megoldásai a vezetékekben kapjuk, hogy Kivonva (30)-b l (31)-t : (A s φ II p ) (E ɛ I )φ I p + γ I (φ I p 1 + φ I p+1) ] = 0. (31) γ I A s (φ II p 1φ I p φ I p 1φ II p ) = 1 γ I A s t 1,2 (w I p 1 )(wp I+ + r 1,1 wp I ) (wp 1 I+ + r 1,1wp 1 I )(wi p ) ] = 1 (32) γ I A s t 1,2 (w I p 1 )(wp I+ ) (wp 1 I+ )(wi p ) ] = 1

4 A wp β± hullámfüggvények (26) deníciói segítségével ez tovább alakítható: azaz A s t 1,2 γ I v I k e ik e ik] = i A st 1,2 2γ I sin(k) v I k Hassonló módon kapjuk a másik vezetékben kielégítve a Green egyenletet hogy = ia s t 1,2 = 1, (33) A s = i t 1,2. (34) B s = i t 2,1. (35) Vezessük be a β p jelölést a β-val jelölt vezetékek koordinátáinak indexelésére! Írjuk fel a Green függvényt a vezetékek felületén! Ebb l a reexiós amplitudót kifejezve kapjuk Hasonlóan tehát G I0,I 0 = i φ I I t 0 φ II I 0 = i 1,2 G II0,I 0 (1 + r 1,1 ) t 1,2 v I k t 1,2 v I k. (36) r 1,1 = i v I kg I0,I 0 1. (37) = i φ I II t 0 φ II I 0 = i t 2,1 1,2 t 1,2 t 2,1 = i Hasonlóképpen kapjuk a fennmaradó két szórási amplitúdót: v II k r 2,2 = i v II k G II0,II 0 1, illetve t 1,2 = i vk II t 1,2, (38) vk I v I k G II 0,I 0. (39) v II k v I k G I 0,II 0. (40) A (37),(39) és (40) egyenletek tömörebb alakban írva kapjuk a S α,β = i vk α v β k G α 0,β 0 δ α,β (41) Fisher-Lee relációt ami egy szórás probléma felületi Green függvényét köti össze a megfelel szórási amplitúdókkal. (HF: Ellen rizzük hogy S valóban unitér!) 3. Felületi Green függvények és a Dyson-egyenlet Ebben a fejezetben megvizsgáljuk a szórásprobléma felületi Green függvénye illetve a szétcsatolt rendszer vezetékeinek felületi Green függvénye közti kapcsolatát. Induljunk ki a teljes szórásprobléma Green egyenletéb l illetve a szétkapcsolt szórásprobléma Green egyenletéb l: (EÎ Ĥ0 Ĥ1)Ĝ = Î, (42) Beszúrva a Ĝ0Ĝ 1 0 = Î egységoperátort (42)-be és kihasználva (43)-t kapjuk hogy Ezt balról szorozva Ĝ0-al: Amib l következik a Dyson egyenlet: (EÎ Ĥ0)Ĝ0 = Î. (43) ((EÎ Ĥ0)Ĝ0Ĝ 1 0 Ĥ1)Ĝ = Î, (44) (Ĝ 1 0 Ĥ1)Ĝ = Î. (45) (Î Ĝ0Ĥ1)Ĝ = Ĝ0. (46) Ĝ = (Î Ĝ0Ĥ1) 1 Ĝ 0 = (Ĝ 1 0 Ĥ1) 1 (47) Kihasználva Ĥ1 szórás problémabeli struktúráját (csak a szórási tartomány felülete és a vezetékek felülete között nem zérus) belátható hogy a teljes Green függvény Ĝ felületi részére ĝ-re is teljesül a Dyson-egyenlet, azaz ĝ = (ĝ 1 0 ĥ1) 1, (48) ahol ĝ 0 a szétkapcsolt rendszer felületi Green függvénye illetve ĥ1 a Ĥ1 operátor nemzérus része.

5 4. Néhány egyszer példa A fentiekben beláttuk hogy a ĝ 0 felületi Green-függvény és ĥ1 ismeretében a szórás mátrix meghatározása gyakorlatilag két véges mátrix invertálására redukálódik. Ebben a fejezetben gyakorlás képp megvizsgálunk néhány egyszer feladatot Potenciál lépcs és szakadás 2. ábra. Potenciál lépcs egy láncon Vizsgáljuk meg a 2. ábrán felvázolt szórásproblémát! Legyen tehát két vezeték melyeket rendre ɛ 1 és ɛ 2 on-site potenciál jellemez, illetve mind a kett ben legyen a hopping γ. Kösse ket össze egy α hopping. Ekkor a diszperziós reláció a két vezetékben az alakot ölti. A Green-függvény pedig (48)alapján ( γe ik 1 α g = α E = ɛ 1 2γ cos(k 1 ) = ɛ 2 2γ cos(k 2 ) (49) γe ik2 ) 1 = 1 ( γe ik 2 α α 2 γ 2 e i(k1+k2) α γe ik1 A (41) Fisher-Lee relációkból pedig a transzmissziós illetve a reexiós amplitúdókra kapjuk hogy illetve γe ik2 ). (50) r 1,1 = i2γ sin(k 1 ) 1, (51) α 2 γ 2 e i(k1+k2) t 2,1 = i2γ α sin(k 1 ) sin(k 2 ). (52) α 2 γ 2 e i(k1+k2) Ahogy azt már a Fisher-Lee relációkból is lehet sejteni a transzmisszió zérus illetve a reexió egy ha bármely vezetékben a sáv szélén vagyunk, azaz E = ɛ 1,2 ± 2γ. Továbbá az is tisztán látszik hogy a transzmisszió mindig zérus ha a két vezeték szét van csatolva azaz α = 0. (HF: Lássuk be hogy t 2,1 2 + r 1,1 2 = 1, illetve hogy r 1,1 2 = 1 ha valamelyik k képzetes. Magyarázuk az eredményeket!) 4.2. Breit-Wigner rezonancia 3. ábra. Rezonáns állapoton történ szórás. Vizsgáljuk meg a 3. ábrán felvázolt szórásproblémát! Azaz legyen két vezeték egy ɛ 1 on-site energiájú rezonáns állapothoz csatolva γ L illetve γ R hoppingal. Vegyünk továbbá γ = 1 illetve ɛ 0 = 0 értékekkel jellemezett vezetékeket. A diszperziós reláció most mind a két vezetékben ugyan az: A Green-függvény a vezetékek felületén illetve a rezonancia helyén a g = E = 2 cos(k). (53) e ik 0 γ L 0 e ik γ R γ L γ R E ɛ 1 alakot ölti. Vizsgáljuk a rendszer transzmissziós együtthatóját! A megfelel transzmissziós amplitudó t 2,1 = i2 sin(k)g 2,1 = 1 2ie 2ik γ L γ R sin(k) e ik (γl 2 + γ2 R ) + (E ɛ 1) = 2ie 2ik γ L γ R sin(k) i sin(k) (γl 2 + γ2 R ) + (E ɛ 1). (55) (54)

6 T Figure 4: Breit-Wigner rezonancia Γ L = Γ R = 0.01 (piros vonal), Γ L = Γ R = 0.02 (kék szaggatott vonal) és Γ L = 0.05, Γ R = 0.01 (zöld pöttyözött vonal) esetén. Mind a három esetben ɛ 1 = 0. E Ahol bevezettük a renormalizált rezonáns energiát: A transzmissziós valószín ség tehát a a jól ismert Breit-Wigner alakra hozható: ɛ 1 = ɛ 1 - cos(k) ( γ 2 L + γ 2 R). (56) T = tt = 4Γ L Γ R (E ɛ 1 ) 2 + (Γ L + Γ R ) 2. (57) A Γ L,R együtthatók pedig Γ L,R = γ 2 L,R sin(k) = γ2 L,R 1 E2 /4. Látjuk tehát hogy az eredeti ɛ 1 rezonancia a vezetékek hatására kiszélesedik illetve eltolódik. Néhány paraméter értékre a 4. ábra tartalmazza a megfelel transzmissziós együtthatókat Fano rezonancia és a decimálás 5. ábra. Szórás egy rezonáns állapoton egy oldalcsoporttal. Ebben az utolsó példában vizsgáljuk meg az 5. ábrán vázolt szórás problémát. A transzmissziós együtthatót meghatározhatnánk a már ismert úton, felírva a felületi Green-függvényekre vonatkozó Dyson-egyenletet és invertálva a megfelel 4 4-es mátrixot. Ez az út egyre bonyolultabb és egyre nagyobb mátrixok invertálásához vezet. Érdemes tehát valahogyan redukálni az invertálandó mátrix méretét. Induljunk ki ismét egy általános Schrödinger egyenletb l: H ij ψ j = Eψ i. (58) j Ezt i = l- esetére kírva ki tudjuk fejezni a l-edik pontban a hullámfüggvény értékét: H lj ψ j + H ll ψ l = Eψ l, ψ l = H lj ψ j. (59) E H ll j l j l

7 T Figure 6: Példa Fano rezonanciára. Mind a három esetben Γ L = Γ R = 0.4,ɛ 1 = 0.0 és ɛ 2 = 0.5, továbbá β = 0.1(zöld pöttyözött vonal), β = 0.2 (piros vonal) és β = 0.5 (kék szaggatott). Mind a három görbe két maximummal rendelkezik és nulla E = 0.5-ra. E Tegyük fel hogy a továbbiakban olyan problémával foglalkozunk amelyben az l-edik pont csak közvetett szerepet kap. (Például ha a 5. ábrán vizsgált rendszerben a két vezeték közti transzmisszió a kérdés az ɛ 2 -es pont ilyen). Ilyen esetekben érdemes ezeket a pontokat kiredukálni a Schrödinger egyenletb l. Ezt a redukációt, vagy más néven decimálást (59) segítségével könnyen megtehetjük. Ha i l a Schrödinger egyenlet a következ alakot ölti j l H ij ψ j + H il ψ l = j l H ij ψ j + H il ahol bevezettük az eektív, vagy decimált Hamilton operátort mint j l H lj E H ll ψ j = j l H ijψ j = Eψ i, (60) H ij = H ij + H ilh lj E H ll. (61) A decimált Hamilton operátor egy kisebb Hilbert-téren hat viszont a spektruma megeggyezik az eredeti Hamiltoni spektrumával. Ez nem más mint egy elegánsan burkolt Gauss-elimináció. Alkalmazva a decimálás technikáját könnyen beláthatjuk hogy a jelen vizsgált szórás probléma transzmissziós együtthatója a (57) Breit-Wigner formulából származtatva a T = tt 4Γ L Γ R = (E ɛ 1 β2 E ɛ 2 ) 2 + (Γ L + Γ R ) 2 (62) alakot ölti. Vegyük észre hogy ez E = ɛ 2 -re mindig azonosan nulla. Továbbá az is látszik hogy két maximum lesz a E = 1 2 ( ɛ 1 + ɛ 2 ± ( ɛ 1 ɛ 2 ) 2 + 4β 2 ) helyeken. Ez a transzmissziós együttható a Fano jelalakra redukálódik ha a két rezonancia távol kerül egymástól és ɛ 2 -vel tartunk az egyik felé. Végezetül néhány paraméterre a 6. ábrán a (62)-nek megfelel néhány jelalakot láthatunk. (63)

8 8 rész III Általánosított vezetékek 5 Végtelen vezetékek Hamilton-operátora és állapotai Az el z fejezetben szigorúan egy dimenziós vezetékeket tárgyaltunk. Ebben a fejezetben kib vítjük a fenti formalizmust általánosított vezetékekre. Vizsgáljuk meg el ször a végtelen vezeték esetét. A Hamilton-operátor egy általános végtelen vezetékre a Ĥ =... H0 H H 1 H 0 H H. 1 H alakot ölti. Itt H 0 illetve H 1 általában egy N N dimenziójú mátrix. Keressük ennek a Hamilton-operátornak a sajátértékeit egy síkhullám és egy N dimenziós vektor szorzataként! Ehhez a hullámfüggvényhez tartozó energia sajátértéket a (64) Ψ = e ikz φ. (65) det(h 0 E I + e ik H 1 + e ik H 1 ) = 0 (66) szekuláris egyenlet megoldásaként, a φ vektorokat pedig a ( ) H 0 + e ik H 1 + e ik H 1 φ = E φ (67) hullámszámfügg Schrödinger egyenlet kielégítésével kapjuk. Tehát minden k hullámszámra rendelkezésünkre fog állni N darab energia érték E n (k) illetve N darab sajátfüggvény φ n (k). Általában egy szórásproblémánál egy fordított feladattal állunk szenben. A részecskék energiája ismert és az adott energiához tartozó hullámszám az ismeretlen mennyiség. Egy lehetséges, ámbár kevéssé praktikus megoldás a fenn említett problémára egy keres allgoritmus allkalmazása az E n (k) értékekre. Ennél sokkal célszer bb ha közvetlenül a hullámszámokra írunk fel egy sajátérték problémát. Legyen e ik φ = θ, ezzel a (66) Schrödinger egyenlet a (H 0 E I) φ +H 1 θ = eik H 1 φ, alakot ölti. Az els sort beszorozva H1 1 -el kapjuk, hogy ( H 1 1 (H 0 E I) H1 1 H 1 I 0 φ 0 θ = e ik θ, (68) ) ( φ θ ) = e ik ( φ θ ). (69) Ez egy sajátérték probléma melynek megoldásai közvetlenül megadják a keresett hullámszámot és a keresett hullámfüggvényeket az energia függvényében. A kés bbiekben szükségünk lesz a megfelel állapotok csoport sebességére is amely a hullámszám és az állapot függvények ismeretében egyszer en kifejezhet : v k = k E = k φ H 0 + e ik H 1 + e ik H 1 φ = = k φ... φ + φ... k φ + i φ e ik H 1 e ik H 1 φ = = i φ e ik H 1 e ik H 1 φ. Vegyük észre hogy a (69) egyenletnek 2N megoldása van. Ezeket célszer két kategória szerint rendezni. El ször is vannak propagáló azaz Im(k) = 0 állapotok illetve lecsng tehát Im(k) 0 állapotok. Továbbá mind a két kategóriában vannak jobbos illetve balos állapotok annak megfelel en hogy csoportsebességük szerint melyik irányba propagálnak illetve hullámszámuk szerint hogyan csengenek le. Ezt a felosztást az alábbi táblázatban foglaljuk össze. bal(n = 1... N) jobb (n = 1... N) propagál v kn < 0 és Im(k) = 0 v kn > 0 és Im(k) = 0 lecseng Im(k) < 0 Im(k) > 0 új index kn B (E), vn B (E), B n (E) kn(e), J vn(e), J J n (E)

9 Itt bevezettük a k µ n, v µ n, µ n jelölést ami µ = J esetén a jobbos állapotok illetve µ = B esetén a balos állapotok megfelel tulajdonságait indexeli. Jegyezzük meg hogy adott energián a µ n általában nem ortogonálisak egymásra. (Szemben az azonos hullámszámhoz tartozó állapotvektorokkal melyek mindig ortogonális rendszert allkotnak.) A µ n -ek ra ortogonális, úgynevezett duális vektorok halmazát az µ n µ m = δ n,m (70) összefüggés deniálja. Vegyük észre hogy gyakorlatban ez egy mátrix invertálással egyenérték. 6 Green-függvények A k µ n, v µ n, µ n mennyiségek segítségével, az egydimenziós esethez hasonlóan elkezdhetjük a végtelen vezeték Green-függvényének kiszámítását. Keressük ezt a következ alakban: A Green-fügvény z = z kontinuitásából következik, hogy G z,z = N eikb p (z z ) B p wp B z z, (71) G z,z = N eikj p (z z ) J p wp J z z. (72) B p N wp B = J p N wp J = µ p w p µ. (73) A (66) Schrödinger-egyenlethez tartozó Green-egyenlet az alakot ölti. Behelyettesítve a (72) ansatz-ot kapjuk, hogy (E I H 0 )G z,z H 1 G z+1,z H 1 G z 1,z = I (74) (E I H 0 ) J n wn J H1 J n e ikj n n=1 Felhasználva hogy a µ n állapotok kielégítik a Schrödinger egyenletet, azaz a Green-egyenlet a n=1 w J n H 1 B ] n e ikb n w B n = I. (75) ] (E I H 0 ) µ n w n µ H 1 µ n e ikµ n w µ n H 1 µ n e ikµ n w µ n = 0, (76) n=1 alakra egyszer södik. A duális vektorok deníciójából egyenesen következik, hogy Ezt behelyettesítve (77)-be: n=1 H 1 most kihasználva (73) azt kapjuk hogy H 1 ] J n e ikj n w J n B n e ikb n w B n = I (77) µ n µ p w p µ = w n µ. (78) ( J n e ikj n N Jn J p ) ( wp J B n e ik Bn N Bn B p )] wp B = I, (79) n=1 H 1 J n e ikj n Jn Bn e ik Bn Bn ] N µ p w p µ = I. (80) Tehát µ p ( N w p µ = n=1 H 1 ] ) 1 J n e ikj n Jn Bn e ik Bn Bn = V 1, (81) azaz a keresett együttható vektorok az egyszer w µ = µp V 1 (82) p

10 10 alakot öltik, amivel a végtelen vezeték Green-függvénye G z,z = N B p e ikb p (z z ) Bp V 1 z z G z,z = N J p e ikj p (z z ) Jp V 1 z z. (83) Amint azt láttuk az egydimenziós szórásproblémánál is, szükségünk lesz a félvégtelen vezeték felületi Green-függvényére. Tegyük fel hogy a vezeték z z 0 darabjai hiányoznak, azaz keressük azt a Green-függvényt melyre G B z 0,z = 0, z 0 z (84) teljesül. Keressük a megoldást a alakban. Tehát G B z,z N = G z,z B p e ikb p z B p (z, z 0 ) (85) G z0,z N = B p e ikb p z0 B p. (86) a (83) Green-függvény alakját és a duális vektorok denícióját felhasználva ez tovább alakítható: G B z,z N J p e ikj p (z0 z ) Jp V 1 = N B p e ikb p z0 B p, (87) Bq e ik B q z0 N J p e ikj p (z0 z ) Jp V 1 = B q, (88) = G z,z N p,q=1 B q e ikb q (z z0) Bq J p e ikj p (z0 z ) Jp V 1. (89) A z = z = z 0 1 felületen tehát a Green-fügvény a G B z 0 1,z 0 1 = I B q e ikb q p,q=1 Bq J p e ikj p Jp ] V 1 (90) alakot ölti. Hasonlóan ha a z z 0 darabok hiányoznak a vezetékb l, azaz akkor a G J z 0,z = 0, z 0 z, (91) G J z,z N = G z,z J p e ikj p z J p (z, z 0 ) (92) ansatzból kapjuk hogy a felületi Green-függvény a ] G J z 0 1,z 0 1 = I J q e ikj q Jq B p e ikj p Bp V 1 (93) alakra hozható. p,q=1 7 A Fisher-Lee relációk álltalánosított vezetékek jelenlétében Amint az egydimenziós esetnél már láttuk, a vezetékek és a szórásitartomány Green-függvényének ismeretében a Dyson egyenlet segítségével meghatározható a szórás probléma Green-függvénye. Ezen Green-függvény ismeretében a Fisher-Lee relációk segítségével kaptuk meg a szórásprobléma S szórási mátrixát. A fennt bevezetett v n, µ µ n, µ p, V mennyiségek és a teljes G Green-függvény ismeretében az S mátrix az alábbi alakot ölti: S αp,β q = α p G α 0,β 0 V β δ α,β β + q v α p. (94) Itt a görög indexek a megfelel vezetékeket jelölik, + jel a szórási tartomány felé haladó, pedig a szórási tartományból érkez állapotokat indexeli. A G α 0,β 0 mennyiségek pedig a teljes Green-függvény megfelel felületi elemeit jelölik. S αp,β q tehát a β- adik vezeték q-adik csatornájából érkez részecske α-adik vezeték p-edik csatornájába történ szórásához tartozó valószín ségi amplitúdó. vq β+

11 8 Gyakran felmerül problémák és orvoslásuk Ebben a részben a fenn tárgyalt formalizmus két alapvet problémáját fogjuk tárgyalni. Az els probléma a H 1 mátrixok invertálásával kapcsolatos, a második probléma az áram operátor és a spektrum degenerált részén felvett alakjából adódik. 8.1 A H 1 probléma 7. ábra. A H 1 probléma illusztrációja. Jelölje a szaggatott vonallal bekerített rész a vezeték elemi celláját. Legyen az on-site energia mindenhol ɛ 0 a hopping pedig γ. Könnyen belátható hogy erre az esetre a H 1 mátrix szingulárisnak adódik. Vegyük észre hogy ha a rendszert széthúzzuk a már jól ismert egydimenziós lánc problémájára jutunk. Vegyük észre hogy a (69) sajátérték probléma megoldásához sükségünk van a H 1 mátrix inverzére. Általában ez a mátrix nem feltétlenül invertálható. Példának okáért vizsgáljuk meg a 7. ábrán vázolt szituációt. Ekkor a H 1 mátrix a ( ) 0 0 H 1 = (95) γ 0 alakot ölti. Ez a mátrix jól láthatóan szinguláris, nem létezik inverze. Egyszer en belátható ha a fels sort kidecimáljuk akkor a probléma az egydimenziós vezeték alakjára hozható ahol az on-site energia illetve a hopping a γ 2 ɛ 0 = ɛ 0 + 2, γ = γ2 (96) E ɛ 0 E ɛ 0 alakot öltik. Általában is igaz az az állítás hogy H 1 invertálhatatlanságából fakadó problémát egy jól kitalált decimálással lehet orvosolni. Els ránézésre azonban nem mindig triviális kitalálni a megfelel decimálási stratégiát. Amint azt a 7. ábra is illusztrálja a H 1 probléma akkor merül fel ha a vezeték valójában kevesebb módust tartalmaz mint ahogy azt els ránézésre vélnénk. Egy általános decimálási procedúra kidolgozását jelent sen megkönnyíti ha képezzük a H 1 mátrix úgynevezett szinguláris érték dekompozícióját, azaz legyen H 1 = UΣV (97) ahol U és V hermitikus mátrixok illetve Σ egy diagonális mátrix nem negatív valós elemekkel. Minden mátrix felbontható ilyen alakban. Könnyen belátható, hogy H 1 szingularitása Σ egy vagy akár több diagonális elemének nulla voltának következménye. Általában a konvenció szerint a Σ diagonális elemei csökken sorrendbe vannak rendezve. Vezessük be a következ unitér transzformációkat: Û =... U V U U., ˆV = 0 0 V 0 0. (98) V Ha Û val eltranszformáljuk a (64) Hamilton operátort akkor H 1 illetve H 0 az alábbi módon transzformálódnak Ha pedig a transzformációt a ˆV operátorral hajtjuk végbe akkor a H 1 = U H 1 U = ΣV U,illetve H 0 = U H 0 U. (99) H 1 = V H 1 V = V UΣ,illetve H 0 = V H 0 V. (100) transzformált mennyiségekre jutunk. Vizsgáljuk azt az esetet amikor a Σ mátrix els n eleme nem zérus a maradék N n pedig nulla. Ekkor ha az Û transzformációt alkalmazzuk a teljes Hamilton-operátorra akkor a transzformált menyiségek a következ struktúrát fogják ölteni ( ) ( ) H H 0 m = 0 W W H0 d,illetve H 1 K L =. (101) 0 0

12 12 Itt H m 0 és K n n-es mátrixok,h d 0 (N n) (N n)-es, W és L pedig n (N n)-es. Figure 8: A H 1 probléma megoldása Û-val való transzformáció decimálás segítségével. Az 8. ábra segítségével könnyen leolvasható hogy miután minden elemi cellában kidecimáltuk a H0 d -vel leírt szabadsági fokokat az új H 0 = H0 m + W (EI H0 d ) 1 W + L(EI H0 d ) 1 L, (102) H 1 = K + L(EI H0 d ) 1 W (103) mennyiségek segítségével már nem ütközünk invertálási problémákba. Ha ˆV vel transzformáljuk a Hamilton-operátort akkor a transzformált mennyiségek struktúrája ( ) ( ) H H 0 m = 0 W W H0 d,illetve H 1 K 0 = L 0 (104) lesz. Ezekb l decimálás után a H 0 = H m 0 + W (EI H d 0 ) 1 W + L (EI H d 0 ) 1 L, (105) H 1 = K + W (EI H d 0 ) 1 L (106) redukált Hamilton-operátort kapjuk Az áram operátor és a spektrum degenerált alterei. Felírva a (64) Hamilton-operátorhoz tartozó áramoperátort belátható hogy az adott energián jelenlév síkhullám jelleg állapotok lineárkombinációja diagonalizálják azt, feltéve hogy egy adott energián egy adott hullámszámhoz csak egy állapot tartozik. Ekkor a Ψ = α p e ikpz φ p. (107) p alakú állapot α 2 áramot képvisel. Ha egy adott k hullámszámhoz több állapot is tartozik akkor a fennti lineárkombináció nem feltétlenül diagonalizálja az áramoperátort. Ebben az esetben a szórásmátrix nem lesz unitér. Ezt orvosolni tudjuk ha az adott alteret kifeszít hullámfüggvényeken végrehajtunke egy unitér transzformációt. Legyenek φ i p a kp hullámszámhoz tartozó hullámfüggvény komponensek. Ekkor ebbn az altérben az áramoperátor elemeire a következ kifejezést kapjuk: J i,j = i φ i p H 1 e ikp H 1 e ikp φ i p (108) Diagonalizálja ezt a mátrixot egy X unitér transzformáció, azaz J d = X JX (109)

13 13 ahol J d már diagonális. Ekkor a keresett állapotok melyek diagonalizálják az áram operátort a φ l p = X i,l φ i p i (110) alakban állnak el.