Forgó molekulák áthaladása apertúrán

Átírás

1 Forgó molekulák áthaladása apertúrán Egy egyszer kvantummechanikai modell Dömötör Piroska SZTE-TTIK Elméleti Fizikai Tanszék Tanszéki szeminárium, Szeged, 215. február 26.

2 Bevezetés A vizsgálandó kérdés Bels struktúra hatása a szórásra? Ulmer Spatz A legenda Hosszú gerendákat szállítanak a városba a Münster építéséhez. A kocsikon keresztben fekv faanyag nem fér át a városkapun... Szélesítsük a kaput? vagy Tanuljunk a fészeképít verébt l? Ulm városának jelképe.

3 Tartalom 1 Bevezetés 2 Klasszikus rotor 3 Kvantumos rotor 4 Analitikus közelítés 5 A szórásprobléma megoldása Green-függvénnyel 6 Numerikusan egzakt eredmények 7 Összegzés

4 Klasszikus rotor Szimmetrikus 2D forgó molekula. Merev de irányítható bels struktúra. Jellmez k: M, M := M (κa) 2. A szimmetrikus rotor y A tömegközéppont csak az apertúra szimmetriatengelye mentén mozoghat Két szabadsági fok: x és ϕ a ϕ x b x H = p2 x 2M + p2 ϕ 2M Jellemz paraméterek: κ tömeg eloszlás a rotor mentén, c := b/a apertúra méret per rotorhossz arány

5 Klasszikus rotor Kényszerek (a) (b) (c) α c α (r) α (t) α (t) x c x Geometriai kapcsolat a tömegközéppont x helye és a megengedett forgási szögek között, három jellemz esetben.

6 Klasszikus rotor Honnan érz dik az apertúra hatása? (a) Kritikus távolság x c := a 2 b 2, α c := arctan b x c = arctan b a2 b 2 és szög α c x c Az áthaladás és visszaver dés során elérhet szög (b) ϕ α (t) (x), ahol π 2 ϕ α (r) (x), ahol α (t) (x) := arctan b x. α (r) (x) := arcsin x a. α (r) α (t) x

7 Klasszikus rotor ϕ π π/2 π/2 (a) (b) (c) t r 2α (r) t 2α (t) r (a) (b) x c α c α (r) α (t) π t x c Geometriailag megengedett (piros és kék ) illetve tiltott (szürke) forgási szögtartományok az x < x c kölcsönhatási régióban. (c =.5 és κ = 1) x x c (c) x α (t)

8 Klasszikus rotor (a) A kritikus szög c := b/a-val kifejezve: α c = arctan b a2 b = arctan c. 2 1 c 2 α c x c A klasszikus (geometriai) átmeneti valószín ség Nem forgó rotorok egyenletes szögeloszlású sokaságát föltételezve T cl = transzmissziót megenged rotor hajlásszögek. összes lehetséges rotor hajlásszög T cl = 2α c π = 2 [ ] π arctan c. 1 2 c 2

9 Kvantumos rotor A rendszer Ψ E energiasajátállapotát a Ĥ Ψ E = E Ψ E egyenlet határozza meg, amely koordináta reprezentációban [ 2 2 2M x ] 2M ϕ 2 + E Ψ E (x, ϕ) =. Dimenziótlan változókat és mennyiségeket bevezetve: s := x κa, ε := E ( 2 2M(κa) 2 ) 1 Energia sajátérték egyenlet [ ] 2 s ϕ 2 Ψ ε (s, ϕ) = ε Ψ ε (s, ϕ). + Peremfeltételek

10 Kvantumos rotor Klasszikus forgási kényszerek mint kvantumos peremfeltételek s c := 1 κ 1 c 2 π/2 Kölcsönhatási régió (I) 2α (r) α (t) (s) := arctan c κ s α (r) (s) := arcsin(κ s ) ϕ π/2 s c 2α (t) s s c A s c s s c kölcsönhatási régióban a hullámfüggvénynek el kell t nnie a geometriailag megengedett régió határán. Ψ (t) ε (s, ϕ = ±α (t) (s)) =, illetve Ψ (r) ε (s, ϕ = ±α (r) (s)) =.

11 Kvantumos rotor A transzlációs és a rotációs szabadsági fokok a peremföltételek miatt összefonódnak. Ansatz A megoldást az alábbi alakban keressük Ψ ε (s, ϕ) = ψ n (s) χ n [ϕ, α(s)], n=1 [ ] 1 nπ (ϕ + α(s)) ahol χ n [ϕ, α(s)] := sin α(s) 2α(s) (n = 1, 2, ) Tehát a forgást leíró χ n [ϕ, α(s)] dobozba zárt részecske hullámfüggvények követik a doboz méretének α(s)-el jellemzett változását. Behelyettesítünk az energia-sajátérték egyenletbe

12 Kvantumos rotor Általános egyenlet a módusokra ( d [δ 2 ( ) ) 2 nπ nm ds 2 + ε + 2α(s) m=1 ( α ) ( (s) d α ) 2 ( +2A nm α(s) ds B (s) α ) ] (s) nm + A nm ψ m (s) =. α(s) α(s) ha n = m, A nm := [ 1 + ( 1) n+m ] nm (n 2 m 2 ) ha n m. ( π2 n 2 ) ha n = m, 12 B nm := [ 1 + ( 1) n+m ] nm ( 3n 2 + m 2) (n 2 m 2 ) 2 ha n m.

13 Analitikus közelítés A módusokat szétcsatoló közelítés Nem túl gyorsan változó α(s) függvényre elhanyagolhatjuk az α(s) deriváltjait is tartalmazó tagokat, így megszüntetjük a csatolást. A függetlenül terjed transzlációs módusokra vonatkozó egyenlet: [ ] d 2 ds 2 + ε n2 v (j) (s) ψ n (j) (s) =, j = t, r; n = 1, 2, Eektív potenciál a visszaver d és az áthaladó részecskékre: ( π ) 2 ( π ) 2 v (r) (s) := [α (r) (s)] 2 = [arcsin κs ] 2, 2 2 ( π ) 2 ( π ) [ ( )] 2 2 c v (t) (s) := [α (t) (s)] 2 = arctan. 2 2 κ s

14 Analitikus közelítés Az eektív potenciálok jellemzése Visszaver d : ( π ) 2 v (r) (s) = [arcsin κs ] 2 2 Áthaladó: ( π ) [ ( )] 2 c 2 v (t) (s) := arctan 2 κ s v (r) v (t) I II III s c s c s c s c I II III s c s c s c s c s A tömegeloszlás paraméter értéke: κ = 1. szaggatott kék vonal: c := b/a =.5; piros vonal : c =.9

15 Analitikus közelítés Oszcillátor potenciál illesztése Az apertúra közepét l távolabb lineárisan közelítjük az arctan függvényt: ( π ) [ ( )] 2 c 2 ( π ) 2 ( κ ) 2 v (t) (s) = arctan s 2. 2 κ s 2 c ( ) 2 s v osc (s) = v +(v c v ) s c ahol v(s) v c = v (t) (±s c ); v = v (t) () s I II III -s c s c v c v A v (t) (s) eektív potenciál (szaggatott piros) és az t közelít v osc (s) oszcillátor potenciál (folytonos kék) (c =.5 és κ = 1)

16 Analitikus közelítés π/2 Kölcsönhatási régió (I) Transzverzális módusok ϕ α c α c -π/2 Ψ (I) ε 2α (t) (s) Ψ (II) ε -s c s c s Szabad régió: nem forgó bemenet Ψ (III) ε φ m (ϕ) = 1 π e i2mϕ ε = k 2 m + 4m 2 Ψ (I) ε (s, ϕ) = Ψ (III) ε (s, ϕ) = m= m= [ δm e ikms + r m e ikms] φ m (ϕ). [ tm e ikms] φ m (ϕ).

17 Analitikus közelítés π/2 Kölcsönhatási régió (I) α c ϕ 2α (t) (s) χ n [ϕ, α(s)] = α c [ ] Ψ (I) ε Ψ (II) ε Ψ (III) 1 nπ (ϕ + α(s)) ε = sin α(s) 2α(s) -π/2 -s c s c s Kölcsönhatási régió Ψ (II) ε (s, ϕ) = [a n f n (s) + b n g n (s)] χ n [ϕ, α(s)]. n=1 [ ] d 2 ds 2 + ε n2 v osc (s) ψ n (s) = 2 lin független mo. f n (s) és g n (s)

18 Analitikus közelítés ϕ π/2 α c α c -π/2 Ψ (I) ε Transzmisszió és reexió T (ε) = 1 m k Kölcsönhatási régió (I) 2α (t) (s) Ψ (II) ε -s c s c s Ψ (III) ε Haladó módusok száma: 2m + 1 m m := ε/2 k m t m 2, R(ε) = 1 k m r m 2. k m= m m= m A megoldások s = ±s c határokon való illesztéséb l t m és r m meghatározható (lineáris egyenlet rendszer).

19 Analitikus közelítés Az eektív oszcillátor potenciál és a transzmisszió kapcsolata ( ) 2 s v osc (s) = v + (v c v ) ω2 osc s 2 A ktív oszcillátor sajátenergiái: ε n = v + s c ( n + 1 ) ω osc (a) 2 15 (b) v (t) 1 ε 1 5 I II III s 5 exact approx.5 1 T (c =.4) (κ = 1)

20 Analitikus közelítés 35 3 c = c = c = c =.7 ε ε exact approx ε ε T.5 1 T.5 1 T.5 1 T A transzmisszió energiafüggése nagyobb energia tartományt nézve, különböz c apertúra méret per rotorhossz arány esetén. (κ = 1) A szaggatott görbe az alább bemutatandó egzakt számolás eredménye.

21 A szórásprobléma megoldása Green-függvénnyel ϕ π/2 α c α c Kölcsönhatási régió (I) 2α (t) (s) φ m (ϕ) = 1 π e i2mϕ ε = k 2 m + 4m 2 -π/2 -s c s c s A kölcsönhatási régiótól távol m := ε/2. m Ψ L [ ε (s, ϕ) = cm e ikms + r m e ikms ] φ m (ϕ). m= m m Ψ R [ ε (s, ϕ) = tm e ikms ] φ m (ϕ). m= m

22 A szórásprobléma megoldása Green-függvénnyel S mátrix A szórási probléma megoldása tetsz leges bejöv hullámra. A lineáris kapcsolat meghatározása a c m bejöv és az r m ill. t m kimen amplitúdók között. r m = m n= m S LL mn c n, és t m = [ S LL S LR S RL S RR ] [ c ] = m n= m S RL [ r t ], mn c n. Transzmisszió és reexió T (ε) = m m= m k m t m 2 m m= m k m c m 2 ; R(ε) = m m= m k m r m 2 m m= m k m c m 2.

23 A szórásprobléma megoldása Green-függvénnyel Az S mátrixot a Green-függvény segítségével határozzuk meg. Green-függvény deníciója Green függvény koordináta reprezentációban: ] [ε + iη + 2 s ϕ 2 G ε (s, ϕ; s, ϕ ) = δ(s s )δ(ϕ ϕ ). Absztrakt operátor egyenlet [(ε + iη)1 H] G(ε) = 1 biztosítja, hogy a retardált Green- Ahol, az innitezimális η + függvényeket kapjuk. Diszkrét rács reprezentációban tehát a [(ε + iη)1 H] végtelen mátrix inverzét kellene kiszámolnunk.

24 A szórásprobléma megoldása Green-függvénnyel Partícionálás: a probléma végessé tétele "Bal drót + Doboz + Jobb drót" Doboz (B) π/2 ϕ Bal drót (L) Kölcsönhatási régió (I) Jobb drót (R) π/2 B L B R D s c s c D s H. Feshbach, Unied theory of nuclear reactions, Annals of Physics, vol. 5, no. 4, pp , H. Feshbach, A unied theory of nuclear reactions. ii, Annals of Physics, vol. 19, no. 2, pp , 1962.

25 A szórásprobléma megoldása Green-függvénnyel Green-függvényb l hullámfüggvény és S mátrix A hullámfüggvény a B Dobozban a probléma Green-függvényének ismeretében egzaktul kiszámítható: s, φ n Ψ = m m= m s, φ n G(ε) B L, φ m 2ik m c m, ahol s B. Innen adódik az S mátrix és G(ε) kapcsolatát leíró un. Fisher-Lee reláció: S qp nm = δ qp δ nm + i2k m B q, φ n G(ε) B p, φ m, p, q {L, R}. Következmény: Csak a Dobozban kell meghatároznunk G(ε)-t De nem az izolált Doboz Green-függvénye kell, hanem az egész probléma Green-függvényéb l a Dobozra vonatkozó rész.

26 A szórásprobléma megoldása Green-függvénnyel Green-függvényb l hullámfüggvény és S mátrix A hullámfüggvény a B Dobozban a probléma Green-függvényének ismeretében egzaktul kiszámítható: s, φ n Ψ = m m= m s, φ n G(ε) B L, φ m 2ik m c m, ahol s B. Innen adódik az S mátrix és G(ε) kapcsolatát leíró un. Fisher-Lee reláció: S qp nm = δ qp δ nm + i2k m B q, φ n G(ε) B p, φ m, p, q {L, R}. Következmény: Csak a Dobozban kell meghatároznunk G(ε)-t De nem az izolált Doboz Green-függvénye kell, hanem az egész probléma Green-függvényéb l a Dobozra vonatkozó rész.

27 A szórásprobléma megoldása Green-függvénnyel Az operátorok "Bal drót + Doboz + Jobb drót" particionálása: [(ε + iη)1 H] = (ε + iη)1 H LL (τ L ) τ L ε1 H BB τ R (τ R ) (ε + iη)1 H RR G = G LL G LB G LR G BL G BB G BR G RL G RB G RR [(ε + iη)1 H] G(ε) = 1 G BB formálisan kifejezhet

28 A szórásprobléma megoldása Green-függvénnyel A dobozra megszorított Green-függvény "Bal drót + Doboz + Jobb drót" módon particionálva a Dobozra megszorított Green-függvény: G BB (ε) = [ ε1 H BB Σ(ε) ] 1. A félvégtelen drótok hatását a Σ(ε) nem-hermitikus korrekció tartalmazza. Az Σ := Σ L + Σ R korrekció diszkrét rácson kiszámítható: Σ D := τ D g D (τ D ), D {L, R}, ahol τ D tartalmazza a drótok és a Doboz csatolását, g D pedig a félvégtelen drótok analitikusan kiszámítható Green-függvénye. S. Datta, Electronic Transport in Mesoscopic Systems. Cambridge Studies in Semiconductor Physics and Microelectronic Engineering, Cambridge: Cambridge University Press, 1995.

29 A szórásprobléma megoldása Green-függvénnyel Diszkrét rácson "Bal drót + Doboz + Jobb drót" módon particionálva Bal drót (L) τ L Doboz (B) τ R Jobb drót (R) p L3 B L3 B R3 p R3 p L2 B L2 B R2 p R2 p L1 B L1 B R1 p R1 "Els szomszéd" csatolás a félvégtelen drótok és a Doboz közt: τ L = 1 s 2 B Li p Li, τ R = 1 s 2 B Ri p Ri. i L i R A korrekció nem elt n mátrixelemei: D {L, R} Σ D [B Di, B Dj ] = 1 s 4 gd [p Di, p Dj ]

30 A releváns zikai tulajdonságok és a Green-függvény Élettartam A Doboz formális sajátértékproblémája: [ H BB + Σ(ε) ] Ψ B µ = εµ Ψ B µ Az izolált probléma sajátenergiája Σ(ε) hermitikus része ε µ = ε µ, µ i(γ µ /2). Σ(ε) anti-hermitikus része véges élettartam

31 A releváns zikai tulajdonságok és a Green-függvény Spektrális függvény A BB (ε) i[g BB (ε) (G BB (ε)) ] = 2 Im [ G BB (ε) ]. A Green-függvény sajátfüggvények szerinti formális kifejtése alapján A BB (ε) = µ Ψ B µ Ψ B µ γ µ (ε ε µ, + µ ) 2 + (γ µ /2) 2. Állapots r ség (DOS) A rendszer energia spektrumát jellemz mennyiség N (ε) 1 2π Tr [ A BB (ε) ] = 1 dr r A BB (ε) r. 2π B N (ε) = 1 π µ γ µ /2 (ε ε µ, + µ ) 2 + (γ µ /2) 2 γµ µ δ (ε ε µ, + µ ).

32 Numerikusan egzakt eredmények A DOS elemzése, hamis rezonancia lehet ségek kisz rése. Mely energiákon számíthatunk rezonanciára? Nagy élettartamú állapotok? 3 2 N (ε) 1 ε 1 ε2 ε 3 ε4 ε 5 ε 6 (a) A Kölcsönhatási régióra jellemz rezonanciákat kisz rhetjük a Doboz arrébb csúsztatásával (b) 2 N (ε) ε N (ε) = 1 π µ γ µ/2 (ε ε µ, + µ) 2 + (γ µ/2) 2

33 Numerikusan egzakt eredmények A transzmisszió energiafüggése "nem forgó" bejöv hullám esetén A DOS (N (ε)) mutatja meg, hogy mely energiákon számíthatunk rezonanciára. φ (ϕ) = 1 π ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 N (ε) egzakt.8 approx T (ε).6 ε 1 ε 3 ε 6 T cl ε A transzmisszió energiafüggése Ψ even (s, ϕ) = e iks φ (ϕ), "nem forgó" bejöv hullám esetén, összevetve az analitikus közelítésb l számolt eredménnyel. (c =, 5)

34 Numerikusan egzakt eredmények A transzmisszió energiafüggése "nem forgó" bejöv hullám esetén A dobozban kialakuló hullámfüggvény rezonáns energiákon φ (ϕ) = 1 π T (ε).4.2 ε 1 ε 3 ε 6 T cl ε A transzmisszió energiafüggése Ψ even (s, ϕ) = e iks φ (ϕ), "nem forgó" bejöv hullám esetén. (c =, 5)

35 Numerikusan egzakt eredmények A transzmisszió energiafüggése "ellentétesen forgó" bemenet esetén A DOS (N (ε)) mutatja meg, hogy mely energiákon számíthatunk rezonanciára. φ ±1 (ϕ) = 1 π e ±i2ϕ ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 N (ε) ε 2 ε 4 ε 5.8 T (ε) T pcl ε A transzmisszió energiafüggése Ψ odd 1 (s, ϕ) = e ik1s 1 2 [φ 1 (ϕ) φ 1 (ϕ)], "páratlan" bejöv hullám esetén. (c =, 5)

36 Összegzés Kétdimenziós bels struktúrával rendelkez részecske modell (merev forgás) résen való szóródását vizsgáltuk kétféle módszerrel. Analitikus közelítés segítségével (nem forgó bemenet) a transzlációra vonatkozó eektív potenciálokat vezettünk be. Green-függvényes módszerrel egzakt numerikus megoldást adtunk a szórási problémára. Igazoltuk, hogy a közelítéseket tartalmazó analitikus megoldás alacsony energiákon jól egyezik az egzakt megoldással.

37 Összegzés Megjelent cikkek B. W. Shore, P. Dömötör, E. Sadurní, G. Süssmann, and W. P. Schleich, New Journal of Physics, vol. 17, no. 1, p. 1346, 215. P. Dömötör, P. Földi, M. G. Benedict, B. W. Shore, and W. P. Schleich, New Journal of Physics, vol. 17, no. 2, p. 2344, 215.

38 Köszönöm a gyelmet! Munkánkat az OTKA támogatta T81364 témaszám alatt.