elemi gerjesztéseinek vizsgálata

Átírás

1 Hatszögrácson kialakuló spin-folyadék fázis elemi gerjesztéseinek vizsgálata Sinkovicz Péter, Szirmai Gergely MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont Szilárdtestfizikai és Optikai Intézet 2013 április 29

2 Áttekintés Rövid áttekintés A vizsgált modell bemutatása Hubbard-modell Heisenberg-modell, mint a Hubbard-modell határesete ismertetése Hubbard-Stratonovich tér bevezetése Átlagtér megoldás véges hőmérsékleten Gráfszabályok Segédtér propagátora egy hurok szinten Elemi gerjesztések

3 Modell bemutatása Hubbard-modell Hubbard-modell Homogén Hubbard-modellt: Ĥ = t i,j α=, ĉ i,αĉj,α + U N i=1 ˆn i, ˆn i, Mivel a Wannier-állapotok rácspontokra lokalizáltak lokalizált fermionokat írnak le, így a hopping csak első szomszédok között számottevő t i,j = t i,j a kölcsönhatás on-site-nak vehető és homogén és izotrop a rács U i,j;i,j = Uδ i,jδ i,j δ i,i t i,j = t

4 Modell bemutatása Hubbard-modell Mott-szigetelő fázis A Hubbard-modell U t és egyszeres betöltés mellett a következő folyamatot írja le: Az így kapott modell alapállapota mindig szigetelő fázis és κ T = 0.

5 Modell bemutatása Heisenberg-modell Heisenberg-modell Tehát véve a Hubbard-modell alacsony hőmérsékletű, erősen kölcsönható, egyszeresen betöltött T/T c 0 U/t 1 n i = ĉ i,αĉi,α = 1 α határesetének vezető rendjét megkapjuk a Heisenberg-modellt. Heisenberg-modell Ĥ Heisenberg = g i,j α,β= ĉ i,αĉj,αĉ j,βĉi,β ahol g = 4t 2 /U > 0 egy taszító csatolási állandó.

6 Modell bemutatása Heisenberg-modell Heienberg-modell általánosítása ahol A spin Schwinger-fermionokkal reprezentálható ĉ i,αĉi,α = 1, így Ŝ i = ĉ i,αˆσ α,βĉi,β, Ĥ Heisenberg = g i,j Ŝ i Ŝ j, ami általánosítható két tetszőleges, lokalizált spin olyan kölcsönhatásának a leírására, ami nem változtatja meg a spinek nagyságát. ˆσ ˆτ g g/n

7 Modell bemutatása Heisenberg-modell Spin folyadék fázis A Heisenberg-modell olyan típusú alapállapotát és akörüli fluktuációkat vizsgáltuk, melyben: töltések rögzítettek (csak spin dinamika); tudja a Ĥ összes szimmetriáját. Alkáliföldfém spin forgatási szimmetria csoportja Az i. rácspont eredő spinje: Ŝ i = îi + Ĵi = îi esetünkben a magspin maximális vetülete I = 5/2, így a modell SU(N = 2I + 1) = SU(6) szimmetrikus

8 Nagykanonikus állapotösszeg származtatása A modell nagykanonikus állapotösszegének származtatása A statisztikusfizika nagykanonikus állapotösszege [ ] Z β = Tr e β ˆK = D[c, c]e 1 S β[c,c] nem más, mint egy τ = iβ komplex idejű propagátor, melyben az időlépést a ˆK = Ĥ µ ˆN nagykanonikus Hamilton-operátor fejleszt. S β [c, c] = β dτ L(τ; c, c] = 0 β = dτ [c i,α (τ) ( τ + µ i ) c i,α (τ)] g c i,α (τ)c j,α (τ)c j,β (τ)c i,β (τ) i,α i,j 0 α,β

9 Nagykanonikus állapotösszeg származtatása Hubbard-Stratonovich transzformáció A probléma látszólag orvosolható egy χ bozon segédtér bevezetésével. A transzformáció alapgondolata: definiáljuk úgy a χ funkcionál integrált, hogy teljesüljön a következő: g 1 = D[ χ, χ χ i,j (τ) χ j,i (τ) i,j ]e a funkcionál integrál eltolás invariáns, így az előző kifejezés invariáns a χ i,j (τ) χ i,j (τ) α c i,α (τ)c j,α (τ) cserére (mean field választás).

10 Nagykanonikus állapotösszeg származtatása Átlagtér bevezetése Hubbard-Stratonovich bozonterek mozgásegyenletei χ i,j (τ) = α c i,α (τ)c j,α (τ) χ j,i (τ) = χ i,j(τ) A segédteret bontsuk fel a következő képpen: χ i,j (τ) := χ i,j + δχ i,j (τ) ahol a mean-field rész a Schwinger-fermionok korrelációs mátrixának a várható értéke χ i,j = α c i,α c j,α

11 Nagykanonikus állapotösszeg származtatása Ansatz Megoldási feltevés: hatszög elemi cella Méhsejt-ansatz Szereposztás: elemi cellák indexelése 6db különböző rácspont χ i,j χ (ν) Közeĺıtés következményei véges probléma kémiai potenciál rögzítése

12 Nagykanonikus állapotösszeg származtatása A teljes hatás Kvázirészecskék és fluktuációk teljes hatása S[c, c, δχ, δχ ] = S 0 [c, c] + g 1 S 1 [c, c, δχ, δχ ] + g 2 S 2 [ δχ 2 ] A fermion részben Gauss-integrálra vezető tag S 0 [c, c] = c k,n;σ G (0) 1 c k,n k,n;σ E 0 (χ) k,n σ c k,n;σ [iωδ... + Ĥ(0) (k)δ k, k δ σ, σ δ n,n ahol c k = (a, b,..., f), ami a Ĥ(0) sajátvektoroin kifejtve ] c k,n ;σ c k = i α (i) k v (i) k diagonalizálható.

13 Nagykanonikus állapotösszeg származtatása A teljes hatás Tehát S 0 -ból leolvashatjuk a szabad fermionok Greenfüggvényét: G (0) = 1 iω n δ... Ĥ(0) (k)δ k, k δ σ, σ δ n,n mely diagonalizálás után az α kvázirészecskékre a következőt jelenti: G (0)(i j) k,n i j = a ( v (a) k )i ( v (a) k )j iω n 1 ε (i) k

14 Nagykanonikus állapotösszeg származtatása Vegyes tagok, melyek a vertexeket adják S 1 [α, α, δχ, δχ ] = [ ( α (i) k,n ;σ α(j) ( k k),(n n);σ δχ(ν) λ (ν) k,n k,n )i,j + ν;σ k,n k,n ( + α (i) k,n ;σ α(j) ( k k),(n n);σ δχ(ν) λ (ν) k,n k,n )i,j melyből összesen 9x2db vertex adódik ]

15 Nagykanonikus állapotösszeg származtatása δχ-ben másodrendű tagok S 2 [ δχ 2 ] = δχ (ν) D (0)(ν ν ) 1 k,n δχ (ν ) k,n k,n k,n ν,ν Melyből meghatározható a bozon-tér propagátora (első rendben) ν ν 1 = δ k,n ν,ν βv D (0)(ν ν ) A gráf elemek és a hurok, illetve csomóponti törvények segítségével meghatározhatjuk a gráfszabályokat. Az előbb bemutatott gráfszabályok csak formálisak, teljes ismeretükhöz még szükségünk van a χ értékére. A buborék összeg még nem egy perturbációs sor, így minden gráf járulékát figyelembe kell vennünk.

16 Nyeregpont közeĺıtés Z nyeregpont közeĺıtése Amire hajtunk Kezelhető állapotösszeg megkonstruálása (ln det eliminálása) Egy S[c, c, δχ, δχ ] = S 0 [c, c]+g 1 S 1 [α, α, δχ, δχ ]+S eff. [δχ, δχ ] effektív hatás találása, ahol S eff. [δχ, δχ ] = q ν,ν n [ ( δχ (ν) q,n D (ν,ν ) q,n alakú és δχ a m.f. érték körüli fluktuáció. Kollektív elemi gerjesztések megtalálása. ) + D (ν,ν) q,n ] δχ (ν ) q,n

17 Nyeregpont közeĺıtés Nyeregpont helye = χ átlagtér beálĺıtása Nyeregpont rögzítésére vonatkozó kényszerfeltételek: χ = χ helyen a hatásnak szélsőértéke van 2 9db δs[... ] δχ (ν) = 0 χ (ν) = 6 g V k n (i) v k ˆλ(ν) k k v k típusú egyenlet. minden rácspont egyszeresen van betöltve (kémiai potenciál beálĺıtása) ) ) (c k,σ (c k,σ = 1 6 ( ( m m V v (i) k v k )m (i) k )m = 1 k,σ k,i n (i) Ezen kényszerek együttes teljesülése mellett χ meghatározható.

18 Nyeregpont közeĺıtés Megoldások szimmetriája és Wilson-hurkok definiálása A Heisenberg-modell lokális U(1) szimmetriája öröklődik a χ terekre χ i,j = σ c i,σ c j,σ σ c i,σ c j,σ e i(ϑ j ϑ i ) = χ i,j e iϕ i.j Fizikailag különböző megoldások osztályozásához Wilson-hurkok definiálása (bármilyen zárt görbe): Π 1 := χ (1) χ (2) χ (3) χ (4) χ (5) χ (6) Π Π 2 Π 3 χ χ χ χ χ χ χ χ χ Π 2 := χ (1) χ (8) χ (5) χ (9) χ (3) χ (7) Π 3 := χ (6) χ (7) χ (4) χ (8) χ (2) χ (9)

19 Nyeregpont közeĺıtés T = 0 megoldások: E Π 1 Π 2 Π r0 iφ r0 iφ r0 iφ r0 iφ r0 iφ r0 iφ i r 1 r 2 e iπ r 2 e iπ r 2 e iπ r 1 r 2 e iπ r 2 e iπ r 2 e iπ r Φ 0 Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ királis fázis Π Π Π 0 0 Π Π Π 0 0 kvázi plakett fázis plakett fázis G. Szirmai, E. Szirmai, A. Zamora, and M. Lewenstein, PRA, 84, (2011)

20 Nyeregpont közeĺıtés T = 0: Π = r 0 e iφ királis fázis esetén a kvázi részecskék energiaspektruma E = ǫ µ[g] π 2π k 1 [1/a]

21 Nyeregpont közeĺıtés E m.f. [g] π π k 2 [ 1 k 1 [ 1 0 L ] L ] 4π 3 3 ky[ 1 L ] 0 2π π 3 2π 3

22 Nyeregpont közeĺıtés Fluktuációk effektív leírása (nyeregpont görbülete) Generáló funkcionál bevezetése: Z[η, η] := = + 1 S[... ]+ k,n,i ( ) α (i) η (i) +c.c. k,n k,n D[... ]e = [ D[χ, χ ] 1 1 [ δ S k.h. δη, δ ], χ, χ + δη ( 1 ) ] 2 1 2! S2 k.h [... ] +... Z 0 [η, η] := = Z (0) [η, η] + Z (1) [η, η] +Z (2) [η, η] +... }{{} =0 Z 0 [η, η] az α kvázi részecskékben Gauss-integrált tartalmaz.

23 Nyeregpont közeĺıtés Z (0) és Z (2) tagokat megtartva a következő effektív hatás származtatható a H-S bozontérre: S eff. = [ ( ) ] δχ (ν) q,n D (ν ν ) 1 q,n + D (ν ν) 1 q,n δχ (ν ) q,n + q,n ν,ν + [ ] A (ν ν ) 1 q,n δχ (ν) ) q,n δχ(ν q, n + c.c. q,n ν,ν ahol D (ν ν ) q,n = a várt propagátor A (ν ν ) q,n = nem várt anomális propagátor

24 Nyeregpont közeĺıtés Királis fázis, β = 100 Királis fázis, β = D 1 1 4π π π k 1[ 1 L ] 2π 0 π k 2[ 1 L ] [ D (ν ν ) 1 q,n = 1 δ ν,ν + 6 βv V ky[ 1 L ] 0 2π 3 3 k,i,j v (i) v (j) k k+ qˆλ(ν) k+ q v (i) k 0 π 3 iω n n (i) k ] v (j) ) k+ qˆλ(ν k+ q k x[ 1 L ] n (j) k+ q 2π 3 ( ε (j) k+ q ε (i) k )

25 Nyeregpont közeĺıtés Királis fázis, β = 100 Királis fázis, β = 100 A 1 1 4π π π k 1[ 1 L ] 2π 0 π k 2[ 1 L ] ky[ 1 L ] 0 2π π 3 k x[ 1 L ] 2π 3 A (ν ν ) 1 q,n = 1 βv 6 V k,i,j v (i) k v (j) k+ qˆλ(ν ) k+ q iω n n (i) k n (j) k+ q ( ) v (i) ε (j) ε (i) k k+ q k v (j) k+ qˆλ(ν)

26 Stabilitás vizsgálat Stabilitás vizsgálat Az előbb levezetett hatás megenged nem fizikai fluktuációkat is, ezek kiszűrésére a következő kikötéseket kell figyelmbe venni: valódi fizikai fluktuáció megváltoztatja a wilson hurkok értékét: Π i (χ + δχ) Π i (χ) + Π i δ χ e (i) Π := Π i Π i a fluktuációk során nem lépünk ki a modell érvényességi köréből: F m (χ + δχ) F m (χ) + F m δ χ e (m) F := F m F m ahol F =... az egyszeres betöltést rögzítő kényszer.

27 Stabilitás vizsgálat Tehát a releváns fluktuációk megváltoztatják legalább egy Wilson hurok értékét: Π i δ χ 0 van merőleges komponense és nem visznek le a kényszerről: F m δ χ = 0 e (m) F δ χ Ezek után a CSL és a plakett fázis stabilnak adódott.

28 Spin-spin korrelációsfüggvény Spin-spin korrelációsfüggvény A rendszer Σ(r r, τ) := ˆTτ (S z (r, τ)s z (r, 0)) := := 1 Σ i,j ( q, τ)e i( mq 1+ nq 2 ) V q Σ(q, τ = 0) π π 0 π 2π

29 Hatszo gra cson kialakulo spin-folyade k fa zis ve ges ho me rse kletu leı ra sa Eredme nyeink Elemi gerjeszte sek Elemi gerjeszte sek Spin-spin korrela cio st elfolytatva komplex frekvencia kra iωn = ν + iη megkaphatjuk az elemi gerjeszte sek, ha a po lusok helye t azonosı thatjuk az elemi gerjeszte sekkel (gyenge perturba cio ra adott va lasz rezonancia helye) Im ν > 0: instabil Po lusok Im ν 0 e s Re ν > 0: stabil ν Im ν 0 e s Re ν 0: instabil 0 π k1 [BZ] 2π

30 Köszönöm a figyelmet!