Mese a Standard Modellről 2*2 órában, 2. rész

Átírás

1 Mese a Standard Modellről 2*2 órában, 2. rész Előadás a magyar CMS-csoport számára Horváth Dezső horvath rmki.kfki.hu. MTA KFKI Részecske és Magfizikai Kutatóintézet, Budapest és MTA ATOMKI, Debrecen Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.1/49

2 ese a Standard Modellről, 2. rész: vázlat Szimmetriák és megmaradó mennyiségek. Mértékszimmetriák: U(1), SU(2), SU(3) Dirac-egyenlet és fermion-megmaradás Lokális U(1) kvantumelektrodinamika Lokális SU(3) kvantumszíndinamika Higgs-mechanizmus, spontán szimmetriasértés Lokális U(1) Y SU(2) L + Higgs-tér elektrogyenge kh. Tömegképződés Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.2/49

3 Az SU(2) szimmetria Speciális (det = 1) Unitér (U + U = 1) 2 2-es mátrixok csoportja (Csoport: Zárt halmaz, asszociatív bináris művelet, egységelem, inverz) Spin: 3D forgáscsoport J = 1/2 Szokásos reprezentáció: U(θ k ) = exp( iθ k J k ) = exp( iσ k θ k /2) (k = 1, 2, 3) Pauli-mátrixok: σ 1 = σ 2 = Sajátértékek és -vektorok: J 3 = : 0 i i σ 3 = J 3 = 1 2 : 0 1 Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.3/49

4 Izospin W. Heisenberg: Magerők töltésfüggetlensége, m p m n nukleon: N = p p = 1 n = 0 n 0 1 I = 1 2 I 3 = I 3 = 1 2 I = 1: π + (I 3 = +1) π 0 (I 3 = 0) π (I 3 = 1) I = 3 2 : (I 3 = 3 2 ); 0 (I 3 = 1 2 ); + (I 3 = ); ++ (I 3 = ) I 3 (u) = + 1 2, I 3(d) = 1 2 I(többi kvark)=0 Ma u és d kvark kvantumszáma (flavour, íz) Teljes analógia spinnel, SU(2)-szimmetria. Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.4/49

5 Kovariáns formalizmus Kovariáns négyesvektor: A µ = (A 0, A); kontravariáns: A µ = (A 0, +A) Deriválás kivétel: µ = ( t, + ); µ = ( t, ) Skalárszorzat: A B = A 0 B 0 A B = A µ B µ = A µ B µ = g µν A µ B ν = g µν A µ B ν metrikus tenzor: g µν = g µν = Skalárszorzat Lorentz-invariáns, alsó felső indexek párban implikált összegzés 3 µ=0 Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.5/49

6 Dirac-spinor Dirac-egyenlet sajátvektorai: ψ spinorok Sajátvektor spin tömeg m m m m részecske antirészecske Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.6/49

7 Gamma-mátrixok I = Dirac-Pauli formalizmus (4 4-es γ-mátrixok) σ 1 = σ 2 = 0 i i 0 σ 3 = γ 4 γ 0 = I 0 0 I γ = γ 5 iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = 0 σ σ 0 0 I I 0 Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.7/49

8 Spinorok bilineáris szorzatai ψ: 4-es spinor (oszlopvektor) ψ ψ γ 0 : adjungált spinor (sorvektor) A fizikai mennyiségekben előfordulhatók Típus alak komp. P -tükr. hatása Skalár ψψ 1 + Vektor ψγ µ ψ 4 térkomp. Tenzor ψσ µν ψ 6 Axiálvektor ψγ 5 γ µ ψ 4 térkomp. + Pszeudoskalár ψγ 5 ψ 1 σ µν = i 2 (γ µ γ ν γ ν γ µ ) Gyenge áram: ψ(1 γ 5 )γ µ ψ V-A elmélet Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.8/49

9 A szabad fermion Dirac egyenlete Lagrange sűrűség operátora = kin. pot. energiasűrűség L = T V = iψγ µ µ ψ mψψ µ x µ ψ ψ γ 0 Euler Lagrange egyenlet: δl = 0 Adj. Dirac-egy. [ ] L µ ( µ L ψ) ψ = 0 i µψγ µ + mψ = 0 Herm. konj. (γ 02 = I; γ 0 = γ 0 ; γ µ = γ 0 γ µ γ 0 ) [i µ ψγ µ + mψ] = iγ µ γ 0 µ ψ + mγ 0 ψ = iγ 0 γ µ µ ψ + mγ 0 ψ = γ 0 (iγ µ µ ψ mψ) = 0 Dirac-egyenlet: (iγ µ µ m)ψ = 0 Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.9/49

10 A fermiontöltés megmaradása ψ[iγ µ µ ψ mψ] + [i µ ψγ µ + mψ]ψ = 0 Dirac-egy. adj. Dirac ψγ µ ( µ ψ) + ( µ ψ)γ µ ψ = µ (ψγ µ ψ) = 0 j 0 t i j i x i = 0 kontinuitási egy. j µ = ψγ µ ψ fermionáram-sűrűség 4-vektora µ j µ = 0 fermion-megmaradás Anyagsűrűség: j 0 = ψγ 0 ψ = ψ γ 02 ψ = ψ Iψ = 4 i=1 ψ 2 Elektron töltésárama: j µ e = eψγµ ψ Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.10/49

11 Globális mértékinvariancia Mozgásegyenlet (pl. L = T V ) invariáns mértéktranszformációval szemben megmaradó áram (Noether-tétel) Szabad fermion: L = iψ(x)γ µ µ ψ(x) mψ(x)ψ(x) invariáns U(1) globális mértéktr.-val U(1) = 1 1 unitér mátrixok csoportja ψ(x) Uψ(x); U = e iλ ; U U = 1 Áram: j µ (x) = ψ(x)γ µ ψ(x); µ j µ (x) = 0 Példa: neutronbomlás, n p + e + ν e barionáram és leptonáram megmarad Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.11/49

12 Globális szimmetriák (Noether-tétel) Lagrange-fv invariáns globális transzfomációval szemben megmaradási törvény transzformáció = megmaradó mennyiség térbeni eltolás (x) = impulzus (p) időbeni eltolás (x 0 ) = energia (p 0 ) forgatás = imp.-mom. (J) U(1) mértékinv. = töltés (Q, B, L) SU(2) mértékinv. = spin, izospin SU(3) mértékinv. = szín U(1): L(e iα ψ) = L(ψ) SU(2): L(e 1 2 iασ ψ) = L(ψ) L: Lagrange-fv, ψ: részecske-tér α: 3 valós állandó, σ: Pauli-mátrixok Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.12/49

13 Lokális invariancia kölcsönhatás Lokális U(1) kvantumelektrodinamika L(e iα(x) ψ) = L(ψ) el. töltés, foton: m γ = 0 Lokális SU(3) kvantumszíndinamika L(e i P 8 a=1 α a(x)t a ψ) = L(ψ) 3 szín, 8 gluon: m g = 0 (T a : 3 3 unitér mátrix ) Lokális SU(2) gyenge kh.??? L(e 1 2 iα(x)σ ψ) = L(ψ) 3 bozon, m(b i ) = 0 Sértenünk kell, hogy működjék: spontán szimmetriasértés (Higgs-mechanizmus) Építsük fel a Standard Modellt: Lokális U(1) SU(2) SU(3) + Higgs-mechanizmus Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.13/49

14 Lokális U(1) QED A szabad fermion Dirac-egyenlete: L = i ψ γ µ µ ψ mψψ (Adj. spinor: ψ ψ γ 0 ) U(1) mértéktrafó: ψ (x) = e iα(x) ψ(x) Lokalitás: tetsz. valós α(x) téridő-fv. Új szimm.-hoz kovariáns deriválás Ált. impulzus Maxwell-egyenletben: p p + ea ált. derivált térelméletben: i µ id µ = i µ + ea µ ahol U(1) hatására A µ A µ + 1 e µα L = i ψ γ µ D µ ψ mψψ= ψ(i γ µ µ ψ m)ψ + eψ γ µ ψa µ = L j µ A µ (j µ = ψ γ µ ψ megmaradó áram vektor) Új A µ tér, tér kinetikus energiáját hozzáadni: (E = 1 4 F µν F µν ; F µν = µ A ν ν A µ ) L = ψ(i γ µ µ ψ m)ψ + eψ γ µ ψa µ 1 4 F µν F µν Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.14/49

15 Kovariáns deriválás U(1)-re D µ (U(α)ψ) = ( µ iea µ )(U(α)ψ) = i( µ α)e iα ψ + e iα µ ψ iea µ e iα ψ = e iα [ µ iea µ + i( µα)]ψ = e iα D µ ψ (A µ = A µ + 1 e µα) F µν F µν = [ µ (A ν + 1 e να) ν (A µ + 1 e µα)] [ µ (A ν + 1 e ν α) ν (A µ + 1 e µ α)] = (( µ A ν ν A µ ) ( µ A ν ν A µ )) = F µν F µν m 2 γ A µ A µ = m 2 γ (A µ + 1 e µα) (A µ + 1 e µ α) m 2 γ A µa µ m γ = 0 Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.15/49

16 A QED Lagrange-függvénye L QED = ψ(i γ µ µ ψ m)ψ + eψ γ µ ψa µ 1 4 F µν F µν m > 0 fermion + m = 0 A µ -tér A µ nem tűr tömeget: 1 2 m2 γ Aµ A µ tömegtag elrontja U(1)-et Az U(1)-trafók Abel-csoportja: U(α) = e iα ; U(α 1 ) U(α 2 ) = U(α 2 ) U(α 1 ) Áramsűrűség: j µ = eψγ µ ψ Globális U(1)-invariancia (ψ(x) e iα ψ(x)) töltés- áram-megmaradás Lokális U(1)-invariancia (ψ(x) e iα(x) ψ(x)) QED és fotontér Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.16/49

17 Az SU(3) szimmetria Speciális (det = 1) Unitér (U + U = 1) 3 3-as mátrixok csoportja Szokásos reprezentáció: U = exp(iα a T a ) exp(i 8 a=1 α at a ) (α a : állandók, T a : generátorok) T a = λ a /2; [T a, T b ] = i 8 a=1 f abct c Szerk. állandók: f abc = f acb = f bac = f cba λ i = Generátorok származtatása: Ált. 2 2 Pauli-mátrixok 0-kkal 3 3-ra bővítve σ 1 1 i λ 3 = 1 0 λ 8 = (i = 1, 2, 3) λ 3 és λ 8, diagonálisak Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.17/49

18 SU(3) 3 SU(2) λ i származtatása: 1 2 (λ i ± λ j ) léptet f abc származtatása: [ 1 2 λ a, 1 2 λ b] = i 8 a=1 f abc 1 2 λ c (T a 1 2 λ a) Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.18/49

19 Lokális SU(3) szimmetria Szabad kvark: L 0 = q j (iγ µ µ m)q j ( 3 j=1 [...] j[...] j összeg színre, elhagyjuk) Lokális mértéktranszf.: q(x) Uq(x) = e iα a(x)t a q(x) ( 8 a=1 [...] a[...] a ) α a (x) valós téridő fv. Szín-SU(3) : U: 3 3-as, unitér, det(u) = 1 Tr T a = 0 Nem-Abeli csoport: [T a, T b ] = if abc T c Szerkezeti állandók: f abc = f acb = f bac = f cba f 123 = 1; f 458 = f 678 = 3 2 ; f 147 = f 165 = f 246 = f 257 = f 345 = f 376 = 1 2 a többi zérus Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.19/49

20 Az SU(3)-mértéktér Kovariáns derivált: D µ = µ + igt a G a µ Mértéktér: G a µ Ga µ 1 g µα a f abc α b G c µ Térerősség: G a µν = µg a ν νg a µ gf abcg b µ Gc ν ahol g a csatolási állandó Első két tag Abeli QED Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.20/49

21 A QCD Lagrange-operátora L QCD = q(iγ µ µ m)q g(qγ µ T a q)g a µ 1 4 Ga µν Gµν a g: csat. állandó; m g = 0 L QCD = {qq} + {G 2 } + g{qqg} + g{g 3 } + g 2 {G 4 } szabad kvark szabad gluon kvark gluon kh. 3 gluon kh. 4 gluon kh. QED analógia gluon gluon kh.: QCD spec. Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.21/49

22 Futó csatolás: QED QED csatolási állandója: Q: imp-átadás α(q 2 ) = α 0 1 α 0 3π ln(q2 /M 2 ) M: renormálás levágása: p dp M p dp 0 0 Fizikaibb felírás: tetsz. µ referencia-impulzusra α(q 2 ) = α(µ 2 ) 1 α(µ2 ) 3π ln(q2 /µ 2 ) α 1 (0) 137; α 1 (m 2 µ ± ) 136; α 1 (m 2 Z ) 128 Felöltöztetett elektron, gyenge Q 2 -függés Töltés árnyékolása nagy távolságon Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.22/49

23 Futó csatolási állandó: QCD α s (Q 2 ) = α s (Q 2 0 ) 1 β 1 α s (Q 2 0 ) 2π ln Q2 Q π (33 2N f ) ln(q 2 /Λ 2 ) β 1 = 1 3 N f 11 6 N C < 0 (N c = 3 szín, N f = íz (flavor)) α s (1 GeV 2 ) 1; α s (m 2 Z ) 0, 120; α s(q 2 ) = 0 Λ(N f ) 0, 1 0, 5 GeV: levágás Λ(N f = 2) 260 MeV Q 2 Λ 2 gyenge csatolás nagy E, kis táv. aszimptotikus szabadság Q 2 Λ 2 erős csatolás kis E, nagy táv. kvarkbezárás, hadronok Ellenárnyékolás: színtöltés erősödése nagy távolságon Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.23/49

24 Aszimptotikus szabadság Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.24/49

25 Árnyékolás: QED QCD Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.25/49

26 QED és QCD QED QCD Elemi fermionok leptonok kvarkok Töltés elektromos szín- Mértékbozon foton (γ) 8 gluon (g) nincs töltése színes Csatolási állandó α(q 2 = 0) = α s(q 2 = m 2 Z ) = 0.12 Q 2 függés gyenge erős Szabad részecskék leptonok hadronok Számítási pontosság < % Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.26/49

27 Kvarkok megfigyelése: hadronzáporok OPAL e + e Z ( ) qq 39 töltött részecske! Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.27/49

28 Gluon megfigyelése: 3 hadronzápor OPAL e + e qqg Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.28/49

29 Gyenge kölcsönhatás τ (erős kh.) s τ (e-m. kh.) s ρ(770) π π π 0 γ γ τ (gyenge kh.) 10 8 s π µ ν µ π u d W µ ν µ Gyenge d u bomlás ízváltozás Maximális paritássértés: balkezes részecske: µ L jobbkezes antirészecske: ν R µ Közvetítő: W ±, Z 0 ; m W, m Z 0 Yukawa-kh.: U(R) exp( R R 0 )/R R 0 M W c gyenge Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.29/49

30 Gyenge kh: mértékelmélet? Globális SU(2) mértékinvariancia: ψ = Uψ U = exp{ 1 2 i 3 k=1 α kσ k } α k : valós szerk. áll.; σ k : spinmátrixok L = L spin, izospin megmarad Lokális SU(2): U = exp{ 1 2 i 3 k=1 α k(x)σ k } 3 mértékbozon, de m W = 0! Adjunk L-hez m 2 W W µw µ tagot? SU(2) elromlik (na és?) és nem renormálható!! (minden rendben más levágás...) Lokális SU(2) gyenge kölcsönhatás! Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.30/49

31 Spontán szimmetriasértés Mitől van a gyenge bozonok tömege? Példázat: L = T V = 1 2 ( νφ) 2 ( 1 2 µ2 φ λφ4 ) (µ 2 valós, λ > 0): φ φ invariancia Ha µ 2 > 0, φ skalár részecske tere µ tömeggel Ha µ 2 < 0: V φ = φ(µ2 + λφ 2 ) = 0 Stabil vákuum: φ = ±v = ± µ 2 /λ 2 Perturbációszám.: φ(x) = v + η(x) V V 0 0 v +v φ φ Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.31/49

32 Rejtett szimmetria φ(x) = v + η(x) L = 1 2 ( µη) 2 λv 2 η 2 λvη λη4 + const λv 2 η 2 jó tömegtag: m η = 2λv 2 = 2µ 2 L L L-nek explicit a szimmetriája, de nem perturbatív, nem stabil a vákuuma L -nek rejtett a szimmetriája, de perturbatív, stabil a vákuuma, és explicite mutatja η-tér tömegét Higgs-mechanizmus: fermion-tér + Higgs-tér (fermion Higgs-térben) Lokális U(1) SU(2) + spontán szimmetriasértés Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.32/49

33 Higgs-mechanizmus U(1)-en Új terek: Φ(x) = 1 2 [v + h(x)]eiθ(x)/v Θ(x) megválasztása: h(x) valós Vektortér: A µ A µ + 1 ev µθ L = 1 2 ( µh) 2 λv 2 h e2 v 2 A 2 µ λvh3 1 4 λh e2 A 2 µ h2 + ve 2 A 2 µ h 1 4 F µνf µν megvan a masszív A-vektor: m A = ev > 0 van egy új, masszív h-skalár: m h = 2λv 2 > 0 eltűnt a Θ(x) Goldstone-bozon: A µ longitudinális polarizációja lett Higgs-tér 2 szabadsági foka: A és h tömege Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.33/49

34 Higgs-mechanizmus SU(2)-n L = ( ν Φ) ( ν Φ) µ 2 Φ Φ λ(φ Φ) 2 (λ > 0) Skalár SU(2)-dublett: Φ = Lokális SU(2) transzf.: Φ α Φ β Φ e i 2 α a(x)τ a Φ = 1 2 Φ 1 + iφ 2 Φ 3 + iφ 4 τ a (a = 1, 2 3): SU(2) generátorai ( spinmátrixok ) Kovariáns derivált: D ν = ν + ig τ a 2 W a ν (a... a : 3 1 ) Izotriplett mértéktér transzformációja: W ν W ν 1 g να α W ν (U(1) + SU(2)-forgatás) L = ( ν Φ+ i 2 gτ W νφ) ( ν Φ+ i 2 gτ W ν Φ) V (Φ) 1 4 W µνw µν V (Φ) = µ 2 Φ Φ + λ(φ Φ) 2 W µν = µ W ν ν W µ gw µ W ν Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.34/49

35 Higgs-bozon és gyenge bozonok µ 2 > 0 : 4 skalár Φ-tér (m Φ = 0) kh.-ban 3 W a µ Goldstone-bozonnal (m W = 0) µ 2 < 0; λ > 0 : V (Φ) = min Φ Φ = 1 2 (Φ2 1 + Φ2 2 + Φ2 3 + Φ2 4 ) = µ2 2λ Φ(x) kifejtése pl. Φ 1 = Φ 2 = Φ 4 = 0; Φ 2 3 = v2 = µ2 λ körül Φ 0 = 1 2 ( 0 v ) Φ(x) = 1 2 ( ) 0 v + h(x) Eredmény: 3 Goldstone-bozon eltűnik tömeg 3 W-nek marad masszív skalár: Higgs-bozon És az egész renormálható! Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.35/49

36 Hipertöltés Kikeverni tiszta U(1) és SU(2) áramokból elektromágneses áramot (Q töltéshez) és gyenge áramot (T gyenge izospinhez) SU(2)-rész csak balos részecskéket csatol SU(2) L Megfigyelt semleges gyenge áramnak van R-komponense (bár kicsi) Töltött gyenge áram tiszta balos U(1)-rész invariáns SU(2)-vel szemben, mert m A = 0 j em µ = lγ µl = l L γ µ l L l R γ µ l R Hipertöltés: Y = 2(Q T 3 ); árama: j Y µ = ψγ µy ψ: U(1) Y E-m áram: j em µ = J3 µ jy µ (e töltésegység lehagyva) Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.36/49

37 U(1) SU(2) elektrogyenge kh. Kölcsönhatási tagok Lagrange-fv-ben: U(1) Y : i g 2 jy µ Bµ = ig ψγ µ Y 2 ψbµ Hipertöltés leptonra: Y = 2(Q T 3 ) SU(2) L : igj µ W µ = igχ L γ µ T W µ χ L Gyenge izospin T gyenge izodublett χ L = ν l L SU(2) U(1): χ L χ L = eiα(x) T+iβ(x)Y χ L ψ R ψ R = eiβ(x)y ψ R SU(2) L dublett U(1) Y szingulett Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.37/49

38 A gyenge mértékbozonok tömege Töltött gyenge bozonok tömege: Lagrange-fv-ben Higgs-tér kölcsönhatása SU(2) L terével ( i g 2 τ W µ i g 2 B µ ) Φ 0 2 =... + ( 1 2 vg)2 W + µ W µ Tömegtag M 2 W W + W alakú M W = 1 2 vg Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.38/49

39 A semleges mértékbozonok tömege Higgs-tér kölcsönhatása SU(2) L U(1) Y terével (Wµ 3, B µ) (Z µ, A µ ) diagonalizálja tömeg-sajátállapotok Θ W szöggel elforgatva Θ W Weinberg/Weak keveredési szög Semleges terek tömegei: 1 2 M2 A Aµ A µ ; 1 2 M2 Z Zµ Z µ tagok A µ = g W 3 µ+gb µ g 2 +g 2 = cosθ W B µ + sin Θ W W 3 µ M A = 0 Z µ = g W 3 µ gb µ g 2 +g 2 = sin Θ W B µ + cos Θ W W 3 µ M Z = 1 2 v g 2 + g 2 g g = tgθ W M W M Z = cos Θ W Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.39/49

40 A gyenge mértékbozonok tömege Higgs-tér várható vákuum-értéke (vev) v: Fermi csat. áll.: G 2 = g2 8M 2 W = 1 v 2 G exp 10 5 /M 2 p v 246 GeV Standard modell jóslata 1980 előtt: M W 78, 5 GeV, M Z 89, 2 GeV Korrekciók nélkül! (Okun, 1979) Mérés (LEP): M W = 80, 403(29) GeV, M Z = 91, 1876(21) GeV Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.40/49

41 A fermionok tömege? SU(2) L U(1) Y után Lagrange-fv-ben nincs tömeg ( ) Elektron: χ L = ν e e L és e R Y L = 1, Y R = 2; Y = 2(Q T 3 ) L 1 = χ L γ µ [i µ g 2 τ a W a µ g ( 1 2 )B µ]χ L +e R γ µ [i µ g ( 1 2 )B µ]e R 1 4 W µνw µν 1 4 B µνb µν Tömegtag sérti a mértékinvarianciát: m e ee = m e e[ 1 2 (1 γ 5) (1 + γ 5)]e = m e (e R e L + e L e R ) e L : T = 1 2 ; Y = 1; e R : T = 0; Y = 2; dublett része szingulett nem csatolódnak! Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.41/49

42 Az elektron tömege: Higgs-csatolás Φ = ( Higgs-tér csatol: T H = 1 2 ; Y H = 1 ) ( Φ 1 Φ 2 = v + h(x) ) e R H (T=0, Y= 2) e L (T=1/2, Y=1) Ad-hoc mértékinvariáns Lagrange-tag: [ ( ) ( Φ 1 L 3 = G e (ν e, e) L e R + e R (Φ 1, Φ 2 ) Φ 2 = G e v(e 2 R e L + e L e R ) G e (e 2 R e L + e L e R )h Legyen G e olyan, hogy m e = 1 2 G e v L 3 = m e ee m e v (T=1/2, Y= 1) ν e e eeh jó tömegtag + kh. Higgs-térrel m e szabad paraméter ) L ] Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.42/49

43 A kvarkok tömege Leptonokkal analóg, csak: ( ) Felső típusúhoz (T 3 = ): Φ C = 1 v + h(x) 2 0 ( ) Alsó típusúhoz (T 3 = 1 2 ): Φ = v + h(x) Eredmény: L 4 = m i d d id i (1 + h v ) mi u u iu i (1 + h v ) (i = 1, 2, 3) A Higgs-bozon tömege: V (Φ) = m 2 H Φ Φ + λ(φ Φ) 2 m H = 2v 2 λ Tetsz. tömegek szabad paraméterek Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.43/49

44 Cabibbo-szög Leptonpárok nem keverednek, kvarkpárok igen Ok: tömeg-sajátállapotok gyenge kh.-éi µ eγ : BR < 1, (90%)CL K µ ν µ : BR = 63, 44 ± 0, 14% s u bomlás családon kívül K u s s u W µ ν µ N. Cabibbo, 1963: (d, s) (d, s ) keveredés, Θ C 13 o Töltött gyenge áram 4 kvarkra: J µ = (u, c) 1 2 γ µ (1 γ 5 ) U d s Keveredési mátrix: U = cos Θ C sin Θ C sin Θ C cos Θ C Lepton-csatolás (m ν = 0): G; kvarkoké: Gcos Θ C Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.44/49

45 A CKM-mátrix Kobayashi és Maskawa, 1972: keveredés + CP-sértés 6 kvarkra d Töltött gyenge áram: J µ = (u, c, t) 1 2 γ µ (1 γ 5 ) U s b Keveredési mátrix: 3 szög (Θ 12, Θ 13, Θ 23 ) és e iδ fázis: CP-sértés Jelölés: c ij cos Θ ij ; s ij sin Θ ij c 13 0 s 13 e iδ c 12 s 12 0 U CKM = 0 c 23 s s 12 c 12 0 = 0 s 23 c 23 s 13 e iδ 0 c U ud U us U ub U cd U cs U cb U td U ts U tb Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.45/49

46 CKM-mátrix: kvarkok kaszkádbomlása Kvarkbomlás naiv képlete: Γ(Q ql ν l ) G2 m 5 Q 192π 3 U qq 2 P Fázistér: P 0.5 Nehéz kvarkok kaszkádbomlása: ( ) Γ(b u) Γ(b c s u) U 2 ub 0, 19 U cb U sc U us b-kvark: sok lepton, hosszú élettartam u c d s t b 4 szabad paraméter, választás általában: s 12 = U us, s 13 = U ub, s 23 = U cb, δ Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.46/49

47 Az U(1) Y SU(2) L Lagrange-op. L = 1 4 W µνw µν 1 4 B µνb µν +Lγ µ (i µ g 2 τ aw a µ g 2 Y B µ)l +Rγ µ (i µ g 2 Y B µ)r + (i µ g 2 τ aw a µ g 2 Y B µ)φ 2 V (Φ) (G 1 LΦR + G 2 LΦ c R + herm.konj.) W ±, Z, γ terek saját kin. energiája és kölcsönhatása Leptonok és kvarkok kin. energiája és kh.-uk W ±, Z, γ-val W ±, Z, γ, Higgs tömege és csatolása Lepton- és kvarktömegek, Higgs-csatolásuk Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.47/49

48 A Standard modell szerkezete U(1) Y SU(2) L invariáns Lagrange-op. elektrogyenge kh. 4 m = 0 bozonnal + 4 Higgs-tér (1 izospin-dublett, minimális Higgs-szektor) Spontán szimm-sértés m γ = 0; m W, m Z 0 megjósolt tömegek! Tömeget teremt fermionoknak, de nem jósol értékeket Marad Higgs-bozon: skalár, m H 0 elméletet renormálhatóvá teszi Elmélet: m H < 500 GeV, LEP: m H > 114 GeV Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.48/49

49 A Standard modell menazsériája Balkezes fermionpárok (gyenge izospin: T = 1 2 ; T 3 = ± 1 2 ) Leptonok Kvarkok 1. ( család ) 2. ( család ) 3. ( család ) töltés T 3 ν e ν µ ν τ 0 e µ τ 1 ( u d ) L L ( c s ) L L ( t b ) L L és jobbos fermion-szingulettek (T = 0; T 3 = 0): e R, µ R, τ R ; (+ νr e, νr µ, νr τ??) u R, d R, c R, s R, t R, b R, (gyenge kh. hidegen hagyja őket) Az egész renormálható (hála Higgs-bozonnak) Horváth Dezső: Mese a Standard Modellről 2. RMKI-ATOMKI-CERN, június fólia p.49/49